1、3-1 3-1 相对位移张量和应变张量相对位移张量和应变张量xyzO一一.一点的相对位移张量一点的相对位移张量P设设 点的位移分量为点的位移分量为(,)P x y zu(,)iu x y z相邻一点相邻一点(d,d,d)A xx yy zzAuA1P1位移分量为位移分量为(d,d,d)iu xx yy zz两点间的位移（矢量）差两点间的位移（矢量）差iiiuuu将将 在在 处展开，并忽略高阶项，则处展开，并忽略高阶项，则(d,d,d)iu xx yy zz(,)P x y z,iii jjuuu dx ddduuuuuxyzxyz dddxyzxyz vvvvvdddxyzxyz wwwww1
2、11123222,123333123i juuuuuuxxxxyzuuuuxxxxyzuuuxyzxxxvvvwww 相对位移张量一般为非对称张量。相对位移张量一般为非对称张量。相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的相对位移；相对位移；,ii jjuu dx 称为称为P P点的点的相对位移张量相对位移张量,i ju二二.转动张量转动张量xyzOPuAuA1P1设设111d,dPAs PAs若为刚体位移，则若为刚体位移，则1ddss22
3、22123(d)(d)(d)(d)d diisxxxx x21(d)(d+)(d+)d d2 diiiiiiiisxuxux xu x,d0dd0iiii jju xxux展开展开312112233123331221122331213213d dd dd d(+)d d(+)d d(+)d d0uuux xxxx xxxxuuuuuux xxxx xxxxxxx由由dxidxj的任意性，其项前系数为零。即的任意性，其项前系数为零。即3121233312212132130+0uuuxxxuuuuuuxxxxxx所以所以111111232322212,123233331233123000i juu
4、uuuxxxxxuuuuuuxxxxxuuuuuxxxxx 相对刚体位移张量为反对称张量，并记为相对刚体位移张量为反对称张量，并记为,i jj iuu ijij满足此条件的相对位移张满足此条件的相对位移张量称为量称为相对刚体位移张量相对刚体位移张量或或转动张量转动张量将相对位移张量分解为对称和反对称张量为将相对位移张量分解为对称和反对称张量为,11()()22i ji jj ii jj iuuuuu其中第二项其中第二项312121313212,123233121323110()()22111()()0()22211()()022i jj iuuuuxxxxuuuuuuxxxxuuuuxxxxi
5、j 第一项为不包含刚体位移的相对位移张量，即由变形产生第一项为不包含刚体位移的相对位移张量，即由变形产生的相对位移张量。称为的相对位移张量。称为应变张量应变张量，记为，记为 。ij三三.应变张量应变张量与与 对比，即等于转动张量对比，即等于转动张量111213212223313233ij11()()2211()()2211()()22uuuxyxzxuxyyzyuxzyzzvwvvvwwwvwijji应变张量是对称张量应变张量是对称张量31121121313212212232333121323311()()2211()()2211()()22uuuuuxxxxxuuuuuxxxxxuuuuux
6、xxxx3-2 3-2 几何方程几何方程Cauchy方程方程xyzOP 建立应变与位移的关系，揭示应变张量各分量的物理意义建立应变与位移的关系，揭示应变张量各分量的物理意义考察考察P点，点，分别沿分别沿 x、y、z正向引三正正向引三正交线元交线元 r、s、trst变形后变形后P点移动到点移动到P 点点P rst三线元的长度和相对夹角也发生变化三线元的长度和相对夹角也发生变化将三线元变形前后的位置分别向三坐将三线元变形前后的位置分别向三坐标面投影，建立其应变和位移的关系标面投影，建立其应变和位移的关系投影引起的误差为高阶微量以向以向yz平面投影分析为例平面投影分析为例yzOPststP 设设P点
7、的坐标为点的坐标为 y、zs、t 的长度为的长度为dy、dzyzdydz点点P到P 的位移为的位移为 v、wvws点到点到s 的位移为的位移为 vs、wssvswdsyyvvvdsyywww(d)ddsyyyyyvvv(d)ddtzzzzzwww由正应变的定义由正应变的定义由切应变的定义由切应变的定义sttantanyzzyststddstyzwwvvt点到点到t 的位移为的位移为 vt、wtdtzzvvvtvtwdtzzwwwyzwv若向若向xy平面投影同理可得平面投影同理可得yyvxxuxyyxxyvu若向若向zx平面投影同理可得平面投影同理可得xuxzzwzxxzuzxw综合之综合之xx
8、uyyvzzwyzzyyzwvxyyxxyvuzxxzuzxw此方程组表明了应变与此方程组表明了应变与位移的关系，称为位移的关系，称为几何几何方程方程或或Cauchy方程方程对比应变张量各分量，可见对比应变张量各分量，可见11xux12211122xyuxyv22yyv33zzw13311122xzuxzw23321122yzyzwv 应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同，应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同，但但工程切应变是角应变分量的工程切应变是角应变分量的2 2倍倍，故一点应变状态可，故一点应变状态可由应变张量描述由应变张量描述几何方程可表示为几何方程可表示为,1()2iji j
9、j iuu3-3 3-3 应变张量的性质应变张量的性质由于应变张量是对称二阶张量，因此与应力张量具有类似的性质由于应变张量是对称二阶张量，因此与应力张量具有类似的性质一一.任意方向的正应变和任意两垂直方向的切应变任意方向的正应变和任意两垂直方向的切应变1.1.设一点的应变状态为设一点的应变状态为ij ，则该点任意方向，则该点任意方向N(l1,l2,l3)正应变正应变Nij i jll2.2.设一点的应变状态为设一点的应变状态为ij ，两垂直方向分别为，两垂直方向分别为 r(l1,l2,l3)和和 s(l1,l2,l3)，则该点则该点rs方向上的切应变方向上的切应变2rsij i jll二二.应
10、变状态的坐标变换应变状态的坐标变换 设一点的应变状态在设一点的应变状态在 Oxyz 坐标系下的应变张量为坐标系下的应变张量为ij ，旋，旋转后的坐标系为转后的坐标系为 Oxyz，两坐标系间的方向余弦为两坐标系间的方向余弦为lij，则，则i jij iijjl l 三三.主主应变、主方向应变、主方向 设一点的应变状态为设一点的应变状态为ij，xyzOrst123 过此点可作任意组三向正交线元，过此点可作任意组三向正交线元，总存在一组线元在变形前后始终保持正交，即两两方向上的切总存在一组线元在变形前后始终保持正交，即两两方向上的切应变为零。应变为零。将该组线元方向称为将该组线元方向称为应变主方向应
11、变主方向，沿主方向的正应，沿主方向的正应变称为变称为主应变主应变。（该组线元所构成的三轴又称为。（该组线元所构成的三轴又称为应变主轴应变主轴，两，两两线元构成的平面称为两线元构成的平面称为应变主平面应变主平面。）。）由以上定义，类似主应力分析可得由以上定义，类似主应力分析可得1.1.主平面（主方向）方程主平面（主方向）方程12312312311()02211()02211()022xyxzxxyyzyxzyzzlllllllll()0ijijjl其中其中 为主应变，为主应变，lj 为主方向为主方向2.2.主应变方程（特征方程）主应变方程（特征方程）321230III3.3.应变不变量应变不变量
12、1123xyzI 222212233 114xyyzzxxyyzzxI 22231231144xyzxyyzzxxyzyzxzxyI 三实根按三实根按 1 2 3 排序排序4.4.最大最小应变最大最小应变最大正应变最大正应变 max 1最小正应变最小正应变 min 3最大最小切应变最大最小切应变13maxmin2 5.5.八面体应变八面体应变八面体表面法线方向的正应变八面体表面法线方向的正应变813xyz八面体表面上两正交方向的切应变八面体表面上两正交方向的切应变2228112331236.6.应变强度应变强度i822四四.体积应变和体积应变和应变张量分解应变张量分解1.1.体积应变体积应变
13、由正交三线元可构成一微元体，由正交三线元可构成一微元体，考察变形前后微元体体积的变化。考察变形前后微元体体积的变化。xyzOPrstdzdxdy变形前微元体体积变形前微元体体积dd d dVx y z变形后微元体边长变形后微元体边长dd d d(1)(1)(1)d d dxyzVx y zx y z其中，其中，表示切应变的高价微量表示切应变的高价微量 o(1)d d dd d dxyzx y zox y z d(1)d(1)dxxxxox d(1)dyyy d(1)dzzz(1)d d dxyzx y z变形后微元体体积变形后微元体体积定义定义体积应变体积应变dddxyzVVV1I可见应变张量
14、的第一不变量的物理意义为体积应变可见应变张量的第一不变量的物理意义为体积应变考察位移场考察位移场iu即即uuijkvw其散度其散度uuxyzvwxyz说明应变张量的第一不变量或体积应变的数学意义为位移场说明应变张量的第一不变量或体积应变的数学意义为位移场的散度的散度当当=0时，称为物体是不可压缩的，因此不可压缩的条件为：时，称为物体是不可压缩的，因此不可压缩的条件为：应变张量的第一不变量为零应变张量的第一不变量为零或或位移场的散度为零位移场的散度为零2.2.应变张量的分解应变张量的分解与应力张量的分解类似，可将应变张量分解为球张量和偏张量与应力张量的分解类似，可将应变张量分解为球张量和偏张量m
15、ijijije mmmm000000ij mmm112211221122xxyxzxxyxzijyxyyzyxyyzzxzyzzxzyzeeeeeeeeee其中其中m1111333xyzI只有体积改变而无形状改变只有体积改变而无形状改变只有形状改变只有形状改变而无体积改变而无体积改变不变量不变量1m30 xyzxyzJeee 222222213()()()()62xyyzzxxyyzzxJ 3detijJe 3-4 3-4 变形协调方程变形协调方程一一.问题的提出问题的提出 1.1.根据连续性假定，受力物体在变形前后都是连续的。根据连续性假定，受力物体在变形前后都是连续的。3.3.由于几何方程
16、是导出关系，数学上它们之间并不是相互独由于几何方程是导出关系，数学上它们之间并不是相互独立的，而存在着一定的相互制约关系。立的，而存在着一定的相互制约关系。2.2.由几何方程可知，给定位移函数由几何方程可知，给定位移函数ui可唯一地确定应变分量可唯一地确定应变分量ij。4.4.物理上，相互独立的应变分量不能保证物体的连续性，物物理上，相互独立的应变分量不能保证物体的连续性，物体内在变形时会出现分裂和重叠。体内在变形时会出现分裂和重叠。二二.变形协调关系变形协调关系应变分量间的关系应变分量间的关系考察几何方程考察几何方程在在xy平面内平面内yyvxxuxyxyvu2322xyx y u2322y
17、xxyv23322xyx yxyx y vu所以所以22222yxyxx yyx 同理，考察同理，考察yz和和zx平面可得平面可得22222yyzzy zzy 22222xzxzz xxz 故得第一组变形协调方程故得第一组变形协调方程考察考察xyxyvuyzyzwvzxuzxw22xyzx zy z vu22yzxx yx z wv22zxuyy zx y w22xyyzzxuyzxy z 22xyyzzxzxyx z v22yzxyzxxyzx y w2()2xyyzzxxxyzxy z 2()2xyyzyzxyzxyz x 2()2yzxyzxzzxyzx y 22xyyzzxuyzxy
18、z 22xyyzzxzxyx z v22yzxyzxxyzx y w故得第二组变形协调方程故得第二组变形协调方程如果作不同的数学运算组合可得若干组变形协调方程如果作不同的数学运算组合可得若干组变形协调方程 若把几何方程和变形协调方程视为泛定方程组，因仅联系若把几何方程和变形协调方程视为泛定方程组，因仅联系九个量（六个应变、三个位移），需九个独立方程。而几何方九个量（六个应变、三个位移），需九个独立方程。而几何方程有六个，故在若干组变形协调方程中，只有三个方程独立。程有六个，故在若干组变形协调方程中，只有三个方程独立。需要指出，变形协调方程是应变张量的禀性方程。即，满需要指出，变形协调方程是应变
19、张量的禀性方程。即，满足变形协调方程是任何真实应变张量的必要条件。足变形协调方程是任何真实应变张量的必要条件。精品课件精品课件！精品课件精品课件！3-5 3-5 位移边界条件位移边界条件 给定边界上的位移和约束情况（如沉降，固定等），被给定边界上的位移和约束情况（如沉降，固定等），被称为位移边界。称为位移边界。即即 iisuu例：例：ABCDxy1.AD边：限定位移为零。边：限定位移为零。其中其中s为给定边界为给定边界表现为曲面（线）方程表现为曲面（线）方程 iisuu0sy,00,00u xxv弹性层弹性层ABCDzhO弹性半空间弹性半空间2.AB边：分界面边：分界面s位移连续。位移连续。0sz设弹性层位移为设弹性层位移为ui弹性半空间位移为弹性半空间位移为ui则则(,0)(,0)(,0)(,0)(,0)(,0)u x yux yx yx yx yx yvvww
