1、v 教学目标教学目标 v掌握二项展开式中的二项式系数的三条性质掌握二项展开式中的二项式系数的三条性质v及有关推导方法，及有关推导方法，v并能简单应用。并能简单应用。v 在杨辉的在杨辉的详解九章算术详解九章算术中载有一个中载有一个“开方作法本源开方作法本源”图。图。如图所示，就是如图所示，就是“杨辉三角杨辉三角”。那么这个图是如何得来的？它。那么这个图是如何得来的？它表达的是什么？这节课我们就来共同探讨这个问题！表达的是什么？这节课我们就来共同探讨这个问题！.复习与引复习与引入入v1.填写公式：（a+b）n的二项展开式 是_v通项公式是 _ ;v(a-b)n的二项展开式是_v2.（1+x)10=
2、_v（1+0.01)10=_(保留到小数点后三位).复习与引复习与引入入v3.在（2-x）9的展开式中，x7是它的第_ 项，v这项的系数是_ v这项的二项式系数是_v4.设s=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1,则 s 等于()A.(x-2)4 B.(x-1)4 C.x 4 D.(x+1)4C .复习与引复习与引入入1615 20 1561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05
3、 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6111211331146411510 1051(a+b)n0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn这个表叫做二项式系数这个表叫做二项式系数表表,也称也称“杨辉三角杨辉三角”表中的每一个表中的每一个数等于它肩上数等于它肩上的两数的和的两数的和 .讲授新课讲授新课 .讲授新课讲授新课
4、类似上面的表类似上面的表,早在我早在我 国南宋数学家国南宋数学家杨辉杨辉1261年所著的年所著的详解九章算法详解九章算法一书里就已经一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。出现了，这个表称为杨辉三角。v 在书中，还说明了表里在书中，还说明了表里“一一”以外的每一个以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于出于释锁释锁算书，且我国北宋数学家算书，且我国北宋数学家贾宪贾宪（约（约公元公元11世纪）已经用过它。世纪）已经用过它。v 这表明我国发现这个表不晚于这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家洲，这个
5、表被认为是法国数学家帕斯卡帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五早五百年左右百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的值得中华民族自豪的详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表杨杨 辉辉 .讲授新课讲授新课11121133114641151010511615201561 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等性质性质1 1：对称性：对称性mnnmnCC 总结提炼总
6、结提炼1:.讲授新课讲授新课2 2、若（、若（a+ba+b）n n的展开式中，第三项的二项式的展开式中，第三项的二项式系数与系数与 第五项的第五项的二项式系数相等，二项式系数相等，知识对接测查知识对接测查11 1、在、在(a(ab)b)展开式中，与倒数第三项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是()()A A 第项第项 B B 第项第项 C C 第项第项 D D 第项第项则则n=_n=_B B6 6 .讲授新课讲授新课当当n n为偶数如为偶数如2 2、4 4、6 6时，中间一项最大时，中间一项最大当当n n为奇数如为奇数如1 1、3 3、5 5时，中间两项最大时，中间两项最大当
7、当r r 3 3时时,C,C6 6r r(r=0,1,2,3,)(r=0,1,2,3,)后一项比前一项要大后一项比前一项要大当当r3r3时，时，C C6 6r r(r=0,1,2,3,)(r=0,1,2,3,)后一项比前一项小后一项比前一项小(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6(a+b)n0
8、06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn1615 20 1561111211331146411510 1051知识探究知识探究2:.讲授新课讲授新课 提问提问：由上研究请问：由上研究请问:一般地一般地,当当r r满足什满足什么范围时，后一项么范围时，后一项C Cn nr r比前一项比前一项C Cn nr-1r-1要大要大?分析分析:以上问题即以上问题即C Cn nr r C Cn nr-1r-1
9、时，求时，求r r的范围的范围?可得：可得：r!r!1 1r rn n2 2n n1 1n nn n由于C由于C事实上,事实上,r rn nr r1 1r rn nC C!1 1-r rr r1 1r rn n2 2n n1 1n nn nC C1 1r rn nr rn n 所以所以C Cn nr r 与与 C Cn nr-1r-1的大小，即的大小，即Cnr 相对于相对于 Cnr-1的增减情况由的增减情况由:决定决定n n1 1r rn n知识探究知识探究2:.讲授新课讲授新课可得：可得：2 21 1n nr r1 1n n1 1r rn n由由知识探究知识探究2:，2 21 1n nr r
10、时当 二项式系数逐渐增大二项式系数逐渐增大,由对称性可知它由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的的后半部分是逐渐减小的,中间项的取值中间项的取值最大最大.讲授新课讲授新课111211331146411510 10511615 20 1561性质性质2 2：增减性与最大值：增减性与最大值先增后减先增后减2nnCn n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大值取得最大值 ；当当n n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 和和 相等，且同时取得最大相等，且同时取得最大值。值。2 21 1n nn nCC2 21 1n nn nC C总结提炼总结提炼2:.讲授新课讲授新课3 3、在、在(a
11、(ab)b)1010展开式中，二项式系数最大的展开式中，二项式系数最大的项是项是().().A A 第第6 6项项 B B 第第7 7项项 C C 第第6 6项和第项和第7 7项项 D D 第第5 5项和第项和第7 7项项4 4、指出（、指出（a+2ba+2b）1515的展开式中哪些项的二的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系项式系数最大，并求出其最大的二项式系数数A A解解:第第8、9项项知识对接测查知识对接测查2 .讲授新课讲授新课n=1,Cn=1,C1 10 0+C+C1 11 1=2=2n=2,Cn=2,C2 20 0+C+C2 21 1+C+C2 22 2=4=4n
12、=3,Cn=3,C3 30 0+C+C3 31 1+C+C3 32 2+C+C3 33 3=8=8n=6,Cn=6,C6 60 0+C+C6 61 1+C+C6 62 2+C+C6 66 6=64=64C Cn n0 0+C+Cn n1 1+C+Cn n2 2+C Cn nr r+C+Cn nn n=猜想：猜想：2 2n n？(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C
13、 C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6(a+b)n0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn1615 20 1561111211331146411510 1051知识探究知识探究3:.讲授新课讲授新课例：证明（例：证明（a+ba+b）n n的展开式中的所有二项式系数的的展开式中的所有二项式系数的 和等于和等于n n赋值法赋值法n nn nr rn n2 2n n
14、1 1n n0 0n nC C.C C.C CC CC C2 2n n即证即证（a+ba+b）n nC Cn n0 0a an n+C+Cn n1 1a an-1n-1b+Cb+Cn n2 2a an-2n-2b b2 2+C Cn nr ra an-rn-rb br r+C+Cn nn nb bn n证明证明:令令a=1,b=1a=1,b=1得得n nn nr rn n2 2n n1 1n n0 0n nC C.C C.C CC CC C2n .讲授新课讲授新课例、证明：在例、证明：在(a(ab)b)n n展开式中展开式中,奇数项的二项式系奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和数的
15、和等于偶数项的二项式系数的和.3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C即证：即证：n-1n-1 （a+ba+b）n nC Cn n0 0a an n+C+Cn n1 1a an-1n-1b+Cb+Cn n2 2a an-2n-2b b2 2+C+Cn nr ra an-rn-rb br r+C+Cn nn nb bn n令令a=1,b=-1a=1,b=-1得得赋值法赋值法 .讲授新课讲授新课1 1n nn nn n2 2n n1 1n n0 0n n2 22 2n nC C1 1n n.3C3C2C2CC C求证：求证：3例题点拔点拔:倒序相加求和法倒序相加求和
16、法.讲授新课讲授新课.课堂练习课堂练习.课堂练习.课堂练习课堂练习.课堂练习课堂练习.课堂练习课堂练习小结小结:（2 2）数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a a 单调性；单调性；b b 图象；图象；c c 最值。最值。（3 3）数学方法数学方法 ：赋值法赋值法 、递推法、递推法（1 1）二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质各二项式系数的和各二项式系数的和增减性与最大值增减性与最大值对称性对称性.课时小结课时小结v二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它它有三条性质，要理解和掌握有三条性质，要理解和掌握好，同时要好，同时要注意注意“
17、系数系数”与与“二项式系数二项式系数”的区别的区别，不能混淆，只有二项式系，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握尤其要理解和掌握“取特值取特值”法法，它是解决有关二项，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。展开式系数的问题的重要手段。.课后作业课后作业v(一一)课本课本 ；苏大本节内容。苏大本节内容。下课!1 1n nn nn n2 2n n1 1n n0 0n n2 22 2n nC C1 1n n.3C3C2C2CC C求证：求证：3例题点拔点拔:倒序相加求和法倒序相加求和法.随堂练习随
18、堂练习:1.在二项式在二项式(x-1)11的展开式中的展开式中,求系数最小求系数最小的项的系数的项的系数.的值.的值.a aa aa aa a:求求.x xa ax xa ax xa aa a3 32x2x2.设2.设2 23 31 12 22 20 03 33 32 22 21 10 03 3462462C C5 511111 .讲授新课讲授新课例例1、若、若(2x+)4=a0 a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求求 a1+a2+a3+a4 3例例2、在、在(2x+3)20的展开式中，求其项的最大的展开式中，求其项的最大系数与最大二项式系数之比系数与最大二项式系数之比 例例3 3、已知、
19、已知 的展开式中，各项系的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大数和比它的二项式系数和大992992求展开式求展开式中二项式系数最大的项中二项式系数最大的项 223(3)nxx vB.补充练习：补充练习：.课堂练习课堂练习vB.补充练习：补充练习：.课堂练习课堂练习vB.补充练习：补充练习：.课堂练习课堂练习vB.补充练习：补充练习：.课堂练习课堂练习vB.补充练习：补充练习：.课堂练习课堂练习v二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意要注意“系数系数”与与“二项式系
20、数二项式系数”的区别，不的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握掌握“取特值取特值”法，它是解决有关二项展开式法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。系数的问题的重要手段。.课时小结课时小结v小结小结通过本通过本节节学习学习,要求大家逐渐要求大家逐渐掌握处理相掌握处理相邻问题与不相邻问题的常邻问题与不相邻问题的常用用方法方法,即捆绑善与插空即捆绑善与插空法的应用法的应用并了并了解解逆向思考方逆向思考方 法法与与转化思想转化思想的应用的应用.课后作业课后作业v(一一)课本课本 P96 8、10；苏大本节内容。苏大本节内容。v(二二)1.预习课本预习课本 P96-P94；v 2.预习提纲预习提纲v(1)组合概念的关键是什么组合概念的关键是什么?v(2)组合组合与与排列有何区别与联系排列有何区别与联系?v(3)组合数公组合数公式式的推导与排列数公的推导与排列数公式式有何联系有何联系?.课时小结课时小结下课!
