1、数理金融学数理金融学 第第2章章组合投资理论组合投资理论投资学投资学 第第5章章22.1 资产组合的收益与风险资产组合的收益与风险 一个岛国是旅游胜地，其有两家上市公一个岛国是旅游胜地，其有两家上市公司，一家为防晒品公司，一家为雨具公司，一家为防晒品公司，一家为雨具公司。岛国每年天气或为雨季或为旱季，司。岛国每年天气或为雨季或为旱季，概率各为概率各为0.5，两家公司在不同天气下的，两家公司在不同天气下的收益分别如下，请问你的投资策略。收益分别如下，请问你的投资策略。防晒品公司防晒品公司雨具公司雨具公司雨季雨季旱季旱季0%20%20%0%投资学投资学 第第5章章3资产组合（资产组合（Portfo
2、lio）的优点）的优点 对冲（对冲（hedging），也称为套期保值。投资），也称为套期保值。投资于补偿形式（收益负相关），使之相互抵于补偿形式（收益负相关），使之相互抵消风险的作用。消风险的作用。分散化（分散化（Diversification）：必要条件收益）：必要条件收益是不完全正相关，就能降低风险。是不完全正相关，就能降低风险。组合使投资者选择余地扩大。组合使投资者选择余地扩大。投资学投资学 第第5章章4 例如有例如有A、B两种股票，每种股票的涨或跌的概率两种股票，每种股票的涨或跌的概率都为都为50%，若只买其中一种，则就只有两种可能，若只买其中一种，则就只有两种可能，但是若买两种就形成
3、一个组合，这个组合中收益但是若买两种就形成一个组合，这个组合中收益的情况就至少有六种。的情况就至少有六种。涨，涨涨，涨 涨，跌涨，跌 涨涨 跌，涨跌，涨 跌，跌跌，跌 跌跌 涨涨 跌跌AB组合至少还包含非组合（即只选择一种股票），组合至少还包含非组合（即只选择一种股票），这表明投资者通过组合选择余地在扩大，从而使这表明投资者通过组合选择余地在扩大，从而使决策更加科学。决策更加科学。投资学投资学 第第5章章5 组合的收益组合的收益 假设组合的收益为假设组合的收益为rp，组合中包含，组合中包含n种证券，种证券，每种证券的收益为每种证券的收益为ri，它在组合中的权重是，它在组合中的权重是wi，则组合
4、的投资收益为则组合的投资收益为1111nnpi iiiiiniiErEwrw Erw（）（）其中投资学投资学 第第5章章6n222i 11,1,1nnnpiiijijijijij i ji jWWWww 组合的方差组合的方差221121 12 211222111222()()().()().()()().()pppnni ii iiin nnnnnnD rE rE rEwrEwrE wrw rw rwE rw E rw E rE w rE rw rE rw rE r证明：将平方项展开得到将平方项展开得到投资学投资学 第第5章章7211122222111,22111,1222()().()()(
5、)()(),()(nnnnnniiiijiijjiiji jnnniiijijiiji jnijiji jiiiiiiiiEw rE rw rE rw rE rwE rE rww E rE rrE rwwwwwE rE rE rE r ()jjijijrE r投资学投资学 第第5章章8根据概率论，对于任意的两个随机变量，总有下列等根据概率论，对于任意的两个随机变量，总有下列等式成立式成立22222222222()()()()()()2()()21,2)x yxyxyxyx yxyxyxyxyExyE xyExE xyE yE xE xE yE yExE xyE y 由于相关系数1则（组合的风险
6、变小投资学投资学 第第5章章91 12 21 12 21222222111122222122222222112212121222221122121222222221122331212232313132ii2,1()(),223222pxyppirwrw rxwr yw rwwwrwwrwwww wwww wiwwww ww ww ww 当时，令其中 则得当时3332i 11,1ijijij i jww 没有2投资学投资学 第第5章章10331,1333112233,1,1,112121313212123233131323212121313232322211,1()()()222,ijijiji
7、 jjjjjjjji jji jji jnnnpiiijijiiji jw ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww ww wi jnww w 同理，当时2211,1nnniiijijijiiji jww w 投资学投资学 第第5章章11总结总结 对于包含对于包含n个资产的组合个资产的组合p，其总收益的期望值和方，其总收益的期望值和方差分别为差分别为1npi iirwrTw r=n222Ti 11,1,1wwnnnpiiijijijijij i ji jwwwww11112121.=(,.,),=(,.,),nTTnnnnnw wwr rrwr其中，投资学投资学 第第5
8、章章12例例 题题 例例1：假设两个资产收益率的均值为：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为，其标准差为0.20和和0.18，占组合的投，占组合的投资比例分别是资比例分别是0.25和和0.75，两个资产协方差，两个资产协方差为为0.01，则组合收益的期望值的方差为，则组合收益的期望值的方差为0.12(0.25,0.75)0.14250.15prTw r22T20.25(0.20)0.01ww=(0.25,0.75)0.0244750.750.01(0.18)p投资学投资学 第第5章章1322T22222211w r(,.,)1.0111ww(,.,)(,.,)011Tppr
9、rrnnrnnnnnn =例例2：假设某组合包含：假设某组合包含n种股票。投资者等额地将资金分配在种股票。投资者等额地将资金分配在上面，即每种股票占总投资的上面，即每种股票占总投资的1/n，每种股票的收益也是占，每种股票的收益也是占总收益的总收益的1/n。设若投资一种股票，其期望收益为。设若投资一种股票，其期望收益为r，方差为，方差为2，且这些股票之间，且这些股票之间两两不相关两两不相关，求组合的收益与方差。，求组合的收益与方差。投资学投资学 第第5章章14 组合的收益是各种证券收益的加权平均值，因组合的收益是各种证券收益的加权平均值，因此，它使组合的收益可能低于组合中收益最大此，它使组合的收
10、益可能低于组合中收益最大的证券，而高于收益最小的证券。的证券，而高于收益最小的证券。只要组合中的资产两两不完全正相关，则组合只要组合中的资产两两不完全正相关，则组合的风险就可以得到降低。的风险就可以得到降低。只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收只有当组合中的各个资产是相互独立的且其收益和风险相同，则随着组合的风险降低的同时，益和风险相同，则随着组合的风险降低的同时，组合的收益等于各个资产的收益。组合的收益等于各个资产的收益。投资学投资学 第第5章章152.2 组合投资理论概述组合投资理论概述 现代投资理论的产生以现代投资理论的产生以1952年年3月月Harry.M.Markowitz发发表
11、的表的投资组合选择投资组合选择为标志为标志 1962年，年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提出对资产组合模型进行简化，提出了资本资产定价模型（了资本资产定价模型（Capital asset pricing model，CAPM）1976年，年，Stephen Ross提出了替代提出了替代CAPM的套利定价模型的套利定价模型（Arbitrage pricing theory，APT）。）。上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣，地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年，年，Euge
12、ne Fama在其博士论文中提出了有效市场假说（在其博士论文中提出了有效市场假说（Efficient market hypothesis，EMH）投资学投资学 第第5章章162.3 资产组合投资理论资产组合投资理论 基本假设基本假设 （1）投资者仅仅以期望收益率和方差（标）投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（准差）来评价资产组合（Portfolio）（2）投资者是不知足的和风险厌恶的，即）投资者是不知足的和风险厌恶的，即投资者是理性的。投资者是理性的。（3）投资者的投资为单一投资期，多期投）投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。资是单期投资的不断重复。（4）
13、投资者希望持有有效资产组合。）投资者希望持有有效资产组合。投资学投资学 第第5章章172.3.1 组合的可行集和有效集组合的可行集和有效集 可行集与有效集可行集与有效集可行集：资产组合的机会集合（可行集：资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。的期望收益和方差。有效组合（有效组合（Efficient portfolio）：给定风险水）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个每一个
14、组合代表一个点。点。有效集（有效集（Efficient set）：又称为有效边界：又称为有效边界（Efficient frontier）,它是有效组合的集合它是有效组合的集合（点的连线）。（点的连线）。投资学投资学 第第5章章18两种风险资产构成的组合的风险与收益两种风险资产构成的组合的风险与收益 若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为收益和方差为1 12 22222211221212222211221212121211 1122
15、22211112111212221()(1)()(1)2(1)pppprw rw rwww wwww wwwrww rw rwwwww 由于，则由此就构成了资产在给定条件下的可行集！由此就构成了资产在给定条件下的可行集！投资学投资学 第第5章章19 注意到两种资产的相关系数为注意到两种资产的相关系数为112121 因此，分别在因此，分别在12121 1和和12121 1时，可以时，可以得到资产组合的可行集的得到资产组合的可行集的顶部顶部边界和边界和底部底部边界边界。其他所有的可能情况，在这两个边界之中。其他所有的可能情况，在这两个边界之中。投资学投资学 第第5章章20组合的风险收益二维表示组合
16、的风险收益二维表示.收益收益rp风险风险p2.3.2 两种完全正相关资产的可行集两种完全正相关资产的可行集投资学投资学 第第5章章21两种资产完全正相关，两种资产完全正相关，即即12 1，则有，则有p1111211 1121p111p221122()(1)()(1)10pppwwwr wwrw rwrrwrrrr当 时，当 时，所以，其可行集连接两点（，）和（，）的直线。投资学投资学 第第5章章221111212121 112212121221212221212()(1)()/()()(1)()/()(1()/()pppppppwwwwrwrw rrrrrrrr 则 从而故命题成立，证毕。命题
17、命题2.1：完全正相关的两种资产构成的可行：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。集是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得证明：由资产组合的计算公式可得投资学投资学 第第5章章23两种资产组合（完全正相关），当权重两种资产组合（完全正相关），当权重w1从从1减少到减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许假定不允许买空卖空买空卖空）。）。收益收益 Erp风险风险p11(,)r22(,)r投资学投资学 第第5章章242.3.3 两种完全负相关资产的可行集两种完全负相关资产的可行集 两种资
18、产完全负相关，即两种资产完全负相关，即12=-1，则有，则有2222p111121112111211 11221p1221p111121221p1121112()(1)2(1)|(1)|()(1)0()(1)()(1)pwwwwwwwrww rwrwwwwwwwww=当时,当时，=当时，=投资学投资学 第第5章章25命题命题2.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。条直线，其截距相同，斜率异号。证明：证明：2112111121()(1)()ppwwwwwf当时，则可以得到，从而221212121212221212()(1)p
19、pppprrrrrrrr投资学投资学 第第5章章262112112111212221212,()(1)()ppppwwwwrrrrrr 同理可证当时，则命题成立，证毕。投资学投资学 第第5章章27 两种证券完全负相关的图示两种证券完全负相关的图示收益收益rp风险风险p122212r rr 22(,)r11(,)r投资学投资学 第第5章章282.3.4 两种不完全相关的风险资产的组两种不完全相关的风险资产的组合的可行集合的可行集11 1122222111121112122222111121()(1)()(1)2(1)0()(1)1pppr wwrw rwwwwwwww 当1时尤其当 时这是一条二
20、次曲线，事实上，当1时，可行集都是二次曲线。投资学投资学 第第5章章29总结：在各种相关系数下、两种风险资产总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集构成的可行集收益收益Erp风险风险p=1=1=0=0=-1=-111(,)r22(,)r122212r rr 投资学投资学 第第5章章301212121212121111 由图可见，可行集的弯曲程度取决于相关系数。随着的减小，弯曲程度增加；当 时，呈现折线状，也就是弯曲度最大；当 时，弯曲度最小，也就是没有弯曲，则为一条直线；当，就介于直线和折线之间，成为平滑的曲线，而且越小越弯曲。投资学投资学 第第5章章313种风险资产的组合二维表示种风
21、险资产的组合二维表示 一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。收益收益rp风险风险p1234投资学投资学 第第5章章32 类似于类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。种资产构成的组合的可行集。收益收益rp风险风险pn种风险资产的组合二维表示种风险资产的组合二维表示投资学投资学 第第5章章3
22、3总结：可行集的两个性质总结：可行集的两个性质1.在在n种资产中，如果至少存在三项资种资产中，如果至少存在三项资产彼此不完全相关，则可行集合将是产彼此不完全相关，则可行集合将是一个二维的实体区域一个二维的实体区域2.可行区域是向左侧凸出的可行区域是向左侧凸出的因为任意两项资产构成的投资组合都位因为任意两项资产构成的投资组合都位于两项资产连线的左侧。于两项资产连线的左侧。为什么？为什么？投资学投资学 第第5章章34收益收益rp风险风险p不可能的可行集不可能的可行集AB投资学投资学 第第5章章352.3.5 风险资产组合的有效集风险资产组合的有效集v在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收在可行
23、集中，有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一些投资组合，些投资组合，其特点是在同种风险水平的情况下，其特点是在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最小风险。我们把满足这两个条件（提供最小风险。我们把满足这两个条件（均方准均方准则）则）的资产组合，称之为有效资产组合的资产组合，称之为有效资产组合；v由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集或有效边界或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集。投资者的最
24、优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。则无须考虑。投资学投资学 第第5章章36 v 整个可行集中，整个可行集中，G点为最左边的点，具有最小标准差。从点为最左边的点，具有最小标准差。从G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S（具（具有最大期望收益率），这一边界线有最大期望收益率），这一边界线GS即是有效集。例如：即是有效集。例如：自自G点向右上方的边界线点向右上方的边界线GS上的点所对应的投资组合如，上的点所对应的投资组合如，与可行集内其它点所对应的投资组合（如点）比
25、较起来，与可行集内其它点所对应的投资组合（如点）比较起来，在相同风险水平下，可以提供最大的预期收益率；而与在相同风险水平下，可以提供最大的预期收益率；而与点比较起来，在相同的收益水平下，点承担的风险又是点比较起来，在相同的收益水平下，点承担的风险又是最小的。最小的。投资学投资学 第第5章章37总总 结结A、两种资产的可行集、两种资产的可行集完全正相关是一条直线完全正相关是一条直线完全负相关是两条直线完全负相关是两条直线完全不相关是一条抛物线完全不相关是一条抛物线其他情况是界于上述情况的曲线其他情况是界于上述情况的曲线B、两种资产的有效集、两种资产的有效集左上方的线左上方的线 C、多个资产的有效
26、边界、多个资产的有效边界可行集：月牙型的区域可行集：月牙型的区域有效集：左上方的线有效集：左上方的线投资学投资学 第第5章章38马克维茨的数学模型马克维茨的数学模型*均值均值-方差（方差（Mean-variance）模型是由哈里）模型是由哈里马克马克维茨等人于维茨等人于1952年建立的，其目的是寻找有效边年建立的，其目的是寻找有效边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。理性的：害怕风险和收益多多益善。因此，根据上一章的占优原则这可以转化为因此，根据上一章的占优原则这可以转化为一个优化问题，即一个优化问题，即（1）给定
27、收益的条件下，风险最小化）给定收益的条件下，风险最小化（2）给定风险的条件下，收益最大化）给定风险的条件下，收益最大化投资学投资学 第第5章章391111mins.t.,1nnijijijni iiniiw ww rcw11111212.=(,.,)w=(,.,),nnnnTnncr rrw wwr若已知资产组合收益、方差 协方差矩阵和组合各个资产期望收益向量，求解组合中资产权重向量则有投资学投资学 第第5章章40 对于上述带有约束条件的优化问题，可以对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子引入拉格朗日乘子和和来解决这一优化来解决这一优化问题。构造问题。构造拉格朗日函数如下拉格朗日
28、函数如下1111L()(1)nnnnijiji iiijiiwwwrcw 上式左右两边对上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件求导数，令其一阶条件为为0，得到方程组，得到方程组投资学投资学 第第5章章41111122121000njjjnjjjnjnjnjnLwrwLwrwLwrw 和方程和方程 111niiiniiw rcw投资学投资学 第第5章章42 这样共有这样共有n2方程，未知数为方程，未知数为wi（i1，2,n）、）、和和，共有，共有n2个未知量，其解个未知量，其解是存在的。是存在的。注意到上述的方程是线性方程组，可以通注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。过线性代
29、数加以解决。例：假设三项不相关的资产，其均值分别例：假设三项不相关的资产，其均值分别为为1，2，3，方差都为，方差都为1，若要求三项资产，若要求三项资产构成的组合期望收益为构成的组合期望收益为2，求解最优的权重。，求解最优的权重。投资学投资学 第第5章章433111113222123332133123131231020302321jjjjjjjjji iiiiLwrwwLwrwwLwrwww rwwwwwww100010001 由于1=(1,2,3),2Tc r投资学投资学 第第5章章4412301/31/31/31/3www课外练习课外练习：假设三项不相关的资产。其均值：假设三项不相关的资产
30、。其均值分别为分别为1，2，3，方差都为，方差都为1，若要求三项资，若要求三项资产构成的组合期望收益为产构成的组合期望收益为1，求解最优的权，求解最优的权重。重。由此得到组由此得到组合的方差为合的方差为213投资学投资学 第第5章章452.3.6 最优风险资产组合最优风险资产组合1.由于假设投资者是风险厌恶的，因此，最由于假设投资者是风险厌恶的，因此，最优投资组合必定位于有效集边界上，其他优投资组合必定位于有效集边界上，其他非有效的组合可以首先被排除。非有效的组合可以首先被排除。2.虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所虽然投资者都是风险厌恶的，但程度有所不同，因此，最终从有效边界上挑选那一不同
31、，因此，最终从有效边界上挑选那一个资产组合，则取决于投资者的风险规避个资产组合，则取决于投资者的风险规避程度。程度。3.度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效度量投资者风险偏好的无差异曲线与有效边界共同决定了最优的投资组合。边界共同决定了最优的投资组合。投资学投资学 第第5章章46理性投资者对风险偏好程度的描述理性投资者对风险偏好程度的描述无差异曲线无差异曲线 同一条无差异曲线同一条无差异曲线,给投资者所提供的效用（即满足程度）给投资者所提供的效用（即满足程度）是无差异的，无差异曲线向右上方倾斜是无差异的，无差异曲线向右上方倾斜,高风险被其具有的高风险被其具有的高收益所弥补。对于每一个投资者高收
32、益所弥补。对于每一个投资者,无差异曲线位置越高，该无差异曲线位置越高，该曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高曲线上对应证券组合给投资者提供的满意程度越高。投资学投资学 第第5章章47不同理性投资者具有不同风险厌恶程度不同理性投资者具有不同风险厌恶程度投资学投资学 第第5章章48最优组合的确定最优组合的确定 最优资产组合位于无差异曲线最优资产组合位于无差异曲线I2与有效集相切的切与有效集相切的切点处。由点处。由G点可见，对于更害怕风险的投资者，点可见，对于更害怕风险的投资者，他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。他在有效边界上的点具有较低的风险和收益。投资学投资学 第第5章章49资产组
33、合理论的优点资产组合理论的优点 首次对风险和收益进行精确的描述，解决首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术对风险的衡量问题，使投资学从一个艺术迈向科学。迈向科学。分散投资的合理性为基金管理提供理论依分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要，重要的是据。单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。组合的风险。从单个证券的分析，转向组合的分析从单个证券的分析，转向组合的分析投资学投资学 第第5章章50资产组合理论的缺点资产组合理论的缺点 当证券的数量较多时，计算量非常大，当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制。使模型应用受到限制
34、。解的不稳定性。解的不稳定性。重新配置的高成本。重新配置的高成本。因此，马克维茨及其学生夏普就可是因此，马克维茨及其学生夏普就可是寻求更为简便的方法，这就是寻求更为简便的方法，这就是CAPM。投资学投资学 第第5章章51附录附录1:n项风险资产组合有效前沿项风险资产组合有效前沿假定假定1：市场上存在：市场上存在 种风险资产，令种风险资产，令Tnwwww),(21代表投资到这代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：种资产上的财富的相对份额，则有：11niiw且卖空不受限制，即允许且卖空不受限制，即允许0iw 2.也是一个也是一个n维列向量，它表示每一种资维列向量，它表示每一种资产的期望收益
35、率，则组合的期望收益产的期望收益率，则组合的期望收益12(,)Tnr rrr2n投资学投资学 第第5章章52Tpr w r3.使用矩阵使用矩阵 表示资产之间的方差协方差，有表示资产之间的方差协方差，有111212122212nnnnnn 0注：方差协方差矩阵是正定、注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵非奇异矩阵。所以，。所以，对于任何非对于任何非0的向量的向量a，都有，都有 ，则，则0Taa 投资学投资学 第第5章章53221minmin2.1TTppwwTpTstrwwwww rw 1其中，其中，是所有元素为是所有元素为1 1的的n n维列向量。维列向量。由此构造拉格朗日函数由此构造拉格朗日
36、函数(1,1,1,1)T11212,1()(1)2TTTpwLr www rw 1投资学投资学 第第5章章541212010TpTLLrL wr10ww rw 1注意到方差注意到方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件要求一阶条件其中，其中，0=0,0,00=0,0,0（1）（2）（3）投资学投资学 第第5章章551112wr1（4）由（由（1）得到）得到12wr1把（把（4）代入（）代入（2），得到），得到1112()TTprw rr1 r（5）11121112()()TTTTrr1 rrr1r投资学投资学 第第5章章5611TTb1rr
37、111TTarrrr11TTc 1111为简化，定义为简化，定义2dacb把（把（4）代入（）代入（3）111211121()TTTTw 1r1 1r111（6）投资学投资学 第第5章章57这样我们就可以将（这样我们就可以将（5）和（）和（6）改写为）改写为12121prabbc22ppabrabracbd解得解得12ppcrbcrbacbd（7）（8）投资学投资学 第第5章章5811ppcrbabrddwr1将（将（7）和（）和（8）代入（）代入（4）得到，给定收益条）得到，给定收益条件下的最优权重向量为件下的最优权重向量为（9）其中，其中，11TTb1rr111TTarrrr11TTc 1
38、1112dacb投资学投资学 第第5章章59附录附录2：最小方差集的几何特征：最小方差集的几何特征121pnpcrbabrd r1111pcbrbad r1性质性质(1):最小方差集是均方平面上的双曲线最小方差集是均方平面上的双曲线11ppcrbabrddwr1证明：由于证明：由于投资学投资学 第第5章章601211cbcbabbababcdacb根据线性代数的性质有根据线性代数的性质有不妨令不妨令-1-11-1-1TTTTTabbcrrr1dr1r1r111=2-dac b注意与区别投资学投资学 第第5章章61111pr wr1 d2Tpww这样，由（这样，由（9）得到的最优权重向量改写为）
39、得到的最优权重向量改写为在得到最优权重的基础上，最小方差为在得到最优权重的基础上，最小方差为11111 1pTprr dr1r1 d1=1 1pprrd11111pTprrdr1r1 d（10）投资学投资学 第第5章章62-121cbcaacbd由于由于22221(2)ppppabrcrcrbraacbd（11）21 11Tpppwwrrd所以所以投资学投资学 第第5章章63 这是均方二维空间中的双曲线，不妨称为最这是均方二维空间中的双曲线，不妨称为最小方差曲线（小方差曲线（min variance curve）。双曲）。双曲线的中心是（线的中心是（0，b/c），渐近线为），渐近线为对（对（1
40、1）配方得到）配方得到22(/)1/ppcrb ccd即即222/11/pprb ccd c/pprb cd c证毕证毕.投资学投资学 第第5章章64 性质性质2：全局最小方差点的权重向量为：全局最小方差点的权重向量为1gc1w 证明：由于证明：由于g点是最小方差前沿的一个点，故它点是最小方差前沿的一个点，故它满足（满足（11），即），即2222()ggggabrcrracb（12）对（对（12）求驻点）求驻点2()/0ggggrrbcr 投资学投资学 第第5章章65所以，所以，代入（代入（10）得到）得到 /grb c111ggr wr1 d12/11cbb cbaacb r1112201/
41、bcaacbc 1r1投资学投资学 第第5章章66附录附录3：两基金分离定理（：两基金分离定理（two-fund separation theorem）两基金分离定理：在均方效率曲线上任意两基金分离定理：在均方效率曲线上任意两点的线性组合，都是具有均方效率的有两点的线性组合，都是具有均方效率的有效组合。效组合。假设假设wa和和wb是在给定收益是在给定收益ra和和rb（ra rb）是具有均方效率的资产组合（基金），则是具有均方效率的资产组合（基金），则命题命题1：任何具有均方效率的资产组合都是由：任何具有均方效率的资产组合都是由wa和和wb的线性组合构成的线性组合构成命题命题2：反之，由：反之，
42、由wa和和wb线性组合构成的资产线性组合构成的资产组合，都具有均方效率。组合，都具有均方效率。投资学投资学 第第5章章67证明证明1：对于给定：对于给定(1),01cabrkrk rk条件下的资产组合满足均方效率最优权重为条件下的资产组合满足均方效率最优权重为111ccr wr1 d11(1)(1)abkrk rkk r1 d(1)abkkww1111(1)11abrrkk r1 dr1 d即即c是是a和和b的线性组合，命题的线性组合，命题1证毕。证毕。投资学投资学 第第5章章68 证明证明2：反过来，因为：反过来，因为(1)cabkkwww1,1iiria b wr1 d且已知则1111(1
43、)11abcrrkk wr1 dr1 d即即wc满足均方效率的最优权重，命题满足均方效率的最优权重，命题2证毕证毕.111cr r1 d11(1)(1)abkrk rkk r1 d投资学投资学 第第5章章69两基金分离定理的意义两基金分离定理的意义定理的前提：两基金（有效资产组合）的定理的前提：两基金（有效资产组合）的期望收益是不同的，即期望收益是不同的，即两基金分离两基金分离。1.一个决定买入的均方效率资产组合的投资一个决定买入的均方效率资产组合的投资者，只要投资到任何两个具有均方效率和者，只要投资到任何两个具有均方效率和不同收益率不同收益率的基金即可。的基金即可。投资者无须直接投资于投资者
44、无须直接投资于n 种风险资产，而只种风险资产，而只要线性地投资在两种基金上就可以了。要线性地投资在两种基金上就可以了。投资学投资学 第第5章章702.计算上的意义：要获得有效边界，我们只计算上的意义：要获得有效边界，我们只需要获得两个解，然后对解进行组合即可。需要获得两个解，然后对解进行组合即可。（比如先计算全局最小方差点），确定初（比如先计算全局最小方差点），确定初始解的特别简单的方法是令始解的特别简单的方法是令11220112和必须注意：这可能使总权重不等于必须注意：这可能使总权重不等于1，但可，但可以通过标准化进行补救。以通过标准化进行补救。投资学投资学 第第5章章711112wr1由1
45、201第一步，设为得到初始解为得到初始解V1，需求解下面的线性方程组，需求解下面的线性方程组111 V1V1111112V(,.,)nv vv得到向量得到向量然后将其单位化，即然后将其单位化，即1111/nijjjwvv这样向量这样向量111112(,.,)nw www就是均方效率解。就是均方效率解。投资学投资学 第第5章章7211112210r1第二步，设由为得到初始解为得到初始解V2，需求解下面的线性方程组，需求解下面的线性方程组212 VrVr222212V(,.,)nv vv得到向量得到向量然后将其单位化，得到然后将其单位化，得到向量向量222212(,.,)nw www也是均方效率解
46、。也是均方效率解。这样得到了最优组合这样得到了最优组合1和和2，可以通过对其进行，可以通过对其进行线性组合得到，并根据组合的均值、方差公式，线性组合得到，并根据组合的均值、方差公式，计算得到其他均方点。计算得到其他均方点。投资学投资学 第第5章章73小组练习小组练习 求均方效率边界，至少得到求均方效率边界，至少得到10个点，并画图个点，并画图证券证券协方差（）协方差（）收益（）收益（）12.30.930.620.74-0.2315.120.931.400.220.560.2612.530.620.221.80.78-0.2714.740.740.560.783.4-0.569.025-0.230.26-0.27-0.562.617.68
