1、2022-8-101二次曲面北冥有鱼，其名为鲲。鲲之大，不知其几千里也！化而为鸟，其名为鹏。北冥有鱼，其名为鲲。鲲之大，不知其几千里也！化而为鸟，其名为鹏。鹏之背，不知其几千里。鹏之背，不知其几千里。2022-8-102柱面柱面球面球面锥面锥面旋转面旋转面二次曲面二次曲面课堂练习课堂练习2022-8-103 在空间直角坐标系中，三元方程在空间直角坐标系中，三元方程 F(x,y,z)=0表示空间曲面，而表示空间曲面，而,0,0F x y zG x y z则表示空间曲线则表示空间曲线.本节主要讨论一些常见的曲面本节主要讨论一些常见的曲面.研究空间曲面方研究空间曲面方程的特点，并利用程的特点，并利用
2、“截痕法截痕法”研究空间曲面的形状研究空间曲面的形状.所谓所谓“截痕法截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平是指用坐标面和平行于坐标面的平面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状，面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌.2022-8-104 与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面.下面建立球心在点下面建立球心在点 P0(x0,y0,z0),半径半径R为的球面方程为的球面方程.空间中任一点空间中任一点 P(x,y,z)在球面上在球面上,当且仅当当且仅当|P0 P|=R,所以该球面方程
3、为所以该球面方程为:2222000()()()xxyyzzR若球心在坐标原点若球心在坐标原点,则球面方程为则球面方程为:x2+y2+z2=R2将上述方程展开得将上述方程展开得2222222000000222xyzx xy yz zxyzR2022-8-105球面的参数方程sincossinsin(0,02)cosxRyRzR1.球心在原点球心在原点P0yxzPzxy0P P和Z轴正向的夹角0oxyxP P在坐标面的投影和 轴正向的夹角球心不在原点时球心不在原点时000(,)(sincos,sinsin,cos)x y zxRyRzR2022-8-106曲面和曲线的参数方程(,)(,)(,)(,
4、)xx u vyy u vu vDzz u v例：求球面x2+y2+z2=5与平面z=1的交线C的方程。22251xyzz2241xyz2cos2sin1xyz例：设动点在一平面内做匀速圆周运动，角速度为b,圆的半径为a;另一方面，该平面沿着与平面垂直的方向做匀速直线运动,速率为v,求动点C运动的轨迹。P.241()()()xx tyy ttIzz t2022-8-107二、柱面二、柱面由一族平行直线形成的曲面叫做由一族平行直线形成的曲面叫做柱面柱面。T:空间一条定曲线空间一条定曲线C:空间一条定直线空间一条定直线动直线动直线L始终平行于直线始终平行于直线C并沿着曲线并沿着曲线T移动而形成移动
5、而形成的轨迹。动直线的轨迹。动直线L称为称为柱面的母线。柱面的母线。，称为柱面的准线。称为柱面的准线。，确定了柱面的方向。确定了柱面的方向。注：柱面由准线注：柱面由准线T和定直线和定直线C的方向唯一确定。的方向唯一确定。反之，柱面的准线不唯一。反之，柱面的准线不唯一。2022-8-108xyzoLT母线平行于母线平行于z轴的柱面方程轴的柱面方程.图1因此该柱面方程中不含有因此该柱面方程中不含有z,可设柱面方程为可设柱面方程为:C(,)0:0f x yTz0:0 xCy求柱面的方程等价于求直线求柱面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。上的点满足的方程。000(,0),(,)MxyTL Mx y
6、 zL00,xxyyz任意(,)0f x y 2022-8-109一般地一般地,在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,方程方程 f(x,y)=0(不含不含z),表表示母线平行于示母线平行于z轴的柱面轴的柱面,它的一条准线为它的一条准线为(,)00f x yz (,)00g x zy方程方程 g(x,z)=0(不含不含y),表示母线平行于表示母线平行于y轴的柱面轴的柱面,它它的一条准线为的一条准线为 方程方程 h(y,z)=0(不含不含x),表示母线平行于表示母线平行于x轴的柱面轴的柱面,它它的一条准线为的一条准线为(,)00h y zx注：缺哪个自变量柱面就平行于哪个坐标轴。注：缺哪个自变量柱
7、面就平行于哪个坐标轴。二元二次方程为母线平行于坐标轴的柱面二元二次方程为母线平行于坐标轴的柱面2022-8-1010例：说明下列方程在空间直角坐标系中各表示什么曲面例：说明下列方程在空间直角坐标系中各表示什么曲面?222211;yzbc 2221;xy 222241;xzac 230;xy 50 xyxyzyzxyoxzzxyoxyzo2022-8-1011例：建立母线平行于C：x=y=z，且准线为 的柱面方程。1111(,),(,)M x y zL Mx y zLT x2+y2+z2 =cx+y+z=0111,xxt yyt zzt2222()()()0 xtytztaxtytzt 2222
8、2222223xyzxyyzxza2022-8-1012过一个定点的直线族形成的曲面叫做过一个定点的直线族形成的曲面叫做锥面锥面.动直线动直线L沿定曲线沿定曲线T移动，并且移动，并且L移动时始终经过动移动时始终经过动点点M0。L称为锥面的称为锥面的母线母线，T称为锥面的称为锥面的准线准线，M0称为锥面的称为锥面的顶点顶点。oxyz同理，锥面由准线顶点唯一决同理，锥面由准线顶点唯一决定，并且锥面的准线不唯一。定，并且锥面的准线不唯一。求锥面的方程等价于求直线求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。上的点满足的方程。2022-8-1013锥面方程的求解110001(,)0,f x yxyzz已
9、知0000,0,0 xyz1111,z xz yxyzz求锥面的方程等价于求直线求锥面的方程等价于求直线L上的点满足的方程。上的点满足的方程。10000(,)0:(,)f x yTzzMxyz1111(,),(,)M x y zL Mx y zLT000101010 xxyyzzxxyyzz11(,)0z x z yfzz2022-8-1014例子锥面的顶点在坐标原点，且准线为：例子锥面的顶点在坐标原点，且准线为：x2+y2=1 z=c(c为常数为常数),求锥面的方程求锥面的方程.解：解：设设 P(x,y,z)为锥面上任一点为锥面上任一点,母线母线OP交准线于交准线于点点P1(x1,y1,z1
10、),则有则有 22111111,1,xyzxyzcxyz消去参数消去参数 x1,y1,z1 可得可得z2=c2(x2+y2)。锥面的参数方程：锥面的参数方程：cossin(,02)xuvyuvuvzcu xyzo2022-8-1015圆柱面可以看作由一条直线绕与它平行的另一条直圆柱面可以看作由一条直线绕与它平行的另一条直线旋转一周所成的曲面线旋转一周所成的曲面.一般地，一般地，由一条曲线由一条曲线L绕一绕一条定直线条定直线 l 旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.一般一般考虑平面曲线绕坐标轴旋转而成的曲面。考虑平面曲线绕坐标轴旋转而成的曲面。P1(0,y1,z1)P(
11、x,y,z)yxzo(,)0:0f y zLx点点P位于点位于点P1绕绕z轴旋转所得的圆周上轴旋转所得的圆周上2221111(,)0 xyyzzf y z22(,)0fxyz2022-8-1016例：求例：求 yoz 面上的直线面上的直线 z=ycot绕绕z轴旋转一周所得轴旋转一周所得锥面的方程。锥面的方程。22cotzxy 2222(),cotzaxyaoxyz求旋转面方程的法则：绕哪个轴旋转，就把母线求旋转面方程的法则：绕哪个轴旋转，就把母线方程中的另外一个自变量换掉。方程中的另外一个自变量换掉。(,)0:0f y zLx22(,)0fxyz2022-8-1017222221xyzbcxy
12、zo例：求面例：求面yoz上的双曲线上的双曲线222210yzbcx 分别绕分别绕z轴、轴、y轴旋转所得到的旋转曲面的方程轴旋转所得到的旋转曲面的方程.222221yxzbcoyxz旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面2022-8-1018三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.如球面、圆如球面、圆锥面等锥面等.下面利用下面利用“截痕法截痕法”再研究几种特殊的二次曲再研究几种特殊的二次曲面面.1、椭球面、椭球面2222221xyzabcoyxz如果用三个坐标面去截椭球面，截痕分别为222210 xzacy22221,0yzbcx22221,
13、0 xyabz2022-8-1019(1)单叶双曲面2222221xyzabc xyoz2 2、双曲面、双曲面（2）双叶双曲面 2222221xyzabczxoy2022-8-1020椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面都有唯一椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面都有唯一的对称中心，因此又称它们为的对称中心，因此又称它们为有心二次曲面有心二次曲面.3 3、抛物面（无心二次曲面）、抛物面（无心二次曲面）（1）椭圆抛物面）椭圆抛物面2222xyzabyxzo（2 2）双曲抛物面（）双曲抛物面（马鞍面马鞍面）2222xyzab xyzo2022-8-10211.方程方程2224253xyzx 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？课堂练习：课堂练习：2.指出下列曲面的名称。指出下列曲面的名称。222222222222222222222(1)21 (2)21 (3)4(4)2(1)3(2)(5)991(6)9(7)9(8)(9)xyxyxzxyzxyzxyzxyzxyzxyz
