1、山东金榜苑文化传媒集团导数的概念及其运算导数的概念及其运算导导 数数导数概念导数概念函数的平均变化率函数的平均变化率运动的平均速度运动的平均速度曲线的割线的斜率曲线的割线的斜率函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率运动的瞬时速度运动的瞬时速度曲线的切线的斜率曲线的切线的斜率导数计算导数计算基本初等函数求导基本初等函数求导导数四则运算法则导数四则运算法则简单复合函数导数简单复合函数导数导数应用导数应用函数的单调性研究函数的单调性研究函数的极值与最值函数的极值与最值曲线的切线曲线的切线变速运动的速度变速运动的速度生活中最优化问题生活中最优化问题一般步骤：一般步骤：1.1.建模，列关系式；建模，列关系式；
2、2.2.求导数，解导数方程；求导数，解导数方程；3.3.比较区间端点函数值与极值比较区间端点函数值与极值,找到最大找到最大(最小最小)值值.定积分与微积分定积分与微积分定积分概念定积分概念定理应用定理应用定理含义定理含义微积分基本微积分基本定理定理曲边梯形的面积曲边梯形的面积变力所做的功变力所做的功11()niiifx 和和 式式的的 极极 限限定义、几何意义、性质定义、几何意义、性质1.用定义求用定义求:分割、近似代替、求和、取极限；分割、近似代替、求和、取极限；2.用公式用公式.()(),()d()()baFxf xf xxF bF a 若若则则1.求平面图形面积；求平面图形面积；2.在物
3、理中的应用在物理中的应用（1）求变速运动的路程：）求变速运动的路程：（2）求变力所作的功；）求变力所作的功；()baWF x dx ()dabsv tt 导数及其应用导数及其应用忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 函数函数y=f(x)从从x1到到x2的平均变化率为的平均变化率为_,若若x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为则平均变化率可表示为_.2121()()f xf xxx yx 1.函数函数y=f(x)从从x1到到x2的平均变化率的平均变化率(1)定义定义 称函数称函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率处的瞬时变化率_2.函数函数y=f(x)在在 x=
4、x0处的导数处的导数_为函数为函数y=f(x)在在x=x0处的导数，记作处的导数，记作或或0()fx 0|.x xy 即即0()fx 000()()limxf xxf xx 0limxyx .0000()()limlimxxf xxf xyxx 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点(2)几何意义几何意义 函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数f(x0)的几何意义是在曲线的几何意义是在曲线y=f(x)上点上点_处的处的_.相应地，切相应地，切线方程为线方程为_.切线的斜率切线的斜率，00()()xf x=000()(yfxyxx 称函数称函数_ _ 为为f(x)的导函的导函数数,导函数
5、有时也记作导函数有时也记作y.3.函数函数 f(x)的导函数的导函数0()()()limxf xxf xf xx 原函数原函数 导函数导函数 f(x)=c f(x)=xn f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=lnx 4.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式0c (sin)cosxx ()ln(0)xxaaa a 1(log)(01)ln且且axaaxa (e)exx 1()nnxnx (cos)sinxx 1(ln)xx 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 复合函数复合函数
6、y=f(g(x)的导数和函数的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为的导数间的关系为_,即即 y 对对 x 的导的导数等于数等于_的导数与的导数与_的导数的乘积的导数的乘积.2(1)()()()()(2)()()()()()()(3)(4)()()()()()()()()f xg xfxg xf xg xfxg xf xgf xfx g xf x gxcf xcfxxg xgx xuxyyu 5.导数运算法则导数运算法则6.复合函数的导数复合函数的导数y对对uu对对x7.“过某点过某点的切线的切线”与与“在某点在某点处的切线处的切线”的区别的区别;过点过点P的切线中的切线中,点点
7、P不一定是切点不一定是切点,点点P也不一也不一定在已知曲线上定在已知曲线上;在在点点P处的切线处的切线,必以点必以点P为切点为切点.解决解决“过某点的切线过某点的切线”问题问题,一般是设出切点一般是设出切点坐标为坐标为P(x0,y0),然后求其切线斜率然后求其切线斜率k=f(x0),写出写出其切线方程其切线方程.忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点1l2lNMxyOP,若若直直线线与与曲曲线线有有不不止止一一个个公公共共点点.则则直直线线可可能能是是曲曲线线的的切切线线8.切线与公共点切线与公共点若若直直线线与与曲曲线线有有唯唯一一公公共共点点,则则直直线线与与曲曲线线不不一一定定相相切切
8、;忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点322 B(1,0)题号题号答案答案12345 22002200()11()11xxxxxx 2200()11xxx 解解：2022002()11xxxxxx 022002.()11xxyxxxx 求函数求函数 f(x)平均变化率的步骤：平均变化率的步骤：解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单,只要只要注意运算过程就可以了注意运算过程就可以了1(sin)2yxx（4）111yxxxx1122,xx 31221122yxx 21122xxxx 2(1).2xxx (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式
9、等变形对函数进行求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.13523222sinsin(1)=,xxxxyxxxx 解解：3322sin=()()()xyxxx 523223=32sinco
10、s.2xxxxxx (2)y(x23x2)(x3)x36x211x6，y3x212x11.1(3)sin(cos)sin,222xxyx 11(sin)cos.22yxx 4sin(2)cos(2)33xx 22sin(4).3x 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程成若干个常见
11、的基本函数，逐步确定复合过程.12222211(1)(1).211xxxxx 0 x 利用导数研究曲线的切线问题利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件一定要熟练掌握以下条件:(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标.(2)切点既在曲线上，又在切线上切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其切线有可能和曲线还有其它的公共点它的公共点.(12分分)设函数设函数yx22x2的图象为的图象为C1，函数，函数yx2axb的图象为的图象为C2，已知
12、过，已知过C1与与C2的一个交点的两切线互相垂直的一个交点的两切线互相垂直.(1)求求a，b之间的关系；之间的关系；(2)求求ab的最大值的最大值.审题路线图审题路线图1.一审条件挖隐含 本题的切入点是：两曲线有交点本题的切入点是：两曲线有交点(x0，y0)，交点处的切线互，交点处的切线互相垂直相垂直.通过审题路线图可以较为清晰地看到审题的思维过程通过审题路线图可以较为清晰地看到审题的思维过程.审题路线图审题路线图 1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意在对导数的概念进行理解时，特别要注意f(x0)与与(f(x0)是不一样的，是不一样的，f(x0)代表函数代表函数f(x)在在xx0处的导数值
13、，不一定为处的导数值，不一定为0；而；而(f(x0)是函数值是函数值f(x0)的导的导数数,而函数值而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为是一个常量，其导数一定为0，即，即(f(x0)0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误算失误.1.利用导数定义求导数时，要注意到利用导
14、数定义求导数时，要注意到x与与x的的区别，这里的区别，这里的x是常量，是常量，x是变量是变量.2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆子的符号，防止与乘法公式混淆.3.求曲线切线时，要分清在点求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者了前者.4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.作业纸作业纸:课时规范训练课时规范训练:
15、P.1-2 预祝各位同学，预祝各位同学，20192019年高考取得好成绩年高考取得好成绩!一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题题号题号123答案答案CBAA组组专项基础训练题组专项基础训练题组4.2 5.51630 xy 6.12380 xy三、解答题三、解答题7.已知曲线已知曲线 yx3x2 在点在点 P0 处的切线处的切线 l1平行于直平行于直线线4xy10,且点且点 P0 在第三象限在第三象限.(1)求求P0的坐标；的坐标；(2)若直线若直线ll1，且，且l也过切点也过切点P0，求直线，求直线 l 的方程的方程.三、解答题三、解答题8.如右图所示，已知如右图所示，已知A(-1,2)为
16、抛物线为抛物线C：y=2x2上的上的点，直线点，直线l1过点过点A，且与抛物线，且与抛物线C相切，直线相切，直线l2：x=a(a-1)交抛物线交抛物线C于点于点B，交直线，交直线l1于点于点D.(1)求直线求直线l1的方程；的方程；(2)求求ABD的面积的面积S1.3(1).a 一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题题号题号123答案答案BABB组专项能力提升题组组专项能力提升题组4.2,2 5.20 xy 3 136.(,)244.设函数设函数 其中其中 则导数则导数 的取值范围是的取值范围是 .32sin3cos()tan,32f xxx 50,12，(1)sin3cos2sin()3f
17、 .2()sin3cosfxxx 5 30,.,12334又又 2sin()1,23 (1)f 2(1)2.f 三、解答题三、解答题 故曲线故曲线yf(x)上任一点的切线与直线上任一点的切线与直线x0，yx所围成的所围成的三角形的面积为定值，且此定值为三角形的面积为定值，且此定值为6.0061|2|6.2Sxx 导数导数导数的概念导数的概念导数的计算导数的计算导数的应用导数的应用平均变化率与瞬时变化率平均变化率与瞬时变化率平均速度与瞬时速度平均速度与瞬时速度导数的几何意义导数的几何意义基本初等函数导数公式基本初等函数导数公式导数的四则运算导数的四则运算复合函数求导复合函数求导函数的单调性函数的
18、单调性函数的极值与最值函数的极值与最值生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例定积分定积分定积分的概念定积分的概念微积分基本定理微积分基本定理定积分的简单应用定积分的简单应用导数及其应用导数及其应用平均变化率平均变化率瞬时变化率瞬时变化率割线斜率割线斜率切线斜率切线斜率基本初等函数导数基本初等函数导数公式导数运算法则公式导数运算法则导数与函数单调性导数与函数单调性导数与极值导数与极值(最值最值)微积分基本定理微积分基本定理定积分定积分变速直线运动的路程变速直线运动的路程曲边梯形的面积曲边梯形的面积定积分在物理、几何中的应用定积分在物理、几何中的应用平均速度平均速度瞬时速度瞬时速度导导 数数证明
19、证明:由于曲线的图形关于坐标轴对称由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中故只需证明其中一个交点处的切线互相垂直即可一个交点处的切线互相垂直即可.得得P(3,2).由由x2-y2=5得得,25,yx 解方程组解方程组22225,4972.xyxy 3,2.xy 得得不妨证明过不妨证明过P点的两条切线互相垂直点的两条切线互相垂直.2.5xyx 例例1.求证双曲线求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆与椭圆C2:4x2+9y2=72在交点在交点处的切线互相垂直处的切线互相垂直.;23|31 xyk同理由同理由 4x2+9y2=72,得得248,9yx 232|.3xky 24.49 89xyx
20、121.k k 所以两条切线互相垂直所以两条切线互相垂直.200(,),xx解解：设设此此切切线线过过抛抛物物线线上上的的点点200062,52xxx 023.x 解解得得或或(2 4)(3 9).即即切切点点为为，例例2.求抛物线求抛物线 y=x2 过点过点 的切线方程的切线方程.5(,6)2P()2,f xx yxPO所以切线方程分别为所以切线方程分别为4469.yxyx 和和 “在在某点处的切线某点处的切线”与与“过过某点的切线某点的切线”意义不意义不同，注意审题，后者一定要先同，注意审题，后者一定要先“设切点的坐标设切点的坐标”.00()2,kfxx 00(,),xy解解：设设切切线线
21、过过曲曲线线上上的的点点32000340,21.xxx 解解得得或或即切线的斜率是即切线的斜率是x02.442.yxyx 和和化简得化简得 【1】求曲线求曲线 的切线方程的切线方程.314(2,4)33yxP 点点过过+3214(,33yxx +)020|,xxkyx 44(2),4(2).yxyx 所以切线方程分别为所以切线方程分别为4,1.k 或或所以切线方程为所以切线方程为3200014()(),33yxxxx 即即230024.33yxxx 又切线方程过点又切线方程过点P(2,4),322000000032,()362,yxxx kfxxx 又又2000032,ykxxx00031,.
22、24yxkx 1.4yx 【2】曲线】曲线 f(x)=x3-3x2+2x 过原点的切线方程过原点的切线方程是是.解解:f(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为设切线的斜率为k.(1)当切点是原点时当切点是原点时k=f(0)=2,切线方程为切线方程为 y=2x.所求曲线的切线方程为所求曲线的切线方程为(2)当切点不是原点时，设切点是当切点不是原点时，设切点是(x0,y0)，则有则有由由得得或或124yxyx (2)13.kf 例例 3.例例 3.例例 3.例例 3.0(1 2)(1)2 lim2xfxfx 0(1 2)(1)limxfxfx 2(1)f 32log e.D D51(1)(2)(
23、50)yxx xy!50122(2).nxkyn 0(1)2,nnxan 令令2.1nnan 12(12).1222nnnS 122n 1(1)nnynxnx 1222(2).nnynx 又切线过又切线过(2,-2n),【4】点】点P在曲线在曲线y=x3-x+2上移动时上移动时,过点过点P的曲线的切线的倾斜角的取值范围是的曲线的切线的倾斜角的取值范围是()3 3A.0,B.0,)(,4224 33C.,)D.0,)424 2311kx tan1,0,),C C设直线设直线y=x+1与曲线与曲线y=ln(x+a)的切点为的切点为(x0,y0),1,yxa 又又001|1,xxyxa 即即x0+a
24、=1.又又y0=ln(x0+a),000,1.yx 2.a 5.已知直线已知直线y=x+1与曲线与曲线y=ln(x+a)相切，则相切，则a的的值为值为().A.1 B.2 C.-1 D.-2则则 y0=1+x0,y0=ln(x0+a).B B2C C2(1)(1)(1)20limfxffxx A A0,4，00221x.01 1,.2x -21*1112991299()(1)|11(1)(1)11 298 991.lg.lg.lg22 399 100100nnnxnyxnNyxynxynynxnxnaaax xx 解析：点（1，1）在函数的图像上，（1，1）为切点，的导函数为切线是：令y=0得切点的横坐标：总面积一直保持增加总面积一直保持增加,没有负的改变量没有负的改变量,排除排除B；A A 最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除取零，排除C；考察考察A,D的差异在于两肩位置的改变是否平滑的差异在于两肩位置的改变是否平滑,考虑到导数的意义考虑到导数的意义,判断此时面积改变为判断此时面积改变为突变突变,产生中产生中断断,选择选择A.24e41e2e1e2exxxxxy D D),43)D(43,2)(C()2,4)B()4,0)A(
