1、现代数字信号处理现代数字信号处理第1页，共28页。本科时开出的数字信号处理课程，主要讲授的有：离散时间信号和系统的基本理论，离散付里叶变换及快速算法（DFT、FFT）等，这称为所谓“经典”理论。为研究生开设的这门学位课，主要内容为：最佳线性滤波（维纳滤波和卡尔曼滤波），自适应信号处理，现代谱估计理论，同态信号处理，阵列信号处理，人工神经网络和小波变换在信号处理中的应用，以及数字信号处理的硬件实现等。它们大多是近十多年来发展迅速和应用广泛的前沿学科领域，其中不少属交叉学科领域。因此，取名为“现代数字信号处理”。但“经典”与“现代”没有严格的界线，因为许多“经典”内容，也曾一度作为新兴前沿学科，而
2、今正在发展的“现代”理论和方法，终有成为“经典”的一天。本课程总学时数有限，许多内容还要同学们自学，不然的话，在这有限的学时中，很难完成我们的教学内容和学习目的。绪论绪论第2页，共28页。第一章 基础知识 1.1 随机矢量 1.2 相关抵消 1.3 Gram-Schmidt正交化 1.4 偏相关系数 1.5 功率谱和周期图 1.6 谱分解 1.7 信号的参数模型第3页，共28页。1.1 离散随机信号及其数字特征 一、随机信号 指不能用确定性的时间函数来描述，只能用统计方法研究的信号。统计特性：概率分布函数、概率密度函数 统计平均：均值、方差、相关 在时域离散情况下的随机过程离散随机信号第4页，
3、共28页。二、离散随机信号 视为 随机矢量 常用的数字特征是各种平均特性及相关函数等。说明：我们考虑的是：各态历经信号指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。所以只需测量一次样本就是以描述所有样本的随机特性。还有：我们研究的多是：平稳随机信号其均值和相关不随时间变化。TnxxxX),(10注意：各态历经信号一定是平稳随机信号，反之不然。第5页，共28页。定义：均值：1lim10nNnnNxxExNm 方差:)(1lim22102xnxnNnNxmxEmxN我们讨论的是 零均值的随机信号，即0nxE0nxE可重新定义，让 零均值。)(nnxExNote：也
4、为该信号的交流功率（平均功率）。22nxxE第6页，共28页。相关函数：即在时刻n、m的相关性。自相关函数（一个随机信号）互相关函数（两随机信号）自相关函数：1lim),(10mnmnNnNxxxxExxNmnR 白噪声信号)()(2kxxEkRxnknxx互相关函数：),(mnxyyxEmnR 自协方差函数:2),(),(xxxxxmmnRmnC第7页，共28页。三、N 维随机矢量 是由N个不同随机变量为分量构成：N维随机矢量X的均值也是一个N 维矢量：X的自相关函数：是一 维的正半定对称矩：也称平均互功率矩阵。用它来描述N 维矢量中任两个元素间的相关程度，X 的自协 方差函数也是个 的正半
5、定对称矩阵：且：，类似于 （零均值）时，12(,)TNXx xx)(XEm NN)(TXXER TmXmXENN TmmR 222)(xExEX0mR第8页，共28页。1.2 相关抵消如果X、Y分别是N维和M维零均值随机矢量，且它们相关：0TxyXYER 现对Y进行线性变换（让变换后的矢量与X不相关），得：HYX（H是 维）MN 构造：，使e与Y不相关：eXXXHY0TeyeYER即0)(YYXYTTeYHRRYYHEXYER111 TTXYYYXYYYHRRE XYE YYRR此式具有三个功能，即：最佳线性估计 相关抵消 最佳信号分离由此构成相关抵消器原理图：HxyHYX HYXXXe-+第
6、9页，共28页。1.3 Gram-Schmidt正交化 一、基本定义 内积的定义：设u、v为线性空间的任二矢量eX和由前面分析可知：任一矢量X 相对于Y可分为两部分：一部分为：另一部分为：e与Y不相关两部分的相关函数：并且，可以证明 相互正交。exX)(xXe相关和Yx Hyx 0eyR0 TeYTTTxeHRHeYExeER不相关。、说明：xexexe,0,)(,vuEvuT其内积为：两矢量正交：第10页，共28页。x 二、正交投影定理 定理：矢量X在线性空间Y上的正交投影 是 Y 中与 x 距离最近的一个矢量。定理说明：)(|)()(22222eEyxEeyxEyxE由 可见，说明用Y中随
7、机变量的线性组合来逼近x时，在最小二乘方的意义上，是最佳的。x 这是因为：)(,|)(2|222222yxeYyxYeYxeyxeyxeyxeyxyx由内积空间中两矢量U、V 的距离公式：)(,|2vuEvuvuvu就可得前面的结论。第11页，共28页。三、Gram-Schmidt正交化 这是一个递归处理过程：其目的是由非正交基底 ,求出一组正交基底 。,2myyy,21n处理过程为：这样构造出的基底 是Y 的正交基底。,21nmnEyEyEyEEyEyEyEyyiiiinninn2 111212223111113331111122211设第12页，共28页。1.4 偏相关系数偏相关是一个与G
8、ram-Schmidt 正交化紧密相关的概念，它在线性预测和现代谱估计中起着重要的作用。根据正交分解定理，有：第13页，共28页。上式写成矩阵形式：可得：第14页，共28页。1.5 功率谱和周期图一、定义：功率谱又称功率谱密度定义为自相关函数的付里叶变换。对于离散时间实平稳随机信号 的功率谱 定义为：nx)(zSxx的双边正变换：)(kRxxkxxkxxzkRzS)()()(nknxxxxEkR式中：第15页，共28页。二、说明 若 是稳定的，则 的收效域包括 ，令 ，便为功率谱：)(kRxx)(zSxx1|zjwez()()jwkxxxxkSwRk e 不相关随机信号（白噪声），其自相关函数
9、：)()(2kkRxxx其功率谱：2)(xxxwS 两实平稳随机信号)(nknxynnyxEkRyx，和根据定义，互功率谱 kxykxyzkRzS)()(且有：)()()()(1zSzSkRkRxyxyxyyx，第16页，共28页。三、周期图 说明：在实际应用中，通常观测到的是信号的有限个（N个）取样值，用 表示，可以认为它是分段平稳随机信号中的一段，也可以看成是从平稳随机信号中截取出来的一段数据。我们知道，平稳随机信号，无论从何时开始取其中任何一段长为N 的数据，所计算出来的均值或自相关值都是相同的。)(nYN第17页，共28页。)(nYN 信号 可以看成是用宽为N 的数据窗W(n)从平稳随
10、机信号y(n)中截取出来的，即：),()()()(110NNyyynwnyny则自相关函数：取样自相关，1|1)(|10NkyyNkRnknkNnyy)(*)(1)(kykyNkRNNyy可看成：定义：由此得周期图的定义：取样自相关函数的双边Z变换：kyyNNkyyzkRzS)()(1)1(第18页，共28页。考虑到：时域卷积 对应频域相乘 变换的是znyzYzYzYNzSNyy)()()()(1)(1jwez 令2102|)(|1|)(|1)(jwnNNnyyenyNwyNwS上式很适合FFT计算。第19页，共28页。讨论 长为N 的数据来计算周期图，能达到的频率分辩率为：sfTN12，数学
11、频率与物理频率f，有 取样频率时域取样间隔TfTfs1:2NffNffss时时22,（物理）频率分辨率：ksTNTNff11NTTk 其中，是数据段的持续时间，单位秒。第20页，共28页。1.6 谱分解 零点的位置不影响系统的幅频特性，只影响相频特性（亦不影响因果性和稳定性）。即：是最小相位序列，则其Z变换：),(If10Maaaa)1()1)(1()(112110110zzzzzzazazaazAMMM式中：零点 为最小延时多项式。zAMizi；,2,1,1|一、最小相位序列Z变换的所有零点都在Z平面单位圆内的序列最小相位序列，第21页，共28页。当把 共轭倒序为 时，相应的零点就从 。11
12、zzi)(1*zzi*1iizzzz若 在单位圆内，则 就在单位圆外。iz*1/iZ 当将这M个零点都移至单位园外时，它对应的序列就是最大相位序列或最大延时序列。即全部零点在单位圆外。二、最大延时序列三、部分能量和最小延时 序列 的总能量由帕斯瓦尔Parseval恒等式：),(10Maaaa振幅频谱)(|)(|21|220AdAamMm22120|naaa),1,0(Mn可以证明：最小相位序列的能量主要集中在初始阶段。（具有最小延时）而最大相位序列的能量主要集中在尾部。（具有最大延时）第22页，共28页。四、谱分解定理 定理：任何实平稳随机信号 的有理功率谱，都可唯一地表示成最小相位形式：ny
13、)(zSyy)()()(12zBzBzSyy式中 为常系数，为有理函数，2)(zB)()()(zDzNzB2可调整 ，使 、为首1多项式，则分解唯一。)(zN)(zD第23页，共28页。意义：首先是保证了平稳随机信号模型的存在。ny 任何一个平稳随机信号 都可看作是：白噪声 激励一个LTI因果系统 产生输出的。n zBn白噪声序列 B(z)nny因果、稳定、LTI 平稳随机信号模型第24页，共28页。谱分解定理的证明很简单。是实平稳随机信号 的功率谱密度函数：)(zSyyny 满足对称条件：)()(1zSzSyyyy 如果 是它的实数零点，则 也是实数零点；iZ1iZiZ如果 是复数零点，则
14、的实数性质可以判定 也将是一个复数零点；)(kRyy*iZ)(zSyy 说明 的分子多项式可以写成最小相位多项式之积 ；)()(1zNzN 对于 的分母多项式也有类似的情况，即 ；)(zSyy)()(1zDzD2可调整 ，使 、为首1多项式，则分解唯一。)(zN)(zD 为使 是因果和稳定的，它的全部极点，即 的全部零点都应在单位圆内，而为了使它的滤波器 是因果和稳定的，的全部极点即 的全部零点也应在单位圆内，因此 、都应是最小相位的，该模型的输出功率正好为：“谱分解”定理，也保证了 的成立。)(zB)(zD)(1zB zB1)(zN)()()(12zBzBzSyy)(zN)(zD第25页，共
15、28页。例：用谱分解定理对有理功率谱 进行分解)8.01)(8.01(36.0)(1zzzSxx解：由上式分解为：)()()(12zBzBzSxxzzzSxx8.0118.01136.0)(1其中：zzBzzB8.011)(,8.011)(11大家下去完成 的谱分解。)8.01)(8.01(8.08.02)(11zzzzzSxxNote:分母多项式不需分解，只对分子多项式分解。)1()1)(1(8.08.021211fzfzffzfzzzzz2122(1)(1)11zfffzzffLet：再比较两边系数 4.012)1(22fffz6.12)1,2(or 5.0舍去ff解得：zzzzzSxx8
16、.015.018.015.016.1)(11故：即：zzzBzzzB8.015.01)(8.015.01)(111第26页，共28页。进一步说明：谱分解定理对于实平稳随机信号有理功率谱)()()(12zBzBzSyy这里：)(),()()()(zDzNzDzNzB最小相位 是两个最小相位Z变换之比。)(zB)(zB)(1zB)(n)(n)(ny)(ny合成系统 分析系统 若系统 为因果稳定，由 可知，的极点与 的零点都必须在单位圆内，因此 是最小相位序列。)(zB)()()(zDzNzD)(zN)(zD)(zD 若 系统亦为因果稳定，同理可知，亦为最小相位序列，因此 、均为最小相位序列。)(1
17、zB)(zN)(zN)(zD第27页，共28页。1.7 信号的参数模型 信号的参数模型应用很广，多种多样，但其思想是共同的，即将具有许多变量的复杂过程用包含少量参数的简单模型来表示，用简单模型表示复杂过程就会有近似误差，但是，如果模型参数具有物理意义，就可研究模型参数产生的影响，从而更深入地认识原来的过程。本书研究的对象主要是离散时间信号或序列，因此，将特别关心离散时间信号的参数模型的建模方法。很多实际信号是非平稳的，不可能只用一个线性移不变系统作为模型，通常有两种解决办法：一种是短时分析方法，它将信号分成许多小段，每一段用一个有理模型表示，各段的模型参数不同。另一种是自适应滤波方法，它将按照使误差最小的某种准则不断更新模型参数。用模型拟合或逼近信号，称为信号的建模问题。建模方法有两大类型：直接（或正向）建模和间接（或逆向）建模。第28页，共28页。
