1、机械振动机械振动 1 1、定义：、定义：物体在物体在平衡位置平衡位置附近所做的附近所做的周期周期性的性的往复运动，叫做往复运动，叫做机械振动机械振动通常简称通常简称振动振动2.特点特点:(1)平衡位置平衡位置振动停止时物体所在的位置振动停止时物体所在的位置.-“对称性对称性”(2)往复运动往复运动-“周期性周期性”尝试再举一些例子？尝试再举一些例子？机械振动是生活中常见的运动形式被手拨动的弹簧片小鸟飞离后颤动的小鸟飞离后颤动的树枝树枝1 1简谐振动简谐振动 简谐振动简谐振动的基本特征的基本特征 简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动简谐振动的描述的描述一、简谐振动的特征一、简谐振动的特征任何一个
2、任何一个稍微偏离平衡稍微偏离平衡状态的稳定系统状态的稳定系统，都可，都可看成简谐振子。对于物看成简谐振子。对于物理学中的许多问题，谐理学中的许多问题，谐振子都可以作为一个近振子都可以作为一个近似的或相当精确的模型似的或相当精确的模型晶格点阵晶格点阵简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程221)(kxxU质点所受的力（回复力）与对平衡位置的位移质点所受的力（回复力）与对平衡位置的位移成正成正比且比且反向反向，或质点的势能与位移（角位移）的平方成正比的，或质点的势能与位移（角位移）的平方成正比的运动，就是运动，就是简谐振动简谐振动。这种振动系统称为谐振子。这种振动系统称为谐振子。20/km令kx
3、xm 020 xx)cos()(00tAtx其解：其解：弹性力弹性力kmoxxFkx 简谐振动简谐振动凡是以时间的正弦或余弦函数表凡是以时间的正弦或余弦函数表 示的运动都是简谐振动示的运动都是简谐振动)cos()(0otAtx 简谐振动的运动学描述简谐振动的运动学描述结论结论：kmoxx以弹簧振子为例以弹簧振子为例系统位移的运动规律系统位移的运动规律其中其中 由系统自身决定由系统自身决定0简谐振动的速度简谐振动的速度00dsin()cos()d2xAtAtt v简谐振动的加速度简谐振动的加速度2200dcos()cos()daAtAtt v简谐振动的加速度为变加速度简谐振动的加速度为变加速度2
4、ax 位移与加速度反相位移与加速度反相)cos()(0otAtxxvaOOOtttAA2Ax-tv-ta-t)(sin21210022022tmAmVEk 简谐振动的势能：简谐振动的势能：);(cos212100222tkAkxEp简谐振动的能量简谐振动的能量以水平的弹簧振子为例以水平的弹簧振子为例)(sin210022tkAkmoxX 简谐振动的动能：简谐振动的动能：)cos()(00tAtxmk/0ddpEfkxx 2002002221)(cos)(sin21kAttkApkEEE 简谐振动的总能量简谐振动的总能量弹性力是保守力总机械能守恒，弹性力是保守力总机械能守恒，即总能量不随时间变化
5、即总能量不随时间变化AkEpE221kAEAo222020041cos2kAdxxTkA势能的时间平均值势能的时间平均值:TPdttkATE00022)(cos211动能的时间平均值动能的时间平均值:TkdttkATE00022)(sin211222020041sin2kAdxxTkA *振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。*任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比*即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且
6、 等于总机械能的一半等于总机械能的一半结论：简谐振动的周期和频率、角频率简谐振动的周期和频率、角频率)(cos00nTtA)2cos()cos(0000ntAtA)2(cos000ntA02T210TmkTo2叫做叫做周期周期，每隔，每隔T 时间运动完全重复时间运动完全重复称为称为振动频率振动频率，单位时间内振动的次数，单位时间内振动的次数称为角频率（或圆频率）称为角频率（或圆频率）即单位时间内相位的变化值即单位时间内相位的变化值20km)cos()(00tAtx0 初相位初相位A-振幅振幅 振动中最大位移量振动中最大位移量简谐振动的振幅、相位、初相位简谐振动的振幅、相位、初相位简谐振动除用余
7、弦函数形式表达外还可以用正弦函数简谐振动除用余弦函数形式表达外还可以用正弦函数)cos()(00tAtx)sin()2/sin(0000tAtA00)(tt相位相位0角频率角频率相同的运动状态对应相位差为相同的运动状态对应相位差为 的整数倍的整数倍2由初始状态确定由初始状态确定0,A00cosxA 00sinA v2200Ax2v000tanx v要由要由 的方向唯一确定的方向唯一确定00v)cos()(00tAtx例题11.1-1 P781020100200)()(tt两个同频率简谐振动的相位差两个同频率简谐振动的相位差1020 0 20超前超前 100 20落后落后 102n 同相同相（2
8、n 1）反相反相)cos()(00tAtx二、简谐振动的旋转矢量表示法二、简谐振动的旋转矢量表示法Aox0to以以OO点起始点作一矢量点起始点作一矢量长度等于简谐振动的振幅长度等于简谐振动的振幅矢量在矢量在Oxy平面内绕平面内绕O点逆时针匀速旋转点逆时针匀速旋转其角速度与简谐振动的角频率其角速度与简谐振动的角频率旋转矢量，或振幅矢量旋转矢量，或振幅矢量 AxyPOxM0M0tt时刻，旋转矢量在时刻，旋转矢量在x轴上的投影为轴上的投影为0cos()xAt 对应：对应：旋转矢量端点旋转矢量端点MM在在x轴上的投影轴上的投影 P P在在x轴上以轴上以O为原点简谐振动为原点简谐振动 MM点的速率为点的
9、速率为MAv=P P点的速率为点的速率为P0sin()At v=-MM点的加速度为向心加速度点的加速度为向心加速度2MaA=2P0cos()aAt=-P P点的加速度为点的加速度为xyPOxM0M0t例题11.1-2 P81三、简谐振动的典型问题三、简谐振动的典型问题附录：1）力矩）力矩 :力臂力臂d 力力 在转动平面内在转动平面内.对对转轴转轴 Z 的力矩的力矩 FFMrFsinMFrFdPz*OMFrdMirPov2iirmJ称为刚体对转轴的称为刚体对转轴的转动惯量转动惯量2）转动惯量：组成刚体的各质元的质量与各自到转轴的距离的平方的乘积MJ3）转动定律）转动定律 刚体在总外力矩刚体在总外
10、力矩Mz作用下，作用下，所获得的角加速度与所获得的角加速度与总外力矩成正比，与转动惯量成反比总外力矩成正比，与转动惯量成反比 .Fma22200/3LLmJx dmxdx mLL三、简谐振动的典型问题三、简谐振动的典型问题刚体绕过刚体绕过OO的水平轴小角度摆动的水平轴小角度摆动刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律22dsindCJmglt COOClmg负号表示：力矩总是使转动回到平衡位置负号表示：力矩总是使转动回到平衡位置角度很小角度很小22d0dCJmgltsin 复复摆摆MJsinMFr22d0dCJmglt令2CmglJ 222d0dt 解得00cos()t可见复摆的定轴小角度转动为简谐振
11、动2cJTmgL 如果复摆是一个均匀细杆，长l，则12cll213Jml32gl 单摆单摆0lg 在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动角频率角频率,振动的周期分别为：振动的周期分别为：glTlg2200gmfsin当当 时时222sindMlFmlmgldt 垂直转动定律转动定律22dFldt垂直振动的角频率、周期完全由振动振动的角频率、周期完全由振动系统本身来决定。系统本身来决定。简谐振动的合成简谐振动的合成一、同方向、同频率简谐振动的合成一、同方向、同频率简谐振动的合成代数方法：代数方法：设两个振动具有相同频率，设两个振动具有相同频率，同一直线上
12、运动，有不同的振幅和初相位同一直线上运动，有不同的振幅和初相位)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtxtAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAsinsincoscos)cos(tA 结论：合振幅合振幅仍然是同频率的简谐振动仍然是同频率的简谐振动)cos(212212221AAAAA式中：式中：22112211coscossinsinAAAAarctg可见，当可见，当,2,1,0212kk21AAA合振幅最大合振幅最大2AA1A2AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA几何方法：几何方法：
13、)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg)cos(212212221AAAAA上面得到：22112211coscossinsinAAAAarctg讨论一讨论一,2,1,0212kk21AAA合振幅最大合振幅最大2AA1A当当 称为干涉相长称为干涉相长21AA 12AA 讨论二讨论二|21AAA当当 时，时，称为干涉相消称为干涉相消21AA 0A2AA1A讨论三讨论三1A2AA,2,1,0)12(12kk|2121AAAAAk12一般情况：一般情况：附附 同方向的同方向的N N个同频率简谐振动的合成个同频率简谐振动的合成 （用矢量合成法）（
14、用矢量合成法）设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量其表达式为：其表达式为：1aA3aNaROPMCNtatxcos)(1)cos()(2tatx)2cos()(3tatx)cos()(NtatxN2/sin)2/sin(NaA 2/)(NCOM2/)(COP21NCOMCOP1aA3aNaROPMCN上两式相除得上两式相除得)2/sin(2NRA)2/sin(2Ra 在在 OCP中：中：合振动的表达式合振动的表达式即各分振动同相位时，合振动的振幅最大即各分振动同相位时，合振动的振幅最大讨论讨论1 1：)21cos()2/sin()2/sin(NtNa)c
15、os()(tAtx当当,2,1,02kkNaNaA)2/sin()2/sin(lim讨论讨论2 2：即：即：这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零边形，合振动的振幅为零,2,1,02kkN以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用和衍射规律时有重要的应用)21cos()2/sin()2/sin()(NtNatxNk/2kNk 当当 且且0)/sin()sin(NkkaA二、同方向、不同频率简谐振动的合成二、同方向、不同频率简谐振动的合成)cos()(22tAtx)cos
16、()(11tAtx利用三角函数关系式：利用三角函数关系式：2cos2cos2coscos)cos()cos()(21tAtAtx合成振动表达式：合成振动表达式：为了简单起见，先讨论两个振幅相同，为了简单起见，先讨论两个振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同频初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：率振动的合成。其振动表达式分别为：coscos)cos1(21)cos1(21)cos1(21)cos1(2124)2sin2sin2cos2(cos24)2sin2sin2cos2)(cos2sin2sin2cos2(cos242cos2cos242222附录：三角函数关
17、系式的证明附录：三角函数关系式的证明合成振动表达式：合成振动表达式：2)(cos2)(cos21212ttA)cos()cos()(21tAtAtx21与当当 都很大，且相差甚微时，可将都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，视为振幅变化部分，合成振动是以合成振动是以 为角频率的谐振动为角频率的谐振动2/)(12|2/)cos(2|12tA其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种合振动忽强忽弱的现象称为合振动忽强忽弱的现象称为拍拍。1212)2(212单位时间内振动
18、加强或减弱的次数单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频叫拍频显然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍的频率的两倍即拍频为：即拍频为：)2cos(12t)(txt三、振动方向垂直的同频率简谐振动的合成三、振动方向垂直的同频率简谐振动的合成设一个质点同时参与了两个振动方向相互设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即垂直的同频率简谐振动，即);cos(101tAx)cos(202tAy10101sinsincoscosttAx20202sinsincoscosttAy)sin(sincoscos1020102201tAyAx)sin(sincoscos1020102201tA
19、yAx)sin(cossinsin1020102201tAyAx221222212sincos2AAxyAyAx)(1020具体形状由相位差具体形状由相位差 决定决定质点的运动方向与质点的运动方向与 有关。当有关。当 时，时，质点沿顺时针方向运动；当质点沿顺时针方向运动；当 时，时，质点沿逆时针方向运动质点沿逆时针方向运动2021AA 当当 时，时，正椭圆退化为圆正椭圆退化为圆椭圆方程椭圆方程讨论讨论1 1 0)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12在在 直线上的运动直线上的运动yx221222212sincos2AAxyAyAx讨论讨论2 2)(1020022122221
20、2AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直线上的振动。直线上的振动。讨论讨论3 32)(10201222212AyAx所以是在所以是在X X轴半轴长为轴半轴长为 ，Y Y轴半轴长为轴半轴长为 的的椭圆方程，且椭圆方程，且顺顺时针旋转时针旋转。1A2Ayx质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。X和和Y方向的相位差决定旋转方向。方向的相位差决定旋转方向。21AA 讨论讨论5 5讨论讨论4 4所以是在所以是在X X 轴半轴长为轴半轴长为 ，Y Y轴半轴长为轴半轴长为 的的椭圆方程，且椭圆方程，且逆逆时针旋转时针旋转。1A2A1222212AyAx23)(1020讨论讨论6 6k21020为任意椭圆
21、方程为任意椭圆方程32102121020，kk综上所述综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆等时，椭圆轨道就成为圆四、振动方向垂直、频率不同的简谐振动的合成四、振动方向垂直、频率不同的简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动动不是周期性的运动下面就两种情况讨论下面就两种情况讨论 视为同频率的合成，不
22、过两个振动的相视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依次的循环变化断地从下图所示图形依次的循环变化012120212当当 时是顺时针转时是顺时针转 时是逆时针转时是逆时针转01241243124745212232 2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期周期-运动轨迹的图形称为李萨如图形运动轨迹的图形称为李萨如图形用李萨如图形在用李萨如图形在无线电技术中可无线电技术中可以测量频率：以测量频
23、率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率另一个未知的频率2:1:yxTT2 2 阻尼振动阻尼振动KmT220 谐振子的阻尼振动谐振子的阻尼振动dtdxvfr 无阻尼的自由振动无阻尼的自由振动振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，与振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，与其方向相反其方向相反弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力
24、学方程xkxxm 022022xdtdxdtxd称称 为振动系统的固有角频率，称为振动系统的固有角频率，称 为阻尼系数为阻尼系数0m2;20mkxkxxm 令令（1）阻尼较小时阻尼较小时，此方程的解此方程的解：202220)cos()(0tAetxt这种情况称为这种情况称为欠阻尼欠阻尼阻力使周期增大阻力使周期增大由初始条件决定A和初相位 ,设0000,)0(,0Vdtdxxxtt即有：00000cossincosAAVAx,)(220020 xVxA0000 xxVtgt欠阻尼)(txtteCeCtx)(2)(1202202)(202（2）阻尼较大时，方程的解：21CC，是积分常数，由初始条件
25、来决定，这种情况称为过阻尼t过阻尼)(tx无振动发生t临界阻尼)(tx202称之为临界阻尼情况。它是振动系统刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况，应用在天平调衡中21,CC是由初始条件决定的积分常数tetCCtx)()(21（3）如果 方程的解：202220是从有周期性因子 到无周期性的临界点3 3 受迫振动和共振受迫振动和共振mHhmmk；令2;20 谐振子的受迫振动谐振子的受迫振动设强迫力设强迫力ptHfcosxvfr阻尼力：阻尼力：pthxdtdxdtxdcos22022是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程由微分方程理论：由微分方
26、程理论：非齐次微分方程的通解非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的解齐次微分方程的解+非齐次的一个特解非齐次的一个特解202其解为：其解为：)cos()cos()(00220ptAtAetxpt经过足够长的时间，称为定态解：经过足够长的时间，称为定态解：)cos()(0ptAtxp该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：2222204)(pphAp22002pparctg讨论：讨论：220/,phpmHApp较小较小kHmHApp200/,002/,mHApp若若 很小，很小，很大。很
27、大。pA求振幅求振幅 对频率的极值，对频率的极值，得出得出2222204)(pphAp2202rp共振的角频率。共振的角频率。2202hAr共振的振幅。共振的振幅。振幅有极大值：振幅有极大值：共振共振当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，简称共振（简称共振（resonance)。22002pparctg2202rp共振的角频率。共振的角频率。代入代入2200 arctgr共振时的初相位共振时的初相位,0rp,rA0当当 弱阻尼时弱阻尼时共振发生在固有频率处，称为尖锐共振。共
28、振发生在固有频率处，称为尖锐共振。20r受迫振动相位落后于强迫力相位受迫振动相位落后于强迫力相位 ，即振动速度，即振动速度与强迫力同相位，即外力始终对系统作正功，对与强迫力同相位，即外力始终对系统作正功，对速度的增大有最大的效率振动振幅急剧增大的原因速度的增大有最大的效率振动振幅急剧增大的原因2随着振幅的增大，阻力的功率也不断增大，最后与随着振幅的增大，阻力的功率也不断增大，最后与强迫力的功率相抵，从而使振幅保持恒定。从能量强迫力的功率相抵，从而使振幅保持恒定。从能量观点看在共振时，这能量转变为共振质点的能量，观点看在共振时，这能量转变为共振质点的能量，也叫也叫共振吸收共振吸收振动振幅急剧增大的原因振动振幅急剧增大的原因
