1、第三章第三章 连续基础连续基础4第一节第一节概述概述4第二节第二节 地基、基础与上部结构相互作用概念地基、基础与上部结构相互作用概念4第三节第三节地基计算模型地基计算模型4第四节第四节文克尔地基上梁的计算文克尔地基上梁的计算4第五节第五节地基上梁的数值分析地基上梁的数值分析4第六节第六节柱下条形基础柱下条形基础4第七节第七节 柱下交叉条形基础柱下交叉条形基础4第八节第八节 筏形、筏形、箱形基础箱形基础柱下条形基础、交叉条形基础、筏形基础和箱形基础统称为柱下条形基础、交叉条形基础、筏形基础和箱形基础统称为连续基础。连续基础。1基础底面积较大，利用增大的底板面积提高地基承载力；基础底面积较大，利用
2、增大的底板面积提高地基承载力；2利用基础底板的连续性提高基础整体刚度，满足不均匀沉降或建筑利用基础底板的连续性提高基础整体刚度，满足不均匀沉降或建筑物的抗震要求；物的抗震要求；3满足设置地下室的构造要求（箱形或筏形基础）或进行基础的补偿满足设置地下室的构造要求（箱形或筏形基础）或进行基础的补偿性设计（以挖去的土重补偿建筑物的部分重量）。性设计（以挖去的土重补偿建筑物的部分重量）。3.1 概概 述述连续基础的特点：连续基础的特点：所谓补偿性基础，所谓补偿性基础，又称浮基础。即如果基础有足够埋深使得基底的实际压力等于该处原来又称浮基础。即如果基础有足够埋深使得基底的实际压力等于该处原来的土自重压力
3、的土自重压力,即基坑开挖移去的土重补偿了建筑物包括基础及覆土的重量，即基坑开挖移去的土重补偿了建筑物包括基础及覆土的重量，这样从理论这样从理论上讲就不会在地基中产生附加应力，亦不会引起基础沉降和地基剪切破坏上讲就不会在地基中产生附加应力，亦不会引起基础沉降和地基剪切破坏,按上述概念进按上述概念进行的地基基础设计称为行的地基基础设计称为补偿性设计补偿性设计，这样设计的基础称为，这样设计的基础称为补偿性基础补偿性基础。最常用的型式为。最常用的型式为片片筏与箱形基础。筏与箱形基础。3.2 地基、基础与上部结构相互作用的概念地基、基础与上部结构相互作用的概念 上部结构、地基和基础是建筑体系中的上部结构
4、、地基和基础是建筑体系中的3 3个有机组成部分。在荷载的个有机组成部分。在荷载的作用下，作用下，三者不但要保持力的平衡，在变形上也必须协调一致，三部分三者不但要保持力的平衡，在变形上也必须协调一致，三部分之间不但要满足之间不但要满足力的平衡关系力的平衡关系，也需要满足，也需要满足变形协调条件变形协调条件。基础的变形情况对地基反力有重要影响，地基的变形和地基反力的基础的变形情况对地基反力有重要影响，地基的变形和地基反力的分布又会对基础和上部结构的内力产生影响。这就是通常所说的分布又会对基础和上部结构的内力产生影响。这就是通常所说的上部结上部结构、基础和地基的相互作用构、基础和地基的相互作用，也就
5、是三者的共同作用问题。，也就是三者的共同作用问题。连续基础连续基础一般可看成是地基上的受弯构件一般可看成是地基上的受弯构件-梁或板。它们的挠曲特征、梁或板。它们的挠曲特征、基底反力和截面内力分布都与基底反力和截面内力分布都与地基、基础以及上部结构的相对刚度地基、基础以及上部结构的相对刚度有关，有关，故应从三者相互作用的观点出发，采用恰当的方法进行故应从三者相互作用的观点出发，采用恰当的方法进行地基上梁或板地基上梁或板的的分析与设计。分析与设计。常规设计方法常规设计方法分离框架分离框架（底端作为（底端作为固定支座）固定支座）支座反力作支座反力作为上部结构为上部结构荷载作用于荷载作用于基础上，进基
6、础上，进而求得基础而求得基础截面内力与截面内力与基底压力并基底压力并验算地基承验算地基承载力与沉降载力与沉降因存在偏心荷因存在偏心荷载，基底反力载，基底反力呈梯形分布呈梯形分布注：常规设计法满足下列条件，即认为可行注：常规设计法满足下列条件，即认为可行1、地基、地基沉降较小或较均匀沉降较小或较均匀。若不均匀沉降大，则引起很大附加内力，导构结构不安全。若不均匀沉降大，则引起很大附加内力，导构结构不安全。2、基础刚度大基础刚度大。基础刚度较大时，可认为基底反力近似呈直线（均匀）分布。基础刚度较大时，可认为基底反力近似呈直线（均匀）分布。3.2.1 地基与基础的相互作用地基与基础的相互作用（1）柔性
7、基础（）柔性基础（EI很小）很小）1排架结构或木结构；排架结构或木结构；2.三铰拱结构三铰拱结构 3.其他静定结构其他静定结构基底反力分布与地基、基础、上部结构基底反力分布与地基、基础、上部结构等因素有关，本章等因素有关，本章仅考虑基础本身刚度仅考虑基础本身刚度作用而忽略上部结构的影响。作用而忽略上部结构的影响。不能扩散应力，基底反力分布与作不能扩散应力，基底反力分布与作用于基础上的荷载分布完全一致。用于基础上的荷载分布完全一致。均布荷载均布荷载沉降中间大、边缘小沉降中间大、边缘小非均布荷载两边大、非均布荷载两边大、中间小，可减小地基中间小，可减小地基不均匀沉降不均匀沉降 1、基底反力分布规律
8、、基底反力分布规律（2）刚性基础（）刚性基础（EI很大）：烟囱、水塔基础很大）：烟囱、水塔基础 一般来说，无论粘性土还是无粘性土，只要刚性基础埋深和基底面积一般来说，无论粘性土还是无粘性土，只要刚性基础埋深和基底面积足够大，而荷载又不太大，基底反力均呈足够大，而荷载又不太大，基底反力均呈马鞍形分布。马鞍形分布。因基础刚度大，沉降后基础仍保持平面。中心荷载下，基础将均匀下沉。因基础刚度大，沉降后基础仍保持平面。中心荷载下，基础将均匀下沉。按弹性理论求得的刚性基础基底反力为边缘大、中间小，但地基土的抗剪强度按弹性理论求得的刚性基础基底反力为边缘大、中间小，但地基土的抗剪强度有限，基础边缘有限，基础
9、边缘 土体先破坏，故此处的基底反力将受周边土体限制，且基底反土体先破坏，故此处的基底反力将受周边土体限制，且基底反力重分布力重分布呈马鞍形呈马鞍形，由此可见，由此可见刚性基础能跨越基底中部，将承担的荷载相对集刚性基础能跨越基底中部，将承担的荷载相对集中地传至基底边缘中地传至基底边缘，称之为，称之为“架越作用架越作用”。P硬粘土地基上的刚性基础，硬粘土地基上的刚性基础，不论有无超载，反力均呈不论有无超载，反力均呈马马鞍形分布鞍形分布砂土地基上的刚性基础，因砂粒砂土地基上的刚性基础，因砂粒易侧向挤出，故不论有无超载，易侧向挤出，故不论有无超载，反力均呈反力均呈抛物线形分布抛物线形分布相对刚度的概念
10、相对刚度的概念基础（上部结构）基础（上部结构）与与地基地基之间的刚度比；之间的刚度比；有限刚度基础有限刚度基础 基础具有有限刚度，具有变形协调功能，调整地基的不均匀沉降；基础具有有限刚度，具有变形协调功能，调整地基的不均匀沉降；地基的不均匀沉降同时引起上部结构中的变形，产生次应力导致结构开地基的不均匀沉降同时引起上部结构中的变形，产生次应力导致结构开裂、破坏等。裂、破坏等。（3）基础相对刚度的影响）基础相对刚度的影响注：注：a.基础相对刚度越大，越容易产生应力扩散，从而使基底反力分布均匀；基础相对刚度越大，越容易产生应力扩散，从而使基底反力分布均匀；b.基础相对刚度越小，越可能出现应力集中，从
11、而使基底反力分布集中；基础相对刚度越小，越可能出现应力集中，从而使基底反力分布集中；c.基础架越作用强弱取决于基础的相对刚度、土的压缩性以及基底下塑性区基础架越作用强弱取决于基础的相对刚度、土的压缩性以及基底下塑性区的大小。一般来说，的大小。一般来说，相对刚度越大，沉降越均匀相对刚度越大，沉降越均匀，但基础内力增大，故当地，但基础内力增大，故当地基局部软硬变化较大时，可采用基局部软硬变化较大时，可采用整体刚度大的连续基础整体刚度大的连续基础；而当地基为岩石等；而当地基为岩石等低压缩性地基时，采用低压缩性地基时，采用扩展基础扩展基础，以充分利用地基强度、节省造价。，以充分利用地基强度、节省造价。
12、（4）邻近荷载的影响）邻近荷载的影响若基础受到相邻荷载影响，受影响一侧的沉降量会增大若基础受到相邻荷载影响，受影响一侧的沉降量会增大（导致基底面与地基有脱离趋势），从而使反力卸载，（导致基底面与地基有脱离趋势），从而使反力卸载，并使反力向基础中部转移，此时基底反力分布会发生明并使反力向基础中部转移，此时基底反力分布会发生明显的变化（应力重分布），而区别于马鞍形分布。显的变化（应力重分布），而区别于马鞍形分布。软软硬硬 软软硬硬 底板内力计算通常按均质地基考虑，当地基压缩性显著不均匀时，会底板内力计算通常按均质地基考虑，当地基压缩性显著不均匀时，会对基础底板的内力分布产生较大的影响。对基础底板的
13、内力分布产生较大的影响。2.地基非均质性的影响地基非均质性的影响两端压缩性大，两端压缩性大，中间小中间小两端压缩性小，两端压缩性小，中间大中间大软软硬硬 硬硬 软软软软硬硬 软软硬硬 荷载相同荷载相同地基不同地基不同荷载不同荷载不同地基不同地基不同有利有利不利不利基础内力小基础内力小基础内力大基础内力大3.2.2 地基变形对上部结构的影响地基变形对上部结构的影响 上部结构类型上部结构类型柔性结构柔性结构（木结构、排架结构）（木结构、排架结构）敏感性结构敏感性结构（砖石砌体、钢筋砼框架结构）（砖石砌体、钢筋砼框架结构）刚性结构刚性结构（烟囱、水塔、高炉、筒仓）（烟囱、水塔、高炉、筒仓）地基变形对
14、上部结构影响较小；地基变形对上部结构影响较小；对地基不均匀沉降比较敏感，对地基不均匀沉降比较敏感，会引起较大附加应力。会引起较大附加应力。具有调整地基不均匀沉降的能力。具有调整地基不均匀沉降的能力。整个上部结构对基础不均匀沉降或挠曲的抵抗能力，称为整个上部结构对基础不均匀沉降或挠曲的抵抗能力，称为上部结构刚上部结构刚度度，或称为，或称为整体刚度整体刚度。按整体刚度可将上部结构分为以下三种类型：。按整体刚度可将上部结构分为以下三种类型：虽然对地基变形限制较宽，虽然对地基变形限制较宽，但仍然不允许地基出现但仍然不允许地基出现过量过量的沉降或沉降差。的沉降或沉降差。敏感结构对基础间的敏感结构对基础间
15、的沉降差沉降差较敏感，较敏感，若结构本身强度不若结构本身强度不足，很容易产生开裂现象。足，很容易产生开裂现象。当地基不均匀或在邻近荷当地基不均匀或在邻近荷载影响下，基础转动载影响下，基础转动倾斜倾斜，但几乎但几乎不发生相对挠曲。不发生相对挠曲。基础刚度越大，挠曲越小，上部结构的次应力就越小，故对高压缩性地基上的框架结构，基础刚基础刚度越大，挠曲越小，上部结构的次应力就越小，故对高压缩性地基上的框架结构，基础刚度宜刚不宜柔；而对柔性结构，在满足允许沉降值的前提下，基础刚度宜小不宜大，且不一定需度宜刚不宜柔；而对柔性结构，在满足允许沉降值的前提下，基础刚度宜小不宜大，且不一定需要采用连续基础。要采
16、用连续基础。3.2.3 上部结构刚度对基础受力的影响上部结构刚度对基础受力的影响绝对刚性绝对刚性上部结构上部结构注：注：1）除了像烟囱、高炉等整体构筑物可认为是绝对刚性外，）除了像烟囱、高炉等整体构筑物可认为是绝对刚性外，绝大多数建筑物的刚度介于绝对刚度和完绝大多数建筑物的刚度介于绝对刚度和完全柔性之间；全柔性之间；2）目前尚无法定量计算建筑物刚度，只能）目前尚无法定量计算建筑物刚度，只能定性判断接近哪一种极端情况定性判断接近哪一种极端情况，如剪力墙体系和筒体结构，如剪力墙体系和筒体结构的高层建筑认为是接近绝对刚性的，而单层排架和静定结构是接近完全柔性的；的高层建筑认为是接近绝对刚性的，而单层
17、排架和静定结构是接近完全柔性的；3）若地基压缩性小、基础不均匀沉降很小，则考虑地基）若地基压缩性小、基础不均匀沉降很小，则考虑地基-基础基础-上部结构的相互作用意义不大（因为上部结构的相互作用意义不大（因为无需考虑三者之间对不均匀沉降的调整作用）。故在相互作用无需考虑三者之间对不均匀沉降的调整作用）。故在相互作用中起主导作用的是地基，其次是基础，中起主导作用的是地基，其次是基础，而上部结构则是在具有较大压缩性地基上且基础整体刚度有限时起到重要作用。而上部结构则是在具有较大压缩性地基上且基础整体刚度有限时起到重要作用。完全柔性完全柔性上部结构上部结构地基变形时，各柱子同时下沉，对条基变地基变形时
18、，各柱子同时下沉，对条基变形而言，相当于在柱位处提供不动支座，形而言，相当于在柱位处提供不动支座，在地基反力作用下，犹如在地基反力作用下，犹如倒置的连续梁。倒置的连续梁。除了传递荷载外，对条形基础变形豪无约除了传递荷载外，对条形基础变形豪无约束作用，即束作用，即上部结构不参与相互作用。上部结构不参与相互作用。只有局部弯曲只有局部弯曲没有整体弯曲没有整体弯曲既有局部弯曲既有局部弯曲又有整体弯曲又有整体弯曲地基计算模型地基计算模型指反映基底反力与地基表面沉降之间指反映基底反力与地基表面沉降之间的数学关系。目前使用的地基计算模型的数学关系。目前使用的地基计算模型主要是线性弹性主要是线性弹性计算模型。
19、计算模型。3.3 地基计算模型地基计算模型在进行建筑物的上部结构、基础与地基的共同工作分析中，在进行建筑物的上部结构、基础与地基的共同工作分析中，或者进行地基上梁板的分析计算中，首先要确定地基反力或者进行地基上梁板的分析计算中，首先要确定地基反力的分布规律，即要解决的分布规律，即要解决基础底板与地基表面之间地基反力基础底板与地基表面之间地基反力与地基变形的问题与地基变形的问题，为此引入了，为此引入了地基计算模型。地基计算模型。3.3.1 文克勒（文克勒（Winkler）地基模型）地基模型 基本原理基本原理将地基离散为一系列互不相干的土弹簧，也就是将地基分解为一系将地基离散为一系列互不相干的土弹
20、簧，也就是将地基分解为一系列竖直的土柱并略去了土柱之间的剪力，由此得出了列竖直的土柱并略去了土柱之间的剪力，由此得出了地基表面的压地基表面的压力与沉降成正比力与沉降成正比，而且，而且地基表面各点之间互不相干地基表面各点之间互不相干的结论。的结论。skpk：基床系数，：基床系数，可由地基载荷试验求得，在没有资料的情况下也可可由地基载荷试验求得，在没有资料的情况下也可参照相关表格查得。参照相关表格查得。地基基床系数表地基基床系数表Winkler 地基模型地基模型Winkler 地基模型与真实地基的比较地基模型与真实地基的比较基底反力图形基底反力图形与基底竖向位与基底竖向位移形状相似移形状相似弹簧模
21、型弹簧模型偏心集中荷载偏心集中荷载下的刚性基础下的刚性基础中心集中荷载中心集中荷载下的刚性基础下的刚性基础均布荷载下均布荷载下的刚性基础的刚性基础基础刚度大，受荷后基基础刚度大，受荷后基底面仍保持为平面，基底面仍保持为平面，基底反力直线分布底反力直线分布由弹簧代表的土柱在产生竖向变形时，由弹簧代表的土柱在产生竖向变形时，与相邻土柱间没有摩阻力，故与相邻土柱间没有摩阻力，故地基中只地基中只有正应力没有剪应力，且地基变形只限有正应力没有剪应力，且地基变形只限于基底面范围内。于基底面范围内。实际上，土柱间是存在剪应力的，实际上，土柱间是存在剪应力的，且正是由于且正是由于剪应力的存在剪应力的存在，使基
22、底，使基底压力在地基中产生压力在地基中产生应力扩散应力扩散，并使，并使基底以外基底以外的地表产生沉降。的地表产生沉降。1）抗剪强度比较低的半液性地基（淤泥、软粘土）；）抗剪强度比较低的半液性地基（淤泥、软粘土）；2）厚度不超过基底面宽度一半薄压缩层，这时地基产生应力集中，）厚度不超过基底面宽度一半薄压缩层，这时地基产生应力集中，剪应力很小；剪应力很小；3）基底下塑性区相对较大的地基；基底下塑性区相对较大的地基；4）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系代替群桩。）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系代替群桩。柔性地基柔性地基 适用条件适用条件文克尔地基模型因参数少、便于应用，一般认为凡文克尔地基
23、模型因参数少、便于应用，一般认为凡力学性质与力学性质与水水相相近的地基近的地基，采用该模型比较适合。，采用该模型比较适合。要求地基中尽量要求地基中尽量不存在或少存在不存在或少存在剪应力。剪应力。3.3.2 弹性半空间地基模型弹性半空间地基模型 基本原理基本原理将地基看成均质、各向同性的弹性半空间。将地基看成均质、各向同性的弹性半空间。地基上任一点的沉降量地基上任一点的沉降量s(x,y)与整个基底的压力有关与整个基底的压力有关。按弹性力学公式计算地基中的附加应。按弹性力学公式计算地基中的附加应力与变形。一般情况下，可用数值方法求得近似解力与变形。一般情况下，可用数值方法求得近似解。基本计算公式基
24、本计算公式根据根据 Boussinesq 解，地基表面一点作用有竖向集中荷载解，地基表面一点作用有竖向集中荷载 P 时，地基时，地基表面任意点的竖向位移：表面任意点的竖向位移：Er1Ps2 )(沉降计算点与坐标原点间沉降计算点与坐标原点间水平距离。水平距离。rxyzFsxyobcijo当地基表面作用有矩形分布荷载时，以荷载的中心点为坐标原点建立当地基表面作用有矩形分布荷载时，以荷载的中心点为坐标原点建立坐标系，则坐标系，则任意微元面积上的荷载在地基表面任意点引起的沉降任意微元面积上的荷载在地基表面任意点引起的沉降可根可根据改写为：据改写为：2202yxEdd1pds)()()(dd 利用上述公
25、式对整个荷载区域积分，可以求得地基表面任意点利用上述公式对整个荷载区域积分，可以求得地基表面任意点 i（x，y）的竖向位移的计算式：的竖向位移的计算式：2c2c2b2b2202iyxdpdE1s/)()()(对于矩形均布荷载，对于矩形均布荷载，p=p0为常数，矩形中心点的沉降变形，积分后可为常数，矩形中心点的沉降变形，积分后可得到如下计算表达式：得到如下计算表达式：0222202ipbblllnblblblnlE12s )(弹性半空间地基模型克服了弹性半空间地基模型克服了Winkler地基模型的主要缺点地基模型的主要缺点（不考虑剪应力），（不考虑剪应力），比比Winkler地基模型更合理。但它
26、假定地基是地基模型更合理。但它假定地基是各向同性均质土体各向同性均质土体，这是其不足之处。，这是其不足之处。1）将矩形区域划分为将矩形区域划分为n个小区个小区域；域；2）假定作用在任一网格上）假定作用在任一网格上Ai的的上基底压力上基底压力pi近似认为是均匀分近似认为是均匀分布的；布的；3）在区格）在区格Aj上作用的总压力上作用的总压力Rj=Ajpj（Rj称为集中基底压力），称为集中基底压力），它作用在它作用在Aj面积的形心上面积的形心上；4）当）当Rj=1时有时有pj=Rj/Aj=1/Aj；计算模型的建立计算模型的建立 5）定义沉降系数）定义沉降系数ij为为j网格上有均布压力网格上有均布压力
27、pj=1/Aj作用时，在作用时，在i网格中点引网格中点引起的沉降量，根据叠加原理，起的沉降量，根据叠加原理，i网格中点的总沉降量应是网格中点的总沉降量应是n个网格上作用的个网格上作用的基底压力分别作用后引起的沉降量之和：基底压力分别作用后引起的沉降量之和：),(n21jRApsjn1jn1jijjjiji 对于所有对于所有n个格点，写成个格点，写成矩阵形式矩阵形式时：时：s=R 或或 R=Ks n1n1nn1nn111RRRsss;地基地基柔度柔度矩阵矩阵地基地基刚度刚度矩阵矩阵称为称为地基柔度矩阵地基柔度矩阵，K=-1称为称为地基刚度矩阵地基刚度矩阵，矩阵元素，矩阵元素ij 可利用土力学中的
28、角点法求得可利用土力学中的角点法求得 弹性半空间地基模型可考虑扩散应力和变形的特点，但计算结果往往弹性半空间地基模型可考虑扩散应力和变形的特点，但计算结果往往超过实际情况，这是由于超过实际情况，这是由于实际地基是有限压缩层（非半无限）而且是实际地基是有限压缩层（非半无限）而且是非均质的。非均质的。)()()()(jiyyxx1jibblllnl1lblblnb12E12ji2jij2j2jjjj2j2jjj02j i 按作用于按作用于j网格上的均布网格上的均布荷载荷载pj=1/Aj以式以式3-3计计算（代入算（代入:Aj=bj*lj）近似按作用于近似按作用于j点上的单点上的单位集中基底压力位集
29、中基底压力Rj=1以式以式3-2计算（代入）计算（代入）0222202ipbblllnblblblnlE12s )(jjbl 11/Apjj2202yxEdd1pds)()()(1RjjjAP3-33-2xyijpj=1/Ajhtitij硬层或压缩层下限3.3.3 有限压缩层地基模型有限压缩层地基模型假定地基土在假定地基土在完全侧限条完全侧限条件下件下的压缩变形与附加应的压缩变形与附加应力成正比，力成正比，地基沉降量为地基沉降量为有限压缩层范围内各分层有限压缩层范围内各分层压缩量之和压缩量之和，利用土力学，利用土力学中的中的分层总和法分层总和法计算地基计算地基柔度系数柔度系数ij。基本原理基本
30、原理 计算模型的建立计算模型的建立1）将荷载作用区域划分为将荷载作用区域划分为n个网格；个网格；2）对于每个网格下的土柱体，按天然土层划分为若干层）对于每个网格下的土柱体，按天然土层划分为若干层；3）根据各土层的压缩模量）根据各土层的压缩模量Es t i（i：i个网格；个网格；t：t分层单元，分层单元，t=1,2,nc），求出在），求出在 j 网格上作用有均布荷载网格上作用有均布荷载 pj=1/Aj 时在时在i 网格中点网格中点下各分层单元上产生的附加应力下各分层单元上产生的附加应力tij；4）用分层总和法求出）用分层总和法求出 i 网格中点的沉降系数网格中点的沉降系数ij：布辛奈斯克解布辛奈
31、斯克解 模型的数学表达式：模型的数学表达式：s=Rcn1tstititijijEh 有限压缩层模型更加接近实际，计算结果可靠。但模型的计算工作量很大，而有限压缩层模型更加接近实际，计算结果可靠。但模型的计算工作量很大，而且地基中的应力状态与分层总和法的假设有一定差距且地基中的应力状态与分层总和法的假设有一定差距（即无法考虑土的非线性（即无法考虑土的非线性和基底反力的塑性重分布）。和基底反力的塑性重分布）。土柱体下端到达硬土土柱体下端到达硬土层顶面或沉降计算深层顶面或沉降计算深度。度。5323Rzpjtij3.3.4 相互作用分析的基本条件和常用方法相互作用分析的基本条件和常用方法 静力平衡条件
32、静力平衡条件 变形协调条件变形协调条件以上介绍的都属于线性计算模型，但通常情况下土具有明显的非线性特征，为此提出多以上介绍的都属于线性计算模型，但通常情况下土具有明显的非线性特征，为此提出多种反应特征的数学模型，如常用的邓肯种反应特征的数学模型，如常用的邓肯-张模型（假定地基土的应力张模型（假定地基土的应力-应变关系符合双曲应变关系符合双曲线模型线模型）、弹塑性模型（假定地基土的变形包含弹性与塑性两部分）、弹塑性模型（假定地基土的变形包含弹性与塑性两部分）。）。基本条件基本条件 解析方法解析方法 数值方法数值方法 常用方法常用方法在地基上梁和板的分析中，地基模型的选用是关键所在，必须根据所分析
33、问题的在地基上梁和板的分析中，地基模型的选用是关键所在，必须根据所分析问题的实际情况选择合适的地基模型。实际情况选择合适的地基模型。作用在基础上的竖向外荷载和基底反力之和作用在基础上的竖向外荷载和基底反力之和00MF外荷载和基底反力对基础任一点的力矩之和外荷载和基底反力对基础任一点的力矩之和计算前认为与地基接触的基础底面，计算后仍保持接触，不得出现计算前认为与地基接触的基础底面，计算后仍保持接触，不得出现脱开的现象，即基础底面任一点的挠度脱开的现象，即基础底面任一点的挠度wi应等于该点地基沉降应等于该点地基沉降si。只能求得近似的数值解只能求得近似的数值解有限单元法和有限差分法有限单元法和有限
34、差分法3.3.5 地基计算模型的选择地基计算模型的选择 无粘性土地基无粘性土地基 软土地基软土地基 塑性区比较大的地基塑性区比较大的地基 可压缩层厚度不大的地基可压缩层厚度不大的地基 粘性土地基，基粘性土地基，基础具有一定的相对础具有一定的相对刚度刚度 地基分层明显，地基分层明显，各层土性差异较大各层土性差异较大文克尔地基模型文克尔地基模型连续性地基模型连续性地基模型分层地基模型分层地基模型3.4 文克勒地基上梁的计算文克勒地基上梁的计算3.4.1 无限长梁的解答无限长梁的解答 微分方程式微分方程式由静力平衡关系，可以得到：由静力平衡关系，可以得到：qbpxVdd分布力分布力根据材料力学，有：
35、根据材料力学，有：xwMxEIVxMdddddd,xwMxEIVxMdddddd,dVVqdxbpdxVdMMdx)dVV(dxVM22V=0M=0且二阶且二阶微量微量dV*dx=0qbpdxdVdxMdxdwdEI4224bp为为l方向每延方向每延米净反力米净反力对于没有分布荷载作用（对于没有分布荷载作用（q=0q=0）梁段，上式变为：）梁段，上式变为：基础梁的挠曲微分方程，基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用对哪一种地基模型都适用引入引入Winkler 地基模型，且由变形协调条件知：地基模型，且由变形协调条件知：地基沉降等于基础梁的挠度地基沉降等于基础梁的挠度ksp 代上式入得代上
36、式入得文克勒基础梁挠曲方程：文克勒基础梁挠曲方程：bkwxdwdEI44ws kwp 04wEIbkxdwd4或或令：令：bpxdwdEI4444EIbk 0444wxdwd4式中：式中：的单位为的单位为m-1，其倒数，其倒数1/称为梁的称为梁的特征长度特征长度，而，而 l 称为梁的称为梁的柔度指数柔度指数。值与地基基床系数值与地基基床系数k与梁与梁的抗弯刚度的抗弯刚度EI有关。有关。越越小，基础相对刚度越大。小，基础相对刚度越大。其中：其中：)sincos()sincos(xCxCexCxCewxx 4321式中的式中的C1C4为待定积分常数，取决于梁的为待定积分常数，取决于梁的边界条件边界
37、条件。0444wxdwd4解该四阶常系数微分方程得解该四阶常系数微分方程得（齐次方程：通解即可）（齐次方程：通解即可）通解为：通解为：集中荷载作用下的解答集中荷载作用下的解答（1）竖向集中力作用）竖向集中力作用竖向集中力作用竖向集中力作用将坐标原点设于将坐标原点设于F0处，利用对处，利用对称性称性（挠曲线和弯矩关于原点（挠曲线和弯矩关于原点对称）对称）得到边界条件：得到边界条件：u x时，时，w=0；v x=0时，时，=dw/dx=0；w 由对称性和平衡条件，由对称性和平衡条件，在在x=0处左右处左右截面上的剪力量值相等，均为截面上的剪力量值相等，均为F0/2。F0V左左=F0/2V右右=-F
38、0/2F0无限长梁无限长梁离离O点无限远处点无限远处梁的挠度为零梁的挠度为零过过O点挠曲线点挠曲线切线斜率为零切线斜率为零剪力使梁剪力使梁顺时顺时针转为正针转为正由边界条件，得到由边界条件，得到C1=C2=0，于是：，于是：)sincos(xCxCewx 43对上式求微分后引入边界条件，有：对上式求微分后引入边界条件，有：CCC0CCxCCxCCexdwd34340 x4334x0 x0 x,)(sin)(cos)(再由边界条件：再由边界条件：2kbF8EIF8EIFC2FC4EIVxcose4CEIdxwdEIV04030030 x333/)sin(cosxxekbFwx 20C为常数为常数
39、)xsinx(cosCewxO点右侧剪力满点右侧剪力满足的边界条件足的边界条件kb=4EI4利用微分关系，可以进一步得到其他物理量：利用微分关系，可以进一步得到其他物理量：xxxxxxxxxxxxxxxxxxAbFAkbFk)x(wk)x(pxcoseD,DFxcosekbFEIdxwdEIV)xsinx(coseC,CF)xcosx(sinekbFEIdxwdEIMxsineB,BkbFxsinekbFdxdw)xsinx(coseA,AkbF)xsinx(cosekbFw22224422222200030330202220000上述公式只适用于上述公式只适用于 x 0 的情形，对于的情形，
40、对于 x0（梁的左半段）的情况，（梁的左半段）的情况，可利用对称性求解（见可利用对称性求解（见P74图图12），计算时用），计算时用 x 的绝对值代入的绝对值代入计算，计算，计算结果计算结果 w、M不改变符号不改变符号，、V 改变符号。改变符号。文克勒地基模型文克勒地基模型(地基沉降与基础梁挠度相等地基沉降与基础梁挠度相等)（2）集中力偶作用（顺时针）集中力偶作用（顺时针）将坐标原点设于将坐标原点设于M0处，得到边界条件：处，得到边界条件：u x时，时，w=0；v x=0时，时，w=0；w 由对称性和平衡条件，由对称性和平衡条件，在在x=0处处左右截面上的弯矩值相等，均为左右截面上的弯矩值相等
41、，均为M0/2，符号相反。，符号相反。集中力偶作用集中力偶作用M0-M0/2M0/2M0离离O点无限远处点无限远处梁的挠度为零梁的挠度为零过过O点挠度为零点挠度为零弯矩使梁弯矩使梁下方受拉下方受拉为正为正由边界条件，得到由边界条件，得到C1=C2=0，于是：，于是：)sincos(xCxCewx 43由边界条件：由边界条件：xeCw0C0wx430 sin,再由边界条件：再由边界条件：kb/M4EI/MC,C2EIdxwdEI2MM20204240022x20 x20BkbMxinsekbMw O点右侧弯矩满点右侧弯矩满足的边界条件足的边界条件O点右侧挠度满点右侧挠度满足的边界条件足的边界条件
42、kb=4EI4利用微分关系，可以进一步得到其他物理量：利用微分关系，可以进一步得到其他物理量：x2xxx2x3x3x2x2BkbM)x(wk)x(pAMdxwdEIVD2MxcosekbM2EIdxwdEIMCkbM)xsinx(cosekbMdxdwBkbMxsinekbMw0033002200002 上述公式只适用于上述公式只适用于 x 0 的情形，对于的情形，对于 x0，计算，计算x0截面的计算值时，截面的计算值时，计算值对称时不改变符号，计算值反对称时计算公式改变符号计算值对称时不改变符号，计算值反对称时计算公式改变符号）；）；注意公式中的集中荷载也是有方向的，竖向荷载注意公式中的集中
43、荷载也是有方向的，竖向荷载向下为正向下为正，力偶，力偶顺时针方向为正。顺时针方向为正。（3）多个集中荷载共同作用于无限长梁）多个集中荷载共同作用于无限长梁ADBCFaMaFbMcabc上图无限长梁上上图无限长梁上A、B、C三点的四个荷载三点的四个荷载Fa、Ma、Fb、Mc 在截面在截面D引起的弯矩和剪力为：引起的弯矩和剪力为：ccbbaaaadDMCFDMCFM2424ccbbaaaadAMDFAMDFV22221、D点在点在A点点右侧，右侧，Fa、Ma对对D点影响可直接采用点影响可直接采用图图3-12结果；结果；2、D点在点在B、C点点左侧，左侧，Fb、Mc对对D点影响应采用图点影响应采用图
44、3-12结果的对称值，但需注意正对称和反对称）结果的对称值，但需注意正对称和反对称）a/F1AF2F1AF2AAF1F2F1F2VaMaFAMA3.4.2 半无限长梁的计算半无限长梁的计算（补充，请笔记）（补充，请笔记）1）向）向左左延伸成无限长梁；延伸成无限长梁；2）在）在A截面产生内力截面产生内力 Ma、Va；3）为满足自由边界条件）为满足自由边界条件（无内力），（无内力），在在A截面附加荷载截面附加荷载 MA、FA使其在使其在该截该截面产生的内力面产生的内力与与Ma、Va大小相等，方大小相等，方向相反；向相反；4）原有半无限长梁等值于）原有半无限长梁等值于在原有荷载在原有荷载与附加荷载与
45、附加荷载 MA、FA共同作用下的无限共同作用下的无限长梁。长梁。基本原理：基本原理：半无限长梁的计算可利用半无限长梁的计算可利用无限长梁的结果无限长梁的结果，条件是满足，条件是满足半无限长梁半无限长梁自由端的边界条件。自由端的边界条件。自由端自由端 分析方法分析方法可利用无限长可利用无限长梁的计算结果梁的计算结果内内力力附加附加荷载荷载求求 MA、FA 在在A截面产生的内力截面产生的内力取取 A 处为坐标原点，由处为坐标原点，由 x=0，Ax=Cx=Dx=1由由 FA 在在A处产生的内力：处产生的内力：由由 MA 在在A处产生的内力：处产生的内力：由由MA、FA 共同作用下在共同作用下在 A
46、处产生的内力处产生的内力：4FM2FVAA,2MM2MVAA,4F2MMMM2F2MVVVAAAA,附加荷载附加荷载 MA、FA 确定确定AF1F2FAMAA点可以在集中荷载的左点可以在集中荷载的左侧或右侧，但侧或右侧，但优先认为优先认为是在集中荷载的右侧是在集中荷载的右侧根据梁端根据梁端 A 处为自由端的边界条件：处为自由端的边界条件：Va、Ma 为为根据原有荷载根据原有荷载（F1、F2，按书按书3-18、3-21计算）计算）按无限长梁按无限长梁求出的在求出的在A截面处的内力截面处的内力。联立求解上述方程，得到：联立求解上述方程，得到：aAAaAAM4F2MMV2F2MV ,)(,)(aaA
47、aaAVM22MVM4F AAF1F2F1F2VaMaFAMA根据边界条件确定附加荷载根据边界条件确定附加荷载 MA、FA大小相等大小相等方向相反方向相反（1）按无限长梁上作用原有荷载求出按无限长梁上作用原有荷载求出 A 截面的内力截面的内力Ma、Va；（2）根据）根据Ma、Va求出要求施加在求出要求施加在A处的集中荷载处的集中荷载 MA、VA；（3）按无限长梁上作用有原有荷载及作用在）按无限长梁上作用有原有荷载及作用在A处的集中荷载处的集中荷载MA、VA求梁上任意截面的内力及变形。求梁上任意截面的内力及变形。AAF1F2F1F2VaMaFAMA 半无限长梁的求解步骤半无限长梁的求解步骤利用公
48、式利用公式3-18和和3-21前述公式前述公式利用公式利用公式3-18和和3-213.4.3 有限长梁的计算有限长梁的计算1）向两端延伸成无限长梁；）向两端延伸成无限长梁；2）该无限长梁在原有荷载作用下在）该无限长梁在原有荷载作用下在 A、B 两端截面产生内力两端截面产生内力 Ma、Va及及Mb、Vb；3）为满足自由边界条件，在）为满足自由边界条件，在 A、B 处附加荷载处附加荷载 MA、FA及及MB、FB，使其在该截，使其在该截面产生的内力与面产生的内力与Ma、Va及及Mb、Vb 大小相等，方向相反；大小相等，方向相反；4）原有有限长梁等值于在原有荷载与附加荷载）原有有限长梁等值于在原有荷载
49、与附加荷载 MA、FA及及MB、FB共同作用下的共同作用下的无限长梁。无限长梁。基本原理：基本原理：利用无限长梁的解求解有限长梁的计算原理与半无限梁相似。先延利用无限长梁的解求解有限长梁的计算原理与半无限梁相似。先延长两端称为无限长梁，为满足长两端称为无限长梁，为满足有限长梁两端的自由边界条件有限长梁两端的自由边界条件，必须要在梁的，必须要在梁的两两端各施加两个集中荷载（集中力和集中力偶）。端各施加两个集中荷载（集中力和集中力偶）。分析方法分析方法F1F2F1F2VaMaFAMAa/b/VbMbF1F2F1F2FBMBABABABAB有限长梁有限长梁无限长梁无限长梁在原有荷载在原有荷载作用下产
50、生作用下产生内力内力附加外附加外荷载荷载L 边界条件：边界条件：bBBLALA4b3b2b1bbBBLALA4b3b2b1baLBLBAA4a3a2a1aaLBLBAA4a3a2a1aV2M2FA2MD2FVVVVM2M4FD2MC4FMMMMVA2MD2F2M2FVVVVMD2MC4F2M4FMMMM 注：注：FA、MA在在A点的点的Ax=Cx=Dx=1 FB、MB在在B点的点的Ax=Cx=Dx=1联立上述方程，解得需要在梁端联立上述方程，解得需要在梁端 A、B 处施加的集中附加荷载处施加的集中附加荷载FA、MA、FB、MB：2VCFEMDFE2VCEFMDEFMVDFEMAFEVDEFMA
