1、1.3 平面曲线运动平面曲线运动ne法向单位矢量法向单位矢量一、自然坐标系一、自然坐标系（+）（-）te切向单位矢量切向单位矢量时时刻刻的的位位置置t初初始始位位置置O质点运动学方程质点运动学方程)(tss tetsvdd 质点的速度质点的速度方向随位置（时间）变化方向随位置（时间）变化ntee、二、质点作圆周运动时的切向加速度和法向加速度质点作圆周运动时的切向加速度和法向加速度tene 设质点绕圆心设质点绕圆心 O 点作半径为点作半径为 R 的变速率圆周运动，的变速率圆周运动，切向单位矢量切向单位矢量 和法向单位矢量和法向单位矢量 ，则，则 。tevv由由加速度的定义加速度的定义tevetv
2、ttdddd tevtvatd)d(dd Od 设设A点的点的自然坐标自然坐标为为s，曲曲线上无限靠近线上无限靠近A点的点的B点自然坐点自然坐标为标为s+ds，A、B两点对两点对圆心的圆心的张角张角 。d ddRs ntesRed1d ddnteentteee dddd两边除以两边除以 dt 得得nnteRvetsRte dd1ddnnttntea+ea=eRv+etv=a2dd因此因此速度大小变化的快慢速度大小变化的快慢速度方向变化的快慢速度方向变化的快慢切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度22222)()dd(Rvtvaa=ant 22ddddts=tv=atRv=an2 三、一般平面
3、曲线运动中的切向加速度和法向加速度一般平面曲线运动中的切向加速度和法向加速度 2v=antv=atdd为为曲曲率率半半径径 Ox极轴极轴 Ar Bs 四、四、圆周运动的圆周运动的角量描述角量描述1、角位置角位置r 用用 与某一参考方向之间的与某一参考方向之间的夹角来描述的质点位置。夹角来描述的质点位置。2、圆周运动的运动方程、圆周运动的运动方程)(t 3、角位移角位移 rs瞬时角速度瞬时角速度4、角速度角速度平均角速度平均角速度t=t=t=tddlim0 角速度是角位置随时间的变化率。角速度是角位置随时间的变化率。的方向规定为与转向成右手螺旋关系。的方向规定为与转向成右手螺旋关系。vrxyz2
4、20ddddlimt=t=t=t瞬时角加速度瞬时角加速度五、角量与线量的关系五、角量与线量的关系5、角加速度角加速度平均角加速度平均角加速度t=r=str=tsttlimlim00nnttntea+ea=eRv+etv=a2dd rv nter+etr=a2ddr=at2r=anr=v六、圆周运动的第二类运动学问题六、圆周运动的第二类运动学问题积分积分积分积分tv=atddta+v=vttd00 ts=vdd)(ts=s切向加速度切向加速度 at 和和初始条件初始条件速率方程和自然坐标速率方程和自然坐标表示的运动方程表示的运动方程角加速度角加速度 和初始条件和初始条件角速度方程和以角量角速度方
5、程和以角量表示的运动方程表示的运动方程)(t=t=dd t+=td00 t=dd 解解 （1）由由角速度角速度和和角加速度角加速度的定义，得的定义，得t=ddt=dd把把 t=2s代入代入运动方程运动方程、角速度角速度和和角加速度方程角加速度方程，可得，可得22233rad/s2421212rad/s273+2636rad2223+2232=t=+t=t+t=例题例题1-6 一质点作半径为一质点作半径为 R=1.0 m的圆周运动，其运动方的圆周运动，其运动方程为程为 =2t 3+3t，其中其中 以以 rad 计，计，t 以以 s 计。计。试求试求：（：（1）t =2s时质点的角位置、角速度和角
6、加速度。时质点的角位置、角速度和角加速度。（2）t =2s时质点的切向加速度、法向加速度和加速度。时质点的切向加速度、法向加速度和加速度。362+t=t=12（2）根据根据线量与角量的关系线量与角量的关系，可得，可得2R=aR=ant 加速度加速度)(m/s729242ntnntte+e=ea+ea=a加速度的大小加速度的大小2222n2tm/s72972924 aaa设加速度与法向加速度的夹角为设加速度与法向加速度的夹角为，则则0nt9.1,0329.072924tan aa222729m/s=271.0=24m/s=241.0=解：解：设加速度与速度方向的夹角为设加速度与速度方向的夹角为，
7、则，则tnaa tantantanRvatvant2dd即即 tandd2Rtvv 所以所以两边积分两边积分 tan11tandd0 0 20RtvvRtvvtvv tvRRvv00tantan 例题例题1-7 1-7 质点沿半径为质点沿半径为 R 的圆轨道运动的圆轨道运动，初速度为初速度为v0，加，加速度与速速度与速 度方向的夹角恒定，如图所示求速度的大小与时间度方向的夹角恒定，如图所示求速度的大小与时间的关系。的关系。例题例题1-8 1-8 如图如图1-111-11所示，汽车以所示，汽车以5 5 的匀速率在广场上沿半的匀速率在广场上沿半径为径为 =250m=250m的环形马路上行驶。当汽车
8、油门关闭以后，由于与地的环形马路上行驶。当汽车油门关闭以后，由于与地面的摩擦作用，汽车沿马路匀减速滑行面的摩擦作用，汽车沿马路匀减速滑行50m50m而停止，试求：而停止，试求：（1 1）汽车在关闭油门前运动的加速度。）汽车在关闭油门前运动的加速度。（2 2）汽车在关闭油门后）汽车在关闭油门后4s4s时运动的加速度。时运动的加速度。1sm Rv解：解：（1 1）汽车）汽车关闭油门前关闭油门前作匀速率圆作匀速率圆周运动，其切向加速度和法向加速度分别为周运动，其切向加速度和法向加速度分别为220ntsm1.0/,0 Rvaa则，其方向指向环心则，其方向指向环心O O。2nsm10.aa（2 2）汽车
9、在关闭油门后滑行）汽车在关闭油门后滑行50m50m而停止。汽车的切向加速度为而停止。汽车的切向加速度为222202tsm25.0sm502502 svva油门关闭油门关闭4s4s时时，汽车的速率为，汽车的速率为1104442505SmSmtavvt).(naaRO ta此时法向加速度此时法向加速度 为为:na224nsm064.0 Rva总加速度的大小为总加速度的大小为:22n2tsm2580 .aaa与与 的夹角为的夹角为 av83165)256.0arctan(arctantn aaOO例题例题1-91-9质点沿半径质点沿半径R=3mR=3m的圆周运动，如图所示。已知切向加速度的圆周运动，
10、如图所示。已知切向加速度 ，时质点在时质点在O O点，其速度点，其速度 ，试求：，试求：（1 1）t=1st=1s时质点速度和加速度的大小；时质点速度和加速度的大小；（2 2）第）第2 2秒内质点所通过的路程。秒内质点所通过的路程。-2tsm3 a0t00vnaaRO ta 解解：取取t=0t=0时质点的位置时质点的位置O O为自然坐标系原点，以质点运动为自然坐标系原点，以质点运动的方向为自然坐标正向，并设任意时刻的方向为自然坐标正向，并设任意时刻t t质点的速度为质点的速度为v v，自然，自然坐标为坐标为s s （1 1）由）由 得得 ，利用初始条件作定积分，利用初始条件作定积分tvaddt
11、 tavddt tvtav0t0ddtavt得得RtaRva22t2n 2t222t2t2n)(aRtaaaa 代入代入t=1st=1s，可得质点的速度和加速度的大小为，可得质点的速度和加速度的大小为 -1-1tsm3sm13 tav2222222t222tsm24.4sm3)313()(aRtaaOO（2 2）由由 得得 ，利用初始条件作定积分，利用初始条件作定积分tsvdd tvsdd tsttas0t0dd2t21tas 代入数据可得第代入数据可得第2 2秒内质点通过的路程为秒内质点通过的路程为 m5.4m)12(32122 s1.4 相对运动相对运动 同一质点在不同参考系中的位置矢量、
12、速度和加速度同一质点在不同参考系中的位置矢量、速度和加速度等物理量之间的关系的规律。等物理量之间的关系的规律。物体运动的描述物体运动的描述依赖于依赖于观察者所处的观察者所处的参考系参考系.一、一、位移关系位移关系D+r=r 质点在质点在相对作匀速直线运动相对作匀速直线运动的两个的两个坐标系中的坐标系中的位移：位移：二、二、速度关系速度关系trvtDtr伽利略速度相加定理伽利略速度相加定理:BAv对对BCv对对CAv对对（S 系相对于系相对于S系）系）uv（相对于（相对于S 系）系）v（相对于（相对于S系）系）xx OO PP yy yyPPQrrDxx DOOu0 at)(tt b)(取取t0
13、时的极限值，得时的极限值，得trvdd tRtrdddd 三、三、加速度关系加速度关系tvadd tutvdddd 0aa BAa对对BCa对对CAa对对 两个参考系中的位矢（或位移）直接相加，实际上是默两个参考系中的位矢（或位移）直接相加，实际上是默认两个条件：认两个条件：长度的测量是绝对的；时间的测量是绝对的。长度的测量是绝对的；时间的测量是绝对的。四、四、适用条件适用条件宏观、低速情况宏观、低速情况0aaa 特例：特例：若若 S 系相对系相对 S 系作匀速运动，则有：系作匀速运动，则有：00 aaa 例题补充例题补充1 在河水流速在河水流速v0=2 m/s 的地方有小船渡河，如的地方有小
14、船渡河，如希望小船以希望小船以v=4 m/s 的速率垂直于河岸横渡，问小船相对于的速率垂直于河岸横渡，问小船相对于河水的速度大小和方向应如何？河水的速度大小和方向应如何？船船对对岸岸v船船对对水水v岸岸对对水水v所以：所以：22岸对水岸对水船对岸船对岸船对水船对水vvv 2242 s)/(m47.4 岸对水岸对水船对岸船对岸vvtg1 6.116 解解 取河水的流向如图。取河水的流向如图。岸岸对对水水船船对对岸岸船船对对水水vvv s/m2 岸岸对对水水vs/m4 船对岸船对岸v与水流方向间的夹角为：与水流方向间的夹角为：船船对对水水v水水对对岸岸v北岸北岸南岸南岸船船对对水水v要求的是要求的
15、是 。例题补充例题补充2 倾角为倾角为=300 的劈形物体放置在水平地面上，的劈形物体放置在水平地面上，当斜面上的木块沿斜面下滑时，劈形物体以加速度为当斜面上的木块沿斜面下滑时，劈形物体以加速度为4 m/s2 向右运动。已知木块相对斜面的加速度为向右运动。已知木块相对斜面的加速度为6 m/s2。求：木块求：木块相对地面的加速度。相对地面的加速度。ia4斜斜对对地地斜对地斜对地木对斜木对斜木对地木对地aaa解：解：建如图坐标系。要求解的是建如图坐标系。要求解的是 。木木对对地地a30由于：由于：斜斜对对地地木木对对斜斜木木对对地地aaaoyx木木对对斜斜a斜斜对对地地a木木对对地地ajia003
16、06306sincos木木对对斜斜)()(2m/s3334ji 例题例题1-111-11一带蓬卡车高一带蓬卡车高h h=2m=2m，它停在马路上时雨点可落在车，它停在马路上时雨点可落在车内到达蓬后沿前方内到达蓬后沿前方d=1md=1m处，当它以处，当它以15 15 速率沿平直马路行速率沿平直马路行驶时，雨恰好不能落入车内，如图。求雨滴相对地面的速度及驶时，雨恰好不能落入车内，如图。求雨滴相对地面的速度及雨滴相对车的速度。雨滴相对车的速度。1hkm1d2h5uvv解解:选地面为选地面为S S系，车为系，车为S S系，系，S系相对系相对S S系运动系运动速率为速率为 。所求雨滴相对。所求雨滴相对地
17、面的速度为地面的速度为 ，雨滴相对车的速度，雨滴相对车的速度为为 。根据伽利略速度相加定理，则有。根据伽利略速度相加定理，则有15u1hkmv vuvv 40.63arctan dh 且且 与与u u垂直，可得垂直，可得 v11hkm533hkm46315.cosuvcos11hkm9529hkm463533.sin.sinvv 例题例题1-121-12 在相对地面静止的坐标系内，在相对地面静止的坐标系内，A A，B B两船都以两船都以2 2 的速率匀速行驶，的速率匀速行驶，A A 船沿船沿x x轴正向，轴正向，B B 船沿船沿y y轴正向，今在轴正向，今在A A 船上设船上设置与静止坐标系方
18、向相同的坐标系（置与静止坐标系方向相同的坐标系（x x，y y单位矢量分别用单位矢量分别用 表示），求在表示），求在A A 船上看船上看B B 船的速度。船的速度。1smji,解解:选地面为选地面为S S系，系，A A船为船为S S系，系，B B 船为运动物体，船为运动物体，S系相对系相对S S系运系运动速度为动速度为 ，B B 船对船对S S系的运动速度系的运动速度 。根据伽利略速度相加定理，则根据伽利略速度相加定理，则B B 船对船对S系的运动速度为系的运动速度为m/si 2u smjv/2 11s)m(s)m(jiijuvv2222基本物理量基本物理量位置矢量位置矢量)(trr 位位 移移12rrr 速速 度度加速度加速度22trtvadddd trvdd)(t tdd 22ttdddd 12 线线 量量角角 量量线量与角量的关系线量与角量的关系 Rtvat dd Rv 22 RRvan 运动的相对性运动的相对性BCCABAvvv对对对对对对 作业：作业：1-9、17、18
