1、2022-8-102 6.1 6.1 引言引言 6.2 6.2 周期序列周期序列的离散时间傅立叶级数（的离散时间傅立叶级数（DFSDFS）6.3 6.3 非非周期序列的离散时间傅立叶变换（周期序列的离散时间傅立叶变换（DTFTDTFT）6.4 6.4 周期序列周期序列的离散时间的离散时间傅里叶变换傅里叶变换 6.5 6.5 离散离散时间傅里叶变换的时间傅里叶变换的性质性质 6.6 离散傅里叶变换（DFT）6.7 离散傅里叶变换的性质 6.8 用离散傅里叶变换近似分析连续时间信号 6.9 离散时间系统的频域分析 6.10 应用实例电力系统谐波分析 习题习题2022-8-105离散时间信号和系统的
2、频域分析，基本内容包括：离散时间信号和系统的频域分析，基本内容包括：周期序列的离散时间傅立叶级数（周期序列的离散时间傅立叶级数（DFSDFS）非周期序列的离散时间傅立叶变换（非周期序列的离散时间傅立叶变换（DTFTDTFT）周期序列的离散时间傅立叶变换（周期序列的离散时间傅立叶变换（DTFTDTFT）离散傅立叶变换（离散傅立叶变换（DFTDFT）用用离散傅立叶变换离散傅立叶变换近似分析连续时间信号近似分析连续时间信号离散系统的频域分析离散系统的频域分析应用实例应用实例2022-8-1062022-8-107对于离散时间信号对于离散时间信号x(n)，如果满足：，如果满足：x(n)=x(n+rN)
3、，r为整数为整数 （6-1）则称则称x(n)为周期信号，且其周期为为周期信号，且其周期为N（N为正整数）。为正整数）。虚指数序列虚指数序列 是一个周期为是一个周期为N的周期序列。的周期序列。将所有周期为将所有周期为N的虚指数序列组合起来，可以构成一个信号的虚指数序列组合起来，可以构成一个信号集：集：，（6-3）在在 中，由于虚指数序列的周期性而只有中，由于虚指数序列的周期性而只有N个独立信号，个独立信号，因此，可以用信号集因此，可以用信号集 中的中的N个独立的虚指数序列的线性个独立的虚指数序列的线性组合来表示一个任一的周期序列，这就是离散傅里叶级数表示。组合来表示一个任一的周期序列，这就是离散
4、傅里叶级数表示。nNje2，210,)(2kennNjkk)(nk)(nk2022-8-108 (6-4)(6-4)求取求取DFSDFS的系数的系数 :对（对（6-46-4）式两边同乘）式两边同乘 ，并在一个周期内对，并在一个周期内对n求和：求和：可以证明可以证明：故：故：（6-7）（6-7）式为）式为DFS正变换式，（正变换式，（6-4）式为）式为DFS反变换式。反变换式。，210,)()(2nekXnxNknNjkNN)(kXNnNjme2 NkNnnNmkjNnNjmNnNknNjkNNnnNjmNekXeekXenx)()()(2)(222kmNkmeNnnNmkj,02)(，210,
5、)(1)(2kenxNkXNnnNjkNN2022-8-109例例6-3：求周期序列求周期序列 ，（a为小于为小于1的常数）的傅里叶级数分解。的常数）的傅里叶级数分解。解：解：由式（由式（6-7）有）有)5,40(,)(NnanxnN52540524052115151jknnjknnjknaeaaeeaNnnNjkNNenxNkX2)(1)(2022-8-1010 是以是以N为周期的为周期的DFS的系数的系数 的这一特性与连续时间周期信号的频谱有的这一特性与连续时间周期信号的频谱有着根本的不同。着根本的不同。k从从0到到N-1的取值部分，称为主值周期的取值部分，称为主值周期。离散时间傅里叶级数
6、的周期性表明，离散时间周期信号可离散时间傅里叶级数的周期性表明，离散时间周期信号可以而且只能分解为有限个虚指数序列的线性组合，因此其不以而且只能分解为有限个虚指数序列的线性组合，因此其不存在收敛性问题。存在收敛性问题。由于由于k只能取整数，因此，周期序列的频谱具有离散性。只能取整数，因此，周期序列的频谱具有离散性。(2)(3)6.2.2 DFS频谱系数的特征频谱系数的特征)(kXNNnnNNkjNNenxNNkX2)()(1)()()(12kXenxNNNnnNjkN)(kXN2022-8-1011 通常，通常，DFS的频谱系数的频谱系数 是一个关于是一个关于k的复函数，当的复函数，当xN(n
7、)为实周为实周期序列信号时，由（期序列信号时，由（6-7）式易得：）式易得：说明，说明，的实部是的实部是k的偶函数，其虚部是的偶函数，其虚部是k的奇函数。的奇函数。说明，说明，的模是的模是k的偶函数，其幅角是的偶函数，其幅角是k的奇函数。的奇函数。6.2.2 DFS频谱系数的特征频谱系数的特征)(kXN)()(*kXkXNN)()()()()()(*kjXkXkjXkXkjXkXNINRNINRNINR)()()()(kXkXkXkXNININRNR)(kXN)()(*)()()()(kjNkjNkjNNNNekXekXekX)()()()(kkkXkXNNNN)(kXN2022-8-1012
8、设周期矩形序列：设周期矩形序列：如图如图6-1所示所示6.2.3 周期矩形序列的频谱周期矩形序列的频谱11120)(NnNnNnxN-40-30-20-1001020304000.51n周 期 矩 形 序 列 x(n):（N=20,N1=3）6.2.3 周期矩形序列的频谱周期矩形序列的频谱2022-8-1013NnnNjkNNenxNkX2)(1)(1121NNnnNjkeN)(为整数rrNk 1：时：时：kNjNNjkNNjkNNnnNjkNeeeNeNkX2)1(222111)(1111)()(1)212(2)212(211NjkNjkNjkNNjkNNjkNjkeeeeeeN)sin()
9、21(2sin11NkNNkN2022-8-10142：时：时：即周期矩形序列的频谱为：即周期矩形序列的频谱为：6.2.3 周期矩形序列的频谱周期矩形序列的频谱)(为整数rrNk)12(11)(1211NNeNkXNNnnNjkNrNkNNrNkNkNNkNkXN,)12(1,)sin()21(2sin1)(112022-8-1015 n=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;k=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n*k;Xk=x*WN.nk/N;%计算计算DFS系数系数X(k)subplot(2,1,2);
10、stem(k,Xk,b);%绘制绘制X(k)图图xlabel(k);title(X(k):N=20,N1=2);grid on;hold on;plot(k,Xk,r);%绘制绘制X(k)包络图包络图hold off;6.2.3 周期矩形序列的频谱周期矩形序列的频谱例例%Matlab代码：代码：周期矩形序列频谱周期矩形序列频谱N=20;N1=5;n=-2*N+(N1+1)/2:1:2*N-(N1+1)/2;f0=zeros(1,N-N1);f1=ones(1,N1);x=f0,f1,f0,f1,f0,f1,f0;%产生产生x(n)subplot(2,1,1);stem(n,x);%绘制绘制x(
11、n)图图xlabel(n);title(周期矩形序列周期矩形序列x(n):(N=20,N1=2);axis(-40 40-0.0 1.1);-40-30-20-1001020304000.20.40.60.81n周 期 矩 形 序 列 x(n):（N=20,N1=2）-40-30-20-10010203040-0.100.10.20.3kX(k):N=20,N1=22022-8-10166.2.3 周期矩形序列的频谱周期矩形序列的频谱现在，我们来考查现在，我们来考查 xN(n)的参数对其频谱的影响。的参数对其频谱的影响。首先，固定半脉宽首先，固定半脉宽 =2不变，改变周期不变，改变周期N。分别
12、取分别取N=10、20、40，可分别得其频谱图如图，可分别得其频谱图如图6-2所示：所示：1N-505-0.100.10.20.30.40.5kX(k):N=10,N1=2-10-50510-0.100.10.20.30.40.5kX(k):N=20,N1=2-20-1001020-0.100.10.20.30.40.5kX(k):N=40,N1=22022-8-10176.2.3 周期矩形序列的频谱周期矩形序列的频谱 由图由图6-2可见，由于可见，由于 不变，频谱的正不变，频谱的正/负峰的个数也不变，都等于负峰的个数也不变，都等于 个。而随着周期个。而随着周期N 的增大，一个周期内谱线的数量
13、增多，谱线的间隔减小，的增大，一个周期内谱线的数量增多，谱线的间隔减小，且谱线的幅度也减小。且谱线的幅度也减小。可以预见，当周期可以预见，当周期N趋于无穷大时，周期序列将变为非周期序列，一个趋于无穷大时，周期序列将变为非周期序列，一个周期内谱线的数量无穷增多，谱线的间隔无穷减小，离散频谱将变为连续周期内谱线的数量无穷增多，谱线的间隔无穷减小，离散频谱将变为连续频谱，且谱线的幅度也无穷减小。频谱，且谱线的幅度也无穷减小。再看，固定再看，固定 xN(n)的周期的周期N=40不变，改变半脉宽不变，改变半脉宽，分别取，分别取 N1=2、3、4，可分别得其频谱图如图可分别得其频谱图如图6-3所示：所示：
14、1N1N6.2.3 周期矩形序列的频谱周期矩形序列的频谱2022-8-1018 由图由图6-36-3可见，由于周期可见，由于周期N不变，一个周期内谱线的数量不变，也即谱不变，一个周期内谱线的数量不变，也即谱线间隔不变，而随着半脉宽线间隔不变，而随着半脉宽 N1 的增大，正的增大，正/负峰的个数增加，也即频谱负峰的个数增加，也即频谱包络的主瓣宽度变窄，说明信号的有效带宽变窄，且幅值增大。包络的主瓣宽度变窄，说明信号的有效带宽变窄，且幅值增大。-20-1001020-0.0500.050.10.150.20.25kX(k):N=40,N1=2-20-1001020-0.0500.050.10.15
15、0.20.25kX(k):N=40,N1=3-20-1001020-0.0500.050.10.150.20.25kX(k):N=40,N1=42022-8-1019 在在6.2.3节讨论周期矩形脉冲序列的频谱中已经节讨论周期矩形脉冲序列的频谱中已经看到，当脉冲宽度不变而增大周期时，其谱线间隔看到，当脉冲宽度不变而增大周期时，其谱线间隔及其幅值都随之减小，但频谱的包络形状仍保持不及其幅值都随之减小，但频谱的包络形状仍保持不变。变。当周期当周期N趋于无穷大时，周期序列将演变为非周趋于无穷大时，周期序列将演变为非周期序列，其谱线将变得无限密集，离散频谱将演变期序列，其谱线将变得无限密集，离散频谱将
16、演变为连续频谱，且谱线的幅度也趋于无穷小量。为连续频谱，且谱线的幅度也趋于无穷小量。因而还用离散时间傅立叶级数来表示其频谱显因而还用离散时间傅立叶级数来表示其频谱显然是不合适的。为此，需要建立非周期序列的傅里然是不合适的。为此，需要建立非周期序列的傅里叶表示，此即离散时间傅立叶变换（叶表示，此即离散时间傅立叶变换（DTFT）。）。6.3 非周期序列的离散时间傅立叶变换非周期序列的离散时间傅立叶变换2022-8-1020设设 是周期为是周期为N的周期序列，当其周期的周期序列，当其周期N趋于无穷大时，趋于无穷大时，将演变为非周期序列将演变为非周期序列，有：，有：根据根据DFS的定义式有：的定义式有
17、：即：即：取：取：有：有：可得：可得：（6-186-18）即为非周期序列的离散时间傅立叶正变换式。即为非周期序列的离散时间傅立叶正变换式。6.3.1 离散时间傅立叶正变换离散时间傅立叶正变换)(nxN10)(0)(,NnnxnnxN为其它值NnnNjkNenxNkX2)(1)(102)(1NnnNjkNenxNnnNjkenxN2)(1nnNjkenxkNX2)()(N)()(0)(2200jeXkNXkXkNkdNnnjjenxeX)()(2022-8-10216.3.1 离散时间傅立叶正变换离散时间傅立叶正变换 由由 有：有：可见可见：表示的是单位频带内的幅值，是频谱密度函数。表示的是单位
18、频带内的幅值，是频谱密度函数。又：又：可见：可见：是以是以为变量的周期为为变量的周期为 的连续周期函数的连续周期函数。通常把区间通常把区间 称为称为的主值区间。的主值区间。且有：且有：非周期序列的频谱具有连续性的特性。非周期序列的频谱具有连续性的特性。比较（比较（6-7）与（）与（6-18）式可见：）式可见：（6-20）即：即：周期序列离散时间傅里叶级数的系数周期序列离散时间傅里叶级数的系数 就是与其对就是与其对应的非周期序列离散时间傅里叶变换应的非周期序列离散时间傅里叶变换 在在 点点 处的抽样处的抽样值值。幅值频谱和相位频谱。幅值频谱和相位频谱。)()(jNeXkNX)()(20jNeXk
19、X)(jeX)()(2jjeXeX)(jeX2,NkkjeXNkX20)(1)()(kX)(jeX0k)()()(jjjeeXeX6.3.2 离散时间傅立叶反变换离散时间傅立叶反变换2022-8-1022由由DFS反变换式有：反变换式有：利用（利用（6-20）式有：）式有：取取 有：有：即：即：（6-21）即为非周期序列的离散时间傅立叶即为非周期序列的离散时间傅立叶 反变换公式。反变换公式。连续时间周期信号、连续时间非周期信号、离散时间周期信号、离散时连续时间周期信号、连续时间非周期信号、离散时间周期信号、离散时间非周期信号的傅里叶表示式，在时域和频域上，均具有周期性和离散间非周期信号的傅里叶
20、表示式，在时域和频域上，均具有周期性和离散性、非周期性和连续性的对于关系，规律如下：性、非周期性和连续性的对于关系，规律如下：时域周期时域周期 频域离散频域离散 时域非周期时域非周期 频域连续频域连续 时域连续时域连续 频域非周期频域非周期 时域离散时域离散 频域周期频域周期NkkNjnNekXnx2)()(NkkjnjNeeXNnx0)(1)(NkkjnjeeX00)(21N200)()(2NkNnxnxkdN2)(21)(deeXnxnjj6.3.3 典型非周期信号的离散时间傅里叶变换典型非周期信号的离散时间傅里叶变换2022-8-1023（1）矩形脉冲序列矩形脉冲序列矩形脉冲序列为：矩形
21、脉冲序列为：由定义式有：由定义式有：11,1,0)(NnNnnx)2sin()21sin()()(111NeenxeXNNnnjnnjj2022-8-1024%Matlab代码：矩形脉冲序列的DTFTN1=2;n=-N1:1:N1;x=1.n;%产生x(n)dt=2*pi*0.001;w=-4*pi:dt:4*pi;X=x*exp(-j*n*w);%计算DTFTx(n)6.3.3 典型非周期信号的离散时间傅里叶变换典型非周期信号的离散时间傅里叶变换subplot(2,1,1),stem(n,x,.);%绘制x(n)axis(-10,10,-0.3,1.3);title(x(n);xlabel(
22、n);subplot(2,1,2);plot(w/pi,X);grid;%绘制X(j)title(X(j);xlabel(/pi);-10-8-6-4-2024681000.51x(n)n-4-3-2-101234-20246X(j)/pi2022-8-1025（2）单边指数序列单边指数序列6.3.3 典型非周期信号的离散时间傅里叶变换典型非周期信号的离散时间傅里叶变换单边指数序列为：单边指数序列为：)()(nanxn1ajnnjnnnjjaeeaenxeX11)()(00246800.20.40.60.81x(n)n-4-20240.811.21.41.6|X(j)|/pi-4-2024-0
23、.1-0.0500.050.1angleX(j)/piangleX/pi05101500.51x(n):a=0.7n-4-202401234|X(j)|/pi-4-2024-0.4-0.200.20.4angleX(j)/piangleX/pi02468-0.500.51x(n):a=-0.3n-4-20240.811.21.41.6|X(j)|/pi-4-2024-0.1-0.0500.050.1angleX(j)/piangleX/pi051015-1-0.500.51x(n):a=-0.7n-4-202401234|X(j)|/pi-4-2024-0.4-0.200.20.4angleX
24、(j)/piangleX/pi2022-8-1026（3）双边指数序列）双边指数序列6.3.3 典型非周期信号的离散时间傅里叶变换典型非周期信号的离散时间傅里叶变换双边指数序列为：双边指数序列为：0,)10(,0,00,)(naannanxnn11)()()(nnjnnnjnnnjjeaeaenxeX2cos21sin21111aajaaeaejj此信号为此信号为n的奇函数，由定义式有：的奇函数，由定义式有：11nnjnnjaeae-15-10-5051015-1-0.500.51x(n):a=0.7n-4-20240123|X(j)|:a=0.7/pi-4-2024-0.500.5angle
25、X(j):a=0.7/piangleX/pi2022-8-1027（4）单位样值序列单位样值序列6.3.3 典型非周期信号的离散时间傅里叶变换典型非周期信号的离散时间傅里叶变换)()(nnx1)()(nnjjenxeX-10-5051000.20.40.60.81x(n)n-8-6-4-20246800.20.40.60.81X(j)/pi2022-8-10286.3.3 典型非周期信号的离散时间傅里叶变换典型非周期信号的离散时间傅里叶变换（5）常数序列常数序列1)(nx)(2)(1)(jXtxkjkeX)2(2)(-6-4-2024600.51x(n)=1n-6-4-2024602468X(
26、j)/pi2022-8-1029（6）符号函数序列符号函数序列可视为双边指数序列当可视为双边指数序列当a趋于趋于1时的极限。故：时的极限。故：6.3.3 典型非周期信号的离散时间傅里叶变换典型非周期信号的离散时间傅里叶变换0,10,00,1)()(nnnnSgnnxcos1sincos21sin2lim)(21jaajaeXaj-10010-1-0.500.51Sgn(n)n-4-20240510152025|X(j)|/pi-4-2024-0.500.5angleX(j)/piangleX/pi6.3.3 典型非周期信号的离散时间傅里叶变换典型非周期信号的离散时间傅里叶变换（7 7）单位阶跃
27、序列单位阶跃序列由于：由于：有：有：2022-8-10300,00,1)()(nnnnx)()(121)(nnSgnn1cos1sin)2(221)(jkeXkjkjke)2(11-505101500.51x(n)n-2020246|X(j)|/pi-202-0.500.5angleX(j)/piangleX/pi2022-8-1031由非周期序列的离散时间傅里叶变换定义式可知，由于由非周期序列的离散时间傅里叶变换定义式可知，由于任一离散时间周期信号均不满足绝对可和条件，因而无法求任一离散时间周期信号均不满足绝对可和条件，因而无法求得其离散时间傅里叶变换。得其离散时间傅里叶变换。6.4 周期序
28、列的离散时间傅里叶变换周期序列的离散时间傅里叶变换对离散时间周期序列对离散时间周期序列，将其表示成离散时间傅里叶将其表示成离散时间傅里叶级数的形式，即式（级数的形式，即式（6-46-4）式中，式中，为周期序列的离散时间傅里叶级数系数，为周期序列的离散时间傅里叶级数系数，由式（由式（6-76-7）有）有)(nxN()NXk，210kNkkNjnNNekXnx2)()(NnnNjkNNenxNkX2)(1)(，210k6.4 周期序列的离散时间傅里叶变换周期序列的离散时间傅里叶变换2022-8-1032由：由：考虑连续域里：考虑连续域里：kNjne2kkDTFT)2(2 1)(2)(00tjetx
29、 在离散域情况下，时域的离散化导致频域的周期化，周期为在离散域情况下，时域的离散化导致频域的周期化，周期为2，因此，可以期望，离散域虚因此，可以期望，离散域虚指数序列指数序列 的傅里叶变换应该是在的傅里叶变换应该是在 处的处的冲击。冲击。nje0),2,1,0(,20kk这里，我们把这里，我们把 视为序列长度为无限长的离散时间非周期视为序列长度为无限长的离散时间非周期序列，同样把序列，同样把 也视为序列长度为无限长的离散时间非周也视为序列长度为无限长的离散时间非周期序列，欲求周期序列的离散时间傅里叶变换，可对式（期序列，欲求周期序列的离散时间傅里叶变换，可对式（6-4）的级数展开式两边取离散时
30、间傅里叶变换，这要遇到求虚指数的级数展开式两边取离散时间傅里叶变换，这要遇到求虚指数序列序列 的离散时间傅里叶变换的问题。的离散时间傅里叶变换的问题。)(nxN()NXk2022-8-10336.4 周期序列的离散时间傅里叶变换周期序列的离散时间傅里叶变换即即：（6-36）kjkeX)2(2)(0其序列及其频谱图如图其序列及其频谱图如图6-11所示。所示。为了验证（为了验证（6-36）式的正确性，对其求反变换：）式的正确性，对其求反变换：-0.0200.02-1-0.500.51exp(j0):F0=50Hzn/s-6-4-2024600.51DTFTexp(j0)/pi2022-8-1034
31、6.4 周期序列的离散时间傅里叶变换周期序列的离散时间傅里叶变换2)(21)(deeXnxnjj20)2(221deknjknjnkjknjeee000)2(2knjke)2(200（6-38）kjnjkeXe)2(2)(0020)2(deknj6.4 周期序列的离散时间傅里叶变换周期序列的离散时间傅里叶变换2022-8-1035利用（利用（6-38）式，可对（）式，可对（6-4）式求离散时间傅里叶变换：）式求离散时间傅里叶变换：NknNjkeDTFTkXnxDTFT)()(2NkllkkX)2(2)(0100)()(2NklNlkkX对右边，将对右边，将l的求和打开看，的求和打开看，当当l=
32、0时：时：当当l=1时：时：1000)(2)(NkNljkkXeX1001)()(2)(NkNljNkkXeX100)()(2NkNNkNkX)()(kXNkXNN6.4 周期序列的离散时间傅里叶变换周期序列的离散时间傅里叶变换2022-8-10362102()NNkNXkk 120)(2NNkNkkXNkkkk 1)(ljeX同理可得同理可得13202)(2)(NNkNljkkXeX1)1(0)(2)(NmmNkNmljkkXeX6.4 周期序列的离散时间傅里叶变换周期序列的离散时间傅里叶变换2022-8-1037NkkXnxDTFTk2,)()(2)(00（6-40）故：故：这就是周期序列
33、的离散时间傅里叶变换式。这就是周期序列的离散时间傅里叶变换式。1)1(0100)()(2)()(2)(NmmNkNkkkXkkXnxDTFT（6-40）式表明）式表明：周期序列周期序列 的离散时间傅里叶变换的离散时间傅里叶变换是由一系列冲是由一系列冲激激组成，各个冲组成，各个冲激激仅出现在基波频率仅出现在基波频率的各次谐波频率点上，位于的各次谐波频率点上，位于 处的冲处的冲激激强度为强度为由于傅里叶级数的系数由于傅里叶级数的系数 是以是以N为周期的，所以，为周期的，所以，也是一个周期等于也是一个周期等于N的周期函数。的周期函数。)(nx)(jeXN20kNk2)(2kX)(kX)(jeX202
34、2-8-10386.4 周期序列的离散时间傅里叶变换周期序列的离散时间傅里叶变换0)(1)(kjeXNkX（6-41）式（式（6-40）与连续时间周期信号的傅里叶变换式）与连续时间周期信号的傅里叶变换式完全对应，完全对应，其含义也相同。其含义也相同。kkkXjX)()(2)(0考察周期序列的离散时间傅里叶级数考察周期序列的离散时间傅里叶级数 与单周期序列的与单周期序列的离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 之间的关系，可知之间的关系，可知 既可以既可以用用DFS的定义式求取，又可以由的定义式求取，又可以由DTFT变换式求取，变换式求取，比较式（比较式（6-7）与式（）与式（6-18）可得：）可
35、得：)(kXN)(jeX)(kXN2022-8-1039 离散时间傅里叶变换同样有类似于连续时间傅里叶变换的众多的性质，离散时间傅里叶变换同样有类似于连续时间傅里叶变换的众多的性质，这些性质不仅能深刻揭示变换的本质，而且对于求取信号的正反变换具有这些性质不仅能深刻揭示变换的本质，而且对于求取信号的正反变换具有重要的作用。重要的作用。离散时间傅里叶变换的许多性质与连续时间傅里叶变换既基本相同，又离散时间傅里叶变换的许多性质与连续时间傅里叶变换既基本相同，又存在明显的差异，因此，要特别注意它们的相似之处和不同之处。存在明显的差异，因此，要特别注意它们的相似之处和不同之处。6.5 离散时间傅里叶变换
36、的性质离散时间傅里叶变换的性质 离散时间信号离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换的离散时间傅里叶变换 对对来说是周期性的，来说是周期性的，且周期为且周期为2，即：，即：这一点与连续时间傅里叶变换有着本质的区别。这一点与连续时间傅里叶变换有着本质的区别。6.5.1 周期性周期性)(jeX)()()2(kjjeXeX6.5.2 线性线性)()(jaaeXnx)()(jbbeXnx)()()()(jbjabaeXeXnxnx若：若：则：则：（6-43）6.5 离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的性质2022-8-10406.5.3 奇偶性奇偶性设设x(n)为实序列，由为实序列，由DTFT
37、的定义式（的定义式（6-18）有：）有：x(n)的共轭的的共轭的DTFT为：为：由于由于x(n)为实序列，故有：为实序列，故有：（6-44）将（将（6-43）式两边写成实部与虚部的形式，有：）式两边写成实部与虚部的形式，有：即：即：实部是实部是的偶函数，虚部是的偶函数，虚部是的奇函数。的奇函数。同理：同理：幅度频谱幅度频谱是是的偶函数，的偶函数，相位频谱相位频谱是是的奇函数。的奇函数。nnjjenxnxDTFTeX)()()(nnjjenxnxDTFTeX)()()(*)()(*jnnjeXenx)()(*jjeXeX*)()()()(jIjRjIjRejXeXejXeX)()(jIjRejX
38、eX)()()()(jIjIjRjReXeXeXeX)()()()(jjeXeX6.5 离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的性质2022-8-1041nnjennxnnxDTFT)()(0000)(0)(njnnnjeennx0)(njjeeX式（式（6-47）说明，序列时移后，其幅度频谱保持不变，仅相位频谱）说明，序列时移后，其幅度频谱保持不变，仅相位频谱附加了一个线性相移。附加了一个线性相移。（6-47）6.5.5 频移特性频移特性2)()()(21)(00deeXeXIDTFTnjjj20)()()()(21000deeeXnjnjj)(0nxenj式（式（6-48）说明，序列的
39、频移对应于时域的调制。）说明，序列的频移对应于时域的调制。（6-48）6.5.4 时移特性时移特性6.5 离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的性质2022-8-1042)()(jaaeXnx)()(jbbeXnx)()()(*)(jbjabaeXeXnxnx若：若：则：则：式（式（6-50）表明，序列的时域卷积，对应于序列频域的乘积。）表明，序列的时域卷积，对应于序列频域的乘积。在求取线性移不变系统的零状态响应时，可将时域卷积运算转化为频域在求取线性移不变系统的零状态响应时，可将时域卷积运算转化为频域的乘积运算来求解。的乘积运算来求解。（6-50）6.5.6 时域卷积特性时域卷积特性
40、进一步利用欧拉公式和傅里叶变换的线性特性，可方便得到进一步利用欧拉公式和傅里叶变换的线性特性，可方便得到 、的离散时间傅里叶变换。的离散时间傅里叶变换。)cos(0k)sin(0k 利用这一性质，可以很方便地求取虚指数序列的离散时间傅里叶变换利用这一性质，可以很方便地求取虚指数序列的离散时间傅里叶变换。kk)2(21knjke)2(200（6-36）njabmNbaemnxmxnxnxDTFT)()()(*)(mjrjarmbmnnjanmbeerxmxemnxmx)()()()(rmjmbjaemxeX)()()()(jbjaeXeX6.5 离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的性质2
41、022-8-1043)()(jaaeXnx)()(jbbeXnx)(*)()()(jbjabaeXeXnxnx若：若：则：则：由由DTFT定义式有：定义式有：nnjbabaenxnxnxnxDTFT)()()()(nnjnjjabedeeXnx)(21)(2nnjbjadenxeX)()(21)(2deXeXjbja)()(21)(2上式右端正好为上式右端正好为 与与 的卷积的卷积，由于它们，由于它们都是以都是以2为周期的为周期的周期函数，卷积的积分区间是在一个周期函数，卷积的积分区间是在一个2区间内进行，其卷积的结果亦是区间内进行，其卷积的结果亦是以以2为周期的周期函数，故称此卷积为周期卷积
42、，记为：为周期的周期函数，故称此卷积为周期卷积，记为：)(jaeX)(jbeX)()(21)()(jbjabaeXeXnxnx（6-51）式（式（6-51）表明，序列的频域卷积，对应于序列时域的乘积。）表明，序列的频域卷积，对应于序列时域的乘积。式（式（6-51）的一个重要应用是序列的时域截短（或加窗），在离散时间）的一个重要应用是序列的时域截短（或加窗），在离散时间信号与系统分析、设计方面具有重要应用。信号与系统分析、设计方面具有重要应用。6.5.7 频域卷积特性频域卷积特性6.5 离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的性质2022-8-1044)()(jeXnx若：若：则：则：由由DTFT定义式有：定义式有：222)(21)(deXnxjnnnnxnxnx)()()(*2*2)(21)(nnjjdeeXnxnnjjdeeXnx2*)(21)(2*)()(21denxeXnnjj2*)()(21deXeXjj22)(21deXj（6-55）式（式（6-55）表明，序列在）表明，序列在时域的总能量等于频域时域的总能量等于频域的总能量。的总能量。6.5.10 帕塞瓦尔能量定理帕塞瓦尔能量定理2022-8-10456-1；6-3.1/3；6-4.1/3/6；6-6；6-7；6-8.1/3/5；6-9.1/3/5；6-12；6-15；习习 题题
