1、1集合及其运算集合及其运算实数的性质实数的性质 小结小结 作业作业区间与邻域区间与邻域 第一节第一节 集合与集合与实数集实数集第一章第一章 函数函数确界与确界原理确界与确界原理21.集合集合(set)概念与记号概念与记号具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该组成这个集合的事物称为该集合与实数集集合与实数集一、集合及其运算一、集合及其运算 集合集合元素元素(简称简称元元)(集集)元素元素(element).集合的集合的通常以大写字母通常以大写字母MBA,等表示集合等表示集合,以小写字母以小写字母等表示集合的元素等表示集合的元素.mba,;Aa Aa,的
2、元素的元素是是若若Aa否则记否则记记作记作,Aa属于属于则说则说或或.Aa 3集合分类集合分类 有限集有限集无限集无限集只含有限个元素只含有限个元素;不是有限集的集合不是有限集的集合.列举法列举法表示集合方法有两种表示集合方法有两种 描述法描述法 把集合的全部元素一一列出来把集合的全部元素一一列出来,例例 考察由下列元素考察由下列元素9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,A可以用可以用列举法列举法将其表示成将其表示成9,8,7,6,5,4,3,2,1,0列举法有很大的局限性列举法有很大的局限性.组成的集合组成的集合 A外加花括号外加花括号.集合与实数集集合与实数集4xPx具有性质具有性质如如
3、:由不超过由不超过1010的奇数组成的集合的奇数组成的集合,其元素有其元素有50亿个亿个,要把它们全部写出来要把它们全部写出来,且有很多集合且有很多集合,其元素是其元素是很多纸张很多纸张!根本无法一一罗列出来根本无法一一罗列出来.得用得用很多时间很多时间,不可数的不可数的,更常用的是列出规定这个集合特定性质更常用的是列出规定这个集合特定性质P 的办法来表示集合的办法来表示集合,就是就是 描述法描述法.M花括号中竖线前的花括号中竖线前的x而竖线后而竖线后x是是 M 中元素的通用符号中元素的通用符号,则是则是 x 所具有的性质所具有的性质.Px具有性质具有性质可用可用列举法列举法表示为表示为.03
4、22 xxx0322 xx的根组成的集合的根组成的集合也可用也可用描述法描述法表示为表示为 ,3,1 例例 由方程由方程集合与实数集集合与实数集5 注注对几个对几个常用的数集常用的数集规定记号如下规定记号如下数集的字母的数集的字母的数集内排除数集内排除0的集的集.“”“”数集内排除数集内排除0与负数的集与负数的集.全体全体非负整数非负整数即自然数的集合即自然数的集合N;,2,1,0 n 即即N,全体全体正整数正整数的集合为的集合为N+;,2,1 n 全体全体整数整数的集合记作的集合记作 Z,即即Z;,2,1,0,1,2,nn 右上角右上角标上标上:集合与实数集集合与实数集6全体全体有理数有理数
5、的集合的集合即即Q;qpZ,pN+q互质互质与与且且qp全体全体实数实数的集合的集合R为排除为排除0的实数集的实数集,R+为为全体全体正实数正实数的集的集.记作记作Q,记作记作R,全体全体复数复数的集合记作的集合记作C,即即CR,1,2 ibabia集合与实数集集合与实数集7,Ax 若若的的是是BA两个集合两个集合 ,2,1 A.BA中中的的每每一一个个元元素素都都属属于于一般地一般地,BA 若若.BA ,2,1 A如如,0232 xxxB.BA 则则,Bx 则则必必子集子集则称则称集合集合A与与B相等相等,BA 记作记作则称则称2.集合集合(set)的关系及集合的运算的关系及集合的运算(1)
6、集合的关系集合的关系子集子集,(读作读作A包含包含于于B)或或AB (读作读作B包含包含 A).集合相等集合相等,AB 且且记作记作 4,3,2,1 B集合与实数集集合与实数集8),(记作记作如如 01,2xRxx空集空集.不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为,BABA 且且若若则称则称的的是是BA真子集真子集记作记作A .B如如 NZQR.真子集真子集,空集空集规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.今后在今后在提到一个集提到一个集合时合时,一般都是一般都是如不加特别声明如不加特别声明,非空集非空集.集合与实数集集合与实数集92.集合集合(set)的关系及集合的运算的关系及
7、集合的运算 集合的基本运算有三种集合的基本运算有三种:并集并集,交集交集,差集差集.即即;BxAxx 或或记作记作设设 A,B 是两个集合是两个集合,由所有属于由所有属于A称为称为A与与B的的 并集并集,ABABAB,(2)集合的运算集合的运算于于B元素元素或者属或者属组成的集合组成的集合,集合与实数集集合与实数集10称为称为A与与B的的记作记作即即;BxAxx 且且交集交集,由所有既属于由所有既属于A由所有属于由所有属于A称为称为A与与B的的差集差集,记作记作即即,BABA.BxAxx 且且又属于又属于B元素元素ABAB 集合的基本运算有三种集合的基本运算有三种:并并,交交,差差.ABAB,
8、组成的集合组成的集合,而不属于而不属于B的元素的元素组成的集合组成的集合,两个集的并与交可推广到任意多个集两个集的并与交可推广到任意多个集推广推广并与交并与交.集合与实数集集合与实数集11注注研究某个问题时所考虑的对象的全体研究某个问题时所考虑的对象的全体记作记作.CA例如例如,6,5,4,3,4,3,2,1 BA设设则则BA .2,1 ,6,5,4,3,2,1 ,4,3 余集余集或或补集补集.ABAB并用并用 I 表示表示,称为称为全集全集或或基本集基本集,并把差积并把差积特别称为特别称为A的的AI例如例如,在在实数集实数集R中中,集合集合10 xxA的的余集余集 CA10 xx或或.x集合
9、与实数集集合与实数集123.集合集合(set)的运算法则的运算法则CBA,设设为任意三个集合为任意三个集合,则下列法则成立则下列法则成立:(1)交换律交换律 AB=BA,AB=BA;(2)结合律结合律(AB)C=A(B C),(AB)C =A(B C);(3)分配律分配律 (AB)C=(A C)(B C),(AB)C=(A C)(B C);(4)对偶律对偶律(AB)C=AC BC,(AB)C=AC BC;集合与实数集集合与实数集13(5)幂等律幂等律 AAAA(6)吸收律吸收律 A=A,=A;=A,A=.4.直积直积(乘积集或笛卡儿乘积乘积集或笛卡儿乘积)法国数学家、哲学家法国数学家、哲学家(
10、Descartes 15961650年年)设设 A,B 是两个集合是两个集合,则称则称 BA),(yxAx By 且且为为 A,B 的的直积直积.如如,),1,1(ABA 则则),(yx 10,11 yxOxy1 11,1,0 B又如又如,即为即为xOy面上面上R,),(RR yxyx全体点全体点的集合的集合,RR 常记作常记作,R2即即R.RR 2xyOA BAB1212,nnnRRRRx xxx xxR集合与实数集集合与实数集145.逻辑符号逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号.、“”表示表示“任取任取”,或或“任意给定任意给定”.“”表示表示
11、“存在存在”,“至少存在一个至少存在一个”,或或“能够找到能够找到”.如如实数的阿基米德实数的阿基米德(Archmed)公理是这样公理是这样叙述的叙述的:任意给定两个正的实数任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个都存在一个自然数自然数n,.bna 使使得得用逻辑符号用逻辑符号,和和将将阿基米德阿基米德公理改写公理改写:.bna 使使得得,0,ba,Nn Any(每一个每一个)或或All(所有的所有的)的字头的字头A的倒写的倒写Exist(存在存在)的的 字头字头E的倒写的倒写集合与实数集集合与实数集15符号符号“”表示表示“蕴含蕴含”,或或“推推出出”.符号符号“”表示表示“等价等价”,或或
12、“充分必充分必要要”.集合与实数集集合与实数集16二、实数的性质二、实数的性质,0()qp qqp有理数为整数有限十进制小数或无限十进制循环小数实数无理数,无限十进制不循环小数实数的性质:1.实数对加减乘除运算是封闭的;2.实数是有序的;3.实数具有稠密性;4.实数与数轴上的点一一对应.集合与实数集集合与实数集17常用的不等式.(1).绝对值绝对值(absolute value)不等式不等式 00aaaaa)0(a运算性质运算性质baab baba bababa 集合与实数集集合与实数集1212nnaaaaaa绝对值不等式绝对值不等式)0(aaxaxa )0(aax.axax 或或18(2).
13、伯努利伯努利(Bernoulli)不等式不等式1,xn 设为自然数 则有11nxnx(3).平均值不等式平均值不等式12,nx xx设为n个正实数 则有1212nnnxxxx xxn用数学归纳法可证上面两个不等式.集合与实数集集合与实数集19三、区间与邻域三、区间与邻域.ba 且且bxax 称为称为),(ba记作记作bxax 称为称为,ba记作记作,都都是是实实数数和和设设ba开区间开区间,闭区间闭区间,xOabxOab1.区间集合与实数集集合与实数集20bxax bxax 称为称为),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb 有限区间有限区间无限区间无限区间半开半闭区间半开半
14、闭区间.全体实数的集合全体实数的集合R 也可记作也可记作),(是无限区间是无限区间.xOaxOb集合与实数集集合与实数集21区间长度的定义区间长度的定义两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的称为区间的今后在不需要辨明所论区间是否包含今后在不需要辨明所论区间是否包含有限区间、有限区间、称它为称它为“区间区间”,常用常用I 表示表示.长度长度.无限区间的场合无限区间的场合,注注端点、端点、简单地简单地集合与实数集集合与实数集222.邻域邻域(neighbourhood).0,且且是两个实数是两个实数与与设设a,中心中心点点a为半径为半径(,)O a|axx 的的称称为为点点
15、a 数集数集即即 邻域邻域,记作记作它它是是以以.的的开开区区间间几何表示几何表示(,):O a表示.的全体的全体的一切点的一切点距离小于距离小于与点与点xa.axaxxOa a a(,),O a集合与实数集集合与实数集23(,)O a 有时简记为有时简记为().O a(,),O a记作的的点点a,邻域邻域的的 去心去心(空心空心)0.axx(O a，）即即ax 开区间开区间开区间开区间的的称为称为a),(aa ,邻域邻域左左),(aa的的称为称为a.邻域邻域右右 两个闭区间的直积表示两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形平面上的矩形区域区域.如如,dcba ,),(dcybaxyx 即为即为
16、xOy平面上的矩形区域平面上的矩形区域,这个区域在这个区域在x轴与轴与y轴上的投影分别为闭区间轴上的投影分别为闭区间,ba和闭区间和闭区间.,dc集合与实数集集合与实数集24四、确界与确界原理四、确界与确界原理对于有限数集,一定有最大值和最小值.如,1,2,3,max3,min1.AAA则但对于无限数集,就未必有最大值和最小值.如,0,1没有最大值和最小值.Maximum minimum集合与实数集集合与实数集25定义1:设E为一非空数集,如果存在数M,使得对,xE xM有则称M是E的一个上界 下界xM有若数集E既有上界又有下界,则称E为有界数集,否则就称为无界数集.思考:1.若数集E有上(或
17、下)界,则其上(或下)界是否唯一?2.是否任何一个数集都有上(或下)界?集合与实数集集合与实数集26结论:任何一个有限区间都是有界数集,任何一个无限区间都是无界数集.定义2(确界).设E为一非空数集,若数是E的一个上 界,且对E的任意一个上 界,E都有则称 为 的上确界(最小的上界).记作supE(下)(下),E都有则称 为 的下确界(最大的下界).inf ESupermum infimum集合与实数集集合与实数集27例 设213Ex x2202Ex xx且求其上(下)确界.11sup3inf3EE 21sup2inf0EE思考:一个有界数集是否一定有上(下)确界?若有,是否唯一?集合与实数集
18、集合与实数集28定理1(确界原理)一个非空有上(下)界的数集必存在上(下)确界.由实数理论可证.定理2(1)设E是有上界的非空数集,记集合与实数集集合与实数集实数的完备性或连续性00sup0,ExEx，则对使得(2)设E是有下界的非空数集,记00inf0,ExEx，则，对使得利用反证法可证.进一步说明上（下）确界是最小（大）的上（下）界29结论：(1)设E是有上界的非空数集,则00sup120,ExExxEx （）对，有（）对使得(2)设E是有下界的非空数集,则00inf10,ExExxEx （）对，有，（2）对使得定义3（确界）集合与实数集集合与实数集30定理3若数集E包含了它的一个上界,则
19、supE例 设11 111,2 3En21,3,5,21,En35Exx 242Ex x求其上(下)确界.集合与实数集集合与实数集31集合与实数集集合与实数集例设E是非空的有界数集,定义ExxE 试证明：supinfEE 证明：00inf10,ExExxEx 设，即（）对，有，（2）对使得则000010,xExExxxExxEx （）对，有，从而，即，（2）对使得即，使得从而supinfEE 32五、小结五、小结集合集合集合概念集合概念,集合的运算集合的运算,实数的性质确界与确界原理区间区间,邻域邻域,集合与实数集集合与实数集33作业 习题1.1 P7-8 (A)10.(3)(B)7.(1)8.（1）10.集合与实数集集合与实数集
