1、弹性力学弹性力学第四章 本构关系4-1 本构关系概念 4-2 广义胡克定律4-3 应变能和应变余能 在以前章节我们从静力学和几何学观点出发，在以前章节我们从静力学和几何学观点出发，得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料，在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料，他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材他们之间都有完全确定
2、的关系，这种关系反映了材料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段的应力和应变的关系的应力和应变的关系本构关系本构关系。4-1 本构关系概念Chapter 5.1 单向应力状态时的胡克定律是单向应力状态时的胡克定律是 式中式中 E 称为弹性模量。对于一种材称为弹性模量。对于一种材料在一定温度下，料在一定温度下，E 是常数。是常数。xxE 杨氏模量4-1 本构关系概念Chapter 5.1 在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。在弹性极限内，横向相对缩短在弹性极限内，横向相对缩短 和纵向相对伸长和
3、纵向相对伸长 成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：yx yx 其中其中 是弹性常数，称为是弹性常数，称为泊松比泊松比。泊松比4-1 本构关系概念Chapter 5.1 先考虑在各正应力作用先考虑在各正应力作用下沿下沿 x 轴的相对伸长，它轴的相对伸长，它由三部分组成，即由三部分组成，即 xxxx 线弹性叠加原理4-1 本构关系概念Chapter 5.1xxxx其中其中 是由于是由于x的作用所产生的相对伸长的作用所产生的相对伸长 xxxE 是由于是由于y的作用所产生的相对缩短的作用所产生的相对缩短 xyxE 是由于是由于z的作用所产生的相对缩短的作用所产生的相
4、对缩短 xzxE 4-1 本构关系概念Chapter 5.1 将上述三个应变相加，即得在将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下同时作用下在在x轴方向的应变轴方向的应变1yxzxxyzEEEE 同理可得到在同理可得到在y轴和轴和z轴方向的应变轴方向的应变11yyxzzzxyEE4-1 本构关系概念Chapter 5.1 根据实验可知，根据实验可知，xy只引起只引起 xy 坐标面内的剪应变坐标面内的剪应变xy，而不引起而不引起 xz、yz，于是可得，于是可得xyxyG同理同理 yzyzzxzxGG4-1 本构关系概念Chapter 5.1于是，得到各向同性材料的应变于是，得到各向同性材料的
5、应变-应力关系：应力关系：1 1 1 xyxxyzxyyzyyxzyzzxzzxyzxEGEGEG4-1 本构关系概念Chapter 5.1杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为 EG=+2(1)将弹性本构关系写成指标形式为将弹性本构关系写成指标形式为 1ijijkkijEE 4-1 本构关系概念Chapter 5.11 1 1xxyzyyxzzzxyEEE1212xyzxyzxyzxyzEE 4-1 本构关系概念Chapter 5.1如用应变第一不变量如用应变第一不变量 代替三个正应变之和，用应力代替三个正应变之和，用应力第一不变量第一不变量 表示三个正
6、应力之和，则表示三个正应力之和，则123EK 12xyzxyzE其中其中 称为体积模量。称为体积模量。3(12)EK4-1 本构关系概念Chapter 5.1112;ijijkkijEEE 112112ijijijijijEEG11 2E令2ijijkkijG 则4-1 本构关系概念Chapter 5.1弹性关系的常规形式为弹性关系的常规形式为 2;2;2;xxxyxyyyyzyzxzzxzxGGGGGG 其中其中 G 和和 称为称为拉梅常数拉梅常数。4-1 本构关系概念Chapter 5.1 将应力和应变张量分解成球量和偏量，得将应力和应变张量分解成球量和偏量，得 0223ijijijijG
7、G 233 1 2EKG 由于偏量和球量相互独立由于偏量和球量相互独立，所以有，所以有0;2ijijKG4-1 本构关系概念Chapter 5.1 第一式说明弹性体的体积变化第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力是由平均应力0引起引起的，相应的弹性常数的，相应的弹性常数K称为体积模量。称为体积模量。(体积变化体积变化)0;2ijijKG 第二式说明弹性体的形状畸变第二式说明弹性体的形状畸变 是由应力偏量是由应力偏量 引起的，相应的弹性常数是剪切模量引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。的二倍。(形状形状变化变化)ijij4-1 本构关系概念常用的三套弹性常数常用的三套弹性常数E、单拉测定L
8、am常数：G、K、G静水压、纯剪（扭转）测定Chapter 5.14-1 本构关系概念Chapter 5.1 对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和和；用薄壁筒扭转试验来测定；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测；用静水压试验来测定定K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总是和加载方向一致的（即外力总在物体变形上做正是和加载方向一致的（即外力总在物体变形上做正功），所以功），所以0;0;0EGK4-1 本构关系概念Chapter 5.1故要上式成立必要求：故要上式成立必要求：1EG=2(+)2
9、33 1 2EKG0;0;0EGK10;12010.5 即即4-1 本构关系概念Chapter 5.110.5 若设若设0.5，则体积模量，则体积模量K，称为，称为不可压缩材料不可压缩材料，相应的剪切模量为相应的剪切模量为 3EG 对实际工程材料的测定值，一般都在对实际工程材料的测定值，一般都在 的范围内。的范围内。00.54-1 本构关系概念第四章 本构关系4-1 本构关系概念 4-2 广义胡克定律4-3 应变能和应变余能各向同性本构关系各向同性本构关系Chapter 5.22 1112ijijkkijijkkijGEE p 对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引对于各向同性材料，正应力在
10、对应方向上只引起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，它们是互不耦合的。它们是互不耦合的。4-2 广义胡克定律各向异性本构关系各向异性本构关系Chapter 5.2p 对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量都可能引起任何一个应变分量的变化。都可能引起任何一个应变分量的变化。p 广义胡克定律的一般形式是：广义胡克定律的一般形式是：ijijklklCC 是四阶刚度（弹性）张量。是四阶刚度（弹性）张量。ijijklklD D 是四阶柔度张量。是四阶柔度张量。4-2 广义胡克定律Chapter 5.1 由于应
11、力应变都是二阶张量，且上式对任意的由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl均成立，所以根据商判则均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称是一个四阶张量，称弹性张量弹性张量，共有，共有81个分量个分量。弹性张量的弹性张量的Voigt对称性对称性ijkljiklijlkklijCCCC4-2 广义胡克定律Chapter 5.1jiijijkl kljikl klklCCjiklijklCClkklijkl klijlk lkijlk klklCCCjiklijklCCijklklijCC下节中将证明4-2 广义胡克定律Chapter 5.1ijkljiklijlkCCC独立的弹性常数
12、由独立的弹性常数由81个降为个降为36个个 1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzxyyzccccccccccccccccccccccccccccc56616263646566zxzxxyzxyyzzxccccccc4-2 广义胡克定律Chapter 5.1 其中其中 即即c 的下角标的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于分别对应于C 的双指的双指标标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的。应该指出，改写后的
13、cmn(m,n16)并并不是张量不是张量。由于存在由于存在Voigt对称性，所以对称性，所以对于最一般的各向异性对于最一般的各向异性材料，独立的材料，独立的弹性常数共有弹性常数共有21个个。1111121122141112562331,cCcCcCcC4-2 广义胡克定律Chapter 5.1 (1)一般各向异性线弹性一般各向异性线弹性：无弹性对称面无弹性对称面 21 312312332211665655464544363534332625242322161514131211312312332211ccccccccccccccccccccc称称对对 例：例：三斜晶体三斜晶体abc4-2 广义胡
14、克定律Chapter 5.1 (2)具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体：13 bae2ce1e3e3例：单斜晶体例：单斜晶体(正长石和云母等正长石和云母等)e1,e2平面为弹性对称面平面为弹性对称面1111121314112222232422333334331244122355562331663100000000ccccccccccccc对称4-2 广义胡克定律Chapter 5.1(3)正交各向异性线弹性体正交各向异性线弹性体：9 111112131122222322333333124412235523316631000000000000cccccccc
15、c对称例：正交晶体例：正交晶体(各种增强纤维复合材料、各种增强纤维复合材料、木材等木材等)互相正交的互相正交的e1-e2，e2-e3,e1-e3平面为弹性平面为弹性对称面对称面ce1e3e2e1ab4-2 广义胡克定律Chapter 5.1(4)横观各向同性线弹性体横观各向同性线弹性体：531231233221155551211443313111312113123123322110002)(000000000ccccccccccc称称对对例：六方晶体例：六方晶体aaac4-2 广义胡克定律Chapter 5.1312312332211121112111211111211121211312312
16、3322112)(02)(002)(000000000cccccccccccc称称对对(5)各向同性线弹性体各向同性线弹性体：2金属（随机排列晶体）、短纤维增强复合材料颗粒增金属（随机排列晶体）、短纤维增强复合材料颗粒增强复合材料强复合材料4-2 广义胡克定律Chapter 5.12个个金属拉压：2个 剪切：1个各向同性地壳、六方晶体拉压：4个 剪切：2个5个横观各向同性正交晶体拉压与剪切不耦合剪切为对角阵9个正交各向异性单斜晶体13个有一个弹性对称面三斜晶体66对称21个一般情况例独立的弹性常数ijc2/221144ccc2/221144ccc小结小结4-2 广义胡克定律第四章 本构关系4-
17、1 本构关系概念 4-2 广义胡克定律4-3 应变能和应变余能4-3 应变能和应变余能Chapter 5.2 应变能 如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将全部转化为变形位能而储存在弹性体内。全部转化为变形位能而储存在弹性体内。弹性变形是一个弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程没有能量耗散的可逆过程，卸载后，卸载后物体恢复到未变形前的初始状态，变形位能将全部物体恢复到未变形前的初始状态，变形位能将全部释放出来。释放出来。Chapter 5.2yzxoxxxy
18、xzyxyyyzzxzyzz4-3 应变能和应变余能xyzo1111Chapter 5.2 非线性的应力应变关系非线性的应力应变关系4-3 应变能和应变余能Chapter 5.2 正应力正应力 11 仅在正应变仅在正应变 11 上做功，其值为：上做功，其值为：其他应力分量其他应力分量 ij 也都只与之对应的应变分量也都只与之对应的应变分量 ij 上上做功。把这些功叠加起来，并除以微元体积做功。把这些功叠加起来，并除以微元体积dV，得，得111111123111111100dddddddAxxxV0dddijijijAV4-3 应变能和应变余能ijijijijijdW0)()(Chapter 5
19、.2 引进应变能密度函数引进应变能密度函数W(ij)，使，使 ijijW即000ddddd()(0)ijijijijijijijijAWWVWW则 其中，其中，W(0)和和W(ij)分别为物体变形前和变形后的应变能密度。分别为物体变形前和变形后的应变能密度。一般取变形前的初始状态为参考状态，令一般取变形前的初始状态为参考状态，令W(0)0。格林格林(Green,G.)公式公式4-3 应变能和应变余能Chapter 5.2000dddd()(0)dijijijijijijijijAWWWWVp 应变能密度等于单位体积的外力功。应变能密度等于单位体积的外力功。p 应变能密度只与物体的应变能密度只与
20、物体的初始状态初始状态和和最终变形状态最终变形状态有有关，而关，而变形历史无关变形历史无关，即是一个，即是一个状态函数状态函数。p 应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当W(ij)的具体形式给定后，应力应变关系也惟一确定。的具体形式给定后，应力应变关系也惟一确定。4-3 应变能和应变余能Chapter 5.2klijklijWWijijW又又ijklklij广义格林公式 4-3 应变能和应变余能Chapter 5.2 线弹性情况线弹性情况 在无应变自然状态在无应变自然状态(ij=0)附近把应变能函数附近把应变能函数W(ij)对对应变分量展开成幂
21、级数：应变分量展开成幂级数：012ijijijklijklWCCC 0000200;ijijijijijijijijklijklijklijWCWCWC 其中其中4-3 应变能和应变余能Chapter 5.200=0ijijijijijWC000=0 ijCWW200=ConstantsijijklijklijklijWC4-3 应变能和应变余能 它是应变分量它是应变分量ij的二次齐次式，有：的二次齐次式，有：由此证明弹性张量由此证明弹性张量 C 对双指标对双指标 ij 和和 kl 具有对称性。具有对称性。12ijklijklWC Chapter 5.2ijklijklklijijklCC4-
22、3 应变能和应变余能Chapter 5.2 对于各向同性材料，有对于各向同性材料，有22222222121212222yzxyyzzxxxyyzzxyxyyzyzzxzxxyzxWGGG 对于非线性弹性材料，还应考虑应变能幂级数表对于非线性弹性材料，还应考虑应变能幂级数表达式中的高阶项。达式中的高阶项。4-3 应变能和应变余能Chapter 5.2 应变余能 仿照应变能的定义式，可以定义应变余能仿照应变能的定义式，可以定义应变余能Wc 它具有如下类似性质：它具有如下类似性质：0dijcijijWdd;ccijijijijijklklijWW4-3 应变能和应变余能Chapter 5.2对上式分
23、部积分得：对上式分部积分得：0dijcijijijijijijWW 0dijcijijW4-3 应变能和应变余能Chapter 5.20dijcijijijijijijWW 面积。面积。全功中只有一部分全功中只有一部分(图图中的曲边三角形中的曲边三角形OAP)转化为转化为弹性应变能弹性应变能W，剩余部分，剩余部分(曲曲边三角形边三角形OBP)就是余能就是余能Wc。上式给出了应变能和应变余上式给出了应变能和应变余能对全功的互余关系。能对全功的互余关系。右端第一项右端第一项ijij称为全功，它相应于图中矩形称为全功，它相应于图中矩形OAPB的的4-3 应变能和应变余能Chapter 5.2对于线弹
24、性材料，应变余能为对于线弹性材料，应变余能为 12cijijW 应变余能的值和应变能的值相等。应变余能的值和应变能的值相等。4-3 应变能和应变余能Chapter 5.2 注注 应变余能并不储存在弹性体内。例如：设在弹应变余能并不储存在弹性体内。例如：设在弹性悬臂梁的自由端突然加一块砝码。当梁通过其静性悬臂梁的自由端突然加一块砝码。当梁通过其静态平衡位置时，砝码所做的功为全功，其中只有一态平衡位置时，砝码所做的功为全功，其中只有一半转化为储存在梁内的应变能；另一半应变余能则半转化为储存在梁内的应变能；另一半应变余能则表现为动能，它导致梁砝码系统在其平衡状态附表现为动能，它导致梁砝码系统在其平衡
25、状态附近的自由振动，并通过与空气的摩擦逐渐转化为热近的自由振动，并通过与空气的摩擦逐渐转化为热能耗散于空气之中。能耗散于空气之中。4-3 应变能和应变余能赠送精美图标1、字体安装与设置、字体安装与设置如果您对PPT模板中的字体风格不满意，可进行批量替换，一次性更改各页面字体。在“开始”选项卡中，点击“替换”按钮右侧箭头，选择“替换字体”。（如下图）在图“替换”下拉列表中选择要更改字体。（如下图）在“替换为”下拉列表中选择替换字体。点击“替换”按钮，完成。2、替换模板中的图片、替换模板中的图片模板中的图片展示页面，您可以根据需要替换这些图片，下面介绍两种替换方法。方法一：更改图片方法一：更改图片选中模版中的图片（有些图片与其他对象进行了组合，选择时一定要选中图片 本身，而不是组合）。1.单击鼠标右键，选择“更改图片”，选择要替换的图片。（如下图）54PPT放映设置PPT放映场合不同，放映的要求也不同，下面将例举几种常用的放映设置方式。让让PPT停止自动播放停止自动播放1.单击”幻灯片放映”选项卡，去除“使用计时”选项即可。让让PPT进行循环播放进行循环播放1.单击”幻灯片放映”选项卡中的“设置幻灯片放映”，在弹出对话框中勾选“循 环放映，按ESC键终止”。
