1、教教学学教教法法分分析析课课前前自自主主导导学学当当堂堂双双基基达达标标思思想想方方法法技技巧巧课课后后知知能能检检测测 课课堂堂互互动动探探究究教教师师备备选选资资源源 21 合情推理与演绎推理21.1合情推理三维目标三维目标1知识与技能知识与技能了解合情推理的含义，认识归纳推理的基本方法与步了解合情推理的含义，认识归纳推理的基本方法与步骤，能利用归纳进行简单的推理应用骤，能利用归纳进行简单的推理应用 2过程与方法 通过学生的积极参与，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义让学生通过欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会如何利用归纳去猜测和发现一些新的结论，培养学生归纳推理的思维方式 3情
2、感、态度与价值观 正确认识合情推理在数学中的重要作用，并体会归纳推理在日常活动和科学发现中的作用，养成认真观察事物、发现问题、分析问题、探求新知识的习惯 重点难点 重点：归纳推理的含义与特点 难点：归纳推理的应用【问题导思】1某同学在一份杂志上看到这样一段话：蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是用肺呼吸的，而蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的在这段话中用到了什么推理？【提示】归纳推理 2统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？【提示】属于归纳推理它符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理【问题导思】
3、1科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等请问：科学家由此猜想到什么？他们使用了什么样的推理？【提示】科学家猜想：火星上也可能有生命存在他们使用了类比推理 2(1)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径由此结论如何类比到球体？(2)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？【提示】(1)球有切面，切面与球只交于一点，切点到球心的距离等于半径(或球有切线，切线与球只交于一点，切点到球心的距离等于半径)(2)空间
4、中不共面的四点确定一个球 推理(1)定义：根据一个或几个已知得出一个判断，这种就是推理(2)结构：一般由两部分组成，一部分是，叫做前提；一部分是由已知，叫做结论(3)分类：推理一般分为与.事实事实(或假设或假设)思维方式思维方式已知的事实已知的事实(或假设或假设)推出的判断推出的判断合情推理合情推理演绎推理演绎推理【问题导思】1归纳推理与类比推理有何区别与联系？【提示】区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假 2归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？【提示】归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，
5、其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确 合情推理(1)定义：前提为真时，结论的推理，叫做合情推理(2)分类：数学中常用的合情推理有和(3)归纳和类比推理的定义、特征及步骤可能为真可能为真归纳推理归纳推理类比推理类比推理名称名称归纳推理归纳推理类比推理类比推理定义定义根据一类事物的根据一类事物的_具有某种性质，推出这类具有某种性质，推出这类事物的事物的_都具有都具有这种性质的推理，叫做归这种性质的推理，叫做归纳推理纳推理(简称归纳简称归纳)根据两类不同事物之间具根据两类不同事
6、物之间具有有_，推测其中一类事物具有，推测其中一类事物具有_的推理，叫的推理，叫做类比推理做类比推理(简称类比简称类比)特征特征由由_到到_，由由_到到_的推理的推理由由_到到_的推理的推理.部分对象部分对象所有对象所有对象某些类似某些类似(或一致或一致)性性与另一类事物类似与另一类事物类似(或相或相同同)的性质的性质部分部分整体整体特殊特殊一般一般特殊特殊特殊特殊(2013陕西高考)(1)观察下列等式：(11)21，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此规律，第n个等式可为_【思路探究】(1)观察等式的结构特征，寻找规律求解(2)求出f2(x)，f3(x)，f4(
7、x)，f5(x)，寻找规律求解【自主解答】(1)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)进行数、式中的归纳推理的一般规律(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法：要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；提炼出等式(或不等式)的综合特点；运用归
8、纳推理得出一般结论(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和 通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式 本例(2)中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改为“fn(x)f(fn1(x)”其他条件不变，试猜想fn(x)(nN)的表达式(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图211的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是_(2)设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个
9、数，则f(4)_；当n3时，f(n)_(用n表示)【思路探究】(1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列(2)先分别求n3，4，5时，f(n)的值，从中发现规律进行归纳【自主解答】(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6(n1)55n1.(2)如图，可得f(4)5；f(3)2，f(4)5f(3)3，f(5)9f(4)4，f(6)14f(5)5，f(n)f(n1)n1，图形中归纳推理的特点及思路：(1)从图形的数量规律入手，找到
10、数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化 如图212所示，在一次珠宝展览会上，某商家展出了一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图所示的正六边形，第四、五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图和所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第六件首饰上应有_颗珠宝，第n件首饰上应有_颗珠宝【解析】法一5件首饰的珠宝颗数依次为1，623，1535，2847，4559，归纳猜想
11、第6件首饰上的珠宝数为61166(颗)，第n件首饰上的珠宝颗数为n(2n1)2n2n.法二5件首饰的珠宝颗数依次为：1，15，159，15913，1591317，则第6件首饰上的珠宝颗数为15913172166，即每件首饰上的珠宝数是以1为首项，4为公差的等差数列的前n项和，故第n件首饰的珠宝颗数为159(4n3)2n2n.【答案】662n2n 类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面体性质的猜想【思路探究】考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以可以选取3个面两两垂直的四面体，平面内边与边的长度关系，类比到空间中面与面的面积关系，即可求解【自主解答】如图(1)，在RtABC中，由勾股定
12、理得：c2a2b2；与RtABC相对应的是四面体PDEF如图(2)；与RtABC的两条边交成1个直角相对应的是四面体PDEF的3个面在一个顶点处构成3个直二面角；与RtABC的直角边边长a、b相对应的是四面体PDEF的面DEF、PDF和DPE的面积S1，S2和S3；与RtABC的斜边边长c相对应的是四面体PDEF的面PEF的面积S.由此我们可以类比RtABC中的勾股定理，猜想出四面体PDEF四个面的面积之间的关系 我们知道，在RtABC中，由勾股定理，得c2a2b2.平面图形与空间几何体之间的常见类比有：平面图形平面图形空间几何体空间几何体二维平面二维平面三维空间三维空间线线面面线段的长度线段
13、的长度相应面的面积相应面的面积面积面积相应几何体的体积相应几何体的体积两线的夹角两线的夹角两平面的二面角两平面的二面角线线垂直线线垂直面面垂直面面垂直线线平行线线平行面面平行面面平行三角形三角形四面体四面体圆圆球球 如图213所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想【解】如图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表示形式应为SS1cos S
14、2cos S3cos.数形结合思想在合情推理中的应用(12分)如图214所示是树形图，第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成135角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度(1)求第三层及第四层树形图的高度H3、H4；(2)求第n层树形图的高度Hn.【思路点拨】求出前4层的竖直高度，找出规律，进行猜想 1(2014厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图215所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A6n2B8n2
15、 C6n2 D8n2【解析】a18，a214，a320，猜想an6n2.【答案】C 2在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为()A12 B14 C18 D116【答案答案】C 3观察下列等式 11 2349 3456725 4567891049 照此规律，第n个等式为_【解析】观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n1，故第n行等式左边的数依次是n，n1，n2，(3n2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.【答案】n
16、(n1)(n2)(3n2)(2n1)2 4有以下三个不等式：(1242)(9252)(1945)2；(6282)(22122)(62812)2；(202102)(102272)(20102107)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论【解】结论为：(a2b2)(c2d2)(acbd)2.证明：(a2b2)(c2d2)(acbd)2 a2c2a2d2b2c2b2d2(a2c2b2d22abcd)a2d2b2c22abcd(adbc)20.所以(a2b2)(c2d2)(acbd)2.课后知能检测课后知能检测 点击图标进入点击图标进入 已知下列一组等式S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，(1)写出S7对应的等式；(2)先求出Sn对应等式的第1项，并写出Sn对应的等式【思路探究】观察等式的结构特征，归纳出规律，逐一求解【自主解答】通过观察，第1个式子是1个数的和、第2个式子是2个连续正整数和、第三个式子是3个连续正整数的和，
