1、2022-8-1211.7 1.7 描述地下水运动的描述地下水运动的数学模型及其解法数学模型及其解法2022-8-122一、数学模型的有关概念一、数学模型的有关概念 数学模型数学模型：描述某一研究区地下水流运动的数学方程与其定：描述某一研究区地下水流运动的数学方程与其定解条件共同构成的表示某一实际问题的数学结构。亦即从物解条件共同构成的表示某一实际问题的数学结构。亦即从物理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学关系式来刻画理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学关系式来刻画它的数量关系和空间形式，从而反映所研究地质体的地质、它的数量关系和空间形式，从而反映所研究地质体的地质、水文地质条件和地下
2、水运动的基本特征，达到复制或再现一水文地质条件和地下水运动的基本特征，达到复制或再现一个实际水流系统基本状态的目的的一种数学结构。个实际水流系统基本状态的目的的一种数学结构。其中微分方程表示地下水的流动规律，定解条件表明研其中微分方程表示地下水的流动规律，定解条件表明研究对象所处的特定环境条件，即所研究的地下水流的真实状究对象所处的特定环境条件，即所研究的地下水流的真实状态。态。定解问题定解问题是给定了方程（或方程组）和相应定解条件的数是给定了方程（或方程组）和相应定解条件的数 学物理问题。学物理问题。建立模型建立模型是指建立数学模型的过程。是指建立数学模型的过程。2022-8-123二、描述
3、渗流问题的二、描述渗流问题的数学模型数学模型 前面介绍的承压含水层、越流系统和潜水含水层前面介绍的承压含水层、越流系统和潜水含水层中渗流基本微分方程，称为渗流的中渗流基本微分方程，称为渗流的支配方程支配方程（Governing equationGoverning equation）：）：反映了含水层系统中各变反映了含水层系统中各变量之间的关系。量之间的关系。一个含水层系统中的渗流状况不仅取决于一个含水层系统中的渗流状况不仅取决于各变量各变量之间的关系之间的关系，而且还取决于渗流区域的，而且还取决于渗流区域的边界条件和初边界条件和初始条件始条件，边界条件和初始条件边界条件和初始条件统称为含水层系
4、统渗流统称为含水层系统渗流的的定解条件定解条件。2022-8-124 支配方程支配方程数学模型数学模型 初始条件初始条件 定解条件定解条件 边界条件边界条件 确定型确定型(学习的重点学习的重点)常见数学模型常见数学模型 随机型随机型2022-8-125三、定解条件三、定解条件.初始条件初始条件（Initial conditions）初始条件：初始条件：是指给定的某选定时刻（通常是指给定的某选定时刻（通常t=t=）渗流区内各点的水头渗流区内各点的水头H H的分布情况。的分布情况。H H0 0，H H0 0为空间和平面区域为空间和平面区域上的已知函数。如上的已知函数。如研究平面问题，某一时刻所测的
5、等水头线即可作为研究平面问题，某一时刻所测的等水头线即可作为初值初值。空空间间区区域域（),),(),(00zyxzyxHtzyxHt 平平面面区区域域（或或DyxyxHtyxHt),),(),(/00 2022-8-126注意注意：a、初始条件对计算结果的影响，随计、初始条件对计算结果的影响，随计算时间的延长而减弱；算时间的延长而减弱；b、初始条件并非地下水的原始状态或、初始条件并非地下水的原始状态或未开发以前的状态；未开发以前的状态；c、初始条件可根据需要任意选取。、初始条件可根据需要任意选取。2022-8-127.边界条件边界条件（Boundary conditions）指渗流区域几何边
6、界上的水力性质（所处的条件），用指渗流区域几何边界上的水力性质（所处的条件），用来表示水头或渗流量在渗流区边界上所应满足的条件，也来表示水头或渗流量在渗流区边界上所应满足的条件，也就是渗流区水流与其周围环境相互制约的关系就是渗流区水流与其周围环境相互制约的关系。（1 1）第一类边界条件第一类边界条件 若在渗流区的某部分边界上各点在每一时刻的水头是已知若在渗流区的某部分边界上各点在每一时刻的水头是已知的，则称这部分边界为的，则称这部分边界为第一类边界第一类边界或或给定水头边界给定水头边界，常表，常表示为：示为：11),),(),(1SzyxtzyxtzyxHS（121(,)(,),)H x y
7、tx y tx y（分别表示在三维和分别表示在三维和二维条件下边界上二维条件下边界上的点在的点在t t时刻的水头时刻的水头分别表示三维和二分别表示三维和二维条件下边界上的维条件下边界上的水位水位已知函数已知函数2022-8-128常见的第一类边界有常见的第一类边界有：河流或湖泊切割含水层，二者有河流或湖泊切割含水层，二者有密切的水力联系密切的水力联系，此时，此时，河湖的水位是已知的，水头河湖的水位是已知的，水头 或或 是由河湖水位的统计是由河湖水位的统计资料得到的关于资料得到的关于t t的函数；的函数；但要注意，某些河、湖底部及但要注意，某些河、湖底部及两侧沉积有一些粉砂、亚粘土和粘土，使地下
8、水和地表两侧沉积有一些粉砂、亚粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力联系受阻，就不能作为第一类边界条件来水的直接水力联系受阻，就不能作为第一类边界条件来处理。处理。在自然界，这种情况很少见。就是附近有河流、湖在自然界，这种情况很少见。就是附近有河流、湖泊，也不一定能处理为定水头边界，还要视河流、湖泊泊，也不一定能处理为定水头边界，还要视河流、湖泊与地下水水力联系的情况，以及这些地表水体本身的径与地下水水力联系的情况，以及这些地表水体本身的径流特征而定。在没有充分依据的情况下，不要随意把某流特征而定。在没有充分依据的情况下，不要随意把某段边界确定为定水头边界，以免造成很大误差。段边界确定为定水头
9、边界，以免造成很大误差。122022-8-129泉水溢出带：其标高即为水位资料，但必须泉水溢出带：其标高即为水位资料，但必须保证溢出带不消失；保证溢出带不消失；区域的抽水井、注水井或疏干巷道也可作为区域的抽水井、注水井或疏干巷道也可作为给定水头边界处理；给定水头边界处理；无限边界无限边界 亦为第一类边界；亦为第一类边界；潜水面任一点的水位已知时，抽水井井壁水潜水面任一点的水位已知时，抽水井井壁水位为一类边界。位为一类边界。022),(HtyxHyx2022-8-1210 （2 2）第二类边界条件）第二类边界条件 当已知渗流区某部分边界上的流量分布时，称这当已知渗流区某部分边界上的流量分布时，称
10、这部分边界为部分边界为第二类边界第二类边界或或给定流量边界给定流量边界。相应的边界。相应的边界条件表示为：条件表示为：2),),(12SzyxtzyxqnHKs（2),),(22yxtyxqnHT（，或 式中：式中：n n为边界为边界 或或 的外法线方向；的外法线方向；q q1 1和和q q2 2为已知函数，分别表示为已知函数，分别表示 上单位面积和上单位面积和 上单位上单位宽度的侧向补给量宽度的侧向补给量。22S2S22022-8-1211常见的二类边界条件有（给定流量边界）常见的二类边界条件有（给定流量边界）:隔水边界为零通量边界：隔水边界为零通量边界：地下分水岭：无水流通过，也为零通量边
11、界；地下分水岭：无水流通过，也为零通量边界；流线为零通量边界；流线为零通量边界；研究区内的抽水井或注水井，需要时作为内边界，取井壁为研究区内的抽水井或注水井，需要时作为内边界，取井壁为 第二类边界：第二类边界：由达西定律可知：由达西定律可知：式中：式中：r r为径向距离；为径向距离；Q Q为抽水井流量（为抽水井流量（Q Q0 0为注水井流量）为注水井流量）由于此时外法线方向由于此时外法线方向n n趋近于井中心，趋近于井中心，所以上式写为：所以上式写为：0nH),(2tyxQnHTrwwrQrnHT22022-8-1212（3 3）第三类边界条件（混合边界）第三类边界条件（混合边界）若某边界若某
12、边界 或或 上的和上的和 的线性组合为已知，即的线性组合为已知，即 其中：其中：为已知函数，这种类型的边界条件称为第三类为已知函数，这种类型的边界条件称为第三类边界条件或混合边界条件。边界条件或混合边界条件。注意：注意：1 1求解非稳定渗流问题时，数学模型应包括支配方程、求解非稳定渗流问题时，数学模型应包括支配方程、初始初始条件条件和边界条件。和边界条件。2 2对于稳定流问题，数学模型仅有支配方程和边界条件。对于稳定流问题，数学模型仅有支配方程和边界条件。33SnHHnH，2022-8-1213三、建立数学模型的实例三、建立数学模型的实例例例 潜水非稳定流方程潜水非稳定流方程),(),(0)(
13、)()()()()(054321yxtyxHnHthHtzHtzHtHHtHWyHKhyxHKhxtcwcccc（隔水边界）（定水头边界）（渗出面）位置水头W2022-8-1214例例2 2 设想如图所示的水文地质条件设想如图所示的水文地质条件 设设w w（x,y,tx,y,t）为单位时间、单位面积上的补给）为单位时间、单位面积上的补给量，即补给强度，量，即补给强度，P(x,y,t)P(x,y,t)为开采区单位面积上的为开采区单位面积上的抽水量，试写出其数学模型。抽水量，试写出其数学模型。0()()(,)(,0)(,)(,)00ADHHHK HzK HzWPxxyytH x y tHx yH
14、x y tx y tHABBCCDnzz在、和上为隔水底板标高，当隔水层水平时，0),(tDyx，2022-8-1215Hz2022-8-1216四、数学模型的解法四、数学模型的解法A.A.解析法：解析法：适用于边界条件简单的地区，一般径流适用于边界条件简单的地区，一般径流 影响范围为影响范围为200200300m300m，其解为精确解，常用来验，其解为精确解，常用来验 证数值解是否正确。证数值解是否正确。B.B.数值法：数值法：适用于较复杂的边界条件和数学模型。适用于较复杂的边界条件和数学模型。有限单元法有限单元法、有限差分法有限差分法、边界元法、边界元法其解为近似解，所以模型需用实例资料验证。其解为近似解，所以模型需用实例资料验证。C.C.物理模拟法：物理模拟法：由实验求出解；由实验求出解；地下水数值计算软件地下水数值计算软件 MODFLOW GMS FEFLOWMODFLOW GMS FEFLOW2022-8-1217请建立如图所示的一维潜水请建立如图所示的一维潜水稳定稳定流的数学模型。流的数学模型。xzy210)()(0)(hxhhxhxhhxLxxtHKKWxHhx)(均质各向同性含水层均质各向同性含水层210)()(hxhhxhLxx
