1、2022-8-91风险决策2022-8-92主要内容引言知识准备1：随机事件与概率知识准备2：概率分布与数学期望风险决策的数学模型最大期望收益原则与风险决策多阶段决策2022-8-93引言在我们周围的现实世界中充满了机遇和风险，如何抓住机遇规避风险不论对个人的成长、事业成功和社会发展都有重大意义。所谓机遇与风险就是带有一定的不确定性或随机性的事物，概率论就是数学中研究随机性的一门学科，用概率论可以帮助人们抓住机遇、规避风险,做出正确的决策。我们将介绍一些初等概率论的基本知识并将其用于解决风险决策的实际问题。2022-8-94知识准备1：随机事件与概率随机事件随机事件 在一定条件下可能发生也可能
2、不发生的事件（简称事件）。例：某河68月最高水位超过3.2米；福利彩票开奖号码中有3个8；从一批产品中任抽10件有一件为次品等。必然事件必然事件在一定条件下一定发生的事件。例：没有外力，匀速直线运动的物体继续作匀速直线运动。不可能事件不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件。例：在标准大气压下，水加热到摄氏100度不沸腾。2022-8-95知识准备1：随机事件与概率随机事件的频率和概率随机事件的频率和概率 随机事件虽有不确定的一面即一次的实验或观察，它可能发生也可能不发生，但在长期或多次的观察或试验中人们还是可以发现其中的规律。随机事件发生的频率随机事件发生的频率：若干次试验中该随机事件发生的
3、比率。作n次试验，该随机事件发生了m次，f=m/n即为该事件发生的频率。抽取件数n5106015060090012001800合格件数m575713154882010911631频率f10.70.8330.8730.9130.9110.9090.9062022-8-96知识准备1：随机事件与概率投掷一枚硬币正面朝上的频率投掷一枚硬币正面朝上的频率试验者试验次数n朝上次数m频率f德摩根204810610.5181布丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005随着试验次数的增加频率呈现出稳定性，反映了事件的固有性质，即发生的可能性。202
4、2-8-97知识准备1：随机事件与概率0 1P A概率的定义概率的定义 作n次重复试验，记m为事件A发生的次数，当n很大时，若频率m/n稳定地在某一数值p附近摆动，则称p为随机事件A发生的概率，记为PA=p显然有若分别将必然事件和不可能事件记为 和 则有 1,0.PP 2022-8-98知识准备2：概率分布与数学期望()随机变量随机变量 在一定条件下，随机试验的每一结果 唯一地对应于一个实数 则称 为一个随机变量，简记为()例如：1）口袋中有两个大小重量相同的球，一个标记为1，另一标记为2，在袋中随便摸一球有两种可能结果：模到标号1的球；模到标号2的球。设模到标号1的球对应于1；模到标号2的球
5、对应于2。2）有奖销售购物超过50元可摸奖一次。口袋中有大小重量相同的红黄蓝黑球各一个，摸奖时任模一球。摸到红球摸到黄球摸到蓝球摸到黑球43212022-8-99知识准备2：概率分布与数学期望12,nAAA()iiAx,1,.iiAxin一般的若随机试验有n个结果且成立对应关系 那么随机变量的概率分布随机变量的概率分布 设随机试验的结果 对应于随机变量 ，并已知其概率为 则称 为该随机变量的概率分布。概率分布也可用表格表示：iA()iiAxip(1,)iiPxpin iPx1x1p2x2pnxnp其中1201(1,),1.inpinppp2022-8-910概率分布与数学期望(例)10.5,2
6、0.5.PP12P0.50.5例例 1）口袋中有两个大小重量相同的球，一个标记为1，另一标记为2，在袋中随便摸一球有两种可能结果：模到标号1的球；模到标号2的球。设模到标号1的球对应于1；模到标号2的球对应于2。显然，摸到1号球和2号球的概率均为0.5，从而概率分布为：或用表格表示为2022-8-911概率分布与数学期望(例)4,2,140.25,20.25,10.5.PPP421P0.250.250.5例例 2）有奖销售购物超过50元可摸奖一次。口袋中有大小重量相同的红黄各一个黑球2个，模奖时任模一球。摸到红球得4分摸到黄球得2分，摸到黑球得1分。用 分别表示摸到红球、摸到黄球或摸到黑球。显
7、然它们的概率分别为0.25,0.25,0.5.于是，概率分布为：或用表格表示为：2022-8-912概率分布与数学期望(例)例3）有一大批产品,其中15%为一等品,75%为二等品,10%为三等品，一、二、三等产品的单价分别为10元、8元和6元。任抽一件产品，随机变量 分别表示抽到一等品、二等品和三等品，那么，随机变量 的概率分布为：或用表格表示为：10,8,6100.15,80.75,60.1.PPP1086P0.150.750.12022-8-913知识准备2：概率分布与数学期望数学期望数学期望例例 有一大批产品,其中15%为一等品,75%为二等品,10%为三等品.一、二、三等产品的单价分别
8、为10元8元和6元.有人要采购一批这种产品,但来不及检验,该如何定价?假设采购数量为n,其中一、二、三等品的件数分别为那么这n件产品的平均价格为123,m m m1233121(1086)1086mmmnmmmnnn显然，分别为一、二、三等品出现的频率，只要n足够大，频率可用概率代替，设一、二、三等品出现的概率为 ，平均价格可表示为312,mmmnnn123,p pp2022-8-914知识准备2：概率分布与数学期望1231086ppp 已知此问题的概率分布表为1086P0.150.750.1平均价格为 0.1510+0.758+0.16=8.1.由此可引出数学期望的概念。2022-8-915
9、知识准备2：概率分布与数学期望定义定义 设随机变量 的概率分布为iPx1x2xnx1p2pnp则称1 122nnp xp xp x为随机变量 的数学期望，记作 或 ，即()E1 122()nnEp xp xp x2022-8-916概率分布与数学期望（例）例例 某厂有甲、乙两车间生产同一产品.用 分别表示两车间生产1000件产品中的次品数,经统计 的概率分布分别为问那一车间的质量水平较高?01230123P0.70.10.10.1P0.50.30.2012解解质量高低可用它们的数学期望来比较：12()0.7 00.1 1 0.1 20.1 30.6,()0.5 00.3 1 0.2 20 30
10、.7.EE 12()()EE由于 甲车间的质量水平比乙车间高。12,12,2022-8-917风险决策的数学模型人们在作决策时，可能面临几种客观状态，到底哪种状态出现是不确定的，因此决策就有风险，这种决策称为风险决策。如果设法知道各种客观状态出现的概率，就可以采用适当的方法进行科学决策，从可能的方案中选出一种，获得在某种意义下最优的效果。例如，某船主要对下月渔船是否出海做出决策。如出海后是好天，可得收益5000元，若出海后天气变坏，将损失2000元；若不出海，无论天气好坏都将损失1000元。据预测，下月好天的概率为0.6，天气变坏的概率为0.4，船主应如何决策？船主可选择的方案有两个：出海或不
11、出海,记为F1，F2；面临的客观状态也有两个：好天或天气变坏，记为Z1，Z2。2022-8-918风险决策的数学模型方案F1遇到状态Z1，即出海遇到好天，收益为5000元；方案F1遇到状态Z2，即出海遇到天气变坏，收益为-2000元；方案F2遇到状态Z1，即不出海遇到好天，收益为-1000元；方案F2遇到状态Z2，即不出海遇到天气变坏，收益为-1000元。注意到好天气的概率为0.6，天气变坏的概率为0.4，我们列表如下P0.60.4Z1Z2F15000-2000F2-1000-10002022-8-919风险决策的数学模型1pijaPZ1Z2ZnF1F2Fm对一般的情形，设决策者有m个方案F1
12、,F2,.,Fm可供选择，有n种客观状态Z1,Z2,Zn可能出现，它们出现的概率为：方案Fi遇到状态Zj决策者的收益为 ，我们可以列表如下12,nppp2pnp12a11a1na21a22a2namna1ma2ma（()称为收益矩阵）ija2022-8-920最大期望收益原则5000-2000P0.60.4-1000-1000P0.60.41现回到出海决策问题，分别用 ,表示方案1和方案2的收益，它们是两个随机变量，它们的概率分布是：212由于两个方案的收益都是随机变量，我们可以用它们的数学期望来判断优劣，数学期望大者为优。12()0.6 50000.4(2000)2200,()0.6(100
13、0)0.4(1000)1000.EE 即方案1收益的期望大于方案2的期望收益，方案1更优，决策者应选择方案1。我们可以直接在收益表上操作、得到结果。2022-8-921最大期望收益原则P0.60.4Z1Z2EF15000-20002200F2-1000-1000-10002022-8-922最大期望收益原则(1,),iijjPapjn1122()iiininEp ap ap ai对一般的风险决策问题，用 表示第i个方案的收益，它是一个随机变量，其概率分布为：从而其数学期望为：对 计算各方案收益的数学期望，最大者就对应于最优方案。1,im2022-8-923最大期望收益原则（例）面包房进货问题面
14、包房进货问题一家面包房，某种面包每天的需求量为100、150、200、250、300的概率分别为0.2、0.25、0.3、0.15和0.1。每个面包的进货价为2.50元，销售价为4元，若当天不能售完，剩下的只能以每只2元的价格处理。每天该进多少货？（进货量必须是50的倍数）进货方案有进100、150、200、250、300五种方案；需求量也有五种状态：需要100、150、200、250、300只。我们首先计算各种方案遇到不同状态时的利润（收益），即不同进货量遇到不同需求量时的利润。设进货量为y,需求量为x,用L表示利润，有2022-8-924最大期望收益原则（例）yXyyXyXyXyyXXyX
15、L5.15.02)5.24()(25.2()5.24(例如，进货为100，需求为100时，利润为 L=1.5*100=150,进货为150，需求为100时，利润为 L=2*100-0.5*150=125。以此类推可得收益表：2022-8-925最大期望收益原则（例）P0.20.250.30.150.1100150200250300E1001501501501501501501501252252252252252052001002003003003002352507517527537537523530050150250350450220进货200或250为最优，期望利润为235元。2022-8-926树形图和多阶段决策出海决策问题可用树形图方法求解。dc1c2出海不出海好（0.6）坏（0.4）好（0.6）坏（0.4）5000-2000-1000-10002200-1000 x2022-8-927树形图和多阶段决策2022-8-928树形图和多阶段决策多阶段决策多阶段决策(例）例）2022-8-929树形图和多阶段决策2022-8-9302022-8-931树形图和多阶段决策
