1、Signals and Systems,Tsinghua University1优秀精品课件文档资料Signals and Systems,Tsinghua University2第6章 信号的矢量空间分析信号信号矢量空间矢量空间的基本概念；的基本概念；信号的正交函数分解；信号的正交函数分解；相关；相关；能量谱和功率谱；能量谱和功率谱；信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析分析相关、正交概念的应用：相关、正交概念的应用：匹配滤波器匹配滤波器，CDMASignals and Systems,Tsinghua University3线性空间线性
2、空间 范数范数 内积内积 柯西施瓦茨不等式柯西施瓦茨不等式Signals and Systems,Tsinghua University4一一线性空间线性空间NNR 维实数空间维实数空间NNC 维复数空间维复数空间L 连连续续时时间间信信号号空空间间l 离离散散时时间间信信号号空空间间现代信号分析现代信号分析理论要借助于理论要借助于泛函分析泛函分析等数学工具；等数学工具；泛函分析中，一个重要概念是泛函分析中，一个重要概念是函数空间函数空间，即由函数，即由函数构成的集合，并在集合上赋予各种代数、拓扑结构构成的集合，并在集合上赋予各种代数、拓扑结构.线性空间线性空间：设设X为一非空集合，若在为一非
3、空集合，若在X中规定了元素的中规定了元素的加法加法和和元素的元素的数乘数乘运算，并满足相应的运算，并满足相应的结合律结合律及及分配律分配律，则称则称X为一线性空间。为一线性空间。Signals and Systems,Tsinghua University5(1)N维实数空间维实数空间R R N R N 空间的元素空间的元素 x 由由 N 个有序的实数组成个有序的实数组成RxiTNxxxx,21Ni,2,1x与元素与元素 y=(y1,y2,yN)T 相加及与相加及与a数乘定义为数乘定义为 TNNyxyxyx,2211yxTNaxaxaxa,21x如果上述定义中实数改为复数，则构成如果上述定义中
4、实数改为复数，则构成复数空间复数空间CN(2)连续函数空间连续函数空间 L 在区间在区间a,b上全部连续函数的集合构成该空间。上全部连续函数的集合构成该空间。各函数的相加和倍乘定义为各函数的相加和倍乘定义为(x+y)(t)=x(t)+y(t),tR(ax)(t)=a x(t),tRSignals and Systems,Tsinghua University6二范数、线性赋范空间二范数、线性赋范空间范数是范数是矢量长度矢量长度概念的推广，是矢量自身的重要的属性概念的推广，是矢量自身的重要的属性.设设X为一线性空间，若对于任意为一线性空间，若对于任意xX，有一个，有一个确定的非负实数确定的非负实
5、数|x|与它对应，并满足与它对应，并满足(1)xX，|x|0，当且仅当，当且仅当x=0，|x|=0 (2)xX 及及aR，|ax|=|a|x|(3)|x+y|x|+|y|则称则称|x|为为X的范数，的范数，X为线性赋范空间。为线性赋范空间。完备的线性赋范空间称为完备的线性赋范空间称为Benach空间。空间。Signals and Systems,Tsinghua University71.RN与与CN空间的范数空间的范数111 1defmax Nppiipii Nxpxp x令令 p 为实数，为实数，1p，在，在 RN 或或 CN 空间元素空间元素x=(x1,x2,xN)的的 p 阶范数定义为
6、阶范数定义为最常用的范数为最常用的范数为|1，|2，|对于对于xC2，给给定定x=(1,j)，则其，则其范数为范数为111x2112x 11,1maxx例例在在R2或或R3中，二阶范数的中，二阶范数的物理意义是矢量的长度；物理意义是矢量的长度；|x|2也称为欧氏范数或欧也称为欧氏范数或欧氏距。氏距。Signals and Systems,Tsinghua University8 1d 1sup pppx ttpx tp x 1 1 sup ppnpx npx np x2.连续连续/离散时间信号空间离散时间信号空间 L/l 空间中的范数空间中的范数(1)连续时间信号连续时间信号空间空间 L中，元
7、素中，元素x的的p阶范数阶范数|x|p的定义的定义对于定义在闭区间内的信号，对于定义在闭区间内的信号，sup表示其幅度值。表示其幅度值。(2)离散时间信号离散时间信号空间空间 l 中，元素中，元素x的的p阶范数阶范数|x|p的定义的定义x(t)的上确界的上确界Signals and Systems,Tsinghua University9 1d x x ttLx 1 xnx nlx1-范数表示范数表示信号作用的强度信号作用的强度1-范数范数 1222222d,d,xx ttx ttLxx即2-范数的平方表示信号的能量范数的平方表示信号的能量2-范数范数 2122222,xnnx nx nlxx
8、即 sup,xx tLx sup,xx nlx-范数范数定义在闭区间的定义在闭区间的x，|x|表示信号的峰值表示信号的峰值,即信号幅度即信号幅度U或或I在单位电阻在单位电阻上消耗的能量上消耗的能量Signals and Systems,Tsinghua University10三内积三内积 1122111122222222222212121212xyxyxxyyxxyy直角坐标平面内两矢量相对位置关系直角坐标平面内两矢量相对位置关系 内积的概念反映了元素之间的关系，在时域信号内积的概念反映了元素之间的关系，在时域信号 中则反映了信号之间的相互关系，如正交、中则反映了信号之间的相互关系，如正交、
9、相关相关;完备的内积空间称为完备的内积空间称为Hilbert空间。空间。先由二维矢量空间引入内积的概念先由二维矢量空间引入内积的概念 121212coscoscossinsin112222xyx yx y 21222211cosyx yxyx或或Signals and Systems,Tsinghua University11 标量乘积为零标量乘积为零两矢量之夹角为两矢量之夹角为,90,0cos21 标标量量乘乘积积取取最最大大值值两两矢矢量量夹夹角角为为,0,1cos21 21222211cosyx yxyx维维实实线线性性空空间间NyxiNii y,x1 维维复复线线性性空空间间NyxiN
10、ii y,x1 推广之，推广之，多维多维上式表明：给定了的矢量长度，标量乘积式反映了上式表明：给定了的矢量长度，标量乘积式反映了 两矢量之间相对位置的两矢量之间相对位置的“校准校准”情况。情况。二维矢量空间的内二维矢量空间的内积积(点积点积)运算运算Signals and Systems,Tsinghua University12实内积空间实内积空间设设RN为实线性空间，如果对于为实线性空间，如果对于RN中的任意中的任意x,yRN，均有一实数均有一实数 x,y 与之对应与之对应,满足以下公理满足以下公理则则 x,y 称为称为x与与y的内积，的内积，R称为实内积空间称为实内积空间(欧氏空间欧氏空
11、间)(2)x,y =y,x，交换律交换律(1)x,x 0,当且仅当当且仅当 x=0 时，时，x,x=0,自内积正定性自内积正定性(3)x,y =x,y，为任意实数为任意实数 齐性齐性(4)x+y,z =x,z+y,z，z C(R)分配律分配律N维实线性空间，定义为维实线性空间，定义为 1,Niiix yx ySignals and Systems,Tsinghua University13复内积空间复内积空间设设CN 为复线性空间，如果对于为复线性空间，如果对于CN中的任意中的任意x,yCN，均有一复数均有一复数 x,y 与之对应与之对应,满足以下公理满足以下公理则则 x,y 称为称为x与与y
12、的内积，的内积，C称为复内积空间称为复内积空间(酉空间酉空间)(2)x,y =y,x*，共轭交换律共轭交换律(1)x,x 0,当且仅当当且仅当 x=0 时，时，x,x=0,自内积正定性自内积正定性(3)x,y =x,y，为任意复数为任意复数 齐性齐性(4)x+y,z =x,z+y,z，z C(R)分配律分配律N维复线性空间，定义为维复线性空间，定义为 Niiiyxyx1,Signals and Systems,Tsinghua University14信号空间信号空间L/l 内的两内的两连续连续/离散离散信号的内积信号的内积 dyx,连连续续时时间间信信号号ttytx yx,Z离离散散时时间间
13、信信号号 nnynx对于对于L/l空间，信号空间，信号x与其自身的内积运算与其自身的内积运算 xdxx,222连连续续 ttx xxx,222离离散散 Znnx连续连续/离散函数空间的内积离散函数空间的内积Signals and Systems,Tsinghua University15y,yx,xy,x2 四、四、Cauchy-Schwarz不等式不等式 Cauchy-Schwarz不等式不等式 21222211cosyx yxyx即即2122cos,yxyx1,122yxyx则有则有证明证明:对于二维矢量空间，已知有如下关系对于二维矢量空间，已知有如下关系222222,1xyx yx yx
14、,xy,y所以所以y,yxx,y,x2 对于一般情况的证明见教材对于一般情况的证明见教材p323.Signals and Systems,Tsinghua University166.2 信号的正交函数分解矢量的正交分解矢量的正交分解 正交函数正交函数正交函数集正交函数集复变函数的正交特性复变函数的正交特性Signals and Systems,Tsinghua University172VVe eVVcV 2121怎样分解，能得到最小的误差分量？怎样分解，能得到最小的误差分量？方式不是唯一的：方式不是唯一的：表示，表示，用用21VV1211eVVcV 一矢量的正交分解eVVc 212222e
15、VVc 1eV2eVeV22c V12cV122c V1V2V考察二维矢量空间的矢量考察二维矢量空间的矢量V1和和V2,1212122122,coscos,V VVVc VVVV 121222,V VcV当当 =0，c12=1,V1、V2 完全重合；完全重合；随随 增大，增大，c12 减小；减小；当当 =90，c12=0，V1和和V2垂直。垂直。c12表示表示V1 和和V2 互相接近的程度互相接近的程度 利用二维矢量空间利用二维矢量空间较直观的概念引出较直观的概念引出正交函数和正交函正交函数和正交函数族的定义数族的定义Signals and Systems,Tsinghua Universit
16、y18正交分解空间空间中任一矢量可分解为中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。三方向矢量。平面平面中任一矢量可分解为中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。二方向矢量。一个三维空间矢量一个三维空间矢量 ，必须用三个正交，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：ijkVxyzij,k0eVxyVzxyVVVVxVyVxyzVVVVVxVyVzV三维正交集三维正交集二维正交集二维正交集Signals and Systems,Tsinghua University19)()()(212121ttttfctf 21221122121dtt
17、ftc ftttt 假设在区间假设在区间(t1,t2)内用函数内用函数 f2(t)近似表示近似表示 f1(t)方均误差方均误差212d0dc 2为求得使为求得使 最小的最小的c12值，需使值，需使二、正交函数分解原则分解原则：方均误差最小，即误差信号功率：方均误差最小，即误差信号功率(能量能量)最小最小 0d)()(dd221211221 ttfctfctt交换微分与积分次序交换微分与积分次序Signals and Systems,Tsinghua University20此项为零此项为零解得解得2121121222()()d()dttttft fttcftt2221112211212212d
18、()d2()()d2()d0dttttttfttf t fttcfttc若若c12为零，则为零，则f1(t)不包含不包含f2(t)的分量，称的分量，称f1(t)、f2(t)为正交。为正交。2112d0ttftftt 正交条件正交条件Signals and Systems,Tsinghua University211(0)()1(2)tf tt 试用试用sint 在区间在区间(0,2)近似表示近似表示 f(t)，使方均误差最小。，使方均误差最小。4例例6-1t解解：2012220()sin dsindf tt tct t ttfsin4)(2014sin dsin dt tt t 4 内内近近似
19、似为为在在区区间间函函数数 2,0tf应应满满足足为为使使方方均均误误差差最最小小，12c tctfsin12 即即2f(t)01tSignals and Systems,Tsinghua University22试用正弦信号试用正弦信号sint 在在(0,2)区间内来表示余弦信号区间内来表示余弦信号cost200sincosdttt所以所以012c说明说明cost 中不包含中不包含 sint 分量，因此分量，因此cost 和和 sint 正交正交.显然显然例例6-2解解Signals and Systems,Tsinghua University23)(2tfO3 t1 30230d3sin
20、d3sin3ttttt例例6-32 用正弦波逼近三角函数用正弦波逼近三角函数,?tfe 30 31 tttf，2sin 033fttt，3022302112d)(d)()(ttfttftfc)30(3sin2)(1 tttf)(212tfCO3t1 tf1)(tfeO3t1)(1tfO3 t1)()()(2121tfctftfe 所以所以解解Signals and Systems,Tsinghua University24n个函数个函数 g1(t),g2(t),gn(t)构成一函数集，如在区间构成一函数集，如在区间(t1,t2)内满足正交特性，即内满足正交特性，即则此函数集称为正交函数集。则此
21、函数集称为正交函数集。210()()()d()tijtiijg t g ttKij归一化正交函数集：归一化正交函数集：212()d1titgtt 三、三、正交函数集正交函数集(orthogonal function set)orthonormal setSignals and Systems,Tsinghua University2502ic2对于系数对于系数ci，要使，要使 最小，需满足最小，需满足规格化规格化正交函正交函数集数集任意函数由正交函数集的线性组合近似21221211()()dntrrtrf tc g tttt)()()()()(12211tgctgctgctgctfnrrrnn
22、方均误差方均误差注意到注意到 gi(t)交叉项的积分为零交叉项的积分为零,交换微积分次序交换微积分次序,得到得到222121112()()d1()()d()()d()dtitttiiitttiitf t g ttcf t g ttf t g ttKgtt分解原则是误差函数方均值最小分解原则是误差函数方均值最小Signals and Systems,Tsinghua University2621()()dtiiitc Kf t g tt或或将将ci 代回代回 表示式，得到最佳近似条件下的方均误差表示式，得到最佳近似条件下的方均误差2 22211122211211()dd2dnntttrrrrtt
23、trrfttcgttcf t g tttt2122211211()d2nntrrrrtrrfttc Kc Ktt 21221211()dntrrtrf tc gtttt 21221211()dntrrtrfttc KttSignals and Systems,Tsinghua University272211*1212()()d()()d0ttttf t fttft ftt两复变函数在区间两复变函数在区间(t1,t2)的正交的条件是的正交的条件是使方均误差最小，使方均误差最小，c12的最佳值应满足的最佳值应满足)()(2121tfctf2121*1212*22()()d()()dttttf t
24、 fttcft ftt复变函数集复变函数集gr(t)(i=1,2,n)为正交函数集满足为正交函数集满足 210()()()d()tijtiijg t g ttKij四、复变函数的正交特性四、复变函数的正交特性(orthogonality in complex signals)Signals and Systems,Tsinghua University28两周期信号在两周期信号在同一周期同一周期(区间区间)内内正交的条件是正交的条件是c12=0，即：即：总结 0d)()(21 Tttftf 两个信号不正交，就有两个信号不正交，就有相关相关关系，必能分解出另一关系，必能分解出另一信号。信号。对一
25、般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满满足正交。足正交。Signals and Systems,Tsinghua University296.3 完备正交函数集、完备正交函数集、帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理完备正交函数集完备正交函数集帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理Signals and Systems,Tsinghua University30)()(1tgctfrnrr21122122)(1ttrnrrKcdttftt如果用正交函数集如果用正交函数集gi(t)(i=1,2,n)在区间在区间(t1,t2)近似近似表示表示f(t)方均误差方均误差0lim2n
26、若若 ，此函数集称为，此函数集称为完备完备(complete)正交函数集正交函数集.)()(1tgctfrrr称为称为广义傅立叶级数展开广义傅立叶级数展开一完备正交函数集(generalized Fourier series）Signals and Systems,Tsinghua University31在正交集在正交集gi(t)(i=1,2,n)之外，不存在函数之外，不存在函数x(t)2120dttxtt 满足满足 21d0titx t gtt i为任意正整数。为任意正整数。则称则称gi(t)为完备的正交函数集。为完备的正交函数集。完备的正交函数集的另一种定义Signals and Sys
27、tems,Tsinghua University32二帕塞瓦尔定理(Parsevals theorem)物理意义物理意义：一个信号所含有的能量一个信号所含有的能量(功率功率)恒等于此信号在恒等于此信号在完备正完备正交函数集中交函数集中各分量能量各分量能量(功率功率)之和。之和。221211222121ddd()ttrrrrrtttrtfttCgttC gtt信号的信号的能量能量基底信号的基底信号的能量能量各信号分量的各信号分量的能量能量数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。21nrrc21nrrrcK当当Kr=1时，时，212dttfttSig
28、nals and Systems,Tsinghua University33三角函数集三角函数集虚指数函数集虚指数函数集ntn0sinntn0cosntnje0勒让德多项式勒让德多项式 nnnnnxxnxP1dd!212 ,121223210 xxPxxPxPPn(x)(n=0,1,2,)在在(-1,1)内构成完备的正交函数集。内构成完备的正交函数集。Walsh函数函数11tt,0Wal111tt,1Wal111tt,2Wal111tt,3Wal111tt,4Wal1完备的正交函数集完备的正交函数集二值函数二值函数常用的正交函数集Signals and Systems,Tsinghua University34
