1、数列（解答题）大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）数列（解答题）大数据之五年（2018-2022）高考真题汇编（新高考卷与全国理科）一、解答题一、解答题1已知 为等差数列，是公比为 2 的等比数列，且 22=33=44 （1）证明：1=1；（2）求集合|=+1，1 500 中元素个数 2记 为数列 的前 n 项和已知 2+=2+1 （1）证明：是等差数列；（2）若 4，7，9 成等比数列，求 的最小值 3记 为数列 的前 n 项和，已知 1=1，是公差为 13，的等差数列.（1）求 的通项公式；（2）证明：11+12+1 成立的 n 的最小值 5设 是首项为 1
2、 的等比数列，数列 满足=3，已知 1，3 2，9 3 成等差数列.（1）求 和 的通项公式；（2）记 和 分别为 和 的前 n 项和.证明：0，231，且数列 是等差数列证明：是等差数列7已知数列an的各项均为正数，记 Sn为an的前 n 项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列an是等差数列：数列 是等差数列；a2=3a1注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.8记 Sn为数列an的前 n 项和，bn为数列Sn的前 n 项积，已知 2+1=2.（1）证明：数列bn是等差数列；（2）求an的通项公式.9已知 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 64 是公比大于
3、 0 的等比数列，1=4，32=48 （1）求 和 的通项公式；（2）记=2+1，.（i）证明 22 是等比数列；（ii）证明=1+122 2 2()10已知数列 满足 1=1，+1=+1，为奇数+2，为偶数（1）记 =2，写出 1，2，并求数列 的通项公式；（2）求 的前 20 项和11设数列an满足 a1=3，+1=34 （1）计算 a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前 n 项和 Sn 12设 是公比不为 1 的等比数列，1 为 2，3 的等差中项 （1）求 的公比；（2）若 1=1，求数列 的前 n 项和 13已知公比大于 1 的等比数列 满足 2+4=20
4、,3=8 （1）求 的通项公式；（2）求 1223+(1)1+1.14已知公比大于 1 的等比数列 满足 2+4=20,3=8 （1）求 的通项公式；（2）记 为 在区间(0,()中的项的个数，求数列 的前 100 项和 100 15已知 为等差数列，为等比数列，1=1=1,5=5(43),5=4(43)（）求 和 的通项公式；（）记 的前 项和为 ，求证：+2 0，所以 22+1 2，即 11+12+1 即：25 26，整理可得：(1)(6)0，解得：6，又 为正整数，故 的最小值为 7.5【答案】（1）因为 是首项为 1 的等比数列且 1，32，93 成等差数列，所以 62=1+93，所以
5、 61=1+912，即 926+1=0，解得 =13，所以=(13)1，所以=3=3.（2）证明：由（1）可得=1 (113)113=32(113)，=13+232+131+3，13=132+233+13+3+1，得 23=13+132+133+133+1=13(113)1133+1=12(113)3+1，所以=34(113)2 3，所以 2=34(113)2 334(113)=2 3 0，所以 0)，则=(+)2，当 =1 时，1=1=(+)2；当 2 时，=1=(+)2(+)2=(2+2)；因为 也是等差数列，所以(+)2=(2+2)，解得 =0；所以=2(21)，所以 2=31.选作条件
6、证明：因为 2=31，是等差数列，所以公差 =21=21，所以=1+(1)2=21，即=1，因为+1=1(+1)1=1，所以 是等差数列.选作条件证明：设=+(0)，则=(+)2，当 =1 时，1=1=(+)2；当 2 时，=1=(+)2(+)2=(2+2)；因为 2=31，所以(3+2)=3(+)2，解得 =0 或 =43；当 =0 时，1=2，=2(21)，当 2 时，1=22 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；当 =43 时，=+=43，1=3 0)，所以 32=121=4(2)=48，解得 =4（负值舍去），所以=11=4，；（2）（i）由题意，=2+1=42+14，所以 22=(
7、42+14)2(44+142)=2 4，所以 22 0，且 2+12+222=2 4+12 4=4，所以数列 22 是等比数列；（ii）由题意知，+122=(21)(2+1)2 4=4212 22422 22，所以+122422 22=22 2=1221，所以=1+12212=121，设=121=120+221+322+21，则 12=121+222+323+2，两式相减得 12=1+12+122+1212=1 (112)1122=2+22，所以=4+221，所以=1+12212=121=12(4+221)1)，则 2+4=1+13=203=12=8，整理可得：225+2=0，1,=2,1=2
8、，数列的通项公式为：=2 21=2.（2）解：由于：(1)1+1=(1)1 2 2+1=(1)122+1，故：1223+(1)1+1=2325+2729+(1)1 22+1=231(22)1(22)=85(1)22+35.14【答案】（1）解：由于数列 是公比大于 1 的等比数列，设首项为 1，公比为 q，依题意有 1+13=2012=8，解得解得 1=2,=2，或 1=32,=12(舍)，所以=2，所以数列 的通项公式为=2.（2）解：由于 21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128，所以 1 对应的区间为：(0,1，则 1=0；2,3 对应的区间分别为：
9、(0,2,(0,3，则 2=3=1，即有 2 个 1；4,5,6,7 对应的区间分别为：(0,4,(0,5,(0,6,(0,7，则 4=5=6=7=2，即有 22 个 2；8,9,15 对应的区间分别为：(0,8,(0,9,(0,15，则 8=9=15=3，即有 23 个 3；16,17,31 对应的区间分别为：(0,16,(0,17,(0,31，则 16=17=31=4，即有 24 个 4；32,33,63 对应的区间分别为：(0,32,(0,33,(0,63，则 32=33=63=5，即有 25 个 5；64,65,100 对应的区间分别为：(0,64,(0,65,(0,100，则 64=
10、65=100=6，即有 37 个 6.所以 100=1 2+2 22+3 23+4 24+5 25+6 37=480.15【答案】解：()设等差数列 的公差为 d，等比数列 的公比为 q.由 1=1，5=5(43)，可得 d=1.从而 的通项公式为=.由 1=1,5=4(43)，又 q0，可得 24+4=0，解得 q=2，从而 的通项公式为=21.()证明：由()可得=(+1)2，故+2=14(+1)(+2)(+3)，2+1=14(+1)2(+2)2，从而+22+1=12(+1)(+2)0，所以+2 2+1.()当 n 为奇数时，=(32)+2=(32)21(+2)=2+1+221，当 n 为
11、偶数时，=1+1=12，对任意的正整数 n，有=121=1(222+122221)=222+11，和=12=1214=14+342+543+2341+214由得 14=12=142+343+544+234+214+1由得 34=12=14+242+24214+1=24(114)11414214+1，由于 24(114)11414214+1=2323141421414=5126+53 4+1，从而得：=12=596+59 4.因此，2=1=121+=12=42+16+59 449.所以，数列 的前 2n 项和为 42+16+59 449.16【答案】解：（）解：设等差数列 的公差为 d，等比数列
12、 的公比为 q 依题意，得 3=3+23215+4，解得 =3=3，故=3+3(1)=3,=3 31=3.所以，的通项公式为=3，的通项公式 为=3.（）解：11+22+22=(1+3+5+21)+(21+42+63+2)=3+(1)2 6+(6 31+12 32+18 33+6 3)=32+6(1 31+2 32+3)=1 31+2 32+3.3=1 32+2 33+33+1，-得，=2=3323+3+1=3(13)13=(21)3+1+32.所以，11+22+22=32+6=32+3(21)3+1+32=(21)3+2+62+92()17【答案】（1）解：由题设得 4(+1+1)=2(+)
13、，即+1+1=12(+)又因为 a1+b1=l，所以+是首项为 1，公比为 12 的等比数列 由题设得 4(+1+1)=4()+8，即+1+1=+2 又因为 a1b1=l，所以 是首项为 1，公差为 2 的等差数列（2）由（1）知，+=121，=21 所以=12(+)+()=12+12，=12(+)()=12+12 18【答案】解：（I）根据三者成等比数列，可知(3+8)2=(2+10)(4+6)，故(10+2+8)2=(10+10)(10+3+6)，解得 d=2，故=10+2(1)=212；（）由（I）知=(10+212)2=211，该二次函数开口向上，对称轴为 n=5.5，故 n=5 或
14、6 时，取最小值-30.19【答案】（1）设数列的公差为 d，由题意有：a1=-7，S3=3a2=-15a2=-5，d=2an=a1+（n-1）d=-7+2（n-1）=2n-9所以an的通项公式为：an=2n-9（2）由（1）知数列an的前 n 项和=(1+)2=(7+29)2=(8)Sn=n（n-8）=n2-8n=（n-4）2-16-16当 n=4 时取等，所以 Sn的最小值为-1620【答案】（1）解：因为 1=1，a5=4a3 q4=4q2 q=2=21 或=(2)1（2）解：=1 2121=21又=6321=632=64=621【答案】解：（），1=ln2，2+3=5ln21+4=5ln24=4ln2，41=3ln2，则=ln2+(1)ln2=ln2，=ln2。（）=ln2=2，1+2+.+=2 2121=2+12，
