1、 4.2 夫朗和费衍射夫朗和费衍射 (Fraunhofer diffraction)对于夫朗和费衍射，观察屏必须放置在对于夫朗和费衍射，观察屏必须放置在远离远离衍射屏衍射屏的地方。的地方。几何投影区几何投影区菲涅耳衍射区菲涅耳衍射区夫朗和费夫朗和费衍射区衍射区MK1K2K3K44.2.1 夫朗和费衍射装置夫朗和费衍射装置 (Fraunhofer diffraction instrument)P 的光场，可以看作是开孔处入射波面的光场，可以看作是开孔处入射波面上各点上各点次次波波源波波源发出的球面次波在发出的球面次波在 P 点产生光场的点产生光场的叠加叠加。x1y1zxyP(x,y)z从波面上各
2、点到从波面上各点到 P 点的光线近似平行，所以点的光线近似平行，所以 P 点的点的光场也就是由光场也就是由 面上各点沿面上各点沿 方向发射光场的叠加方向发射光场的叠加。x1y1zxyP(x,y)z4.2.1 夫朗和费衍射装置夫朗和费衍射装置 (Fraunhofer diffraction instrument)则由于透镜则由于透镜 f 的作用，与光轴夹角为的作用，与光轴夹角为 的的入射平行入射平行光线将会聚在后焦平面上的光线将会聚在后焦平面上的 P 点点。x1y1zxyP(x,y)Lz=f4.2.1 夫朗和费衍射装置夫朗和费衍射装置 (Fraunhofer diffraction instru
3、ment)利用透镜时所得到的衍射图样就是不用透镜时的远场利用透镜时所得到的衍射图样就是不用透镜时的远场衍射图样，衍射图样，只是空间范围缩小，光能集中罢了只是空间范围缩小，光能集中罢了。x1y1zxyP(x,y)Lz=f4.2.1 夫朗和费衍射装置夫朗和费衍射装置 (Fraunhofer diffraction instrument)单色点光源单色点光源 S、透镜透镜 L1、开孔开孔、透镜透镜 L2 的后焦的后焦平面上可以观察到夫朗和费衍射图样平面上可以观察到夫朗和费衍射图样。fSzx1xCQPP0L1L24.2.1 夫朗和费衍射装置夫朗和费衍射装置 (Fraunhofer diffractio
4、n instrument)可令可令(x1,y1)A常数。又因为透镜紧贴孔径，常数。又因为透镜紧贴孔径，z1 f。所以，后焦平面上的光场复振幅可写为。所以，后焦平面上的光场复振幅可写为11i(11,d d (22)k xxyyfE x yCex y）/（）式中式中22i2i (23)xykffACef-4.2.1 夫朗和费衍射装置夫朗和费衍射装置 (Fraunhofer diffraction instrument)2211111iii211111i(,)(,)d d (21)xxyyxykzkkzzeE x yeE x y ex yz 11i(11,d d (22)k xxyyfE x yCe
5、x y）/（）式中式中22i()2i (23)xyk ffACef-11,()Ex yA1zf4.2.2 夫朗和费矩形孔和圆孔衍射夫朗和费矩形孔和圆孔衍射 (Fraunhofer diffractions by rectangle a aperture aperture and a circular aperture)1.夫朗和费矩形孔衍射夫朗和费矩形孔衍射2.夫朗和费圆孔衍射夫朗和费圆孔衍射3.光学成像系统的分辨本领光学成像系统的分辨本领(分辨率分辨率)1.夫朗和费矩形孔衍射夫朗和费矩形孔衍射若若衍射孔是矩形孔衍射孔是矩形孔，则在透镜焦平面上观察到的衍射，则在透镜焦平面上观察到的衍射图样如图
6、所示。图样如图所示。baab1.夫朗和费矩形孔衍射夫朗和费矩形孔衍射下图是夫朗和费矩形行射装置的光路图。下图是夫朗和费矩形行射装置的光路图。abx1y1xyLP0P y xCQO1.夫朗和费矩形孔衍射夫朗和费矩形孔衍射根据根据(22)式式,透镜焦平面上透镜焦平面上P(x,y)点的点的光场复振幅为光场复振幅为11/2/2i(11/2/20(,)d dsinsin (24)bak xxyyfbaE x yCex yE)/=11i()11(,)d d (22)k xxyyfE x yCex y/1.夫朗和费矩形孔衍射夫朗和费矩形孔衍射11/2/2i(11/2/20(,)d dsinsin (24)b
7、ak xxyyfbaE x yCex yE)/=是观察屏中心点是观察屏中心点 P0 处的光场复处的光场复振幅；振幅；a、b 分别是矩形孔沿分别是矩形孔沿 xl、y1 轴方向的宽度；轴方向的宽度；00(0,0)EECab、分别为分别为 (25)2 (26)2kaxfkbyfdbxxbaaexe111-i/2/2i-i/211/2/2/21dd(-i/)i/i/cos()isin()cos()isin()2222i/cos()isin()cos()isin()2222i/2isin(kxxfaakxxfkxxfaaaaeexekxxfkxfkxfkaxkaxkaxkaxffffkxfkaxkaxk
8、axkaxffffkxf)sin()sin()222i/2/2kaxkaxkaxfffakxfkxfkxaf1.夫朗和费矩形孔衍射夫朗和费矩形孔衍射220sinsin(,)(27)I x yI=则在则在 P(x,y)点的点的光强度为光强度为式中，式中，I0 是是 P0 点的光强度点的光强度，且有，且有 。20ICab0sinsin(,)=(24)E x yE00(0,0)EECab(1)衍射光强分布衍射光强分布20sin (28)II对于沿对于沿 x 轴的光强度分布轴的光强度分布，因，因 y0，有，有当当0（对应于（对应于 P0 点）时，有主极大，点）时，有主极大，IM/I01;在在m(m=1
9、,2,)处，有极小值，处，有极小值，IM0，与这些与这些 值相应的点是暗点。值相应的点是暗点。0000sin(sin)limsinclimlimlimcos1xxxxxxxxxxsin xx2sin xx2 (29)ffxmmkaa暗点的位置为暗点的位置为相邻两暗点之间的间隔为相邻两暗点之间的间隔为 (30)fxa (25)2kaxfm(1)衍射光强分布衍射光强分布2dsin0d即即tan (31)在相邻两个暗点之间有一个强度在相邻两个暗点之间有一个强度次极大次极大，次极大的位，次极大的位置由下式决定：置由下式决定：2cossinsin20costanaa(1)衍射光强分布衍射光强分布在同一坐
10、标系中分别在同一坐标系中分别作出曲线作出曲线 Ftan 和和 F，其，其交点即为方程的解。交点即为方程的解。tanFF(1)衍射光强分布衍射光强分布tan (31)光强曲线光强曲线作图求解作图求解22tanFF02231.431.432.46FII02.46头几次极大所对应的头几次极大所对应的 值：值：0 1.430 =4.493 2 2.459 =7.725 3 3.470=10.90 4 4.479=14.07 5 1 0 0.04718 0 0.01694 0 0.00834 0 0.00503 0 主极大主极大 极小极小 次极大次极大 极小极小 次极大次极大 极小极小 次极大次极大 极
11、小极小 次极大次极大 极小极小2sin夫朗和费短形孔衍射在夫朗和费短形孔衍射在 y 轴上的光强度分布由轴上的光强度分布由20sin (32)II决定，其分布特性与决定，其分布特性与 x 轴类似。轴类似。220sinsin(,)(27)I x yI=(1)衍射光强分布衍射光强分布在在x、y 轴以外各点的光强度，可按轴以外各点的光强度，可按(27)式进行计算。式进行计算。(1)衍射光强分布衍射光强分布显然，尽管在显然，尽管在 xOy 面内存在一些次极大点面内存在一些次极大点，但它们，但它们的光强度极弱。的光强度极弱。(1)衍射光强分布衍射光强分布1yx0.0470.0160.0470.0160.0
12、0070.00220.0470.00220.00070.00070.00220.0470.00220.00070.00020.00070.0160.00070.00020.00020.00070.0160.00070.0002(2)中央亮班中央亮班 (33)ffxyab ；矩形孔衍射的光能量主要集中在矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑处中央亮斑处，其边，其边缘在缘在 x、y 轴上的位置是轴上的位置是ba(2)中央亮班中央亮班中央亮斑面积为中央亮斑面积为2204 (34)fSab该式说明，该式说明，中央亮斑面积与矩形孔面积成反比中央亮斑面积与矩形孔面积成反比,在相在相同波长和装置下，衍射孔愈小
13、，中央亮斑愈大。同波长和装置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大。(2)中央亮班中央亮班但是，由但是，由2222022 (35)A a bICabf可见，相应的可见，相应的 P0 点光强度愈小。点光强度愈小。这就说明，虽然这就说明，虽然光斑变大，但是光强降低。光斑变大，但是光强降低。当当 a b，即对于矩形孔径，其衍射图样沿，即对于矩形孔径，其衍射图样沿 x、y 方方向的向的形状虽然一样，但线度不同形状虽然一样，但线度不同。ba(3)衍射图形状衍射图形状2204 (34)fSab(3)衍射图形状衍射图形状 2.夫朗和费圆孔衍射夫朗和费圆孔衍射由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论由于光学仪器的光瞳通
14、常是圆形的，所以讨论圆孔衍圆孔衍射现象对光学仪器的应用射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际意义。，具有重要的实际意义。f0S 2.夫朗和费圆孔衍射夫朗和费圆孔衍射圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的讨论方法相同，圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的讨论方法相同，只是由于圆孔结构的几何对称性，采用只是由于圆孔结构的几何对称性，采用极坐标极坐标处理。处理。x1y1xyL2P0PQO11O 2.夫朗和费圆孔衍射夫朗和费圆孔衍射x1y1xyL2P0PQO11O圆孔中心圆孔中心 Ol 位于光轴上，则圆孔上任一点位于光轴上，则圆孔上任一点 Q 的的位位置坐标为置坐标为1、1，与相应的直角坐标，与相应的直角坐标
15、x1、y1 的关系的关系为为111111cossinxy 2.夫朗和费圆孔衍射夫朗和费圆孔衍射cos sinxy观察屏上任一点观察屏上任一点 P 的位置坐标的位置坐标 、与相应的直角与相应的直角坐标的关系坐标的关系为为x1y1xyL2P0PQO111O 2.夫朗和费圆孔衍射夫朗和费圆孔衍射P 点的光场复振幅按照点的光场复振幅按照(22)式，在经过坐标变换后为式，在经过坐标变换后为112icos()1110(,)dd (36)akECe 0=11i(11(,)=d d (22)k xxyyfE x yCex y）/111111cossinxycos sinxy 2.夫朗和费圆孔衍射夫朗和费圆孔衍
16、射式中式中f是衍射方向与光轴的夹角，称为是衍射方向与光轴的夹角，称为衍射角衍射角。在这里，。在这里，已利用了已利用了sin 的近似关系。的近似关系。x1y1xyL2P0PQO111O112icos()1110(,)dd (36)akECe 0=11i(11(,)=d d (22)k xxyyfE x yCex y）/111111cossinxycos sinxy1111i(+i(k xxyyfkfee11)/cos cos+s i n s i n)/111coscossinsincos()1i()kfe11cos cos+s i n s i n/11111ddddxy11ddxrdydrxyr
17、 2.夫朗和费圆孔衍射夫朗和费圆孔衍射可将可将(36)式变换为式变换为01110(,)2()d aECJk =这里已利用了这里已利用了J0(k1)为为偶函数的性质偶函数的性质。2i cos01()d2xJ xe0=根据零阶贝塞尔函数的积分表示式根据零阶贝塞尔函数的积分表示式01110(,)2()d aECJk =2i cos01()d2xJ xe0=112icos()1110(,)dd (36)akECe 0=11 xk=2.夫朗和费圆孔衍射夫朗和费圆孔衍射再由贝塞尔函数的性质再由贝塞尔函数的性质01()()xx dxxJ xJ式中，式中，Jl(x)为一阶贝塞尔函数，可得为一阶贝塞尔函数，可得
18、101120212(,)()()d()()2 =()(37)kaCEkJkkka CJ kaka=101120212(,)()()d()()2 =()(37)kaCEkJkkka CJ kaka=01()()xJ x dxxJ x01110(,)2()d aECJk =1xk 2.夫朗和费圆孔衍射夫朗和费圆孔衍射P 点的光强度为点的光强度为222221102()2()(,)()(38)J kaJIaCIka I0=S2(A/f)2 是光轴上是光轴上 P0 点的光强点的光强；S=a2 是圆孔是圆孔面积；面积；=ka 是圆孔边缘与中心点在同一是圆孔边缘与中心点在同一 方向上方向上光线间的相位差。光
19、线间的相位差。222221102()2()(,)()(38)J kaJIaCIka 212(,)()(37)a CEJ kaka=ka222221102()2()(,)()=(38)J kaJIaCIka 22i()2i (23)xyk ffACef-20=(/)ISAf2=Sa=ka11(,)E x yA常数=ka 是圆孔边缘与中心点在同一是圆孔边缘与中心点在同一 方向上光线间方向上光线间的相位差。的相位差。a由由=ka 及及(38)式可见，式可见，光强分布仅与光强分布仅与 有关有关(=/f)，而与方位角而与方位角 坐标无关。坐标无关。(1)衍射图样衍射图样 2.夫朗和费圆孔衍射夫朗和费圆孔
20、衍射222221102()2()(,)()=(38)J kaJIaCIka 这就说明，夫朗和费因孔衍射图样是这就说明，夫朗和费因孔衍射图样是圆形条纹圆形条纹。(1)衍射图样衍射图样222412402()12!22!3!2JII(2)衍射图样的极值特性衍射图样的极值特性由贝塞尔函数的级数定义，可将由贝塞尔函数的级数定义，可将(38)式表示为式表示为222221102()2()(,)()=(38)J kaJIaCIka(2)衍射图样的极值特性衍射图样的极值特性该强度分布曲线如图所示：该强度分布曲线如图所示：0/I I01.03.835.147.028.42-3.83-5.14-7.02-8.420
21、/II01.03.835.147.028.42-3.83-5.14-7.02-8.42矩孔衍射矩孔衍射圆孔衍射圆孔衍射02231.431.432.46II02.461.0(2)衍射图样的极值特性衍射图样的极值特性当当0 时，即对应光轴上的时，即对应光轴上的 P0 点，有点，有 II0，它是它是衍射光强的主极大值衍射光强的主极大值。0/I I01.03.835.147.028.42-3.83-5.14-7.02-8.42(2)衍射图样的极值特性衍射图样的极值特性当当 满足满足 J1()0 时，时，I0，这些，这些 值决定值决定 了了衍射暗环的位置衍射暗环的位置。0/I I01.03.835.14
22、7.028.42-3.83-5.14-7.02-8.42(2)衍射图样的极值特性衍射图样的极值特性在相邻两个暗环之间存在着一个衍射在相邻两个暗环之间存在着一个衍射次极大值次极大值，其，其位置位置由满足下式的由满足下式的 值决定值决定：12()()d0dJJ 0/I I01.03.835.147.028.42-3.83-5.14-7.02-8.42(2)衍射图样的极值特性衍射图样的极值特性下表列出了中央的下表列出了中央的几个亮环和暗环的几个亮环和暗环的 值及光强值及光强：条纹次序条纹次序 2J1()/2光能分布光能分布中央亮绞中央亮绞第一暗纹第一暗纹第一亮纹第一亮纹第二暗纹第二暗纹第二亮纹第二亮
23、纹第三暗纹第三暗纹第三亮纹第三亮纹 0 1.220=3.832 1.635=5.136 2.233=7.016 2.679=8.417 3.238=10.174 3.699=11.620 1 0 0.0175 0 0.00415 0 0.0016 83.78 0 7.22 0 2.77 0 1.46(2)衍射图样的极值特性衍射图样的极值特性由上面的讨论可知，衍射图样中两相邻暗环的间距不由上面的讨论可知，衍射图样中两相邻暗环的间距不相等，相等，距离中心愈远，间距愈小距离中心愈远，间距愈小。(2)衍射图样的极值特性衍射图样的极值特性 第二暗环第一暗环第二暗环第一暗环7.0163.832=3.184
24、；第三暗环第二暗环第三暗环第二暗环10.1747.016=3.158条纹次序条纹次序 2J1()/2光能分布光能分布中央亮绞中央亮绞第一暗纹第一暗纹第一亮纹第一亮纹第二暗纹第二暗纹第二亮纹第二亮纹第三暗纹第三暗纹第三亮纹第三亮纹 0 1.220=3.832 1.635=5.136 2.233=7.016 2.679=8.417 3.238=10.174 3.699=11.620 1 0 0.0175 0 0.00415 0 0.0016 83.78 0 7.22 0 2.77 0 1.46(3)爱里斑爱里斑中央亮斑集中了入射在圆孔上能量的中央亮斑集中了入射在圆孔上能量的83.78，这个，这个亮
25、斑叫亮斑叫爱里斑爱里斑。(3)爱里斑爱里斑爱里斑的半径爱里斑的半径 o 由由第一光强极小值处的第一光强极小值处的 值决定值决定。0/II01.01.225.147.028.42-1.22-5.14-7.02-8.420爱里斑爱里斑I/I01.22(3)爱里斑爱里斑01001.22kakaf(3)爱里斑爱里斑000.61 (40)fa或以角半径或以角半径 0 表示表示因此因此01.220.61 (39)2ffaa(3)爱里斑爱里斑爱里斑的面积为爱里斑的面积为20(0.61)(41)fSSS 为圆孔面积。为圆孔面积。圆孔面积愈小，爱里斑面积愈大，圆孔面积愈小，爱里斑面积愈大，衍射现象愈明显衍射现象
26、愈明显。01.220.61 (39)2ffaa2(P207)由氩离子激光器发出波长由氩离子激光器发出波长 488nm的蓝色平的蓝色平面光，垂直照射在一不透明屏的水平矩形孔上，此矩面光，垂直照射在一不透明屏的水平矩形孔上，此矩形孔尺寸为形孔尺寸为0.75mm 0.25mm。在位于矩形孔附近正。在位于矩形孔附近正透镜透镜(f2.5m)焦平面处的屏上观察衍射图样。试描焦平面处的屏上观察衍射图样。试描绘所形成的中央最大值。绘所形成的中央最大值。解解:中央最大衍射图形为矩形，其长宽分别为中央最大衍射图形为矩形，其长宽分别为3636222.5 10488 103.25mm0.75222.5 10488 1
27、09.76mm0.25fxafyb 课本内习题课本内习题2222022223 26222(0.75 0.25)(2.5 10)(488 10)0.035 =0.0241.488A a bICabfAAA光强为：光强为：10(P208)用波长用波长 0.63 m 的激光粗测一单缝缝宽。的激光粗测一单缝缝宽。若观察屏上衍射条纹左右两个第五级极小的距离是若观察屏上衍射条纹左右两个第五级极小的距离是6.3cm，屏和缝的距离是，屏和缝的距离是5m，求缝宽。，求缝宽。解：解：极小值的位置出现在极小值的位置出现在 2kaxaxmff的地方，其中的地方，其中m=1，2，3，。，20sinII两个第五级极小的间
28、距是两个第五级极小的间距是，335 100.63 10 100.5mm6.3 10axfmxmfafamx 2kaxaxmff考虑：考虑：为什么用单色光作单缝衍射实验时，当缝的宽为什么用单色光作单缝衍射实验时，当缝的宽度比单色光波长大很多或小很多时都观察不到衍射条度比单色光波长大很多或小很多时都观察不到衍射条纹？纹？，3.光学成像系统的分辨本领光学成像系统的分辨本领(分辨率分辨率)光学成像系统的光学成像系统的分辨本领是指能分辨开两个靠近的点分辨本领是指能分辨开两个靠近的点物或物体细节的能力物或物体细节的能力，它是光学成像系统的重要性能，它是光学成像系统的重要性能指标。指标。1)瑞利判据瑞利判据
29、瑞利判据瑞利判据:两个强度波长的两条纹只有当它们的合两个强度波长的两条纹只有当它们的合强度曲线中央极小值低于两边极大值的强度曲线中央极小值低于两边极大值的81%时时,才算才算被分开。被分开。MIM0.81IFG1)瑞利判据瑞利判据设有设有Sl 和和S2 两个非相干点光源，间距为两个非相干点光源，间距为，它们到直它们到直径为径为D 的圆孔距离为的圆孔距离为 R，则，则S1和和S2对圆孔的张角对圆孔的张角 为为RDLS1S2R1)瑞利判据瑞利判据01.22 (42)DS1 和和 S2 将分别在观察屏上将分别在观察屏上形成各自的衍射图样形成各自的衍射图样。假。假设其爱里斑关于圆孔的张角为设其爱里斑关
30、于圆孔的张角为0，则由，则由(40)式有式有000.61 (40)fa1)瑞利判据瑞利判据当当0 时时，两个爱里斑能完全分开，两个爱里斑能完全分开，S1 和和S2 可分辨可分辨;当当 0 时时，两个爱里斑分不开，两个爱里斑分不开，S1 和和 S2不可分辨不可分辨;当当 0 时时，情况比较复杂，不同的人有不同的感，情况比较复杂，不同的人有不同的感觉觉.01.22 (42)DR1)瑞利判据瑞利判据恰恰能能分分辨辨能能分分辨辨不不能能分分辨辨0 0=0 01.00.735(1)人眼睛的分辨本领人眼睛的分辨本领当人眼瞳孔直径为当人眼瞳孔直径为2mm 时，对于最敏感的光波波长时，对于最敏感的光波波长 0
31、.55m，可以算得，可以算得人眼的最小分辨角人眼的最小分辨角e 为为340.55 101.221.223.3 10 rad2eDABen=1.0BA(2)望远镜的分辨本领望远镜的分辨本领望远镜的作用相当于增大人眼睛的瞳孔望远镜的作用相当于增大人眼睛的瞳孔。设望远镜。设望远镜物镜的圆形通光孔径直径为物镜的圆形通光孔径直径为 D，若有两个物点恰好，若有两个物点恰好能为望远镜所分辨开，则根据瑞利判据，张角能为望远镜所分辨开，则根据瑞利判据，张角 为为01.22D望远镜物镜的望远镜物镜的直径直径 D 愈大，分辨本领愈高愈大，分辨本领愈高，且这时，且这时像的光强也增加了。像的光强也增加了。(2)望远镜的
32、分辨本领望远镜的分辨本领天文望远镜物镜的直径做得可达天文望远镜物镜的直径做得可达6m，对于，对于0.55m的的单色光来说，比人眼的分辨本领要大单色光来说，比人眼的分辨本领要大三干倍左右三干倍左右。670.55 101.221.221.12 10 rad6D6430.55 101.221.223.3 10 rad2 10eeD习题习题2 人眼的最小分辨角约为人眼的最小分辨角约为 1，教室中最后一排教室中最后一排(距距黑板黑板 15m)的学生对黑板上的两条黄线的学生对黑板上的两条黄线(5893)的最小的最小分辨距离为多少？并估计瞳孔直径大小。分辨距离为多少？并估计瞳孔直径大小。dminI*S1S2 L解：解：当两黄线恰可分辨时，两爱里斑中心到人眼张角当两黄线恰可分辨时，两爱里斑中心到人眼张角为最小分辨角为最小分辨角min01dLmin01160150.00436(m)180dL 由于由于因此因此01.22D-10-405893 101.221.222.47(mm)2.9 10D
