1、空间解析几何空间解析几何第六章第六章3.向量的数量积、向量积向量的数量积、向量积与混合积与混合积u数量积数量积u向量积向量积u混合积混合积3 向量的数量积、向量积与混合积向量的数量积、向量积与混合积1.数量积的定义数量积的定义定义1 记为记为ab，两个向量两个向量a与与b的数量积等于的数量积等于又称数积、内积、点积，其值为一个数量。又称数积、内积、点积，其值为一个数量。及其夹角及其夹角 余弦的乘积余弦的乘积，即即ab=|a|b|cos，两个向量的模两个向量的模|a|、|b|),(0ba其中其中对这个定义作几点说明：对这个定义作几点说明：(1)两向量的数积是一个数量而不是向量两向量的数积是一个数
2、量而不是向量(2)若若a,b中至少有一个是零向量，则中至少有一个是零向量，则 不能确定，但它们的数积是不能确定，但它们的数积是0(3)两个向量的数积等于零的充要条件是两个向量的数积等于零的充要条件是a=0或或b=0或或 ),(ba2),(ba规定：零向量垂直于任何向量规定：零向量垂直于任何向量因此，两向量垂直的充要条件是它们的因此，两向量垂直的充要条件是它们的数量积等于零数量积等于零当当a,b为两非零向量时，根据定理有为两非零向量时，根据定理有OM=射影射影baa.b=|a|.射影射影ab=|b|.射影射影ba （见下图）（见下图）abAMBO(a)AMoBa(b)特别地特别地,当当b为单位向
3、量为单位向量e时时,有有a.e=|b|.射影射影ea=射影射影ea当当a=b,则有则有a.a=|a|.|a|cos0=|a|2特别地特别地,当当a为单位向量时为单位向量时,a.a=a2=|a|2=11)交换律交换律:a.b=b.a2)分配律分配律:a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca3)对于数的结合律对于数的结合律:().(.).()a ba bab为 一 实 数:,O i j k2.数量积的数量积的坐坐标表示法标表示法在直角坐标系下在直角坐标系下，向量的数量积有下面性质，向量的数量积有下面性质 3.向量的模与方向余弦的坐标表示法向量的模与方向余弦的坐标表示法2222aXYZ非零
4、向量与三坐轴之间的夹角叫做该向量的方向角，方向角非零向量与三坐轴之间的夹角叫做该向量的方向角，方向角的余弦叫做向量的方向余弦，向量的方向余弦也可用向量的的余弦叫做向量的方向余弦，向量的方向余弦也可用向量的坐标表示坐标表示,222222222co sco sco sXXaXYZYYaXYZZZaXYZ且222coscoscos1例例1 在在xoy平面上找一单位向量，使它与向量平面上找一单位向量，使它与向量垂直。垂直。jia解：设在解：设在xoy面上所找的向量为面上所找的向量为jbibbyx则则0ba 即即 0yxbb1122yxbbbjibjib2121212121例例2 求与向量求与向量a=2
5、i-j+2k共线且满足共线且满足ax=-18的向量的向量x.解解：因为因为a与与x共线，则必存在共线，则必存在 0，使，使所以所以 =-2 x=-4,2,-4 x=a=2 ,-,2 ,又又ax=-18,即即 4 +4 =-18解：解：因因0cbacba,所以所以323)()()(accbbacabaccbba2332cos)(accbbacba构成一个等边三角形且构成一个等边三角形且1cba且且accbba求求cba,例例3 设设 是单位向量，是单位向量，0cba且且 1.向量积及其运算规律向量积及其运算规律定义定义2 则称则称c为为a,b的的向量积向量积，记为，记为c=ab,又称为又称为叉积
6、叉积或或矢量积矢量积.设有向量设有向量a,b，定义，定义c如下：如下：c的方向由的方向由a,b按右手法则确定，按右手法则确定，c的模的模|c|=|a|b|sin；(其中其中 为为a,b的夹角）的夹角）注：注：ab是一个向量；而且其特征为方向与是一个向量；而且其特征为方向与a与与b都垂都垂直，模等于以直，模等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。为邻边的平行四边形的面积。即即)sin(babababacab 向量积的性质向量积的性质：aa=0;向量的叉乘积不满足交换律向量的叉乘积不满足交换律两个非零向量两个非零向量a与与b互相平行的充要条件是互相平行的充要条件是ab=0(ab)=a(b)=(a)b
7、(a+b)c=a c+b c ba=-ab 设有向量设有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,则有则有 ab=（aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)kkbbaajbbaaibbaabbbaaakjiyxyxxzxzzyzyzyxzyx定理：定理：向量向量a与与b平行平行aybz-azby=azbx-axbz=axby-aybx=0zzyyxxbababa上式说明：两非零向量平行上式说明：两非零向量平行对应坐标成比例；对应坐标成比例；例例4 求与两向量求与两向量a=2,3,-1和和b=-3，-1，1都垂直的单位向量。都垂直的单位向量。11
8、3132kjiC=2i+j+7k再将再将c单位化得单位化得：co=547,541,542解：显然，解：显然，c=ab与两向量都垂直，先求与两向量都垂直，先求 c:上式中，若有分母为零，则对应的分子也为零。上式中，若有分母为零，则对应的分子也为零。例例 5 求一向量，使此向量与三个点求一向量，使此向量与三个点M1（3，0，2），M2（5，3，1），），M3（0，-1，3）所在平面垂直。）所在平面垂直。解：解：设所求向量为设所求向量为 ，因为所求向量与三个点所在平，因为所求向量与三个点所在平面垂直，面垂直，c3121MMMMckjikjiMMMMc721131323121)1,1,3()1,3,2(3121MMMM321MMM求求 的面积。的面积。3121,MMcMMc所以所以3121213211MMMMMMMs542121c
