1、第第2章章 测试系统的特性测试系统的特性2.1 概述概述2.2 测试系统的静态特性测试系统的静态特性2.3 测试系统的动态特性测试系统的动态特性2.1 概述概述 典型的测试系统主要由传感器、信号调理电路、数据处理设备以及典型的测试系统主要由传感器、信号调理电路、数据处理设备以及显示仪表等部分组成。需要指出的是，当测试目的、要求不同时，测试显示仪表等部分组成。需要指出的是，当测试目的、要求不同时，测试系统的差别很大。系统的差别很大。2.1.1 测试系统的基本要求测试系统的基本要求 通常的工程测试问题总是处理输入量通常的工程测试问题总是处理输入量x（t）、系统的传输或转换特性）、系统的传输或转换特
2、性h（t）和输出量）和输出量y（t）三者之间的关系，如图所示。）三者之间的关系，如图所示。系统、输入和输出的关系系统、输入和输出的关系 理想的测试系统应该具有单值的、确定的输入输出关系。对于每一个理想的测试系统应该具有单值的、确定的输入输出关系。对于每一个输入量，系统都有一个单一的输出量与之一一对应，知道其中一个量就可输入量，系统都有一个单一的输出量与之一一对应，知道其中一个量就可以确定另一个量，并且以输出和输入呈线性关系为最佳。以确定另一个量，并且以输出和输入呈线性关系为最佳。在静态测量中，测试系统的这种线性关系虽然总是所希望的，但不是在静态测量中，测试系统的这种线性关系虽然总是所希望的，但
3、不是必须的，因为用曲线校正或用输出补偿技术作非线性校正并不困难。必须的，因为用曲线校正或用输出补偿技术作非线性校正并不困难。在动态测量中，测试系统本身应该力求是线性系统，这不仅因为目前在动态测量中，测试系统本身应该力求是线性系统，这不仅因为目前对线性系统能作比较完善的数学处理与分析，而且也因为在动态测试中作对线性系统能作比较完善的数学处理与分析，而且也因为在动态测试中作非线性校正还相当困难或不经济。由于相当多的实际测试系统不可能在较非线性校正还相当困难或不经济。由于相当多的实际测试系统不可能在较大的工作范围内完全保持线性，因而只能限制在一定的工作范围内和一定大的工作范围内完全保持线性，因而只能
4、限制在一定的工作范围内和一定的误差允许范围内，近似地作为线性系统处理。的误差允许范围内，近似地作为线性系统处理。2.1.2 线性系统及其主要性质线性系统及其主要性质 线性系统的输入线性系统的输入x（t）和输出）和输出y（t）之间可用下列微分方程来描述：）之间可用下列微分方程来描述：11101d()d()d()()dddnnnnnny ty ty taaaa y tttt11101d()d()d()()dddmmmmmmx tx tx tbbbb x tttt 若系数若系数 和和 均为常数，该方程均为常数，该方程就是常系数线性微分方程，所描述的是时不变（常系数）线性系统。若系就是常系数线性微分方
5、程，所描述的是时不变（常系数）线性系统。若系数是时变的，即数是时变的，即 均为时间均为时间t的函数，则称为时变系统。的函数，则称为时变系统。110nnaaaa,110mmbbbb,若以若以 表示测试系统中输入与输出的对应关系，则时不变线表示测试系统中输入与输出的对应关系，则时不变线性系统具有以下主要性质：性系统具有以下主要性质：()()x ty t线线性性系系统统性性质质叠加性叠加性比例性比例性微分性微分性积分性积分性频率保持性频率保持性2.2 测试系统的静态特性测试系统的静态特性 在静态测量中，输入和输出都不随时间而变化或变化极慢（在所观在静态测量中，输入和输出都不随时间而变化或变化极慢（在
6、所观察的时间内可忽略其变化），公式将变为察的时间内可忽略其变化），公式将变为00byxa 由此可见，静态特性是动态特性的一个特例。输入不随时间变化，由此可见，静态特性是动态特性的一个特例。输入不随时间变化，即输入频率为零。因此，在描述测试系统的静态特性时，必须和系统的即输入频率为零。因此，在描述测试系统的静态特性时，必须和系统的频率特性联系起来。频率特性联系起来。2.2.1 测试系统的误差与精度测试系统的误差与精度 1测试系统的误差测试系统的误差 测试结果与被测量的真值总是不一致的，它们之间的差值称为误差。测试结果与被测量的真值总是不一致的，它们之间的差值称为误差。所谓真值是一个理想的概念，一
7、般是不知道的，通常用高一等级的标准装所谓真值是一个理想的概念，一般是不知道的，通常用高一等级的标准装置所测得的量值或多次测量的算术平均值来代替。置所测得的量值或多次测量的算术平均值来代替。误差的种类较多，根据其表示方法可分为绝对误差、相对误差和引用误差的种类较多，根据其表示方法可分为绝对误差、相对误差和引用误差；根据其特点、性质和产生原因又可分为系统误差、随机误差和过失误差；根据其特点、性质和产生原因又可分为系统误差、随机误差和过失误差。误差。误误差差系统误差系统误差随机误差随机误差过失误差过失误差 系统误差是指在相同的条件下，多次重复测量同一个量时，系统误差是指在相同的条件下，多次重复测量同
8、一个量时，其绝对值和符号固定不变，或改变条件（如环境条件、测量条件）其绝对值和符号固定不变，或改变条件（如环境条件、测量条件）后按一定规律变化的误差。这类误差的出现是有规律的，容易被后按一定规律变化的误差。这类误差的出现是有规律的，容易被人们所掌握，并可采取适当的措施加以修正或消除。人们所掌握，并可采取适当的措施加以修正或消除。随机误差是指在相同的条件下，多次重复测量同一个量时，随机误差是指在相同的条件下，多次重复测量同一个量时，其绝对值和符号变化无常，但随着测量次数的增加又符合统计规其绝对值和符号变化无常，但随着测量次数的增加又符合统计规律的误差。这类误差的特点是随机分布的，并且是不可避免的
9、，律的误差。这类误差的特点是随机分布的，并且是不可避免的，只有用统计的方法找出它的规律，才能使之控制在最小。只有用统计的方法找出它的规律，才能使之控制在最小。过失误差是一种明显歪曲实验结果的误差。主要是由于操作不过失误差是一种明显歪曲实验结果的误差。主要是由于操作不当、疏忽大意、环境条件突然变化所造成的。含有过失误差的数据当、疏忽大意、环境条件突然变化所造成的。含有过失误差的数据称为异常数据，在误差分析时应将其剔除。称为异常数据，在误差分析时应将其剔除。2测试系统的精度测试系统的精度 测试系统的精度反映测试结果与真值的接近程度。它与误差的大小测试系统的精度反映测试结果与真值的接近程度。它与误差
10、的大小相对应，因此可用误差的大小来表示精度的高低，误差小则精度高，反相对应，因此可用误差的大小来表示精度的高低，误差小则精度高，反之误差大则精度低。之误差大则精度低。测测试试系系统统精精度度精密度精密度正确度正确度准确度准确度 精密度表示多次重复测量中，测量值彼此之间的重复性或分精密度表示多次重复测量中，测量值彼此之间的重复性或分散性大小的程度。它反映随机误差的大小，随机误差愈小，测量散性大小的程度。它反映随机误差的大小，随机误差愈小，测量值就愈密集，重复性愈好，精密度愈高。值就愈密集，重复性愈好，精密度愈高。正确度表示多次重复测量中，测量平均值与真值接近的程度。正确度表示多次重复测量中，测量
11、平均值与真值接近的程度。它反映系统误差的大小，系统误差愈小，测量平均值就愈接近真它反映系统误差的大小，系统误差愈小，测量平均值就愈接近真值，正确度愈高。值，正确度愈高。准确度（精确度）表示在多次重复测量中，测量值与真值一准确度（精确度）表示在多次重复测量中，测量值与真值一致的程度。它反映随机误差和系统误差综合的大小，只有当随机致的程度。它反映随机误差和系统误差综合的大小，只有当随机误差和系统误差都小时，准确度才高。准确度也简称为精度。误差和系统误差都小时，准确度才高。准确度也简称为精度。对于具体的测量，精密度高而正确度不一定高，正确度高而精密度也对于具体的测量，精密度高而正确度不一定高，正确度
12、高而精密度也不一定高，但准确度高，则精密度和正确度都高。在消除了系统误差的情不一定高，但准确度高，则精密度和正确度都高。在消除了系统误差的情况下，精密度与准确度才是一致的。况下，精密度与准确度才是一致的。现以下图所示的打靶结果现以下图所示的打靶结果子弹落在靶心周围的三种情况来说明精子弹落在靶心周围的三种情况来说明精度的高低。度的高低。（a）（b）（c）精度精度 衡量精度的性能指标常用相对误差和引用误差来表示。衡量精度的性能指标常用相对误差和引用误差来表示。相对误差相对误差100%100%xxxx 引用误差引用误差nnn100%100%xxxx 我国测试仪表的精度等级仍多用引用误差的百分数值来表
13、示，即我国测试仪表的精度等级仍多用引用误差的百分数值来表示，即nn100100 xxax 在选用测试系统时，应在合理选用量程的条件下再选择合适的精度等在选用测试系统时，应在合理选用量程的条件下再选择合适的精度等级，一般应尽量避免在全量程的级，一般应尽量避免在全量程的1/3以下范围内工作，以免产生较大的相以下范围内工作，以免产生较大的相对误差。对误差。对于被测量不随时间变化或变化甚缓的静态测量中，上述术语和误差对于被测量不随时间变化或变化甚缓的静态测量中，上述术语和误差计算、表达方法都很明确。但对于动态测量，误差的度量就比较复杂。如计算、表达方法都很明确。但对于动态测量，误差的度量就比较复杂。如
14、果输入是由多个频率组成，则实际系统总会导致一定的输出失真，如何度果输入是由多个频率组成，则实际系统总会导致一定的输出失真，如何度量失真，如何定量表示失真的大小，则是一个复杂的问题。量失真，如何定量表示失真的大小，则是一个复杂的问题。对于时不变线性系统，由于频率保持性，系统输入单一频率的正弦对于时不变线性系统，由于频率保持性，系统输入单一频率的正弦信号，其稳态输出也只能有该单一频率，无所谓失真问题，任何畸变都信号，其稳态输出也只能有该单一频率，无所谓失真问题，任何畸变都是系统偏离理想线性系统的结果。但即使系统是理想线性的，由于系统是系统偏离理想线性系统的结果。但即使系统是理想线性的，由于系统的频
15、率特性，对具有多种频率成分的输入波形，仍会引起输出波形畸变。的频率特性，对具有多种频率成分的输入波形，仍会引起输出波形畸变。在选择测试系统时应根据被测信号的频率范围，按不失真的要求，在选择测试系统时应根据被测信号的频率范围，按不失真的要求，选用频率特性合适的系统。在信号频率范围内幅值的变化一般希望限制选用频率特性合适的系统。在信号频率范围内幅值的变化一般希望限制在在5%10%以内，相应的相位偏移不超过以内，相应的相位偏移不超过36。2.2.2 测试系统的静态特性参数测试系统的静态特性参数 1线性度线性度 线性度是指测试系统的输出与输线性度是指测试系统的输出与输入之间能否像理想系统那样保持常值入
16、之间能否像理想系统那样保持常值比例关系（线性关系）的一种度量。比例关系（线性关系）的一种度量。在静态测量中，通常用实验的方法求在静态测量中，通常用实验的方法求取系统的输出与输入关系曲线，称为取系统的输出与输入关系曲线，称为标定曲线。标定曲线与拟合直线的接标定曲线。标定曲线与拟合直线的接近程度称为线性度。如图所示，线性近程度称为线性度。如图所示，线性度用标定曲线与拟合直线的最大偏差度用标定曲线与拟合直线的最大偏差B与满量程输出值与满量程输出值A的百分比表示，即的百分比表示，即100%BeA线性度线性度 （1）平均法）平均法 平均法确定拟合直线的实质是选择合适的系数，使标定曲线与拟合直平均法确定拟
17、合直线的实质是选择合适的系数，使标定曲线与拟合直线偏差的代数和为零，即线偏差的代数和为零，即11()()0nniiiiiiDyyyabx 拟合直线方程有两个待定系数拟合直线方程有两个待定系数a与与b，为了求它们，首先把实验数据按，为了求它们，首先把实验数据按输入输入 由小到大依次排列，然后分成个数近似相等的两组。第一组为由小到大依次排列，然后分成个数近似相等的两组。第一组为 ，第二组为，第二组为 ，建立相应的两组方程，并将，建立相应的两组方程，并将两组方程分别相加得两组方程分别相加得12kx xx,12kknxxx,1111()kkiiiinniii ki kykabxynk abx 解此联立
18、方程便可求出待定系数解此联立方程便可求出待定系数a与与b，从而确定拟合直线方程。，从而确定拟合直线方程。（2）最小二乘法）最小二乘法 最小二乘法确定拟合直线的实质是选择合适的系数，使标定曲线与最小二乘法确定拟合直线的实质是选择合适的系数，使标定曲线与拟合直线偏差的平方和为最小，即拟合直线偏差的平方和为最小，即为最小。由于偏差的平方均为正值，故若偏差的平方和为最小，即意味为最小。由于偏差的平方均为正值，故若偏差的平方和为最小，即意味着拟合直线与整个实验数据的偏离程度最小。着拟合直线与整个实验数据的偏离程度最小。2211()()nniiiiiiQyyyabx 按最小二乘法确定待定系数，就是要求出能
19、使按最小二乘法确定待定系数，就是要求出能使Q取最小的取最小的a与与b值。为值。为此，将此，将Q分别对分别对a和和b求偏导数，并令其等于零，得求偏导数，并令其等于零，得112()02()0niiiniiiiQyabxaQyabx xb 由此解得由此解得11111122211111()()1()()nniiiinnnniiiiiiiiiinnniiiiiibayxybxnnx yxyxxyynbxxxxn 式中式中 ，。得到待定系数。得到待定系数a与与b后，就可确后，就可确定拟合直线方程。值得注意的是，将定拟合直线方程。值得注意的是，将 代入拟合直线方代入拟合直线方程程 ，得，得11niixxn1
20、1niiyynaybx yabx()yyb xx 该式表明拟合直线通过（该式表明拟合直线通过（,）点，这对作拟合直线是很有帮助）点，这对作拟合直线是很有帮助的。的。xy 用不同方法得到的拟合直线是不同的，计算的线性度也有所不同。平用不同方法得到的拟合直线是不同的，计算的线性度也有所不同。平均法计算简单，但对实验数据的统计规律考虑得不够深入，仅能作粗略估均法计算简单，但对实验数据的统计规律考虑得不够深入，仅能作粗略估计之用。一般较为重要的实验数据应选用最小二乘法确定拟合直线方程。计之用。一般较为重要的实验数据应选用最小二乘法确定拟合直线方程。在动态测量中，系统的线性度在标定时，应在其全量程范围内
21、进行。在动态测量中，系统的线性度在标定时，应在其全量程范围内进行。线性度所描述的是在某一频率点上输出与输入是否呈线性比例关系的一种线性度所描述的是在某一频率点上输出与输入是否呈线性比例关系的一种度量。因为动态测量的输入一般为周期性的变化，其量值经历正、负和零，度量。因为动态测量的输入一般为周期性的变化，其量值经历正、负和零，所以测试系统的非线性必然引起波形的畸变，导致输出失真。即使输入为所以测试系统的非线性必然引起波形的畸变，导致输出失真。即使输入为单一频率的正弦波，由于波形畸变使输出中必然含有高次谐波。所以在标单一频率的正弦波，由于波形畸变使输出中必然含有高次谐波。所以在标定时如果发现系统有
22、比较明显的非线性，则说明该系统已不能作为线性系定时如果发现系统有比较明显的非线性，则说明该系统已不能作为线性系统处理，线性系统的叠加性、频率保持性都不复存在，更谈不上不失真问统处理，线性系统的叠加性、频率保持性都不复存在，更谈不上不失真问题，因此线性度是表述测试系统的重要参数。题，因此线性度是表述测试系统的重要参数。2灵敏度灵敏度 灵敏度是测试系统对被测量变化的反应能力，是反映系统特性的一个灵敏度是测试系统对被测量变化的反应能力，是反映系统特性的一个基本参数。当系统输入基本参数。当系统输入x有一个变化量有一个变化量 ，引起输出，引起输出y也发生相应的变化也发生相应的变化量量 ，则输出变化量与输
23、入变化量之比称为灵敏度，用，则输出变化量与输入变化量之比称为灵敏度，用S表示，即表示，即xyySx 在静态测量中，对于呈直线关系的线性系统，由公式得在静态测量中，对于呈直线关系的线性系统，由公式得00bySbxa 在动态测量中，由于系统的频率特性影响，即使在适用的频率范围内，在动态测量中，由于系统的频率特性影响，即使在适用的频率范围内，系统的灵敏度也不相同。在实际工作中，常对适用频率范围内特性最为平系统的灵敏度也不相同。在实际工作中，常对适用频率范围内特性最为平坦、具有代表性的频率点进行标定。坦、具有代表性的频率点进行标定。3滞后量（回程误差）滞后量（回程误差）当输入当输入x由小增大，而后又由
24、小增大，而后又由大减小时，同一个输入量系统由大减小时，同一个输入量系统会出现不同的输出量。在全量程会出现不同的输出量。在全量程范围内，同一个输入量的前后两范围内，同一个输入量的前后两个输出量的最大差值称为滞后量个输出量的最大差值称为滞后量H，如图所示。滞后量也可用最，如图所示。滞后量也可用最大输出差值大输出差值H与满量程输出值与满量程输出值A的百分比表示，即的百分比表示，即100%HhA滞后量滞后量 实际上滞后量包括了一般的滞后现象和仪器的不工作区（或称死区）。实际上滞后量包括了一般的滞后现象和仪器的不工作区（或称死区）。4重复性重复性 重复性表示输入量按同一重复性表示输入量按同一方向变化时，
25、在全量程范围内方向变化时，在全量程范围内重复进行测量时所得到各特性重复进行测量时所得到各特性曲线的重复程度，如图所示。曲线的重复程度，如图所示。一般采用输出最大不重复误差一般采用输出最大不重复误差与满量程输出值与满量程输出值A的百分比的百分比来表示重复性，即来表示重复性，即100%A重复性重复性 重复性可反映测试系统的随机误差大小。重复性可反映测试系统的随机误差大小。为了确保测量结果的准确可靠，要求测试系统的线性度好、灵敏度高、为了确保测量结果的准确可靠，要求测试系统的线性度好、灵敏度高、滞后量和重复性误差小。实际上，线性度是一项综合性参数，滞后量和重滞后量和重复性误差小。实际上，线性度是一项
26、综合性参数，滞后量和重复性也都能反映在线性度上。因此，有关滞后量和重复性在动态测量中的复性也都能反映在线性度上。因此，有关滞后量和重复性在动态测量中的频率特性就不再作详细分析。频率特性就不再作详细分析。为了确定上述静态特性参数，通常用静态标准量作为输入，用实验方为了确定上述静态特性参数，通常用静态标准量作为输入，用实验方法测出对应的输出量，这一过程称为静态标定。然后根据静态标定实验数法测出对应的输出量，这一过程称为静态标定。然后根据静态标定实验数据求出拟合直线方程，并计算出各测得值与理论估计值（由拟合直线方程据求出拟合直线方程，并计算出各测得值与理论估计值（由拟合直线方程计算得到）之间的偏差，
27、由此即可求出静态特性参数值。计算得到）之间的偏差，由此即可求出静态特性参数值。2.3 测试系统的动态特性测试系统的动态特性2.3.1 传递函数传递函数 对于时不变线性系统，如果对于时不变线性系统，如果x（t）是时间变量）是时间变量t的函数，并且在初始的函数，并且在初始条件条件t0时时x（t）=0，则它的拉氏变换定义为，则它的拉氏变换定义为 0()()ed()stL x tx ttX s 由此可得由此可得x（t）的）的n阶微分的拉氏变换为阶微分的拉氏变换为0d()d()ed()ddnstnnnnx tx tLts X stt 若系统的初始条件为零，即在考察时刻以前（若系统的初始条件为零，即在考察
28、时刻以前（t=0），其输出量与），其输出量与输入量以及各阶微分都为零，可得输入量以及各阶微分都为零，可得1110()()nnnna sasa sa Y s1110()()mmmmb sbsb sb X s 线性系统的传递函数定义为：在零初始条件下，系统输出量拉氏变线性系统的传递函数定义为：在零初始条件下，系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比，即换与输入量拉氏变换之比，即11101110()()()mmmmnnnnb sbsb sbY sH sX sa sasa sa 传递函数为复变量传递函数为复变量s的函数，一般为有理真分式，即的函数，一般为有理真分式，即nm。分母中。分母中s的最高阶数等于
29、输出量微分的最高阶数，如果的最高阶数等于输出量微分的最高阶数，如果s的最高阶的最高阶数为数为n，则该系统称为，则该系统称为n阶测试系统。阶测试系统。1传递函数的特点传递函数的特点 传递函数与输入无关，即不因传递函数与输入无关，即不因x（t）的不同而异。它只反映测试系统）的不同而异。它只反映测试系统的特性，所描述的测试系统对任一具体的输入的特性，所描述的测试系统对任一具体的输入x（t）都确定地给出了相应）都确定地给出了相应的输出的输出y（t）。）。传递函数是把实际物理系统抽象成数学模型。它只反映测试系统的传传递函数是把实际物理系统抽象成数学模型。它只反映测试系统的传输、转换和响应特性，而与具体的
30、物理结构无关。同一形式的传递函数可输、转换和响应特性，而与具体的物理结构无关。同一形式的传递函数可能表征着完全不同的物理系统，它们具有相似的传递特性。能表征着完全不同的物理系统，它们具有相似的传递特性。由于在实际的物理系统中，输入由于在实际的物理系统中，输入x（t）和输出）和输出y（t）常具有不同的量）常具有不同的量纲，所以用传递函数描述测试系统的传输、转换特性也应该真实地反映这纲，所以用传递函数描述测试系统的传输、转换特性也应该真实地反映这种量纲变换。前面谈到不同的物理系统可能有相似的传递函数，但是系数种量纲变换。前面谈到不同的物理系统可能有相似的传递函数，但是系数a0和和b0的量纲将因具体
31、物理系统的输入量和输出量的量纲而异。的量纲将因具体物理系统的输入量和输出量的量纲而异。传递函数的分母通常取决于测试系统的结构，分子则和输入方式、所传递函数的分母通常取决于测试系统的结构，分子则和输入方式、所测变量以及测点布置情况有关。测变量以及测点布置情况有关。2复杂测试系统的传递函数复杂测试系统的传递函数 实际的测试系统往往由若干个环节通过串联或反馈的方式组成，如图实际的测试系统往往由若干个环节通过串联或反馈的方式组成，如图所示。所示。复杂测试系统的传递函数复杂测试系统的传递函数 图图a所示为两个环节串联组成的测试系统，其传递函数为所示为两个环节串联组成的测试系统，其传递函数为 类似地，对类
32、似地，对 个环节串联组成的测试系统个环节串联组成的测试系统 图图b所示为闭环反馈测试系统，其传递函数为所示为闭环反馈测试系统，其传递函数为 式中，负反馈取式中，负反馈取“+”号，正反馈取号，正反馈取“-”号。号。12()()()()()()()()()Y sZ s Y sH sH s HsX sX s Z s1()()niiH sH s 112()()1()()H sH sH s Hs2.3.2 频率特性频率特性 测试系统的频率响应是系统对正弦信号输入的稳态响应，当由低到高测试系统的频率响应是系统对正弦信号输入的稳态响应，当由低到高改变正弦输入信号的频率时，输出与输入的幅值比及相位差的变化情况
33、称改变正弦输入信号的频率时，输出与输入的幅值比及相位差的变化情况称为测试系统的频率特性。若将为测试系统的频率特性。若将s=jw代入拉氏变换就可得到代入拉氏变换就可得到j0(j)()edtXx tt 实际上这是单边傅里叶变换（简称傅氏变换），系统输出量拉氏变换实际上这是单边傅里叶变换（简称傅氏变换），系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比将变为与输入量拉氏变换之比将变为11101110(j)(j)(j)(j)(j)(j)(j)(j)(j)mmmmnnnnbbbbYHXaaaa 就是测试系统的频率特性就是测试系统的频率特性。很显然，频率特性是传递函数的一很显然，频率特性是传递函数的一个特例个特例。
34、(j)H 在推导传递函数时，曾经强调了测试系统的初始状态为零。但是，即在推导传递函数时，曾经强调了测试系统的初始状态为零。但是，即使测试系统的初始状态为零，从使测试系统的初始状态为零，从t=0+所施加的输入也是正弦信号，而测试所施加的输入也是正弦信号，而测试系统的响应也将有瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应取决于测试系统的响应也将有瞬态响应和稳态响应两部分组成。瞬态响应取决于测试系统的结构参数，反映测试系统固有特性的系统的结构参数，反映测试系统固有特性的“自然响应自然响应”，稳态响应取决，稳态响应取决于输入信号的形式。因为测试系统中存在阻尼，瞬态响应部分经过一段过于输入信号的形式。因为测试
35、系统中存在阻尼，瞬态响应部分经过一段过渡过程而趋于零。渡过程而趋于零。频率特性仅反映测试系统的稳态响应。当输入同一频率的正弦信号时，频率特性仅反映测试系统的稳态响应。当输入同一频率的正弦信号时，在时间坐标上，前可推溯至在时间坐标上，前可推溯至t=，后将延续至，后将延续至t=+，因此在观察时刻，因此在观察时刻，瞬态响应早就衰减为零。瞬态响应早就衰减为零。由此可见，频率特性不能反映过渡过程，传递函数才能反映全过程。由此可见，频率特性不能反映过渡过程，传递函数才能反映全过程。频率特性只是传递函数在特定输入下的描述，这一点在频率特性只是传递函数在特定输入下的描述，这一点在 就已充分反映了。就已充分反映
36、了。j(j)()sHH s 对于稳定的常系数线性系统，若输入为正弦信号，则稳态响应是与输对于稳定的常系数线性系统，若输入为正弦信号，则稳态响应是与输入同一频率的正弦信号。输出的幅值和相位通常不等于输入的幅值和相位，入同一频率的正弦信号。输出的幅值和相位通常不等于输入的幅值和相位，输出与输入的幅值比和相位差是输入信号频率的函数，这将反映在频率特输出与输入的幅值比和相位差是输入信号频率的函数，这将反映在频率特性的模和相角上。性的模和相角上。若将频率特性的虚部和实部分开，记作若将频率特性的虚部和实部分开，记作则则 和和 都是都是 的实函数。的实函数。(j)()j()HPQ()P()Q 若将频率特性写
37、成模和相角的形式，即若将频率特性写成模和相角的形式，即j()(j)()eHA 则则22()(j)()()AHPQ()()(j)arctan()QHP 称称 为测试系统的幅频特性函数，为测试系统的幅频特性函数，为测试系统的相频特性函为测试系统的相频特性函数，即输入不同频率的正弦信号时，输出与输入的幅值比和相位差。据此数，即输入不同频率的正弦信号时，输出与输入的幅值比和相位差。据此画出的画出的 曲线和曲线和 曲线分别称为测试系统的幅频特性曲曲线分别称为测试系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。线和相频特性曲线。()A()()A()1一阶测试系统的传递函数和频率特性一阶测试系统的传递函数和频率特性 右图
38、所示为典型的一阶测试右图所示为典型的一阶测试系统。其中左上图是由弹簧、阻系统。其中左上图是由弹簧、阻尼器组成一阶机械系统，图中尼器组成一阶机械系统，图中x（t）为输入位移量，为输入位移量，y（t）为输出位移）为输出位移量。通常阻尼力量。通常阻尼力Fb与运动速度成与运动速度成正比，作用力正比，作用力Fa与弹簧刚度及位与弹簧刚度及位移成正比，即移成正比，即a()()Fk x ty tbd()dy tFct典型的一阶测试系统典型的一阶测试系统 根据力的平衡条件根据力的平衡条件 ，可得，可得d()()()dy tcky tkx tt0iF 左下图是一个常见的左下图是一个常见的RC低通滤波器电路。输出电
39、压低通滤波器电路。输出电压yu（t）与输入电）与输入电压压xu（t）之间的关系为）之间的关系为d()()()duuuy tRCy tx tt 对于右图所示的液柱式温度计，若用对于右图所示的液柱式温度计，若用Ti（t）表示温度计的被测温度，）表示温度计的被测温度，T0（t）表示温度计的示值温度，）表示温度计的示值温度，c表示温度计的热容量，表示温度计的热容量，表示传热系数，表示传热系数，则根据热力学定律，它们之间的关系为则根据热力学定律，它们之间的关系为00d()()()diT tcT tT tt 上述所列举的三个测试系统，虽然分别属于力学、电学、热学范畴，上述所列举的三个测试系统，虽然分别属于
40、力学、电学、热学范畴，但其输出与输入的关系都可以用一阶微分方程描述，均属于一阶测试系统。但其输出与输入的关系都可以用一阶微分方程描述，均属于一阶测试系统。可写成如下标准形式可写成如下标准形式d()()()dy ty tSx tt 对于时不变线性系统，静态灵敏度对于时不变线性系统，静态灵敏度S=b0/a0为常数，在动态特性分析为常数，在动态特性分析中，灵敏度只起着使输出量增加倍数的作用。因此为了方便起见，本章讨中，灵敏度只起着使输出量增加倍数的作用。因此为了方便起见，本章讨论的测试系统都采用静态灵敏度论的测试系统都采用静态灵敏度S=b0/a0=1。这样，可得一阶测试系统的。这样，可得一阶测试系统
41、的传递函数为传递函数为()1()()1Y sH sX ss 其频率特性为其频率特性为(j)1(j)(j)1jYHX 一阶测试系统的幅频特性函数和相频特性函数分别为一阶测试系统的幅频特性函数和相频特性函数分别为21()1()A()arctan()以无量纲系数以无量纲系数 为横坐标，为横坐标，和和 为纵坐标，可得一阶测试系为纵坐标，可得一阶测试系统的幅频特性曲线和相频特性曲线如下图所示。统的幅频特性曲线和相频特性曲线如下图所示。()A()一阶测试系统的频率特性一阶测试系统的频率特性 一个理想的测试系统，其输出波形应该是无滞后地按比例地再现被测一个理想的测试系统，其输出波形应该是无滞后地按比例地再现
42、被测信号的波形，即信号的波形，即 （常数）（常数）()(j)1AH()(j)0H 由此可得一阶测试系统的幅值误差和相位误差分别为由此可得一阶测试系统的幅值误差和相位误差分别为21()()(0)11()AAA()()(0)arctan()2二阶测试系统的传递函数和频率特性二阶测试系统的传递函数和频率特性 下图所示为典型的二阶测试系统。其中图下图所示为典型的二阶测试系统。其中图a为动圈式测试仪表，动圈为动圈式测试仪表，动圈中流过的电流中流过的电流 为输入信号，指针偏转角度为输入信号，指针偏转角度 为输出信号。当动圈为输出信号。当动圈中流过电流时，线圈在磁场中受到电磁转矩中流过电流时，线圈在磁场中受
43、到电磁转矩Mi的作用，的作用，Mi的大小与电流的大小与电流成正比，即成正比，即()i t()tii()MK i t（a）（b）（c）典型的二阶测试系统典型的二阶测试系统 在电磁转矩作用下，测试仪表的可动部分发生偏转，同时产生惯性在电磁转矩作用下，测试仪表的可动部分发生偏转，同时产生惯性力矩力矩MJ、阻尼力矩、阻尼力矩Mc、弹簧刚度力矩、弹簧刚度力矩MG与电磁转矩与电磁转矩Mi相平衡，即相平衡，即JcGiMMMM2i2d()d()()()ddttJcGtK i ttt 图图b所示的测力弹簧可简化为弹簧所示的测力弹簧可简化为弹簧质量质量阻尼系统。当被测力阻尼系统。当被测力xf（t）=0时，可调整初
44、始值使输出位移时，可调整初始值使输出位移y（t）=0。根据力平衡方程，不计。根据力平衡方程，不计系统质量的影响，可得系统质量的影响，可得2f2d()d()()()ddy ty tmcky tx ttt 图图c为为 振荡回路，输入电压振荡回路，输入电压xu（t）和输出电压）和输出电压yu（t）之间的关系为之间的关系为22d()d()()()dduuuuy ty tLCRCy tx ttt 可归一化为标准形式可归一化为标准形式222nnn2d()d()2()()ddy ty ty tSx ttt 若取静态灵敏度若取静态灵敏度S=b0/a0=1，则二阶测试系统的传递函数为，则二阶测试系统的传递函数为
45、2n22nn()()()2Y sH sX sss 二阶测试系统的幅频特性函数和相频特性函数分别为二阶测试系统的幅频特性函数和相频特性函数分别为2 222nn1()1()4()An2n2()()arctan1()以相对角频率以相对角频率 为横坐标，为横坐标，和和 为纵坐标，可得二阶为纵坐标，可得二阶测试系统的幅频特性曲线和相频特性曲线如图所示。测试系统的幅频特性曲线和相频特性曲线如图所示。n/A()（a）（b）二阶测试系统的频率特性二阶测试系统的频率特性 二阶测试系统的幅值误差和相位误差分别为二阶测试系统的幅值误差和相位误差分别为2 222nn1()()(0)11()4()AAAnn2(/)()
46、()(0)arctan1(/)-2.3.3 瞬态响应瞬态响应 前面所讨论的都是测试系统对稳态正弦激励的响应。频率特性充分前面所讨论的都是测试系统对稳态正弦激励的响应。频率特性充分描述了在稳态输出输入情况下测试系统的动态特性，它反应对不同频率描述了在稳态输出输入情况下测试系统的动态特性，它反应对不同频率成分的正弦激励，测试系统输出与输入的幅值比和相位滞后的变化。在成分的正弦激励，测试系统输出与输入的幅值比和相位滞后的变化。在讨论过程中也曾指出，在正弦激励刚施加上去的一段时间内，测试系统讨论过程中也曾指出，在正弦激励刚施加上去的一段时间内，测试系统的输出中含有自然响应。自然响应是一种瞬态响应，它随
47、时间的增大逐的输出中含有自然响应。自然响应是一种瞬态响应，它随时间的增大逐渐衰减为零。自然响应反映测试系统的固有特性，它和激励的初始施加渐衰减为零。自然响应反映测试系统的固有特性，它和激励的初始施加方式有关，而和激励的稳态频率无关。自然响应的存在说明测试系统的方式有关，而和激励的稳态频率无关。自然响应的存在说明测试系统的响应有一个过渡过程。响应有一个过渡过程。在控制理论中指出，利用拉氏变换可以以代数方法解微分方程，所在控制理论中指出，利用拉氏变换可以以代数方法解微分方程，所得到的解不仅包括稳态响应，而且包括瞬态响应。因此，如果测试系统得到的解不仅包括稳态响应，而且包括瞬态响应。因此，如果测试系
48、统的传递函数的传递函数H（s）已知，输入（激励）也可以用数学表达式）已知，输入（激励）也可以用数学表达式x（t）描述，）描述，那么就可以对激励函数求拉氏变换得那么就可以对激励函数求拉氏变换得X（s），由公式得到响应的拉氏变），由公式得到响应的拉氏变换换Y（s），即），即()()()Y sH s X s 对对Y（s）再求拉氏逆变换就可得到响应的时域描述，）再求拉氏逆变换就可得到响应的时域描述，即即 ，所得到的解包括过渡过程。，所得到的解包括过渡过程。1()()y tLY s 为了求出为了求出Y（s），需要确定传递函数），需要确定传递函数H（s）的数学表达式，所以要）的数学表达式，所以要用参数拟合
49、的方法估计传递函数表达式中的各项系数。如果测试系统已用参数拟合的方法估计传递函数表达式中的各项系数。如果测试系统已建立了足够准确的模型，能用数学方法直接描述该模型，写出其运动的建立了足够准确的模型，能用数学方法直接描述该模型，写出其运动的微分方程，那么就可以直接求得传递函数微分方程，那么就可以直接求得传递函数H（s）。此外，运用以上公式）。此外，运用以上公式还可能遇到另一个问题，那就是工程中的很多实际激励（输入）也难以还可能遇到另一个问题，那就是工程中的很多实际激励（输入）也难以用解析式表达，因此也难以直接获得用解析式表达，因此也难以直接获得X（s）的表达式。这样要研究测试）的表达式。这样要研
50、究测试系统的动态特性，就只有用测试系统对典型瞬变输入信号的响应来描述。系统的动态特性，就只有用测试系统对典型瞬变输入信号的响应来描述。1典型输入函数典型输入函数 通常采用的典型输入函数有单位斜坡函数通常采用的典型输入函数有单位斜坡函数r（t）、单位阶跃函数）、单位阶跃函数u（t）和单位脉冲函数和单位脉冲函数（t），如图所示，系统对这些典型输入函数的响应称为），如图所示，系统对这些典型输入函数的响应称为测试系统的瞬态响应。测试系统的瞬态响应。典型输入函数典型输入函数 图图a所示的是单位斜坡函数，其表达式为所示的是单位斜坡函数，其表达式为 t0 t00()r tt 图图b所示的是单位阶跃函数，其表
