1、两个计数原理的应用两个计数原理的应用 412 4【例1名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，有多少种报名方法？名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军，共有多少】种可能的结果？【解析】(1)每人选报一个项目，都有三种选法，当每个人的项目选定后，这件事才算完成.故由分步计数原理，知共有3333=81种不同的报名方法.(2)若以学生获得冠军的可能性考虑，第一位学生获得冠军有4种可能性(没有得冠军，跑步得冠军，跳高得冠军，跳远得冠军)，但考虑第二位学生时，并不是有4种可能，他受到第一位学生得冠军的可能性的影响，因为第二位学生要获得冠军，要除去与第一位学生获得冠军的相同的情况，考虑第三位、第
2、四位获得冠军，相同的情况就会变得越来越复杂.显然，以学生获得冠军的可能性来分步，会使解决问题更加困难.若以每个项目冠军产生的可能性考虑，问题的思路就清晰多了.完成三个项目都产生了冠军，事情才算完成，每个项目的冠军只有一个，4个人都有可能获得某个项目的冠军，所以每个项目的冠军都有4种可能的结果.由分步计数原理，知共有可能的结果为444=64种.应用分步计数原理时，也要明确分步的标准应用分步计数原理时，也要明确分步的标准.分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，各个步骤完成了，这件事才算完互依存的，各个步骤完成了，这件事才算完成成.本题中第本题中第(1
3、)问，是以人来分步的，每人选问，是以人来分步的，每人选报一个项目，都有三种选法，报一个项目，都有三种选法，4个人都选定了个人都选定了项目，这件事就完成了；第项目，这件事就完成了；第(2)问是以项目分问是以项目分步的，每个项目的冠军都有步的，每个项目的冠军都有4种可能的结果，种可能的结果，三个项目的冠军确定了，这件事就完成了三个项目的冠军确定了，这件事就完成了.11,2,34,521,2,3,4,51bABABa已知集合，则从 到 的函数共有多少个？取五个数字中不同的两个数字分别作为 中的底数和指数，得到的幂的不同值【变有式练习】多少个？422 2 2812111444 416241 16 11
4、6bABaaaab 完成这件事情要分三步，每一步中有两种方法，由分步乘法原理，得从 到 的函数共有个先分类：第一类，若，则；第二类，若，则 有 种选法，也有 种选法，由分步乘法计数原理，得有个不同的幂，再减去重复的一【解析个，所以共有】个不同的幂排列问题排列问题 .2712人站成一排照相要求甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同的站法？要求甲、乙、丙三人不相邻，有多少种不【例】同的站法？【解析】(1)分两步：甲、乙、丙捆绑在一起，有=6种方法；把甲、乙、丙三人看成一个人，与其他4人共5个元素做全排列，有=120种方法.所以有=6120=720种不同的站法.(2)分两步：先将其他4人站成一排，有=24
5、种方法；再将甲、乙、丙三人插入到这4人的空隙中(包括两端)，有=60种方法.所以有=1440种不同的站法.33A55A3535A A 44A35A4345A A 排列问题中的难点就是定位排列，捆绑和插入是两种重要的解题思想方法.元素相邻，先将其捆绑并看成一个“大”的元素与其他元素进行排列，再对捆绑的元素进行排列，这就是“捆绑法”；元素不相邻，先把其他元素进行排列，再把不相邻元素插入先排好的元素(包括两端的空隙)之间，这就是“插空法”.【变式练习2】求用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数1234241=2=4 3 2=242 2448()本题是数字组数问题，有特殊元素和特殊位
6、置，先考虑特殊位置个位，个位上数字可以从 和 中选择 个，有种排法，其余三个数位上的数字从余下的四个数中任取三个排列，有种排法于是由分步计数原理，得符合题意的偶数共有】【解个析AA 组合问题组合问题【例3】从从7名男同学和名男同学和5名女同学中，选出名女同学中，选出5人，分人，分别求符合下列条件的选法总数为多少？别求符合下列条件的选法总数为多少？(1)A、B必须当选；必须当选；(2)A、B都不当选；都不当选；(3)A、B不全当选；不全当选；(4)至少有至少有2名女同学当选；名女同学当选；(5)选出选出3名男同学和名男同学和2名女同学，分别担任体育名女同学，分别担任体育委员、文娱委员等五种不同的
7、工作，但体育委员必委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任.【解析】(1)只要从其余的10人中再选3人即可，有=120种；(2)5个人全部从另外10人中选，总的选法有=252种；(3)直接法:分两类：A、B一人当选，有=420种；A、B都不当选，有=252种；所以总的选法有420+252=672种；间接法:从12人中选5人的选法总数中减去从不含A、B的10人中选3人的选法总数，得到总的选法有=672种；310C510C14210C C510C531210CC(4)直接法:分四步：选2名女生，有=1035=350
8、种；选3名女生，有=210种；选4名女生，有=35种；选5名女生，有=1种.所以总的选法有350+210+35+1=596种；间接法：从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和，即总选法有=596种；2357C C3257C C4157C C55C551412757CCC C (5)分三步：先选1男1女分别担任体育委员、文娱委员的方法有=35种；再选出2男1女，补足5人的方法有=60种；最后为第二步选出的3人分派工作，有=6种方法.所以总的选法有35606=12600种.1175C C2164C C33A组合应用题是计数问题中的核心问题，题目呈现方式通常由关键词表现出来
9、，如“至多”“至少”“平均分摊”等.解决的方法一般有分组法、排除法、间接法.要注意掌握几何问题、分配问题、分组问题的处理方法.1010(10)(10)平面上给定 个点，任意三点不共线，由这个点确定的直线中，无三条直线交于同一点 除原 点外，无两条直线互相平行求这些直线的交点个数 除原【变式练3】点外习2102452922459104545101091010630().CCCCC由题设知，这个点所确定的直线是条，这条直线除原点外无三条直线交于同一点，任意两条直线相交于一个点，共有个交点，而在原来点上有 条直线共点于此，所以，在原来点上有点被重复计数，所以这些直线【新的交点是】个解析排列与组合的综
10、合应用排列与组合的综合应用 4441,2,3,个不同的小球放入编号是的四个盒子中，问恰有一个空盒的方法共有【例】多少种？【解析】分三步：先确定一个空盒，有=4种方法；选出2个小球捆绑，有=6种方法；将捆绑的小球与其余2个小球看成3个小球，再放入3个盒中，有=6种方法.于是共有=466=144种方法.14C24C33A123443C C A恰有一个空盒，说明必定有一个盒子内放2个球，这样问题就分解为三个子问题，即哪一个盒子不放球；哪两个球放在同一个盒子里；将球放入盒子里有没有顺序.这三个问题是相互依存的，故要用分步计数原理.本题在将空盒留下后，问题就转化为“4个不同的小球放入3个不同的盒子里，且
11、每个盒子里至少放一个球”，可以这样分析：先每个盒子中放一个球，有=24种放法；再将第4个球放入3个盒子的任何一个，有=3放法，于是放法总数为=288种，这一结果与上述结论不吻合，原因出在将第4个球放入盒子中时，使盒子中的两个球无意识地加入了顺序，当两个球无顺序时，即为288=144.34A13A131443CAA12【变式练习4】有6本不同的书.(1)甲、乙、丙三人每人2本，有多少种不同的分法？(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(3)分成3堆，一堆一本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙3人，一人一本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？(5)
12、分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？(6)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【解析】(1)在6本书中，先取2本给甲，从剩下的4本中取2本给乙，最后2本给丙，有=90种分法；(2)6本书平均分成3堆，共有=15种分堆方法；(3)从6本书中先取1本作一堆，在剩下的5本中，取2本作一堆，最后的3本作一堆，共有=60种分堆方法；222642C C C22264233C C CA1265C C【解析】(4)在(3)中，甲、乙、丙3人任取一堆，共有=360种分堆方法(5)平均分堆要除以堆数的全排列，不平均分堆则不除，共有=15种分堆方法;(6)与6本书放在6个位置上同意
13、义，共有=720种不同的摆法.123653C C A116522C CA66A1.将数字1，2，3，4填在标号为1，2，3，4的方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有种.【解析】(先填数字1，有3种方法；其次任选一个数字填入符合条件的方格中，有3种方法；最后两个数字唯一选择，故不同的填法有331=9种.2.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 .33105120 10110【解析】CC 2443.()某城市的汽车牌照号码由 个英文字母后接 个数字组成，其中 个数字互不相同的牌照号码共有_个 用式子表示 11426
14、26101242610().C C ACA直接应用分步计数原理得，所以答案【为解析】1,2,3,4,520000.()4用数字可以组成没有重复数字，并且比大的五位偶数共有_个用数字作答113223132311313223233524324324 123636.C C AC AC C AC A分类：当万位上是 或 时，个位上可以是 或，其余 个数全排列，有个；当万位上是 或 时，个位上只有一种可能，其余 个数全排列，有个所以满足题意的五位偶数的个数为，【即答案为解析】5.7名师生站成一排，其中老师1人，男生4人，女生2人.在下列情况下，各有不同站法多少种 (1)两名女生相邻；(2)4名男生不相邻
15、；(3)老师不站中间，女生不站两端.【解析】(1)2名女生站在一起有种站法，她们与其余5人全排列，有种方法.故有=1440种站法.(2)老师和女生先站好，有种方法，再将4名男生插入其中，插法有种.故有=144种站法.22A66A2626AA 33A44A3434AA【解析】(3)分两类：第一类，老师站两侧之一，另一侧由男生站，有=960种站法；第二类，两侧由男生站，老师站除两侧和中间的另外4个位置之一，有=1152种站法.故共有2112种站法.115245A A A 114244A A A 1.两个计数原理的应用方法 在处理具体的应用问题时，必须先分清是分类还是分步.具体来讲，要根据元素的不同
16、性质进行“分类”，根据事件发生的过程进行“分步”.两种计数方法，都必须弄清按什么标准进行“分类”或“分步”，在分类中，“类”与“类”之间是确定的和并列的；在分步中，“步”与“步”之间是相依的和连续的.2.排列与组合综合理解组合问题与排列问题的共同点都是“从n个不同的元素中选出m个元素”，区别在于，组合是取出的元素集中成一组，没有顺序，而排列是取出的元素要按顺序排成一列.解排列、组合问题时注意以下几点：(1)审题分析是排列问题，还是组合问题，按元素的性质分类，按事件发生的过程分步.(2)分清运算的性质，只要是分类计数，就是加法运算，只要是分步计数，就是乘法运算.在综合问题中，常常在分类中有分步，
17、在分步中有分类.(3)要掌握定位排列的处理方法，掌握分类组合处理的思想方法.(4)排列、组合问题的答案一般数字比较大，不易直接验证.因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可以通过一题多解验证结论.1(2011江苏省扬中调研测试)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？【解析】根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有432248种选题感悟：与图形有关的方法数的确定，一般是应用两个计数原理解题要注意分步计数原理和分类计数原理的正确应用，很多时候还是综合应用1234
18、4(2010)2MNAAAAMNNMNM如图，在某城市中，、两地之间有整齐的方格形道路网，其中、是道路网中位于一条对角线上的 个交汇处今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，徐州市调研考试为止求：221AN2A3甲经过到达 的方法有多少种；甲、乙两人在处相遇的方法有多少种；甲、乙两人相遇的方法有多少种？21231231 2231 2231 2231 423()9.1()().(.12)81AMACANCANCACACAC甲经过，可分为两步：第一步，甲从经过 的方法数为；第二步，甲从到 的方法数为；所以甲经过到达 的方法数为由知，甲经过 的方法数为；乙经过 的方法数也为所以甲、乙两人在处相遇的方法数为【解析】12341 43041 433243 433(1,2,3,4)()()()()()1643.iiAAAAA iCCCCC甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、处相遇，他们在处相遇的走法有种方法；所以甲、乙两人相遇的方法数为【解析】221AN92A813164.甲经过到达 的方法数为；甲、乙两人在处相遇的方法数是；甲、乙两人相遇的方法数是答：选题感悟：本题是两个计数原理的综合应用对比较复杂的问题，可以先分类，再分步
