1、第一章第一章 实数集与函数实数集与函数 1 实数实数 2 数集数集 确界原理确界原理 3 函数的概念函数的概念 4 复合函数与反函数复合函数与反函数 1.1 1.1 实数实数一一 .实数及其性质实数及其性质二二.绝对值与不等式绝对值与不等式 一一 .实实数及其性数及其性质质：1.回回顾顾中学中关于有理数和无理数的定中学中关于有理数和无理数的定义义.若若规规定定：01 201 2.(1)999nna aaaa aaa 1.1 实数实数则有限十进小数都能表示成无限循环小数则有限十进小数都能表示成无限循环小数。(,qp qp正分数,有理数为整数且q0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循
2、环小数表示.实实数数00,1.999xaxa记为说明:对于负实数x,y,若有-x=-y与-x -y,则分别称x=y与x x)2.两个实数的大小关系 .)2,1(,2,1,.90,90),2,1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn+或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中 给定两个非负实数 1)定义1 说明:自然规定任何非负实数大于任何负实数.naaaax210.nnaaaax210.nnnxx101+定义定义2 设 为实数x的n位不足近
3、似位不足近似，而有理数 称为x的n位过剩近似，位过剩近似，n=0,1,2,.为非负实数.称有理数2)通过有限小数比较大小的等价条件通过有限小数比较大小的等价条件012.,nxa a aa nnnaaaax101.210nnaaaax210.210 xxx210 xxx 对于负实数对于负实数其n位不足近似位不足近似和n位过剩近似位过剩近似分别规定为 和 注意：注意：对任何实数x,有,命题1 设v实数的性质 1.实数集实数集R对加对加,减减,乘乘,除除(除数不为除数不为0)四则运算是四则运算是封闭的封闭的.即任意两个实数和即任意两个实数和,差差,积积,商商(除数不为除数不为0)仍然是实数仍然是实数
4、.2.实数集是有序的实数集是有序的.即任意两个实数即任意两个实数a,b必满足下必满足下述三个关系之一述三个关系之一:a b.01201 2.,.xa a ayb bb为两个实数，则为两个实数，则,nnxynxy存在非负整数使得 v实数的性质 3.实数集的大小关系具有传递性实数集的大小关系具有传递性.即若即若a b,b c,则有则有ac.5.实数集实数集R具有稠密性具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数有另一个实数,且既有有理数且既有有理数,也有无理数也有无理数.6.实数集实数集R与数轴上的点具有一一对应关系与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数即任一
5、实数都对应数轴上唯一的一点都对应数轴上唯一的一点,反之反之,数轴上的每一点也都唯数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数一的代表一个实数.,0,.4 b na n a b R b a,使得使得 则存在正整数则存在正整数 若 即对任何即对任何 实数具有阿基米德性实数具有阿基米德性 例1 证明 例2 证明 .:,yrxr，yx满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn+即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,babaRba+则有若对任何正数证明设ee.,.bababababa,+从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成
6、立用反证法eeee,0|,0aaaaaa0-a二二.绝对值绝对值与不等式与不等式从数从数轴轴上看上看的的绝对值绝对值就是到原点的距离：就是到原点的距离：绝对值绝对值定义：定义：|00|0-;|,04.5.|6.,0|aaaaaaaahhahahhah hababababa baabbb+1.当且仅当时2.-|3.|绝对值的一些主要性质绝对值的一些主要性质性性质质4（三角不等式）的（三角不等式）的证证明明：由性质2 -|a|a|a|,-|b|b|b|两式相加 -(|a|+|b|)a+b|a|+|b|由性质 3 上式等价于|a+b|a|+|b|把上式的 b 换成-b 得|a-b|a|+|b|几个重
7、要不等式几个重要不等式:均值不等式:对 记 (算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)222,abab+sin 1.x sin .xx12,na aa+R1211(),nniiiaaaM aann+1121(),nnniniiGaa aaa12111().111111innniiiinnH aaaanaa+有平均值不等式:等号当且仅当 时成立.Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式 当 且,且 时,有严格 不等式 证 由 且),()()(iiiaMaGaH naaa21,1x.,1)1(N+nnxxn1x0 xNn.1)1(nxxn+2n01+x+111)1(1)1
8、(,01nnxnxx 利用二项展开式得到的不等式:对 由二项展开式 有 上式右端任何一项.).1()1(xnxnnn+.1)1(nxxn+,0h,!3)2)(1(!2)1(1)1(32nnhhnnnhnnnhh+nh)1(作业作业p4 ,3,4,6,71.2 数集确界原理 一、区间与邻域 二、上确界、下确界一、区间与邻域1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集无限集无限集,Ma,Ma.,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BAB
9、xAx .BA 记作记作数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2,1 A例如例如,0232+xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.)(记作记作例如例如,01,2+xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2.2.区间区间:是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区
10、间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxabbxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa +),(bxxb 且且是两个实数是两个实数与与设设a).(0aU 记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径.)(+axaxaUxa a+a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a.0)(axxaU,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx,存在存在 11(0,1),11xyE y MMMx+由无界集定由无界集定义义，E 为为无界集。无界集。证明：对任意证明：
11、对任意2 确界:例例2 则 则 例例3 设S和A是非空数集，且有 则有 .,)1(1+nSn._inf _,supSS.),0(,sin xxyyE._inf _,supEE.AS.infinf ,supsupASAS 例例4 设A和B是非空数集.若对 和 都有 则有 证 y 是A的上界,是B的下界,x A yB,xysupinf.AB,yB.sup yA Asup .infsup BA例4 设 A,B为非空数集,满足:.,yxByAx有证明数集 A有上确界,数集B有下确界,且.infsupBA证:故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,Byy由
12、假设,数集B中任一数 都是数集A的上界,y A中任一数 都是B的下界,xy.supA 是数集A的最小上界,故有supA 而此式又表明数 是数集B的一个下界,supA 故由下确界的定义证得.infsupBA例例5 5 AB为为非空数集非空数集,.BAS 试证试证明明:.inf,inf mininfBAS 证证 ,Sx有有Ax或或,Bx 由由Ainf和和Binf分分别别是是AB的下界的下界,有有Axinf或或.inf,inf min .infBAxBx即即 inf,inf minBA是数集是数集S的下界的下界,.inf,inf mininf BAS 和和 又又SAS ,的下界就是的下界就是A的下界
13、的下界,Sinf是是S的下界的下界,Sinf 是A的下界的下界,;infinf AS 同理有同理有.infinfBS inf,inf mininfBAS inf,inf mininfBAS 于是有于是有综上综上,有有例例5 5 AB为为非空数集非空数集,.BAS 试证试证明明:.inf,inf mininfBAS 证证 ,Sx有有Ax或或,Bx 由由Ainf和和Binf分分别别是是AB的下界的下界,有有Axinf或或.inf,inf min .infBAxBx即即 inf,inf minBA是数集是数集S的下界的下界,.inf,inf mininf BAS 和和AAsupAsupAsupAxx
14、AsupAx 00 x命题命题3 3：设数集设数集有上（下）确界，则这上有上（下）确界，则这上，且，则不妨设有对，使，矛盾。（下）确界必是唯一的。（下）确界必是唯一的。证：设 3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例1为例做解释.4.确界与最值的关系确界与最值的关系:设 E为数集.E 的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.若 存在,必有 对下确界有类似的结论.Emax.supmaxEE 5 确界原理确界原理 定理定理1 (确界原理确界原理).设设 E 为非空数集，若为非空数集，若E有上界，则有上界，则E必有上确界；若必有上
15、确界；若E有下界，则有下界，则E必有下确界。必有下确界。xE bExbx E0 x0 xEEBA)|(BA非空，有上界：，(1).若中有最大数，则即为上确界；中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；，其余的实数归入下类，则是实数的一个分划。证明证明 设.(2).若的一切上界归入上类1BbEx xEEAxEA 。其次，由于不是的最大数，所以它不是的上界，即。这说明中任一元素都属于下类；A,B不空.首先取 A、B不漏性由A、B定义即可看出；23 A、B不乱.设 AaBb，因a不是E的上界，Ex，使得 xa，而E内每一元素属于A，所以 bxa.43A 由的证明可见无最大数.所以)|(BA是实数的一
16、个分划.由戴德金定理，知上类B必有最小数，记作c.Ex1由 知 Ax，即得 cx.E这表明c是的一个上界.若b是E的一个上界，则 Bb，由此得 bc，所以c是上界中最小的，由上确界定义，c为集合的上确界，记作 Ecsup下证下证:非空的有下界的集合必有下确界。事实上，设集合 xE 有下界b，则非空集合|ExxE有上界-b，利用集合 E上确界的存在性，即可得出集合E的下确界存在。定理1解决了非空有上(下)界集合的上(下)确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性。若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的。定理1刻划了实数集是完备
17、的。下确界都存在的上因此，S设设A,B为非空有限数集为非空有限数集,.证明证明:BAS例6 证:显然是非空有界数集由于BAS,supsupxSxAxBxAxB 有或或,sup,supmaxBAx 从而有supmax sup,sup;SABsupS;sup,supmaxBA 故得,supsupsup,SASxSxAx，另一方面.supsupSB 同理又有supS.sup,supmaxBA 所以 综上,即证得.sup,supmaxsupBAS 例7 证明实数空间满足阿基米德原理.证明证明 假设结论不成立，即 bna），21(n4.小结 P9:1,2,3,4,5.:作业(1)区间和邻域的概念;(2)
18、确界原理.1.3 函数的一般概念函数的一般概念1映射映射2函数的概念函数的概念3几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例4复合函数复合函数5反函数反函数6初等函数初等函数一 映射 1 映射 定义 设X,Y是两个给定的集合，若按照某种规则f,使得集合X中的每一个元素x，都可以找到集合Y中唯一确定的元素y与之对应，则这个对应规则f是集合X到集合Y的一个映射，记为 f:X Y X y=f(x).其中y称为在映射f之下x的象，x称为在映射f之下y的一个原象集合X称为映射的定义域，记为 而在映射之下，X中元素的象的全体称为映射的值域，记为 .fD X:fR(),.fRy yYyf xxX并且 概括起来，构成
19、一个映射必须具备下列三个基本要素：(1)集合X，即定义域 ；(2)集合Y，即限制值域的范围：（3）对应规则，使每一个 有唯一确定的y=f(x)与之对应.fD X;fRY,xX 需要指出两点：(1)映射要求元素的象必须是唯一的 (2)映射并不要求逆象也具有唯一性 2 一一对应 定义 设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆象也具有唯一性，即对X中的任意两个不同元素 ，它们的象 与 也满足 ，则称f为单射；如果映射满足 ，则称f为满射；如果映射f既是单射，又是满射，则称f为双射（又称 一一对应）12xx1y2y12yyfRY逆映射:fXY,fyRYxX()f xyx的:fgRXyx fxyXfR
20、到上,-1f11,.fffDRRX值域为设是单射，则对任意它的逆象（即满足方程)是唯一确定的.对应关系构成了的一个映射,把它称为的逆映射，记为其定义域为12():,XUxugxfUYuyfug:现设有如下两个映射和2,fUDXYxyfgxfg如 果 R那 就 可 以 构 造 出一 个 新 的 对 应 关 系fg:这 还 是 一 个 映 射，称 为和 g 的 复 合 映 射复合映射复合映射 二二 函数概念函数概念 函数是整个高等数学中最基本的研究函数是整个高等数学中最基本的研究对对象象,可以可以说说数学分析就是研究函数的数学分析就是研究函数的.因此我因此我们对们对函数的概念以及常函数的概念以及常
21、见见的一些函数的一些函数应应有一个清楚有一个清楚的的认识认识.例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长nnrSn sin2,5,4,3 n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn)定义定义 给定 R，如果存在某种对应法则 ，使得对于X中任一元素 ，都有唯一确定的数 R与之对应，则称 是从 到R的一个函数，记作 R。函数在 点 的值记作 ，称为函数 的定义域，称为自变量，称为因变量。从概念上讲，（即对应法则）是函数，是函数值，两者是不同的。但它们是相互决定的，今后在大部分场合，不加区分。但有些场合，如微分和微分形式概念中，必需加以区分。XXxyXf:x)(xfy XXffy f
22、xffx()0 x)(0 xf对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.xyfXDYfX21xy 例例如如，1,1:D211xy 例例如如，)1,1(:D自变量自变量因变量因变量约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值义的一切实数值.定义定义:.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数
23、，否则叫做多值函数则叫做多值函数例如，例如，222ayx+表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的 v函数的表示法.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC v单值函数与多值函数 在函数的定义中在函数的定义中,对每个对每个x D,对应的函数值对应的函数值y总是唯总是唯一的一的,这样定义的函数称为单值函数这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则如果给定一个对应法则,按这个法则按这个法则,对每个对每个x D,总有确定的总有确定的y值与之对应值与之对应,但这个但这个y不总是唯一的不总是唯一
24、的,我们称我们称这种法则确定了一个多值函数这种法则确定了一个多值函数.例如,由方程x2+y2r2确定的函数是一个多值函数:此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支 221)(xrxyy.22xry.此函数称为绝对值函数,其定义域为D(,+),其值域为Rf 0,+).例 6.函数0 0|xxxxxy.(2)(1)常值函数 yc.其定义域为D(,+),其值域为Rf c.三几个特殊的函数举例三几个特殊的函数举例 (3)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当xxx sgn 其定义域为D(,+),其值域为Rf 1,0,1.(4)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的
25、最大的最大整数整数阶梯曲线阶梯曲线x其定义域为D=(-,+),其值域为 =Z.fR（5）“非负小数部分”函数 ,.yxx x +它的定义域是,0,1.fDR+值 域 是 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(6)狄利克雷函数狄利克雷函数其定义域为D=(-,+),其值域为 =0,1.fR(7)取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgxo)(xf)(xg在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用对应法则用不同的不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为
26、称为分段函数分段函数.0,10,12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12 xy分段函数分段函数例例1 1.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设+xfxxxf解解 +23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1,3:fD故故)()(xgxf+)()(xgxf)()(xgxf)()(xgxf0)(xg函数的四则运算 在函数的共同定义域内可以实行函数的加减法运算和乘法运算，,也可以实行除法运算 这时要特别小心，要除去的点。四、复合函数四、复合函数 在实际问题中，有很多比较复杂的函数是在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较由几个比较 简
27、单的函数简单的函数“叠置叠置”而成的，如而成的，如在简谐振动中位移在简谐振动中位移y与时间与时间 t 的函数关系的函数关系)sin(+ty就是由三角函数就是由三角函数uysin 和线性函数和线性函数 +tu“叠置叠置”而成的，而成的，,uy 设设,12xu 21xy 定义定义 设函数 定义域包含函数 的值域，则在 的定义域上可以用以下法则确定一个函数 ，称之为f与g的复合函数，记作 。我们总有 。这里“”运算是非交换的，一般的没有 。但它是结合的：，故可定义 。)(xfy)(xgu)(xg)()(xgfy gf)()(xgfxgffggfhgfhgf)()(nfff21定义定义:,自自变变量量
28、x,中中间间变变量量u,因变量因变量y注意注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;fDZ 复合条件复合条件,arcsinuy 例如例如;22xu+2arcsin(2)yx+复合函数的定义域复合函数的定义域 )(|xuDuDxxDf 使使 D 复合条件在实际应用时常取形式复合条件在实际应用时常取形式fDZ 内层函数的值域落在外层函数的定义域之内内层函数的值域落在外层函数的定义域之内2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例如例如,yucot,uv.2xv.1)(,)(2xxguu
29、ufy例1).()(xgfxgf求并求定义域。例例2._)(,1)1(2+xfxxxf（1）（2）.1122xxxxf+)()(xf,22x.22+x A.B.C.D.,2x,12+x五 反函数 Xf:1xXx 2)()(2121xfxfxx2121)()(xxxfxfYXf:)(XfY YXf:Xf:)(xfyYXf:Yy)(xfy 定义定义 设R是一函数，如果(或由)，则称f在上X是 1-1的。若若，则称f为满的。是满的 1-1 的，则称f为1-1对应。R是1-1 的意味着对固定y至多有一个解x，是1-1 的意味着 对，有且仅有一个解x。YXf:Yy)(xfy)(xfy)(1yfxYXf:
30、XYf:1XXIff:1YYIff:1YXff:)(11定义定义 设是1-1对应。,由唯一确定一个的反函数，记为 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 显然有 (恒等变换）(恒等变换)由这种对应法则所确定的函数称为Xx0 x0yxyDW)(xfy 函函数数o0 x0yxyDW)(yx 反反函函数数o 从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 ,这样它的图形与 的图形是关于对角线Y=x对称的。)(1xfy)(xfy)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函数数 严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数。但 1
31、-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子 aaayxxey xay xay)1()1(a)1,0(（3）.对数函数对数函数)1,0(log aaxyaxyln xyalog xya1log)1(a)0,1(xOy1122322232周期为2的周期函数有界函数|sin x|1特殊值：sin 212k+sin0ksin 212k.,2,1,0ksinyxxOy1122322232周期为2的周期函数有界函数|cos x|1特殊值：02cos+k12cosk1)12(cos+k.,2,1,0kcosyxxOy22周期为的周期函数无界函数：+xxxxtanlimtanlim0202渐进
32、线：2x特殊值：.,2,1,00)tan(kktanyxxOy22周期为的周期函数无界函数：0202lim cotlim cotxxxx+渐进线：xx,0特殊值：cot020,1,2,.kk+232正割函数正割函数xysec xysec 余割函数余割函数xycsc xycsc(5)反三角函数的图象 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式
33、子一个式子表示表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.例例1 1).(,0,10,2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx +求求设设解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x,0 x或或,12)(+xx;1 x,0 x或或,11)(2 xx;20 x,1)(20时时当当 x,0 x或或,12)(+xx;01 x,0 x或或,11)(2 xx;2 x综上所述综上所述.2,120011,2,)(2122 1有界函数有界函数:.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf f(x)sin x在(,+)上是有界的:|sin x|1.函数x
34、xf1)(在开区间(0,1)内是无上界的.Mxxf111)(,所以函数无上界.函数xxf1)(在(1,2)内是有界的.这是因为,对于任一 M1,总有1x:1101Mx,使 有界函数举例 例例32单调函数单调函数:,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒恒有有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上上是是单单调调减减少少的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf,)
35、(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI 恒恒有有3奇函数和偶函数奇函数和偶函数:有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf 偶函数偶函数yx)(xf ox-x)(xf;)(为为偶偶函函数数称称xf有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD )()(xfxf ;)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)(xf yx)(xfox-x)(xfy 例4 设函数f(x)的定义域为(l,l),证明必存在(l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)g(x)+h(x).提示:
36、如果f(x)g(x)+h(x),则f(x)g(x)h(x),于是)()(21)(xfxfxg+,)()(21)(xfxfxh.证 作)()(21)(xfxfxg+,)()(21)(xfxfxh,证 则 f(x)g(x)+h(x),且)()()(21)(xgxfxfxg+)()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh)()()(21)(xgxfxfxg+)()()(21)(xgxfxfxg+,)()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh)()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh)()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh.4周期函数周期函数:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的)()(xflxf+且且为周为周则称则称)(xf.)(,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立
