1、第三讲 函数的内涵和外延内容结构：1、函数概念的发展历程；2、函数思想的广泛应用；3、初等函数的分类；4、基本初等函数的公理化定义。第1页，共64页。函数概念的发展历程一 引子：变量数学的引入 变量数学的第一个里程碑是解析几何学的发明。解析几何的基本思想是在平面内引进“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x，y）之间建立一一对应的关系。每一对实数（x，y）都对应于平面上的一个点；反之，每个点都对应于它的坐标（x，y）。第2页，共64页。解析几何的创始人笛卡儿第3页，共64页。第三讲 函数的内涵和外延 “一切问题可以转化成数学问题；一切数学问题可以转化成代数问题；一切代数问题可
2、以转化成方程求解的问题。笛卡儿的数学格言第4页，共64页。恩格斯；“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入数学；有了变数，辩证法进入数学；有了变数，微分和积分也立刻成为必要了。”恩格斯评论笛卡儿：“数学由于研究变数而进入辩证法的领域，而且很明显正是辩证哲学家笛卡儿使数学有了这种进步。”第5页，共64页。笛卡尔的哲学格言是：“我思，故我在”。“一切问题可以转化成数学问题，一切数学问题，可以转化成代数问题，一切代数问题，可以转化成方程求解的问题。笛卡儿的 数学格言是：（万能代数模型）笛卡儿不仅是解析几何的创始人，而且也是近代西方哲学的奠基人之一。他的数学思想和数学方法洋溢着哲学的气息和形
3、而上学的思辩性。第6页，共64页。数学史上最具水准的情书情书内容：R=a(1-sinx)“笛卡儿，欧洲文艺复兴以来，为人类争取并保证理性权利的第一人”。墓碑内容：第7页，共64页。二 函数内涵（概念）的发展历程 函数是数学中的一个基本而又重要概念之一，它几乎渗透到现代数学的各个分支，初等函数是贯穿中学数学始终的主要内容，也是高等数学的重要组成部分。函数的概念是随着数学的发展而发展的，是不断地改进，不断地抽象，不断地创新的过程。第8页，共64页。问题：高中阶段如何讲解“函数”课题？方法1：利用初中、高中课本函数知识的差异导入课题。第9页，共64页。问题：高中阶段如何讲解“函数”课题？方法2：利用
4、映射导入课题。举例1、“开平方”、“平方”、“求余弦”等关系 （对应）的共同点引入课题（90年代教材）第10页，共64页。函数产生的历史背景 16世纪开始，由于生产力的不断发展，人们对物体运动，变化的研究成了科学技术发展的中心问题。因此变化着的量的相互间的依赖关系成了研究的主要课题，反映到数学里，就产生了变量和函数的概念。“变量”的概念，首先由笛卡尔提出，从而改变了过去数学只研究常量的局面。第11页，共64页。1、17世纪末，德国数学家莱布尼兹首先用“function”一词来表达“函数”的意思，当时用来表示“幂”、“坐标”、“切线长”等概念。莱布尼兹把所有与曲线上的点有关的量都称为函数，这一函
5、数概念是非常这一函数概念是非常含混不清的。含混不清的。德国百科式的天才数学家第12页，共64页。2、1718年，瑞士数学家约翰伯努利给出函数的定义，同时第一次使用了“变量”一词，他写到：“变量的函数就是变量和变量以某种方式组成的量”。首先将函数概念公式化。第13页，共64页。3、18世纪，法国数学家达朗贝尔给出函数的定义为：“所谓函数就是由这些变量和常量所组成的解析表达式”。即用解析表达式表示函数关系。4、瑞士数学家欧拉把函数定义进一步解析化，将函数定义为“变量的函数是一个由该变量与一些常量以任何方式组成的解析表达式”。欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位，在这一定义基础上，函数的概念本
6、身大大丰富了。第14页，共64页。第一阶段函数的发展特点：优点：第一阶段函数的发展特点：优点：用解析式和图象用解析式和图象表示函数，直观形象，表示函数，直观形象，但是它们没有揭示出函数但是它们没有揭示出函数的本质特征，停留在表象上。的本质特征，停留在表象上。5、19世纪的法国数学家柯西（1821年）给出函数的定义：“两个相互联系的变量，一个变量的数值两个相互联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫自变量自变量。另一变量的数值随着自变量的变化而变化，这个另一变量的数值随着自变量的变化而变化，这个变量叫变量叫因变量因变量，称因变量是自变
7、量的，称因变量是自变量的函数函数。”（中学教材3040年代）第15页，共64页。这个定义朴素地反映了函数的辨证因素，并在特定条件下体现了自变到因变的生动过程，总结了许多函数的共性，但是它强调“随着变化而变随着变化而变化化”，从而缩小了函数的外延，从而缩小了函数的外延。第16页，共64页。6、19世纪德国数学家狄立克莱（1837年）首先用单值对应的思想给出函数新的定义：“如果对于给定区间上的每一个如果对于给定区间上的每一个x值，有唯一值，有唯一的的y值同它对应，那么就称值同它对应，那么就称y是是x的的函数函数，x是是自变量。自变量。”（近代函数定义的原型）第17页，共64页。这个定义采用了“对应
8、对应”的观点，摆的观点，摆脱了脱了“变量变量”一词的提法，强调“对应关对应关系系”，是一个进步，它澄清了函数、曲线，它澄清了函数、曲线与解析式之间的纠缠不清的现象，但没有与解析式之间的纠缠不清的现象，但没有注意对应法则所占据的重要作用，注意对应法则所占据的重要作用，同时它借助“对应”来定义函数，而未对“对应”作出定义，只能凭借直观加以理解。这一时间的函数定义称为函数的传统定义。传统定义。第18页，共64页。第二阶段函数发展的特点是：具有辨证的具有辨证的思想，引入了新的观点思想，引入了新的观点。7、近代数学中，函数概念又有了进一步扩展。在康托所创立的集合论基础上，逐渐形成了函数的近代定义。近代定
9、义不像传统定义那样把函数看成是一种变量，而是把函数作为定义域、值域和从第一域到值域上的对应法则组成的映射，它抓住了函数概念的本质属性，并且深刻反映了函数的内涵。第19页，共64页。（现阶段高中课本定义）第20页，共64页。8、继美国皮尔士定义“关系关系”为序偶构成的集合之后，意大利的数学家皮亚诺于1911年用集合论的观点提出了函数精确而普遍的定义：第21页，共64页。如何定义“关系”？第22页，共64页。函数与关系的区别（函数是特殊的关系）（1）函数有三要素：定义域、值域、对应关系 定义域是函数概念的基本要素，借助它可以判断二函数是否是同一函数；f是使“对应”得以实现的方法和途径，是联系x和y
10、的纽带，是函数概念的核心。第23页，共64页。函数与关系的区别第24页，共64页。第25页，共64页。例3、判断下列关系式中哪些是函数 第26页，共64页。中国教材中函数的三种定义方式定义1 如果两个变量按照某一确定的规律联系着，当第一变量变化时，第二变量也随着变化，就把第二个变量叫做第一个变量（自变量）的函数。定义1源自欧拉的典型变量定义，我国“文化大革命”前中学教材所采用定义。第27页，共64页。函数的三种定义方式定义2 设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应就叫做从集合A到集合B的函数，记为f:AB。定义2以狄
11、立克雷的定义为基础经过改进后的近代定义。第28页，共64页。函数的三种定义方式定义3 定义3源自法国布尔巴基学派的现代定义。第29页，共64页。新课程标准下的函数概念与基本初等函数I教学（约32课时）（1）函数 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。第30页，共64页。在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。通过已学过的函数特别是
12、二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。学会运用函数图象理解和研究函数的性质。第31页，共64页。（2）指数函数 通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。第32页，共64页。（3）对数函数 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数
13、转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。知道指数函数y=ax 与对数函数y=loga x互为反函数（a 0,a1）。第33页，共64页。（4）幂函数 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x,y=x2,y=x3,的图象，了解它们的变化情况。第34页，共64页。（5）函数与方程 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系
14、。根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。第35页，共64页。（6）函数模型及其应用 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。第36页，共64页。（7）实习作业 根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有
15、关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流。第37页，共64页。函数教学的建议 1、函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，建议采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。像函数这样的核心概念需要多
16、次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。第38页，共64页。2、在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。3、指数幂的教学，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理指数幂及其运算性质，以及实数指数幂的意义及其运算性质，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程。第39页，共64页。4、反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，例如，可通过比较同底的指数函数和对数函数，说明
17、指数函数y=ax和对数函数y=loga x互为反函数（a 0,a1）。不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。第40页，共64页。5、在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。同时应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。例如，利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等。第41页，共64页。三、函数的外延三、函数的外延 函数思想的外延的基本内容：1、利用函数思想解题，使函数的性
18、质有用武之地（单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、最值）；2、数形结合的数学思想方法在函数观点下融为一体；3、构造法在函数思想中的灵活应用。（结构特征、数式特征、图形特征、数量特征）构造法解题的关键有两点：（1）要有明确的方向，即为什么构造，（2）必须弄清条件的本质特征，从而明确构造什么，如何构造以达到解题的目的。第42页，共64页。（1）、构造函数，利用函数性质解题）、构造函数，利用函数性质解题第43页，共64页。（2）、抓住函数结构特征，联想推理）、抓住函数结构特征，联想推理第44页，共64页。第45页，共64页。（1）构造函数，使函数性质有用武之地函数思想的外延第46页，共64页。（2）函数
19、的奇偶性、周期性、对称性、单调性第47页，共64页。第48页，共64页。（3）函数的最值、变量的取值范围第49页，共64页。第50页，共64页。作业题第51页，共64页。三、函数方程的求解（1）利用函数不动点原理求解函数表达式第52页，共64页。第53页，共64页。第54页，共64页。（2）利用函数结构特征求解函数表达式方法：一、恰当的取值；二、对调x,y形成对称性（具有结构性的式子）第55页，共64页。（3）整体换元与局部换元法第56页，共64页。初等函数基本初等函数基本初等函数第57页，共64页。第58页，共64页。第59页，共64页。第60页，共64页。初等函数初等函数 由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数。第61页，共64页。初等代数函数 由自由变量x和常量经过有限次的代数运算得到的初等函数叫做初等代数函数。不能这样表示的初等代数函数叫做初等超越函数.第62页，共64页。有理函数与无理函数 由自由变量x和常量经过有限次的四则运算得到的初等代数函数叫做有理函数。不能这样表示的初等代数函数叫做无理函数.第63页，共64页。初等函数的分类 基本初等函数 初等函数 初等代数函数初等超越函数有理函数无理函数第64页，共64页。
