1、一、调和性一、调和性 定理2.11 完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离.定理2.11 完全四线形的一对对顶被在此二对顶连线上的对顶三线形的二顶点调和分离.如图,经过三个对边点X,Y,Z各有一个调和直线组,比如X.1),(ttss 如图,在三条对顶线x,y,z上各有一个调和点组,比如x.1),(TTSS此二定理说明：上述两图中各有三个调和元素组一、调和性一、调和性证明定理2.11用综合法.只要证明.1),(ttss以直线AB截截此四直线，得).,(),(PZABttssX只要证明(AB,PZ)=1.).,(),(QZDCPZAB以点Y分别与上述等式两边的四点相连连，据定
2、理2.6可得).,(),(),(PZBAQZDCPZAB也就是),(1),(),(PZABPZBAPZAB.1),(2PZAB注意到A,B,P,Z四点互异，必有(AB,PZ)=1.证毕.再以直线CD截截此四直线，得一、调和性一、调和性 推论2.8 在完全四点形的对边三点形的每条边上,有一个调和点组,其中一对为对边点,另一对为该边与第三组对边的交点.推论2.8 通过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一个调和直线组,其中一对为对顶线，另一对为该顶点与第三对对顶的连线.1),(PQXY比如经过顶点T,有.1),(pqxy此二推论说明：上述两图中又各有三个调和元素组比如在边t上,有一、调和性一、调和性
3、 推论2.9 在完全四点形的每条边上有一个调和点组,其中一对为顶点,另一对中一个为对边点,一个为该边与对边三点形的边的交点.推论2.9 通过完全四线形的每个顶点有一个调和直线组,其中一对为边，另一对中,一条为对顶线,一条为该顶点与对顶三线形顶点的连线.1),(PZAB比如经过顶点ab,有.1),(pzab此二推论说明：上述两图中又各有六个调和元素组比如在边AB上,有一、调和性一、调和性二、应用二、应用1、第四调和元素的作图 例1 已知直线l上相异三点P1,P2,P3.求作第四调和点P4.分析：利用推论2.8,构造一个完全四点形,以l为其对边三点形的一边,P1,P2是对边点,使第三对对边中,一条
4、过P3,则另一条与l的交点即为P4.解.作法:(1).在l外任取一点A,连AP1,AP2.(2).过P3作直线分别交AP1,AP2于B,D.(3).连P1D,P2B交于C.(4).连AC交l于P4为所求.证明:(略)据推论2.8(或2.9).注1 上述实际上也是利用推论2.9作图.注2本例引申一、调和性一、调和性二、应用二、应用1、第四调和元素的作图 例1 已知直线l上相异三点P1,P2,P3.求作第四调和点P4.注2本例引申1、给定三点如图，如何作图?2、给定共点三直线如图，求作第四调和直线.3、给定共点三直线如图，求作第四调和直线.注3由上述作图，(P1P2,P3P4)=1 存在一个完全四
5、点形,以P1,P2为两个对边点,并使P3,P4在另一对对边上.注4注3的对偶命题.由上述注3,4，你想到了什么？一、调和性一、调和性二、应用二、应用1、第四调和元素的作图 例2 证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分上下底.2、几何证明题 证明：如图,ABCD为梯形,AD/BC,E,F分别为两腰和对角线的交点.EF交AD,BC于P,Q.只要证明P,Q分别是AD,BC的中点.考察完全四点形EAFD.设ADBC=G.由推论2.8,有(BC,QG)=1,再据推论2.3,Q为BC的中点.据推论2.9,(AD,PG)=1,所以P为AD的中点.本例引申两个作图题：1、已知一线段的中点,求作该线段
6、的任一平行线.2、已知一线段及其一条平行线,求作该线段的中点.一、调和性一、调和性二、应用二、应用1、第四调和元素的作图 例3 (P.59,Ex.3)设A,B,C为完全四线形的三个共线的顶点,点偶A,B与M,C调和共轭.求证：通过A,B的对顶线的交点在M与C的对顶点的连线上.2、几何证明题 证明：如图,设C的对顶为D,通过A,B于的对顶线的交点为P,DP交AB于M.用同一法证明M=M.由假设据推论2.9有,(AB,MC)=1.由题设有,(AB,MC)=1.所以,M=M,即P在MD上.一、透视对应一、透视对应(中心射影中心射影)定义以下三种对应称为一维基本形的透视对应透视对应(1).点列线束.对
7、应元素是关联的,.),(CBAs,.),(cbaS(2).点列点列.对应点连线共点,.),(CBAs,.),(CBAs(3).线束线束.对应直线交点共线,.),(cbaS,.),(cbaS(s)透视中心透视轴注 (1).透视对应是两个一维基本形之间的一个双射,保持任意四对对应元素的交比不变.(2).连续两次透视对应的结果显然不一定仍是透视对应.(S)课件作者：南京师大数科院周兴和一、透视对应一、透视对应(中心射影中心射影)二、一维射影对应的综合法定义二、一维射影对应的综合法定义1.Poncelet定义 设,为两个一维基本形.若存在n个一维基本形i(i=1,2,n),使得1n 则称由此决定的到的
8、对应为一个射影对应射影对应,记作.注注1.显然 注注2.为一个保交比的双射.注注3.有限多个射影对应的积仍然是一个射影对应.2.Steiner定义如果两个一维基本形之间的一个对应 :满足(1).为一个双射；(2).使得任意四对对应元素的交比相等,则称为到的一个射影对应射影对应,记作.所以透视对应是射影对应的特例.一、透视对应一、透视对应(中心射影中心射影)二、一维射影对应的综合法定义二、一维射影对应的综合法定义定理2.12 Poncelet定义Steiner定义.证明.“=”.显然.“”.显然.“”设点列l(P)与l(P)透视对应,S为透视中心,ll=X.由于直线SX交l,l于同一点X,所以X
9、自对应.“=”设f:l(P)l(P)为射影对应,使得f(X)=X.设f(P)=P.在l(P)上取异于X的两相异点A,B.设f(A)=A,f(B)=B.则A,B相异且不同于X.设AABB=S,并设SPl=P.设是以S为透视中心l(P),l(P)间的透视对应.则因为射影对应与f有相异的三双对应点重合,即A,A;B,B;X,X,从而=f.于是P=P.即f是透视对应.注：由定理2.14想到证诸点共线证其为某两透视线束对应直线的交点.证诸线共点证其为某两透视点列对应点的连线.三、射影对应成为透视对应的条件三、射影对应成为透视对应的条件 例1 (Pappus定理)在共面的相异二直线li上各取相异三点Ai,Bi,Ci(i=1,2).设.,122112211221三点共线则NMLNBABAMACACLCBCBPappus线注2 Pappus定理是第四章中Pascal定理的退化情况.注3 Pappus构图：9个点、9条直线,在每条直线上有3个点；经过每个点有3条直线.注1 证明请自学,体会其中灵活应用截截与连连的思想方法.今日作业今日作业P.58:1;2;7课件作者：南京师大数科院周兴和The Class is over.Goodbye!
