1、蚌埠学院 高等数学8/12/20221微积分学的创始人:德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)英国数学家 Newton蚌埠学院 高等数学8/12/20222一、问题的提出一、问题的提出六、小结与思考判断题六、小结与思考判断题二、导数的定义二、导数的定义三、由定义求导数举例三、由定义求导数举例四、导数的意义四、导数的意义五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系 第二章 蚌埠学院 高等数学8/12/20223一、问题的提出一、问题的提出 1、直线运动的速度问题,)(0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求数数为为设设动
2、动点点于于时时刻刻的的位位置置函函ttfs 0t如图,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于,t 运运动动时时间间st平平均均速速度度 v0000()()ssf tf ttttt,0时时当当tt 取极限得取极限得tt00)()(lim0tttftfVtt 瞬时速度瞬时速度蚌埠学院 高等数学8/12/202242、切线问题、切线问题切线：割线的极限播放播放MNT割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.蚌埠学院 高等数学8/12/20225 T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),(00yxNyxM设设的的斜斜率率为为割割线线MN00tanxxyy ,)(
3、)(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲线线MT切线斜率为.)()(limtan000 xxxfxfkxx 蚌埠学院 高等数学8/12/20226两个问题的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题蚌埠学院 高等数学8/12/20227二、导数的定
4、义二、导数的定义 定义定义1.设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数若的某邻域内有定义,在点0 x处可导可导,在点0 x的导数导数.000()()limxxf xf xxx蚌埠学院 高等数学8/12/20228运动质点的位置函数)(tfs so0t)(0tf)(tft在 时刻的瞬时速度0t lim0tt
5、v)()(0tftf0tt 曲线)(:xfyC在 M 点处的切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx)(0tf)(0 xf 若上述极限不存在,在点 不可导.0 x若,lim0 xyx也称)(xf在0 x就说函数的导数为无穷大.蚌埠学院 高等数学8/12/20229右导数3、单侧导数左导数;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 判断函数在某一点可导的充分必要条件：)()()(000 xfxfxxf 点点可可导导在在
6、函函数数0,.x点导数是因变量在点处的变化率 它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度注意：注意：蚌埠学院 高等数学8/12/202210例例()处导在在0 0的的可可性性.f xxx讨讨论论函函数数解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim.1 ),0()0(ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy蚌埠学院 高等数学8/12/202211若函数在开区间 I 内每点都可导,记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就称函数
7、在 I 内可导.4、导函数()()xIfxfx,对都 对 应 着的 一 个 确 定 的 导 数 值.这 个 函 数 叫 做 原 来 函 数的 导 函 数.xxfxxfyx )()(lim0即即如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.蚌埠学院 高等数学8/12/202212三、三、由定义求导数举例由定义求导数举例步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例1.)()(的的导导数数为为常常数数
8、求求函函数数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0 常数的导数是零。常数的导数是零。即即 .0)(C蚌埠学院 高等数学8/12/202213例例2.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解hxhxxnnhn )(lim)(0!2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地(为为常常数数).x x)(x x1 1 ()x12（）x例如,12121 x.21x)(11 xx11)1(x.12x 蚌埠学院 高等数学8/12/202214hxhxhsin)sin(lim0例例3.求函数xxfsin)(的导数
9、.解:,hx 令令则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cosh蚌埠学院 高等数学8/12/202215例例4.)1,0()(的的导导数数求求函函数数 aaaxfx解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax xxee )(特别地，特别地，.lnaax)(xa蚌埠学院 高等数学8/12/202216例例5.ln的导数求函数xy 解hxhxyhln)ln(lim0axxaln1)(log一般地xxhxhh1)1ln(lim0hxhxh
10、x)1ln(lim10.1x蚌埠学院 高等数学8/12/202217四、四、导数的意义导数的意义oxy)(xfy T0 xM1、几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为为倾倾角角即即切切线线的的斜斜率率处处的的在在点点表表示示曲曲线线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 若若,)(0 xf切线与切线与 x 轴垂直轴垂直.蚌埠学院 高等数学8/12/202218 y O x x0 y=c f(x0)=0 y O x f(x0)=x0 O xyx0 y O x x0蚌埠学院 高等数学8/12/20
11、22192(2,4),.yx求曲线在点处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程例例6.解由导数几何意义,切线斜率为2 xyk切线方程：法线方程：),2(44xy),4(414xy.044 yx即.0204yx即xxy2)(242xyk00(,)()M xyyf x问题：点不是曲线上的点，切线如何求？蚌埠学院 高等数学8/12/2022202、简单的物理意义1）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度.lim)(0dtdststvt 2）交流电路中电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 3）非均匀物体中质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.li
12、m)(0dPdmPmPP 蚌埠学院 高等数学8/12/202221五、五、可导与连续的关系可导与连续的关系结论：可导的函数一定是连续的。证,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连连续续在在点点函函数数xxf)0(0 x 蚌埠学院 高等数学8/12/202222处连续但不可导在函数0)(xxxf解xy xyo,)0()0(hhhfhfhhhfhfhh00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh00lim)0()0(lim.1 ),0()0(ff即.0)(点不可导在xxfy注意
13、:反之不成立.即连续不一定可导。如蚌埠学院 高等数学8/12/202223内容小结内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.)(C)(x)(sin x)(cosxaxf)(02.axfxf)()(00)(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的极限;切线的斜率;蚌埠学院 高等数学8/12/2022241、初等函数在其定义区间内必可导？2、初等函数的导数仍是初等函数？一一定定存存在在。处处有有切切线线，则则在在（曲曲线线、)()(,)(3000 xfxfx
14、xfy 思考与练习思考与练习作业作业 P85 2,5,6,9,13,14(2),16,18 蚌埠学院 高等数学8/12/2022254.设)(0 xf 存在,则._)()(lim000hxfhxfh5.已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k6.若),(x时,恒有,)(2xxf问)(xf是否在0 x可导?解解:由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可导,且0)0(f蚌埠学院 高等数学8/12/2022267.设0,0,sin)(xxaxxxf,问 a 取何值时,)(xf 在),(都存在,并求出.
15、)(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a时,1)0(f此时)(xf 在),(都存在,)(xf0,cosxx0,1x显然该函数在 x=0 连续.蚌埠学院 高等数学8/12/2022272.切线问题切线问题切线：割线的极限MTN蚌埠学院 高等数学8/12/2022282.切线问题切线问题切线：割线的极限MTN蚌埠学院 高等数学8/12/2022292.切线问题切线问题切线：割线的极限MTN蚌埠学院 高等数学8/12/2022302.切线问题切线问题切线：割线的极限MTN蚌埠学院 高等数学8/12/2022312.切线问题切线问题切线：割线的极限MTN蚌埠学院 高等数学8/12/2022322.切线问题切线问题切线：割线的极限MTN蚌埠学院 高等数学8/12/2022332.切线问题切线问题切线：割线的极限MTN蚌埠学院 高等数学8/12/2022342.切线问题切线问题切线：割线的极限MTN蚌埠学院 高等数学8/12/2022352.切线问题切线问题切线：割线的极限MTN蚌埠学院 高等数学8/12/2022362.切线问题切线问题切线：割线的极限MTN割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.docin/sanshengshiyuandoc88/sanshenglu 更多精品资源请访问更多精品资源请访问
