1、2022年8月12日2单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动2022年8月12日3单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动2022年8月12日4 线性系统的受迫振动线性系统的受迫振动 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动弹簧质量系统弹簧质量系统设设tieFtF0)(0F外力幅值外力幅值外力的激励频率外力的激励频率tieFkxxcxm0 振动微分方程：振动微分方程：tFcos0 x 为复数变量，分别与为复数变量，分别与 和和 相对应相对应 tFsin0实部和虚部分别与实部和虚部分别与 和和 相对应相对应 tFsin0tFcos0 mxcxm kx)(tF单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫
2、振动/简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动受力分析受力分析kcx0m)(tF2022年8月12日5tieFkxxcxm0 振动微分方程：振动微分方程：显含时间显含时间 t非齐次微分方程非齐次微分方程非齐次微分方程非齐次微分方程通解通解齐次微分方程齐次微分方程通解通解非齐次微分方程非齐次微分方程特解特解阻尼自由振动阻尼自由振动逐渐衰减逐渐衰减暂态响应暂态响应持续等幅振动持续等幅振动稳态响应稳态响应本节内容本节内容单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动2022年8月12日6tieFkxxcxm0 振动微分方程：振动微分方程：设：设：tiexx0)(F
3、Hx代入，有：代入，有：icmkH21)(复频响应函数复频响应函数 振动微分方程：振动微分方程：tinnneBxxx222 mknkmc2kFB0引入：引入：ns)2()1(211)(2222sssiskH222)2()1(1)(sss2112)(sstgs振幅放大因子振幅放大因子相位差相位差则：则：iek1 ：稳态响应的复振幅：稳态响应的复振幅 x静变形静变形单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动2022年8月12日7tieFkxxcxm0 tiexxieksssiskH1)2()1(211)(22220)(FHx)(0tiekFxBA稳态响应的实
4、振幅稳态响应的实振幅 222)2()1(1)(ssskFB0 tFtFcos)(0若：若：)cos()(tAtx则：则：tiesBtx21)(无阻尼情况：无阻尼情况：)(tiAetieskF20112112)(sstgs单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动2022年8月12日8tieFkxxcxm0 222)2()1(1)(sss)()(0titiAeekFx2112)(sstgs2220)2()1(1sskFA结论：结论：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动2022年8月12日9单自由度系统受迫振动单
5、自由度系统受迫振动2022年8月12日10 稳态响应的特性稳态响应的特性以以s为横坐标画出为横坐标画出 曲线曲线)(s222)2()1(1)(sss幅频特性曲线幅频特性曲线 简谐激励作用下稳态响应特性：简谐激励作用下稳态响应特性：（1）当）当s1（）n1激振频率相对于系统固有频率很低激振频率相对于系统固有频率很低 结论：响应的振幅结论：响应的振幅 A 与静位移与静位移 B 相当相当)()(0titiAeekFx0123012345)(ss01.025.0375.05.01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性2022年8月12日11 稳态响应特性稳态响应特性22
6、2)2()1(1)(sss（2）当）当s1（）n0激振频率相对于系统固有频率很高激振频率相对于系统固有频率很高 结论：响应的振幅结论：响应的振幅 很小很小)()(0titiAeekFx0123012345)(ss01.025.0375.05.01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性2022年8月12日12 稳态响应特性稳态响应特性（3）在以上两个领域）在以上两个领域 s1，s1结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的 对应于不同对应于不同 值值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著 222
7、)2()1(1)(sss0123012345)(ss01.025.0375.05.01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性2022年8月12日13 稳态响应特性稳态响应特性结论：共振结论：共振 振幅无穷大振幅无穷大222)2()1(1)(sss（4）当）当1sn对应于较小对应于较小 值，值，迅速增大迅速增大)(s当当0)(s但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降增加阻尼使振幅明显下降)()(0titiAeekFx0123012345)(ss01.025.0375.05.0
8、1单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性2022年8月12日14 稳态响应特性稳态响应特性222)2()1(1)(sss)()(0titiAeekFx（5）对于有阻尼系统，）对于有阻尼系统，并不并不出现在出现在s=1处，而且稍偏左处，而且稍偏左 max0dsd2max121221s0123012345)(ss01.025.0375.05.01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性2022年8月12日15 稳态响应特性稳态响应特性222)2()1(1)(sss（6）当）当2/11振幅无极值振幅无极值 0123012345)(ss01
9、.025.0375.05.01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性2022年8月12日16 稳态响应特性稳态响应特性222)2()1(1)(sss)()(0titiAeekFx211sQ记：记：品质因子品质因子 在共振峰的两侧取与在共振峰的两侧取与 对应的两点对应的两点 ，2/Q1212带宽带宽Q与与 有关系有关系：nQ阻尼越弱，阻尼越弱，Q越大，带越大，带宽越窄，共振峰越陡峭宽越窄，共振峰越陡峭 s2Q2/Q1n2n1单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性2022年8月12日17 稳态响应特性稳态响应特性相频特性曲线相频特性曲
10、线)()(0titiAeekFx2112)(sstgs以以s为横坐标画出为横坐标画出 曲线曲线)(s相位差相位差 0位移与激振力在相位上几乎相同位移与激振力在相位上几乎相同（2）当）当s1（）n（1）当）当s1（）n位移与激振力反相位移与激振力反相（3）当）当1sn共振时的相位差为共振时的相位差为 ，与阻尼无关，与阻尼无关 2)(s0123090180s单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性2022年8月12日18有阻尼单自由度系统有阻尼单自由度系统外部作用力规律：外部作用力规律：tFtFcos)(0假设系统固有频率：假设系统固有频率：1n从左到右：从左到右：6
11、.1,01.1,4.0单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性0 0 0 2022年8月12日19讨论讨论0123012345)(ss)(s0123090180s假设系统固有频率：假设系统固有频率：0sin(15*2)Ft30*2n激励为：激励为：响应如何？响应如何？0sin(60*24)Ft系统静变形量：系统静变形量：0X如何得到系统的幅频和如何得到系统的幅频和相频特性？相频特性？2022年8月12日200()()()sinmx tcx tkx tFt 0()()()sin0mx tcx tkx tFt 惯性力阻尼力弹性恢复力+激振力+=0激振力：0sinFt阻
12、尼力：0()sincx tcXt20()sin(/2)mx tmXt惯性力：0()sin(/2)kx tkXt弹性恢复力：0()sin()dx tXt稳态响应：矢量表示法矢量表示法0F 0kX0cX 20mX 0X2022年8月12日210F090 0kX0cX 20mX 0F090 0kX0cX 20mX 2022年8月12日22单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动2022年8月12日23 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加振动同时发
13、生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加 tieFkxxcxm0 显含显含 t，非齐次微分方程，非齐次微分方程非齐次微分方程非齐次微分方程通解通解齐次微分方程齐次微分方程通解通解非齐次微分方程非齐次微分方程特解特解阻尼自由振动阻尼自由振动逐渐衰减逐渐衰减暂态响应暂态响应持续等幅振动持续等幅振动稳态响应稳态响应回顾：回顾：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年8月12日24 受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段考虑无阻尼的情况考虑无阻尼的情况 tFkxxmsin0 正弦激励正弦激励0)0(xx0)0(xxtBxxnnsin22 kFB0tsBtc
14、tctxnnsin1sincos)(221通解：通解：齐次通解齐次通解非齐次特解非齐次特解ns21cc、初始条件决定初始条件决定 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年8月12日25tFkxxmsin0 0)0(xx0)0(xxtsBtctctxnnsin1sincos)(2210)0(xx01xc 0)0(xx22(0)1nBxcs0221nxBscstsBtsBstxtxtxtxtxnnnsin1sin1sincos)()()(2200021初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应特点：以系统特点：以系统固有频率为振
15、固有频率为振动频率动频率单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段零初始条件的响零初始条件的响应中是否包含固应中是否包含固有频率振动分量有频率振动分量？2022年8月12日26tsBtsBstxtxtxtxtxnnnsin1sin1sincos)()()(2200021初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应如果是零初始条件如果是零初始条件tsBtsBstxtxtxnsin1sin1)()()(2221自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年8月1
16、2日27零初始条件零初始条件tsBtsBstxtxtxsin1sin1)()()(20221(2)s 1)(n)(nTT(1)s 1)(n)(nTT 稳态受迫振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动进行一个循环时间内，自由伴随振动完成多个循环自由伴随振动完成多个循环自由伴随振动进行一个循环时间自由伴随振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动完成多个循环内，稳态受迫振动完成多个循环受迫振动响应成为自由振动响应受迫振动响应成为自由振动响应曲线上迭加的一个振荡运动曲线上迭加的一个振荡运动受迫振动响应成为稳态响应曲线受迫振动响应成为稳态响应曲线上迭加的一个振荡运动上迭加的一个振荡运动n/2/20t)(txn/
17、2/20t)(tx稳态响应稳态响应全响应全响应单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年8月12日28零初始条件零初始条件tsBtsBstxtxtxnsin1sin1)()()(22210/2/20t)(tx单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年8月12日29由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解 000)0()0(sinxxxxtFkxxm，002)0()0(0 xxxxxxn，0)0(0)0(sin22xxtBxxnn，txtxtxnnnsincos)(00
18、1tsBtsBstxnsin1sin1)(222)()()(21txtxtx通解：通解：tsBtsBstxtxnnnnsin1sin1sincos2200初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年8月12日30tsBtsBstxtxtxtxtxnnnsin1sin1sincos)()()(2200021)sin(sin1sincos 2000tstsBtxtxnnntFkxxmsin0 0)0(xx0)0(xx实际中总是存在着阻尼的影响，因而上式右端的暂态运动会实际中总是存在着阻尼的影
19、响，因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年8月12日3100 x例：例：计算初始条件，以使计算初始条件，以使tFkxxmsin0 的响应只以频率的响应只以频率 振动振动解：解：tsBtsBstxtxtxtxtxnnnnsin1sin1sincos)()()(220021的全解：的全解：tFkxxmsin0 如果要使系统响应只以如果要使系统响应只以 为频率振动为频率振动必须成立：必须成立：201sBsxn初始条件：初始条件：00 x201sBsx
20、nkFB0ns 单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段是否只要满足零是否只要满足零初始条件就可以初始条件就可以？2022年8月12日32若激励频率与固有频率十分接近若激励频率与固有频率十分接近 ns令：令：21s 小量小量)sin(sin1)(2tstsBtxntsBtsBstxtxtxtxtxnnnnsin1sin1sincos)()()(220021)sin(sin1sincos 200tstsBtxtxnnnn考虑零初始条件，有：考虑零初始条件，有：tFkxxmsin0 0)0(xx0)0(xx1单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的
21、过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年8月12日33)sin(sin1)(2tstsBtxn代入：代入：21s )sin(sin)144(12tstBnttBnncossin2)sin(sin4tstBnsin)21sin(4ttBnn)sin2sincos2cos(sin4tttttBnnnnnttBnn2sincos4tttBnnncossin2cos4单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年8月12日34ttBtxnncossin2)(可看作频率为可看作频率为 但振幅按但振幅按 规律缓慢变化的振动规律缓慢变化的振动 ntBnsin2这种在接近
22、共振时发生的特殊振动现象称为这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍拍”n2BtBnsin2n2tBnsin20t)(txn拍的周期：拍的周期：tBnsin2图形包络线：图形包络线：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年8月12日350当当ttBtx00cossin2)(随随 t 增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形 0)(txttB021tB021 ttB00cos21 响应曲线响应曲线21sttB00cos2单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年
23、8月12日36012345-0.03-0.02-0.010.000.010.020.03n=50 rad/s,f=2sin(50t),m=10kgu,mt,s图图 共振响应共振响应 【思考思考】：实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？1.1.实际系统都存在实际系统都存在阻尼阻尼，阻尼能够使系统在共振时维持，阻尼能够使系统在共振时维持有限的振幅有限的振幅。2.2.当振幅增大到一定程度后，支配系统运动的微分方程已经当振幅增大到一定程度后，支配系统运动的微分方程已经不再是不再是 线性微分方程了线性微分方程了，而，而是非线性运动微分方程是非线性运动微分方程，所以此
24、时根据线性，所以此时根据线性 运动方程得到的结果已经不能反映实际情况了。运动方程得到的结果已经不能反映实际情况了。2022年8月12日37讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应 000)0(,)0(sinxxxxtFkxxcxm)sin(sin)cossin(cossin )sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddtmk0kmc2201d0skFB0222)2()1(1ss2112sstg初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应利用前述相同的方法，有：利用前述相同的方法，有：单自由度系统受迫振
25、动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年8月12日38)sin(sin)cossin(cossin )sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始条件响应初始条件响应经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失，经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失，只剩稳态强迫振动只剩稳态强迫振动 自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应0)(txt0 x强迫响应强迫响应全响应全响应单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年8月12日39)sin(sin)cossin(coss
26、in )sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始条件响应初始条件响应自由伴随振动自由伴随振动强迫响应强迫响应)sin(sin)cossin(cossin)(00tBtsteBtxdddt0)0(x0)0(x 对于零初始条件：对于零初始条件：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段2022年8月12日40单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动2022年8月12日41基础简谐激励下的强迫振动基础简谐激励下的强迫振动2022年8月12日42 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的
27、受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例 xfkc1xmx0mkxxfc1x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动mxc2k2kte2022年8月12日43 简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例特点：激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例 tifDetx)(坐标：坐标：动力学方程：动力学方程：111()0fm xxcxkx基座位
28、移规律基座位移规律：x1 相对基座位移相对基座位移)(1fxxm 1kx1xcmm)(1fxxm 1xc1kx受力分析受力分析xfkc1xmx0mkxxfc1xD：基座位移振幅：基座位移振幅单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动2111i tmxcxkxmDe2022年8月12日442111i tmxcxkxmDetieFkxxcxm0 )(tiBexkFB0222)2()1(1ss2112)(sstgs回顾：回顾：令：令：02FmD)(11tiBex)(01tiekF)(21tiekmD)(22221)2()1(tiDesss)(11tiD
29、e有：有：22221)2()1()(ssss21112)(sstgs其中：其中：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动xfkc1xmx0mk200s2022年8月12日452111i tmxcxkxmDe)(111tiDex22221)2()1()(ssss21112)(sstgs0s0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0)(1ss1 0 0190180s)(1s幅频曲线幅频曲线相频曲线相频曲线单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动2022年8月12日46系统固有频率从左到右：系
30、统固有频率从左到右：63.0,0.1,6.1000单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0)(1ss1 0 0190180s)(1s支撑运动：支撑运动：tDtxfsin)(001.1D)(111tiDex22221)2()1()(ssss21112)(sstgsD如何分析如何分析s1，s1，s=1?2022年8月12日47若以绝对位移若以绝对位移 x 为坐标为坐标fxxx1titiDeDex)(11)(111tiDextifDetx)(其中：其中：则有：则有：)(111)(tiiDee22221
31、)2()1()(ssss21112)(sstgs0sxfkc1xmx0mkxxfc1x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动2022年8月12日48)sin(cos)2()1(11222211isssei22222)2()1()2(1sss)2(12stg)(111)(tiiDeex22221)2()1()(ssss21112)(sstgs22222222222)2()1(2)2()1(1)2()1(sssissssss222)2()1(21sssi22222)2()1()2(1iesss22ie22222)2(1)2()1(1iesss单自
32、由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动2022年8月12日49)(111)(tiiDeex2121iiee22222)2()1()2(1sss)2(12stg)(2)(221titiDeDex21代入：代入：tiesDx211无阻尼情况：无阻尼情况：22221)2()1()(ssss21112)(sstgsxfkc1xmx0mkxxfc1x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动2022年8月12日5022222)2()1()2(1sss)(2)(221titiDeDex幅频曲线幅频曲线01010
33、 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0)(2ss2可看出：可看出：当当 时，时，2s12振幅恒为支撑运动振幅振幅恒为支撑运动振幅D当当 时，时，2s12振幅恒小于振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大增加阻尼反而使振幅增大xfkc1xmx0mkxxfc1x单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动2022年8月12日51 总结总结tifDetx)(坐标：坐标：111()0fm xxcxkx基座位移规律基座位移规律：x1 相对基座位移相对基座位移xfkc1xmx0D：基座位移振幅：基座位移振幅单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激
34、励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动2111i tfmxcxkxmxmDe 若以绝对位移若以绝对位移 x 为坐标为坐标fxxx1111()fffffi ti tffm xxc xxk xxcxkxmxcxkxcxkxcDi ekDe2022年8月12日520.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0)(1ss1 0 01010 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0)(2ss222222)2()1()2(1sss)2(12stg21)(111tiDex22221)2()1()(ssss21112)(sstgs)(21tifDexxx相对位移相对位移绝对位移绝对位移2022年8月12日
35、53振动测试仪器振动测试仪器(惯性式）惯性式）2022年8月12日542111i tfmxcxkxmxmDe 22221)2()1()(ssss)(111tiDex11XD21222(1)(2)sXDssD：基座位移振幅：基座位移振幅0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0)(1ss1 0 位移传感器位移传感器2022年8月12日552111i tfmxcxkxmxmDe 21222(1)(2)sXDss2122220(1)(2)DXss12222200(1)(2)aAAXssA：基座加速度振幅：基座加速度振幅2221(1)(2)ass0123012345)(ss01.025.037
36、5.05.01加速度传感器加速度传感器2022年8月12日56222(1)(2)vsss12220(1)(2)DsXss122200(1)(2)vVsVXss2111i tfmxcxkxmxmDe 21222(1)(2)sXDssV：基座速度振幅：基座速度振幅速度传感器速度传感器2022年8月12日57例：例：汽车的拖车在波形道汽车的拖车在波形道路上行驶路上行驶已知拖车的质量满载已知拖车的质量满载时为时为 m1=1000 kg空载时为空载时为 m2=250 kg悬挂弹簧的刚度为悬挂弹簧的刚度为 k=350 kN/m阻尼比在满载时为阻尼比在满载时为5.01车速为车速为 v=100 km/h路面呈
37、正弦波形，可表示为路面呈正弦波形，可表示为lzaxf2sin求：求：拖车在满载和空载时的振幅比拖车在满载和空载时的振幅比l=5 ml=5 mmk/2cx0k/2xfalxfz单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动2022年8月12日58解：解：汽车行驶的路程可表示为：汽车行驶的路程可表示为：路面的激励频率：路面的激励频率：tlvaxf2sinvtz srad/9.34kmccr202mc得：得：kmcccr2c、k 为常数，因此为常数，因此 与与 成反比成反比m因此得到空载时的阻尼比为：因此得到空载时的阻尼比为：2112mm满载和空载时的频率
38、比：满载和空载时的频率比：011s93.02022kms因为有：因为有：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动l=5 mmk/2cx0k/2xfalxfz满载满载:m1=1000 kg空载空载:m2=250 kg5.01车速车速:v=100 km/hlzaxf2sinlv20.1k=350 kN/mkm187.12022年8月12日59满载时频率比满载时频率比记：满载时振幅记：满载时振幅 B1，空载时振幅，空载时振幅 B2有：有：满载时阻尼比满载时阻尼比空载时阻尼比空载时阻尼比0.1287.11s空载时频率比空载时频率比93.02s68.0)
39、2()1()2(12112212111sssaB13.1)2()1()2(12222222222sssaB因此满载和空载时的振幅比：因此满载和空载时的振幅比：60.021BB5.01单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动l=5 ml=5 mmk/2cx0k/2xfalxfz2022年8月12日60例：例：已知梁截面惯性矩已知梁截面惯性矩I，弹性模量，弹性模量E，梁质量不计梁质量不计支座支座B不动不动求：质量求：质量m的稳态振动振幅的稳态振动振幅单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题/振动的隔离振动的
40、隔离支座支座A产生微小竖直振动产生微小竖直振动tdyAsinambABAy解：解：固有频率：固有频率：/0g简化图简化图在质量在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度作用下，由材料力学可求出静挠度mkfxfx：因：因yA的运动而产生的质量的运动而产生的质量m处的运动处的运动tabdyabxAfsin)/()/(动力学方程：动力学方程：0)(fxxkxm takbdkxxmsin)/(振幅：振幅：211/skakbdx0s211sabd杆做刚性处理，其柔性由弹簧表示杆做刚性处理，其柔性由弹簧表示2022年8月12日61高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转高速旋转机械中，偏
41、心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转机械总质量为机械总质量为M，转子偏心质量为，转子偏心质量为m，偏心距为，偏心距为e，转子转动角速度为，转子转动角速度为 x：机器离开平衡位置的：机器离开平衡位置的垂直位移垂直位移 则偏心质量的垂直位移：则偏心质量的垂直位移：texsin由达朗伯原理，系统在垂直方由达朗伯原理，系统在垂直方向的动力学方程：向的动力学方程：0)sin()(22kxxctexdtdmxmM tmekxxcxMsin2 简化图形简化图形mxc2k2kte单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动Mkctmesin2xMkcxte
42、m激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例激振惯性力的幅值与频率的平方成正比例 2022年8月12日62tmekxxcxMsin2 me：不平衡量：不平衡量：不平衡量引起的离心惯性力：不平衡量引起的离心惯性力 2me20meF 设：设：)sin()(tBtx222)2()1(1sskmekFB202112sstg0sMK0得：得：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动Mkctmesin2x2022年8月12日63)sin()(tBtx222)2()1(1sskmekFB202112sstgB 又写为又写为：MmekmeB2022)sin()2()
43、1()(2222 tMmessstx22221)2()1(sssMmeB 12sMme)sin(11 tB单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动2022年8月12日640.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0)(1ss1 0 22221)2()1(sss0190180s)(1s2112sstg2022年8月12日65例：偏心质量系统例：偏心质量系统共振时测得最大振幅共振时测得最大振幅为为0.1 m由自由衰减振动测得由自由衰减振动测得阻尼系数为阻尼系数为05.0假定假定%10Mm求：求：（1）偏心距）偏心距 e，（2）若要使系统共振时
44、振幅为）若要使系统共振时振幅为0.01 m，系统的总质量需要增加多少？系统的总质量需要增加多少？mxc2k2kte单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动Mkctmesin2x2022年8月12日66解解:（1）共振时测得最大振幅共振时测得最大振幅为为0.1 m由自由衰减振动测得由自由衰减振动测得阻尼系数为阻尼系数为05.0%10Mm共振时最大振幅共振时最大振幅)sin()2()1()(2222tMmessstx)(1.021mMme)(1.0me（2）若要使系统共振时振幅为）若要使系统共振时振幅为0.01 m)(01.021mMMme)(01
45、.01.005.021mMMm9MMMM9mxc2k2kte单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动Mkctmesin2x2022年8月12日67单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动tmekxxcxMsin2 mxc2k2kteMkctmesin2xMkcxtem)sin()(tBtx222)2()1(1ss kmeB2 2112sstg 0sMk 0 偏心质量小结偏心质量小结)sin()(11tBtx22221)2()1(sss 解解1：解解2：MmeB 12022年8月12日68单自由度
46、系统受迫振动单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题2022年8月12日69回顾：回顾：单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题22222)2()1()2(1sss )2(12stg 21相对位移相对位移tifDetx)(基座位移规律基座位移规律：tiemDkxxcxm21111 )(111tiDex22221)2()1()(ssss 21112)(sstgs 绝对位移绝对位移)(21tifDexxxxfkc1xmx0mkxxfc1x支承运动情况支承运动情况2022年8月12日70 惯性式测振仪惯性式测振仪 tifDex基础位移基
47、础位移x 为为 m 相对于外壳的相对位移相对于外壳的相对位移动力方程动力方程：0)(kxxcxxmf tiemDkxxcxm2 DsssA22221)2()1(振幅振幅：kcmfx单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题/惯性测振仪惯性测振仪DAs 1lim0s 当仪器的固有频率远小于外壳当仪器的固有频率远小于外壳振动频率时，仪器读数的幅值振动频率时，仪器读数的幅值 A1 接近外壳振动的振幅接近外壳振动的振幅 D.低固有频率测量仪用于测量振低固有频率测量仪用于测量振动的位移幅值，称为动的位移幅值，称为2022年8月12日71 惯性式测振仪惯性式测振仪
48、DsssA22221)2()1(单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题/惯性测振仪惯性测振仪 使用频率范围使用频率范围当当 s1以后，以后，A1曲线逐渐进入平坦区，并随着曲线逐渐进入平坦区，并随着 s的增加而趋的增加而趋向于向于1。这一平坦区就是位移计型传感器的使用频率范围。这一平坦区就是位移计型传感器的使用频率范围。对于位移计型惯性接收的传感器来说，测量频率要大于传感对于位移计型惯性接收的传感器来说，测量频率要大于传感器的自然频率。为了压低使用频率下限，一般引进器的自然频率。为了压低使用频率下限，一般引进 =0.6-0.7 的的阻尼比，这样，阻尼比
49、，这样，A1 曲线在过了曲线在过了s=1之后，很快进入平坦区。之后，很快进入平坦区。2022年8月12日72DsssA22221)2()1(当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值幅值 A1与外壳加速度的幅值成正比与外壳加速度的幅值成正比.)()2()1(12022221DssA A1 还可写为：还可写为：)(1lim22010DAs 00s高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题/惯性测振仪惯性测振仪
50、kcmfx2D：被测物体的加速度幅值：被测物体的加速度幅值2022年8月12日73 工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题单自由度系统受迫振动单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题工程中的受迫振动问题2022年8月12日74图 几种振动抑制手段振源振源受控对象受控对象消振消振隔振隔振阻振阻振吸振吸振消振消振:隔振隔振:在振源和受控对象之间加入弹性支撑来减小相互之间所在振源和受控对象之间加入弹性支撑来减小相互之间所 传递的振动量。传递的振动量。阻振阻振:吸振吸振:在受控对象上附加一个子系统，振动能量主要集中在子在受控对象上附加一个子系统，振动能量主要集中在子 系统中；系统中；消除振源的振动
