1、 第第2章章 分子动理论分子动理论 1 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度 2 能量均分定理能量均分定理 3 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 4 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程 1 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度 一、一、理想气体的微观图象理想气体的微观图象 二、二、平衡态下气体分子集体行为的几个结果平衡态下气体分子集体行为的几个结果 三、三、气体分子动理论的压强公式气体分子动理论的压强公式 四、四、温度的统计意义温度的统计意义 五、五、气体分子运动的方均根速率气体分子运动的方均根速率一、一、理想气体的微观图象理想气体的微观图象1.质点质点nkTP 0P在在 T
2、 一定的情况下一定的情况下 n 值小值小意味着分子间距大意味着分子间距大3.除碰撞外除碰撞外 分子间无相互作用分子间无相互作用 f=02.完全弹性碰撞完全弹性碰撞范德瓦耳斯力范德瓦耳斯力(简称：范氏力简称：范氏力)sr0r合力合力斥力斥力引力引力dfO10-9m分子力分子力范德瓦耳斯力范德瓦耳斯力气体之间的距离气体之间的距离08rr 引力可认为是引力可认为是零零可看做理想气体可看做理想气体二、二、平衡态下气体分子集体行为的几个假设平衡态下气体分子集体行为的几个假设1.每个分子运动速度各不相同，而且通过碰撞每个分子运动速度各不相同，而且通过碰撞不断发生变化。不断发生变化。2.分子按位置的分布是均
3、匀的。分子按位置的分布是均匀的。无外场时无外场时 分子在各处出现的概率相同分子在各处出现的概率相同VNVNndd分子数密度处处相同分子数密度处处相同3.分子速度按方向的分布是均匀的分子速度按方向的分布是均匀的iiNiiNxyz00zyx222zyxiiiiixxNN结果结果：iiiiixxNN22zyx222zyxz y x iziyixi2222iziyixi2222zyx222231zyx0三、三、气体分子运动论的压强公式气体分子运动论的压强公式 压强：压强：大量分子碰单位面积器壁的平均作用力大量分子碰单位面积器壁的平均作用力 系统：系统：理想气体理想气体 平衡态平衡态 忽略重力忽略重力
4、设设 N 个个 同种分子同种分子 每个分子质量每个分子质量 m 分子数密度分子数密度 n=N/V 足够大足够大 速度为速度为 的分子数密度的分子数密度 ni=Ni/V N=Ni n=nii器壁器壁xAd取器壁上小面元取器壁上小面元 dA 分子截面面积分子截面面积第第1步：一个分子碰壁步：一个分子碰壁 对对dA的冲量的冲量 设该分子速度为设该分子速度为i冲量是冲量是ixm2tixd)(2(AtnmIixiixidddAtmnixidd22i第第2步：步：dt时间内所有时间内所有分子对分子对dA的冲量的冲量i第第3步：步：dt时间内所有分子对时间内所有分子对dA的冲量的冲量iiId21Atmnii
5、xidd2第第4步：由压强的定义得出结果步：由压强的定义得出结果AFPddAtIdddiiximn20ixiIIdd AditixdAtmnIixiiddd22iiximVN2iixiNVm2NNiixix222xnmPAFPddAtIdddiiximn2231mnP 或或231mnP tnP32221mt分子的平均分子的平均平动动能平动动能压强公式指出压强公式指出:有两个途径可以增加压强有两个途径可以增加压强1)增加分子数密度增加分子数密度n 即增加碰壁的个数即增加碰壁的个数2)增加分子运动的平均平动能增加分子运动的平均平动能 即增加每次碰壁的强度即增加每次碰壁的强度还可表示成还可表示成t四
6、、四、温度的统计意义温度的统计意义tnP32nkTP kTt23 1.温度温度 是大量分子的集体行为是大量分子的集体行为 是统计的结果是统计的结果 (N-数目少无意义数目少无意义)2.物理意义物理意义 温度是分子热运动剧烈程度的量度温度是分子热运动剧烈程度的量度kTt23在温度为在温度为T的情况下的情况下 分子的分子的平均平动动能平均平动动能 与与分子种类无关分子种类无关如如在相同温度的平衡态下在相同温度的平衡态下氧氧气和气和氦氦气分子的气分子的平均平动能相同平均平动能相同3.分子运动的平均平动能分子运动的平均平动能五、气体分子运动的方均根速率五、气体分子运动的方均根速率221mtkT23mk
7、T32AAmNTkN3RT3mkTRT332 2 能量均分定理能量均分定理 一、自由度一、自由度 二、能量按自由度均分原理二、能量按自由度均分原理 三、理想气体的内能三、理想气体的内能 1.自由度自由度 定义定义:确定物体位置的最少的确定物体位置的最少的独立独立坐标数坐标数 2.气体分子的自由度气体分子的自由度单原子分子单原子分子双原子分子双原子分子多原子分子多原子分子3i5i6i二、二、能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理条件：在温度为条件：在温度为T 的平衡态下的平衡态下1.每一平动自由度具有相同的平均动能每一平动自由度具有相同的平均动能 22222121213121233121zyx
8、mmmmkTkT每一平动自由度的平均动能为每一平动自由度的平均动能为kT212.平衡态平衡态 各自由度地位相等各自由度地位相等每一转动自由度每一转动自由度 每一振动自由度也具有每一振动自由度也具有与平动自由度相同的平均动能与平动自由度相同的平均动能 其值也为其值也为kT213.表述表述 在温度为在温度为T 的平衡态下的平衡态下 物质物质(汽汽 液液 固固)分子每个自由度分子每个自由度具有相同的平均动能具有相同的平均动能其值为其值为kT211)能量分配能量分配 没有占优势的自由度没有占优势的自由度2)注意红框框中注意红框框中“词词”的物理含义的物理含义 物质：物质：对象无限制对象无限制-普遍性的
9、一面普遍性的一面平衡态：平衡态：对状态的限制对状态的限制平均动能：平均动能：平均平均-统计的结果统计的结果讨论讨论KkTi2刚性刚性单原子分子单原子分子 双原子分子双原子分子 多原子分子多原子分子kT233)刚性分子刚性分子的平均能量的平均能量只包括平均动能只包括平均动能kT25kT26 三、三、理想气体的内能理想气体的内能 N个粒子组成的系统个粒子组成的系统 分子热运动能量分子热运动能量系统内系统内 所有分子平均动能所有分子平均动能 和和 分子间作用的平均势能分子间作用的平均势能 之总和之总和对于对于理想气体分子间作用力理想气体分子间作用力0fiiE内能定义内能定义:所以分子间作用势能之和为
10、零所以分子间作用势能之和为零内能为内能为kTiNEA20RTi21mol刚性理想气体分子系统刚性理想气体分子系统其内能为其内能为PViRTiEE22mol0 1)一般情况下一般情况下 不加说明不加说明 把分子看作刚性分子把分子看作刚性分子0E)2625(23RTRTRT2)理气内能是温度的单值函数理气内能是温度的单值函数为什么？为什么？(忽略了忽略了势能势能)要点提示：要点提示：系统内能定义；系统内能定义；理想气体模型；理想气体模型；刚性理气；刚性理气；一摩尔理气内能；一摩尔理气内能；摩尔理气内能摩尔理气内能讨论讨论（本题3分）4252一定量的理想气体储存在某容器中，温度为T,气体分子的质量为
11、m，根据理想气体分子模型和统计假设，分子速度在x方向的分量的平均值是：(A)(C)(B)(D)mkTvx8mkTvx831mkTvx380 xv提示：分子速度按方向的分布是均匀的。（本题3分）4251一定量的理想气体储存于某一容器中，温度为T,气体分子的质量为m，根据理想气体的分子模型和统计的假设，分子的速度在x方向的分量平方的平均值为：(A)（）（）（）mkTvx32mkTvx3312mkTvx32mkTvx2mkTmkTvvvvzyx3313122224.（本题3分）4012关于温度的意义，有下列几种说法：(1)气体的温度是分子平均动能的量度。(2)气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现
12、，具有统计意义。(3)温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同。(4)从微观来看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度。上述说法正确的是:(A)(1),(2),(4)(B)(1),(2),(3)(C)(2),(3),(4)(D)(1),(3),(4)提示：温度是个宏观量。5.（本题3分）4014温度，压强相同的氦气和氧气，它们分子的平均动能 和平均平动动能 有如下关系：(A)和 都相等。(B)相等，而 不相等。(C)相等，而 不相等。(D)和 都不相等。wwwww提示：氦气是单原子分子，氧气是双原子分子。5.（本题5分）4021什么叫理想气体的内能？它能否等于零？为什么？答:理想气体内，分
13、子各种运动能量的总和称为理想气体的内能（3分）。因为气体内部分子永远不停地运动着，所以内能永远不会等于零（2分）。3 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律一、麦克斯韦速率分布函数一、麦克斯韦速率分布函数设系统总的分子数为设系统总的分子数为Nd分子速率在分子速率在间隔间隔内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比间隔内的分子数为间隔内的分子数为vdNNNd则则表示表示d分子速率在分子速率在ddNNf)(单位速率间隔内单位速率间隔内分子速率在分子速率在附近附近的分子数占总分子数的百分比的分子数占总分子数的百分比f(v)叫叫麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数ddNNf)(单位速率
14、间隔内的分子数单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比占总分子数的百分比d)(fNNd间隔内的分子数占间隔内的分子数占总分子数的百分比总分子数的百分比分子速率在分子速率在附近附近d分子速率在分子速率在1）f(v)的意义的意义讨论讨论d)(NfNd间隔内的分子数间隔内的分子数1)(00NvNdNfd归一性质归一性质d分子速率在分子速率在2）f(v)的性质的性质曲线下面积恒为曲线下面积恒为11)(0df几何意义几何意义oNNddNNf)(dod)(f2.麦氏速率分布函数曲线麦氏速率分布函数曲线 kTmekTmf2223224)(vfOPvv2vv)(fo二、二、麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布
15、函数 系统：理气系统：理气 平衡态平衡态 1.麦氏速率分布函数麦氏速率分布函数最概然速率最概然速率p)(pf最大最大0)(ddf令令RTmkTp22)(vfOPvv2vv)(fop得得ov)(vf1pv2pv 2T1T)(f o同种分子不同温度同种分子不同温度的速率分布的速率分布ov)(vf1pv2pv 2m1m)(f o12相同温度下不同相同温度下不同种类分子的速率种类分子的速率分布分布三、三、速率分布函数的应用速率分布函数的应用 平均值计算式为平均值计算式为)()(某区间某区间NNddNNN00ddNfN0)(dd0)(f1.计算全空间计算全空间 速率的算术平均值速率的算术平均值d0)(f
16、d22230224kTmekTmmkT88RTRT60.1代入麦氏代入麦氏分布函数分布函数得麦氏分布时得麦氏分布时的平均速率的平均速率2.方均根速率方均根速率麦氏系统麦氏系统(理气理气 平衡态平衡态)若求整个速率空间的方均根速率若求整个速率空间的方均根速率NNfNN02022)(dd02)(dfRT3RT32022)(df1)平均值的计算公式平均值的计算公式注意上下区间的一致性注意上下区间的一致性0)(df2121)()(ddNfNf2121)()(ddff讨论讨论通式：0)(dxfx的函数是vx2)三种速率三种速率每个系统均存在每个系统均存在RTRTRTp73.160.141.12理想气体平
17、衡态有麦氏速率分布理想气体平衡态有麦氏速率分布所以所以p2)(vfOPvv2v三种速率种温度的速率分布分子在两2Nvv)(vfO2NK3001TK12002Tp2)(f)(f3)3)说出下列各式的物理含义说出下列各式的物理含义 dvvvf01.整个区间内分子的平均速率2.dvvfpv速率在pv区间内的分子数占总分子数的百分比3.dvvfvv21速率在21vv 区间内的分子数占总分子数的百分比4.dvvNfvv21速率在21vv 区间内的分子数5.dvvvNfvv21速率在21vv 区间内的分子的速率之和6.dvvNfmvvv21221速率在21vv 区间内的分子的平动动能之和7.2121vvv
18、vdvvfdvvvf 2121vvvvdvvNfdvvvNf速率在21vv 区间内的分子的平均速率4 气体分子的平均自由程与平均碰撞频率气体分子的平均自由程与平均碰撞频率一、一、平均碰撞频率平均碰撞频率二、二、平均自由程平均自由程 在常温下，空气分子速率在常温下，空气分子速率 400500米米/秒，秒，如果在讲台上打开一瓶香水，后排的同学立刻就如果在讲台上打开一瓶香水，后排的同学立刻就可闻到香水味。但实际需要可闻到香水味。但实际需要 12 分钟才能闻到，分钟才能闻到，这是为什么？这是为什么？实际上由于分子激实际上由于分子激烈的热运动，不断地和其烈的热运动，不断地和其它分子碰撞，分子不是走它分子
19、碰撞，分子不是走直线，而是折线。直线，而是折线。跟踪一个分子，设分子是直径为跟踪一个分子，设分子是直径为d的弹性的弹性小球小球1.以直代曲，将分子运动的折线用直线来代替。以直代曲，将分子运动的折线用直线来代替。2.以静代动，认为跟踪的分子运动，其它的分以静代动，认为跟踪的分子运动，其它的分子静止。子静止。4.作直径为作直径为2d、长为的圆柱体（长为的圆柱体（1秒钟分子运秒钟分子运动的距离），体内的气体分子数密度为动的距离），体内的气体分子数密度为n。3.以平均相对速率与其它分子发生弹性碰撞。以平均相对速率与其它分子发生弹性碰撞。uunud2d质心位于圆柱质心位于圆柱体内的分子数，体内的分子数，
20、都能和跟踪的都能和跟踪的分子发生碰撞。分子发生碰撞。圆柱体内的分圆柱体内的分子数，子数，即为分即为分子子1秒钟的碰撞秒钟的碰撞次数次数-平均平均碰撞频率。碰撞频率。udnnVZ2体系有如下与的 关 uv更详细的理论指出：更详细的理论指出：vu2代入平均碰撞频率代入平均碰撞频率udnZ2vdnZ22 分子相邻两次碰撞之间的平均距离。分子相邻两次碰撞之间的平均距离。平均自由程平均自由程=分子在分子在1秒内平均路程秒内平均路程1秒内平均碰撞次数秒内平均碰撞次数Zvvdnv22221dn221dn平均自由程平均自由程由由kTPnPdkT22平均自由程平均自由程说明当温度一定时，平均自由程和压强成反比；
21、当压强一定时，平均自由程和温度成正比。问题：问题：一定质量的气体，保持体积不变，当温一定质量的气体，保持体积不变，当温度增加时，分子运动变得剧烈，平均碰撞频率度增加时，分子运动变得剧烈，平均碰撞频率增加了，平均自由程如何变化？增加了，平均自由程如何变化？解答：解答：根据公式根据公式221dn质量一定，体积保持不变，则气体的分子数密质量一定，体积保持不变，则气体的分子数密度度 n 也不变，也不变，221dn平均自由程也不变。平均自由程也不变。说明：质量一定，体积保持不变时，平均自质量一定，体积保持不变时，平均自由程与体积和压强无关由程与体积和压强无关kTPVNnANmnmRTPVMPVikTiN
22、RTiME222vdnZ22kTk2322313231vnvnmPt221dnPdkT22NkTRTMPVnkTP 222/3224)(vekTmNdvdNvfkTmvRTRTmkTvp41.1221.最概然速率最概然速率RTRTmkTv73.13323.方均根速率方均根速率RTRTmkTv60.1882.平均速率平均速率例：例：容器内盛有氮气，压强为容器内盛有氮气，压强为10atm、温、温度为度为27C，氮分子的摩尔质量为，氮分子的摩尔质量为 28 g/mol,.分子数密度；分子数密度；.质量密度；质量密度；.分子质量；分子质量；.平均平动动能；平均平动动能；.三种速率；三种速率；.平均碰撞
23、频率；平均碰撞频率；.平均自由程。平均自由程。空气分子直径为空气分子直径为310 10m 。求：求：.分子数密度；分子数密度；kTPn3001038.110013.110235n 质量密度质量密度RTP30031.810013.110102853.分子质量分子质量23310022.61028ANm326m1045.23kg/m4.11kg1065.426.平均平动动能平均平动动能kTk233001038.12323k.三种速率三种速率3102830031.8RTRTvp41.1RTv59.1J1021.621298m/s7.417m/s47629859.129841.1RTv73.12.平均碰
24、撞频率平均碰撞频率vdnZ22476)103(1045.2221026Z秒次/106.410.平均自由程平均自由程PdkT2252102310013.110)103(23001038.129873.1m/s515m100.186.(本题3分)5051麦克斯韦速率分布曲线如图所示,图中A,B两部分面积相等,则该图表示:(A)V0为最可几速率.(B)V0为平均速率(C)V0为方均根速率;(D)速率大于和小于V0的分子数各占一半f(v)VAB0V曲线下的面积表示的是速率在某个区间内的分子数占总分子数的百分比。7.（本题3分）4290已知一定量的某种理想气体，在温度为 与 时的分子最可几速率分别为 和
25、 ，分子速率分布函数的最大值分别为 和 ，若 ，则(A)(B)(C)(D)1T2T1pV2pV)(1pVf)(2pVf21TT 21ppVV21ppVV21ppVV21ppVV)()(21ppVfVf)()(21ppVfVf)()(21ppVfVf)()(21ppVfVf图变矮8.(本题3分5541设某种气体的分子速率分布函数为 ，则速率在 区间内的分子的 平均速率为(A)(B)(C)(D)(vf21vv dvvvfvv21)(dvvfvvv21)(dvvfdvvvfvvvv2121)(/)(dvvfdvvvfvv0)(/)(21先写出速率在区间内的分子速率总和，再写出速率在区间内的分子总数，
26、二者的比即为速率在区间内的分子的平均速率.21vv 21vv 21vv 10。（本题3分）4038温度为T时，方均根速率的 速率区间内，氢，氮两种气体分子数占总分子数的百分率相比较：则有（附：麦克斯韦速率分布定律：smv/50212（A）（B）（C）（D）温度较低时 温度较高时vvkmvkmNN.2exp)2(4222322)/(/NHNNNN）（22)/(/NHNNNN）（22)/(/NHNNNN）（22)/(/NHNNNN）（22)/(/NHNNNN）（4038答案及提示 (C)提示：将e指数中的换成这样就有22mvkT2323mNN11。（本题3分）5332 若f(v)为气体分子速率分布
27、函数，N为分子总数，m为分子质量，则 的物理意义是：（A）速率为V2的各分子的总平动动能与速率为V1的各分子的总平动动能动能之差。（B）速率为V2的各分子的总平动动能与速率为V1的各分子的总平动动能动能之和。（C）速率处在速率间隔V1 V2之内的分子的平均平动动能。（D）速率处在速率间隔V1 V2之内的分子平动动能之和。dvvNfmvVV)(212215332答案及提示 (D)根据速率分布函数可得则 NdvdNvf dNdvvNfdNmvdvvNfmvVVVV22212121)(217.（本题5分）4460 已知 为麦克斯韦速率分布函数，N为分子总数，Vp为分子最可几速率，下列各式表示什么物理
28、意义？（1）（2）（3）)(vfdvvfv)(0pvdvvf)(dvvfNpv)(（1）表示分子的平均速率（2分）（2）表示分子速率在区间的分子数占总分子数的百分比（2分）；（3）表示分子速率在区间的分子数（1分）。pvpv12.(本题3分)4041 图示两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线,(VP)02和(VP)H2分别表示氧气和氢气的最可几速率,则(A)图中a表示氧气分子速率分布曲线;(B)图中a表示氧气分子速率分布曲线;(C)图中b表示氧气分子速率分布曲线(D)图中b表示氧气分子速率分布曲线;4/1)/(22HpOpvv 4/1)/(22HpOpvv 4)/(22HpO
29、pvv 4)/(22HpOpvvf(v)VabRTvp214.（本题3分）4047气缸内盛有一定量的氢气（可视为理想气体），当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞次数 和平均自由程 的变化情况是：(A)和 都增大一倍。(B)和 都减为原来的一半。(C)增大一倍而 减为原来的一半。(D)减为原来的一半而 增大一倍。ZZZZZKTPvdZ22PdKT22nKTP 13.（本题3分）4048一定量的理想气体，在温度不变的条件下，当容积增大时，分子的平均碰撞次数 和平均自由程 的变化情况是：(A)减小而 不变。(B)减小而 增大。(C)增大 而 减小。(D)不变而 增大。ZZZZZ提示：容积增大n变小。9.（本题5分）4299在什么条件下，气体分子热运动的平均自由程 与温度T成正比？在什么条件下，与 T无关？答：从可见，对于分子有效直径一定的气体，当压强P恒定时，与T成正比（3分）。从可见，对于分子有效直径一定的气体，当分子总数N和气体体积V恒定时，与T无关（2分）。PdKT22/VNnnd/2/12和
