1、第六章 弹塑性结构地震反应分析 第一节 弹塑性动力分析概述 第二节 串联多自由度体系分析第三节 平面框架模型 第四节 多维地震波作用下的平扭耦联系统 结构弹塑性地震反应问题是地震工程学研究的热点之一。一般结构物都在强震中会进入弹塑性变形阶段。结构的弹塑性反应与线性反应的表现有很大不同：结构的基本动力特性变化整体结构的动力反应特征不同引用弹塑性分析的概念和具体做法，有利于研究结构地震反应的本质特征，有助于揭示设计结构的最不利薄弱环节。第一节第一节 弹塑性动力分析概述弹塑性动力分析概述一、动力方程 二、刚度修正技术 三、一般分析过程 第一节第一节 弹塑性动力分析概述弹塑性动力分析概述一、动力方程
2、l 结构在多维地震波作用下的一般动力方程为：结构弹塑性动力分析的基本过程与之相类似：唯一的变化在于恢复力向量F代替了弹性力向量 KU，这种形式上的替代使我们可以方便地考虑结构的非线性增量方程。gUMUKUCUM gUMFUCUM 一、动力方程 对单自由度体系，结构在时刻tj+1的反应可以用tj的反应迭加一个线形增量:对多自由度体系，则有进而得出结构非线性增量方程:jjjjUkff1jjjUKFF1jgjjjUMUKUCUM 用动力分析的逐步积分法，可以方便地实现结构弹塑性动力分析计算。在非线性大变形阶段，结构变形可能进入恢复力下降段，即出现负刚度。在负刚度条件下各数值积分方法与正刚度条件有所不
3、同。一、动力方程一、动力方程 二、刚度修正技术 l结构线性地震反应分析与非线性地震反应分析的主要差别在于刚度矩阵是否变化。对于弹塑性结构，在每一步增量反应计算之先，要先行修正刚度矩阵中各元素的量值，此即刚度修正技术。l修正刚度矩阵的过程实质是重新形成总刚度矩阵的过程。在这里，区分总刚度矩阵、单元刚度矩阵、刚度系数、截面抵抗矩等概念十分重要。修正刚度矩阵与应用恢复力模型的联系途径是通过这些概念转换的。这一途径可用图6.2加以说明。恢复力模型1.建立在材料层次上的恢复力模型Li氏弹簧模型非弹性单元弹性单元弹簧单元柱梁ksi0dsi-PsiyPsiPsic0.75PsiyPsiydsimaxdsiy
4、dsimax-0.75Psiy 0.75Psiyksi0kci0PciPciyPcicPcit2dcit dcitdciydcimaxdci钢筋弹簧混凝土弹簧恢复力模型2.建立在截面层次上的恢复力模型单向弯曲时yyxlOlp2lp1EI1EI2EI3MiViVjNiNjMjx1M/My(M0/My,0/y)(-M0/My,-0/y)骨架曲线-12-2/ymkrkyMMyOykyMkykryOMcOMMycymMO恢复力模型2.建立在截面层次上的恢复力模型双向弯曲时-双线型屈服面模型MxMyxxOkexkyx屈服面的移动MyOMx恢复力模型2.建立在截面层次上的恢复力模型双向弯曲时-三线型屈服面
5、模型MyxM0yx,M0yyM0cx,M0cyMxOxMcxMyxkexkcxkyxMyMyyMcxMcyMx屈服面开裂面MyMxMM0cM0yMyMxM0yM0cMMyMxM0yM0cMMyMxM0yM0cM接触点恢复力模型2.建立在截面层次上的恢复力模型构件截面的强度退化 p(EIe)MOABCMuMyMfMfM(EIe)m1()y ufyfyfdMMSdfyeyfeyySMMEIpEIpMm)()()()()(1恢复力模型3.建立在构件层次上的恢复力模型如钢筋混凝土矮墙 cr Pk0=k0(/cr)-k-k0HP试验墙体带定向滑轮的千斤顶N千斤顶加水平荷载荷载分配梁位移计基础梁台座h二、
6、刚度修正技术（续）l以常见的三线型刚度退化型模型介绍刚度修正技术。骨架曲线包括了开裂点、屈服点、极限荷载点等界点。滞回曲线由最大变形点指向和刚度退化规则加以规定。在动力计算开始前要存贮骨架曲线界点值，在计算中要存贮反向曾经经历过的变形最大值和损伤状态值。QJ二、刚度修正技术（续）（1）根据变形速度的符号判定变形方向，然后判明本步变形绝对值是否超过同方向历史最大变形绝对值。当超过时，则加载点必在骨架曲线上，此时，可将本步累积变形值与骨架曲线界点变形值相比较。超过界点值时改变状态标识变量并修正刚度；不超过界点值时，不修正刚度。而当不超过历史最大变形绝对值时，应进一步判明相邻时刻内力是否反号，反号时
7、，则修正刚度，否则不修正刚度；（2）当相邻时刻变形速度值发生变化时，变形反向，此时，取卸载段退化刚度为本步刚度值。二、刚度修正技术（续）二、刚度修正技术（续）二、刚度修正技术（续）二、刚度修正技术（续）二、刚度修正技术（续）N（反向）0ix Y（同向）01iiffY（同向）Y（正向）N（反向）N（负向）N（小于最大变形）（小于最大变形）Y（同向）Y（超过最大变形）（超过最大变形）BiBiBiAiAiN在在JF线上线上:小小于最大变形于最大变形F点点;在在NO线上线上:小于最大变小于最大变形形K点点;(经过E、Q、F、K点点)YjiN在在FK线上线上:来回振动。来回振动。在在EQ线上线上:来回振
8、动。来回振动。在在QF线上线上:来回振动。来回振动。yFjjkiN（小于最大变形）（小于最大变形）01iiff(经过N、J点)Y(经过P、G、L点)Y N在在AB线上线上;在在GC线上线上:小于最大变小于最大变形形C点点;在在LM线上线上:小于最大变小于最大变形形I点点;ji(经过B、H、I点点)Y01iixxN在在BC线上线上:来回振动。来回振动。在在CH线上线上:来回振动。来回振动。在在HI线上线上:来回振动。来回振动。二、刚度修正技术（续）在刚度修正技术中，还有界点刚度转换问题，即在前后两时刻刚度发生变化（即恢复力曲线有转折）时，需将时间步长分割，求出刚度发生变化时（即到达恢复力曲线的转
9、折点）的时刻。在此时刻之前按原刚度计算，在此时刻之后按改变后的刚度计算。二、刚度修正技术（续）二、刚度修正技术（续）三、一般分析过程 弹塑性结构反应分析的思路分为三个基本组成部分：数值积分 反应值迭加 刚度修正一般的分析流程见图6.5。三、一般分析过程 数值分析中几个关键问题时间步长的取值 MxCxKxMIxg Newmark曾经建议时间步长曾经建议时间步长t取为结构最短周期的取为结构最短周期的1/101/6 数值分析中几个关键问题恢复力模型中转折点的处理McOMMycym恢复力模型中转折点处理的关键在于要找到t时间内转折点出现的时刻。通常寻找转折点的方法有优选法、二分法、插值法、台劳展开法等
10、 数值分析中几个关键问题P效应的影响*结构由于重力作用和水平位移影响会产生附加反应,这种现象称为P-效应。*众多研究表明,P-效应对结构弹性地震反应的影响不大,当结构进入弹塑性阶段后随着结构变形程度的增大P-效应的影响越来越明显,但是不同结构受P-效应的影响程度各不相同 数值分析中几个关键问题变轴力对结构地震反应的影响 框架柱中的轴力变化有两种情况:一是由于水平地震作用产生的倾覆弯矩在柱中引起的轴力变化;二是由于竖向地震分量引起的轴力变化 对第一种情况的理论分析和试验研究表明:变轴力对单根杆件单元的反应有明显的影响,并会在结构中产生刚度和强度偏心进而引起扭转反应,但是变轴力对“强柱弱梁”型框架
11、整体反应的影响较小 第二种情况产生的变轴力对框架结构以及变轴力对剪力墙结构的影响还有待作进一步的研究 数值分析中几个关键问题梁柱节点区域性能对框架结构地震反应的影响处理方法之一：在恢复力模型中考虑节点区域钢筋滑移的影响（武田的模型）Pd(dm,Pm)d0ks(dy,Py)(dc,Pc)kymmmsddddPk0数值分析中几个关键问题梁柱节点区域性能对框架结构地震反应的影响处理方法之二：在杆端引入滑移转动角（杜宏彪、沈聚敏的模型）M弹性区非弹性区滑移转动角数值分析中几个关键问题具有初始损伤钢筋混凝土结构的地震反应如果忽略结构的强度退化，结构中的损伤可以看成是结构刚度的降低。用频率的变化定义结构的
12、损伤。将结构等效成单自由度体系，则有 fKm01012结构的等效刚度结构的等效质量结构损伤后 fKmii112数值分析中几个关键问题具有初始损伤钢筋混凝土结构的地震反应201210ffKKiii2012111ffDiiTi当DTi=0，表示无损伤；DTi=1，表示结构破坏。对于旧房屋可根据现场动力实测结合理论计算分析，用此式识别出结构的损伤；若结构连续受多次地震的作用，每次地震后可以算出结构的自振频率，再用此式算出结构的损伤指标。)1(22011TiTiiDD 当不考虑结构扭转振动和土结相互作用时，一般多层结构或高耸结构可以抽象为一个底部嵌固的串联多自由度体系。一、剪切模型 二、弯剪模型第二节
13、第二节 串联多自由度体系分析串联多自由度体系分析以下介绍具体的计算模型以下介绍具体的计算模型一、层模型一、层模型二、平面杆件模型二、平面杆件模型三、半钢架模型三、半钢架模型四、平扭藕联模型四、平扭藕联模型一、剪切模型当结构的变形主要表现为集中质量层之间的错动，且这种错动可视为层间剪切角变位的结果时，则可将结构简化为剪切模型。一般说来，高宽比不大的多层建筑、强梁弱柱的框架体系等可以作为剪切结构考虑。一、剪切模型（续）由于不考虑楼板的转角变形，因此，剪切模型的层间单元刚度矩阵服从以下关系：其中yi为第I层的位移，为剪应力不均匀系数；h为层高；A，J分别为截面积和惯性矩。根据Q恢复力关系进行动力分析
14、时，弹性层间刚度为：在弹塑性阶段，则有：1iiiiiiiBiAyyKKKKQQ)21(123hEJKi26GAhEJiiiQK)()()(tdtdQtKiii二、弯剪模型 高宽比大于4的结构、强柱弱梁型结构和高耸结构等，在结构振动时，弯曲效应不容忽视。应采用同时考虑弯曲变形和剪切变形的弯剪模型。二、弯剪模型（续）层间单元刚度矩阵服从下述一般关系：为区别剪切模型，这里以u为水平位移，而为转角未知量。式中刚度系数的具体形式见公式6.15。111233213333443344iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiBiAiBiAuuKKKKKKKKKKKKKKKKMMQQ二、弯剪模型 弯剪模型区别
15、于剪切模型的根本点在于前者需考虑楼层处的弯曲转角。引用静态凝聚原理，则不增加动力方程的自由度数。将总刚度矩阵中与转角有关的刚度系数并入仅与水平位移有关的刚度系数项。自由振动的动平衡方程可以表示为：（不考虑转动惯量J=0）二、弯剪模型二、弯剪模型（续）（续）二、弯剪模型 从上述方程的后一组n个方程中可以解出：代入前一组n个方程可得：其中 称为弯剪模型得等效结构侧移刚度矩阵。二、弯剪模型二、弯剪模型（续）（续）引用等效侧移刚度矩阵，动力方程如上式所示，动力自由度数等于集中质量个数。gUMUKUCUM 二、弯剪模型二、弯剪模型（续）（续）平面框架模型就是将一般框架结构单独抽出一榀或经某种假定简化为一
16、榀框架所假定的模型。这种模型的弹塑性动力分析反应分析一般以梁、柱构件作为最小单元进行分析。典型的构件模型有杆端弹塑性弹簧模型、分割梁模型、假设变形函数模型等。第三节第三节 平面框架模型平面框架模型 千斤顶加水平荷载PNN杆系结构试件带定向滑轮的千斤顶基础梁位移计预加节点竖向荷载，其值大小在试验过程中保持恒定 分级加节点水平荷载，直至结构形成可变机构而破坏 破坏特征梁端和柱端产生塑性铰，梁端和柱端产生塑性铰，最终形成机构而使结构最终形成机构而使结构破坏破坏非线性分析的一般方法计算简图横向框架计算单元纵向框架计算单元跨度跨度跨度取轴线间的距离相邻楼板板底间的距离基础顶面至一层楼板底间的距离节点：视
17、构造情况可以是刚节 点也可以是铰接点非线性分析的一般方法基本方程 荷载较小时，处于线弹性状态。随着荷载的增加，进入非线性状态 材料非线性几何非线性结构刚度不断发生变化二次弯矩的影响结构的大变形按变形后的形位重新建立基本方程FDK为非线性方程组非线性分析的一般方法非线性分析的一般方法 基本假定 单元为等截面直杆。对于节点区加强的构件，如大开口单元为等截面直杆。对于节点区加强的构件，如大开口剪力墙、牛腿柱和加腋梁等，可将节点区视作刚域剪力墙、牛腿柱和加腋梁等，可将节点区视作刚域 单元截面变形满足平截面假定单元截面变形满足平截面假定 单元剪切变形的影响忽略不计单元剪切变形的影响忽略不计 等截面直杆只
18、发生弯曲破坏，塑性铰只是在杆件两端出现等截面直杆只发生弯曲破坏，塑性铰只是在杆件两端出现 结构构件的几何非线性和材料非线性影响分别考虑，且不结构构件的几何非线性和材料非线性影响分别考虑，且不考虑节点的非线性考虑节点的非线性 等截面直杆单元刚度矩阵 建立单元刚度矩阵时的基本问题 M012IIIIIIMM确定单元的刚度随内力确定单元的刚度随内力的变化关系的变化关系 确定沿单元长度方向确定沿单元长度方向刚度的变化规律刚度的变化规律 等截面直杆单元刚度矩阵 1.集中刚度模拟 将塑性变形集中于单元端的一点处建立单元的刚度矩阵将塑性变形集中于单元端的一点处建立单元的刚度矩阵 MMyykMpMyk1MqMy
19、yk2+*Clough、Benusaka和Wilson(1965)建议了一种双分量模型，用两个平行的单元来模拟构件，一种是表示屈服特性的弹塑性单元，另一种是表示硬化特性的弹性单元 等截面直杆单元刚度矩阵 1.集中刚度模拟 单元刚度矩阵 21kkk 22221112126612126666426624lllllllllllllkkMpMyk1MqMyyk2+MiMj等截面直杆单元刚度矩阵 1.集中刚度模拟 单元刚度矩阵 21kkk 22222212126612126666426624lllllllllllllkk两端未出现塑性铰时 MpMyk1MqMyyk2+MiMj等截面直杆单元刚度矩阵 1.
20、集中刚度模拟 单元刚度矩阵 21kkk 2222223330333033320000lllllllllkk当i端出现塑性铰时 MpMyk1MqMyyk2+MiMj四、等截面直杆单元刚度矩阵 1.集中刚度模拟 单元刚度矩阵 21kkk 2222223303330300003303lllllllllkk当j端出现塑性铰时 MpMyk1MqMyyk2+MiMj等截面直杆单元刚度矩阵 1.集中刚度模拟 单元刚度矩阵 21kkk 02k当i、j端均出现塑性铰时 MpMyk1MqMyyk2+MiMj等截面直杆单元刚度矩阵 1.集中刚度模拟*Giberson于1967年提出了一种单分量模型，利用杆端的弹塑性
21、转角描述杆单元的弹塑性性能，杆件两端的弹塑性参数相互独立。弯矩-曲率关系可以是折线型，也可以是曲线型，适用范围较广。等截面直杆单元刚度矩阵 2.分布刚度模拟 yyxlOlp2lp1EI1EI2EI3MiViVjNiNjMjx*Takizawa（1973）假定弯曲刚度沿杆长的分布是杆端弯矩的函数。*纤维模型（或条分模型），先用条分法确定截面的弯矩曲率关系，然后沿杆长积分求杆件的刚度，此法需要进行大量的计算，很不经济。*分段变刚度杆单元模型。采用分段变刚度模型既保证了计算精度，又不过多地增加计算工作量，是一种比较理想的模型。作 者方向lp备 注Baker单向k1k2k3（z/d）1/4dk1软钢0
22、.7、冷加工钢0.9k2=1+0.5Pu/P0k3=0.60.9Pu 轴向压力P0 轴心抗压强度z 临界截面到反弯点距离d 截面的有效高度Corley单向0.5d+0.2z/（d1/2）z、d 同上Mattock单向0.5d+0.05zz、d 同上Sawyer单向0.25d+0.075zz、d 同上胡德忻单向a+2h0/3h0a 构件等弯曲区段的长度h0 截面有效高度（下同）坂静雄单向（1-0.5sfy/fc）h0fy 钢筋的屈服强度fc 混凝土轴心抗压强度s 截面配筋率朱伯龙单向1-0.5(sfy-sfy+N/bh)/fch0s 受压钢筋配筋率fy 受压钢筋屈服强度N 轴向力朱伯龙双向h(1
23、-k)各参数的意义见文献13-15杜宏彪沈聚敏双向lp=Max(lyx,lyy)lyi=1.0-yi/(T)1/2lymax(i=x,y)lymax=1.1h0(1.0-)临界截面曲率向量yx、yy 单向加载时截面在x轴和y轴方向上的屈服曲率lymax 最大屈服区长度 截面等效受压区高度等截面直杆单元刚度矩阵 2.分布刚度模拟 yyxlOlp2lp1EI1EI2EI3MiViVjNiNjMjx66655655443635332625232214110000000000kkkkkkkkkkkkkkk对称 llpq/221-/202EIEIp 22332baklAEkkkc14441121662
24、bak2136bbk22121255522)(2lbbaakkklbbakk2123523)2(lbbakk2115626)2(1)1(13113221pqpqpa1)1(23223112pqpqpa1)23()23(121122221qqpqqpb1-/101EIEIp llpq/11)4/(6212102lblaaEIb等截面直杆单元刚度矩阵 3.塑性铰区段截面抗弯刚度 单调加载yyxlOlp2lp1EI1EI2EI3MiViVjNiNjMjx EI1和EI2为塑性铰区段的截面抗弯刚度，为切线刚度 加载时可以直接根据第二章所述的条分法分析得到的截面弯矩-曲率骨架曲线确定 对超静定结构，即便
25、是单调加荷试验，由于内力重分布(尤其在塑性铰出现之后)，结构中部分单元截面可能会出现卸载 考虑卸载刚度 等截面直杆单元刚度矩阵 3.塑性铰区段截面抗弯刚度 单调加载 uEyc-cMuMMyMc-McOABCE21043 0ccMcycyMMyuyuMMcAcAMMyuuyEuukkk)()/()(cAcAyMMkuuuMk/5.2等截面直杆单元刚度矩阵 4.塑性铰区段截面抗弯刚度 反复加载 yyxlOlp2lp1EI1EI2EI3MiViVjNiNjMjxMcOMMycym等截面直杆单元刚度矩阵 3.塑性铰区段截面抗弯刚度 转折点处理 uEyc-cMuMMyMc-McOABCE21043 0？
26、细分加载步重新计算带刚域杆单元刚度矩阵 yxlOe2e1刚域刚域dAdsfAfsT100000100000010000001000001000000121eeA TAkAkrP-效应的影响 1.一般方法 yyxlOlp2lp1EI1EI2EI3MiViVjNiNjMjx对于P-效应，可以采用对按照体系变形前位形建立的平衡方程引入几何刚度矩阵来考虑)(FDGKT结构的几何刚度矩阵，由单元几何刚度矩阵组装而成，组装方法与单元刚度矩阵的组装方法相同 P-效应的影响 2.单元几何刚度矩阵 yyxlOlp2lp1EI1EI2EI3MiViVjNiNjMjx两端未出现塑性铰 单元几何刚度矩阵可由假定的杆件
27、挠度曲线按能量法导得 223624303033603360000000304303360336000000030llllllkllllllNgP-效应的影响 2.单元几何刚度矩阵 yyxlOlp2lp1EI1EI2EI3MiViVjNiNjMjxi端出现塑性铰 单元几何刚度矩阵可由假定的杆件挠度曲线按能量法导得 660006600000000000000000000000052llllllNgP-效应的影响 2.单元几何刚度矩阵 yyxlOlp2lp1EI1EI2EI3MiViVjNiNjMjxj端出现塑性铰 单元几何刚度矩阵可由假定的杆件挠度曲线按能量法导得 6600066000000000
28、00000000000000052llllllNgP-效应的影响 2.单元几何刚度矩阵 yyxlOlp2lp1EI1EI2EI3MiViVjNiNjMjxi、j端均出现塑性铰 单元几何刚度矩阵可由假定的杆件挠度曲线按能量法导得 5500005500000000000000000000000000005lNg杆系结构的破坏准则 在基于有限元法的结构分析中，关于杆系结构的破坏目前尚无统一的准则 为便于计算分析，判断结构出现塑性铰的数目和位置，当出现足够多的塑性铰(这些塑性铰处均未发生卸载)并能导致结构成为整体瞬变机构时，认为结构已失去承载力而停止计算 结构荷载-位移关系计算 1.一般方法 一般采用
29、分级加荷载 在P-曲线的上升段，结构刚度矩阵是正定的，采用非线性方程组一般的求解方法都能获得满意的解答 PbacOa原结构b刚性弹簧c原结构+刚性弹簧对于P-曲线的临近顶点(最大承载力)处及以后的下降段，上述方法都会致使计算发散 采取特殊的处理方法 结构荷载-位移关系计算 2.虚拟弹簧法 PbacOa原结构b刚性弹簧c原结构+刚性弹簧NP虚加弹簧对于第i增量步虚加刚性弹簧后的结构增量刚度方程为)(FDKGKiiNT结构荷载-位移关系计算 2.虚拟弹簧法 PbacOa原结构b刚性弹簧c原结构+刚性弹簧NP虚加弹簧)(FDKGKiiNTiiNiDKFFiiiFFF1结构荷载-位移关系计算 3.计算
30、步骤 开 始形成初始刚度矩阵K0，K=K0形成初始荷载向量F计算初始位移向量V=K-1xF形成增量荷载向量F各杆单元截面状态转换求解：KD=F该结构已形成可变机构？F=F+F-KNDD=D+D形成切线刚度矩阵K形成弹簧刚度矩阵KN形成几何刚度矩阵GK=K-G+KN结 束NY一、杆端弹塑性弹簧模型 二、分割梁模型 三、半刚架模型 第三节第三节 平面框架模型平面框架模型一、杆端弹塑性弹簧模型 这种类型的基本思想在于把杆件中的塑性变形全部集中在杆端，并以杆端等效的弹塑性回转弹簧等价地表示。弹簧之间的杆件仅发生弹性变形。模型的基本假定：（1）杆件的弹塑性变形状态可以用图6.8等价地表示；（2）杆端塑性
31、转角只与本端弯矩增量有关；（3）采用以单根构件试验为基础的杆端力矩杆端转角恢复力关系作为基准恢复力曲线，而不考虑各构件相互联结的影响。一、杆端弹塑性弹簧模型（续）塑性转角部分弹性转角部分iiiii)(00iiiiKKM)1(000iiiiiiippKMKMKpM刚度折减系数0KKpii塑性转角部分弹性转角部分iiiiiKpM0二、分割梁模型 杆端弹簧模型把沿杆件分布的损伤分别集中于杆端，并假定杆端塑性转角增量仅与本端弯矩增量有关。这些假定在反弯点位置偏离构件中点很远的场合是不适用的。分割梁模型是把构件分割成若干个沿杆轴线的假想并列杆件，各杆件仅在杆端相连，而沿杆轴各点上则有不同的变形。依据采用
32、的恢复力骨架曲线的不同，分割梁模型又有双分量模型、三分量模型等类型。1、双分量模型（见图6.11）克拉夫设想将杆分割为刚度分别为pK和qK的两个平行的分杆，从而引出双分量模型的概念，图6.11表示这种分解与合成的全过程。根据杆端转角的大小，杆件将分别处于两端弹性连接，一端弹性连接、另一端塑性铰接或两端塑性铰接等不同状态。双分量模型的单元刚度矩阵可由各分杆端部连接部分的变形相容条件和各杆的力平衡条件来确定。（见P178）双分量模型不考虑刚度退化和反向的最大点指向，卸载时采用原点加载刚度，反向加载时亦如此。双分量模型不能表示工程结构构件的刚度退化性质。1、双分量模型（见图6.11）图c表示第一分杆
33、的恢复力曲线，它表示一根完全弹性杆，图e表示第二分杆的恢复力曲线，它对应一根弹塑性杆。1、双分量模型、双分量模型（见图（见图6.11）2、三分量模型（见图6.13）三分量模型与双分量模型的唯一差别在于它用三根分杆模拟恢复力模型，图6.13表示其刚度分解过程和各分杆的恢复力曲线。构件两端分别有弹性、开裂、屈服等三个不同状态，因此有九种不同的刚度矩阵。图6.14表示了考虑刚度退化的恢复力情况。应当指出，分割梁模型中的单元刚度矩阵是全量型的，而杆端弹簧模型则为增量型的。2、三分量模型（见图6.13）2、三分量模型、三分量模型（见图（见图6.13）三、半刚架模型 采用杆系模型进行弹塑性动力分析中，一个
34、比较突出的问题就是结构的计算自由度多，计算工作量大。因此，在上述杆系模型的基础上，发展了半刚架模型的简化动力分析方法。基本的半刚架简化方法有两类：将各构件特性集成 将各构件特性平均三、半刚架模型(续)如图6.15所示，对于一般的n跨平面刚架结构，依据同一楼层各节点的转角变形与剪切变形相等的假定，可导出将平面框架转化为图示半刚架的规则如下：（1）弹性参数 柱弯曲刚度：梁弯曲刚度：柱高：梁长：11)()(nicicEIEInibibEIEI1)(2)(cicHHnibibinibibLEIEIL11)(2)(三、半刚架模型(续)如图6.15所示，对于一般的n 跨平面刚架结构，依据同一楼层各节点的转
35、角变形与剪切变形相等的假定，可导出将平面框架转化为图示半刚架的规则如下：（2）恢复力特性参数柱初始屈服弯矩：柱极限屈服弯矩：梁初始屈服弯矩：梁极限屈服弯矩：式中引入为反映原框架各层的梁、柱受力不均匀因而屈服不同时发生所造成的影响，称之为半框架初始屈服折减系数，一般可取0.70.9。11)()(niciscsMM11)()(nicipcpMMnibisbsMM1)(2)(nibipbpMM1)(2)(三、半刚架模型三、半刚架模型(续续)三、半刚架模型(续3)对于图6.16所示的三折线型恢复力骨架曲线，转化恢复力特性参数尚包括刚度折减系数p1 可取为：柱刚度折减系数：梁刚度折减系数：1111)(1
36、1)(nicicpnpnibibpnp111)(1)(三、半刚架模型三、半刚架模型(续续)第四节 多维地震波作用下的平扭耦联系统 由于设计要求和随机因素的影响，实际结构都可视为非对称结构。在多维地震波作用下，非对称结构的振动一般表现为平移与扭转耦合的振动形式。根据基本抗侧力构件双向相互作用的强弱，把平扭耦联振动问题按结构材料类型分为：弱相互作用模型 强相互作用模型 一、一般平扭耦联系统的动力方程 二、弱相互作用模型 三、强相互作用模型 一、一般平扭耦联系统的动力方程一般平扭耦联系统的平面结构形式如图6.18所示。对此类结构形式进行平扭耦合振动分析时，一般沿用楼板平面内无限刚性和平面外完全柔性的
37、假定。楼板刚性假定，即不考虑楼板在平面内的剪切变形与弯曲变形。楼板平面外完全柔性的假定，则可以不考虑楼板与框架梁的共同作用。一、一般平扭耦联系统的动力方程一般平扭耦联系统的平面结构形式如图6.18所示。对此类结构形式进行平扭耦合振动分析时，一般沿用楼板平面内无限刚性和平面外完全柔性的假定。楼板刚性假定，即不考虑楼板在平面内的剪切变形与弯曲变形。楼板平面外完全柔性的假定，则可以不考虑楼板与框架梁的共同作用。一、一般平扭耦联系统的动力方程一、一般平扭耦联系统的动力方程一、一般平扭耦联系统的动力方程（续1）一、一般平扭耦联系统的动力方程一、一般平扭耦联系统的动力方程一、一般平扭耦联系统的动力方程（续
38、）平面子结构在自身主轴方向产生单位层间位移所需力为k（即层间刚度），则平面子结构i由于位移矢量 而引起的沿子结构轴向的力为:ai为子结构主轴方向与x轴的夹角，xi，yi为子结构中性轴与主轴交点处的坐标值，ri为坐标系原点到子结构主轴的距离一、一般平扭耦联系统的动力方程一、一般平扭耦联系统的动力方程一、一般平扭耦联系统的动力方程（续）平面子结构的抗弯刚度为：式中j为单个构件序号；m为子结构中构件个数。平面子结构的等效抗剪刚度为：式中第一项为剪力墙平面内的抗剪刚度之和，第二项为框架平面内等效抗剪刚度之和。推导见PP183185。平扭耦联系统的结构动力方程的基本形式为：mjjjmjjlEAEIEI1
39、21)(mjjjmjjhEIGAGA121)(12)(gUMUKUCUM 一、一般平扭耦联系统的动力方程一、一般平扭耦联系统的动力方程二、弱相互作用模型 弱相互作用模型的基本思想是，只考虑一方向上的强度损失对与其垂直方向的强度及刚度的影响。例如，砌体结构的抗侧力构件的双向变形可以处理为平面内剪切变形与平面外弯曲变形的复合，其非线性关系可分别取图6.21所示的形式。其中，墙体平面内初始抗剪刚度为：式中，为正应力影响系数；为剪应力不均匀系数；为弯曲影响系数；为墙体高宽比；为墙体中点高度平均正应力。墙体平面外弯曲刚度为：HGAKG)1()1(2HEJKg12 骨架曲线上的折线刚度由材料试验给出，滞回
40、曲线可以选用设定模型或复合模型。（1）墙体初始刚度是平面内抗剪刚度和平面外抗弯刚度的迭加；（2）当平面内出现屈服进入高度非线性时，不再考虑平面外刚度的贡献。二、弱相互作用模型二、弱相互作用模型 三、强相互作用模型 强相互作用模型的基本特点是直接构成抗侧力单元的柱端截面双向恢复力模型。由于双轴向间塑性内力的相互作用使双向恢复力模型中任一的恢复力特性对另一正交轴的恢复力特性有较大的影响，在缺乏试验资料的情况下，建议取双轴恢复力特性耦合系数为0.3。三、内力重分布与变形集中(续一)2、变形集中 塑性铰的形成是非线性变形在构件一小区段内地集中，与之类似，整体结构层间屈服会造成非线性变形在该层的集中。实
41、际结构物，由于工艺、建筑、设计条件等方面的限制，不可能沿竖向的强度、刚度完全均匀。在地震中，结构将首先在薄弱层发生破坏。由于结构内力重分布的作用，结构累积损伤效应、结构振动内力传播的特点等因素的综合影响，这种薄弱层的破坏将迅速恶化，形成非线性变形集中于这一层或几层的不利情况。详见图5.41。三、动力平衡方程结构体系的动力平衡方程-全量方程（用于弹性分析）gttttxIMxKxCxM 体系的质量矩阵阻尼矩阵刚度矩阵地面运动加速度加速度反应速度反应位移反应四、动力平衡方程的求解 结构体系的动力平衡方程-增量方程（用于弹塑性分析）假定在一很短的时间间隔t内，结构的物理特性未发生变化，则t+t时刻结构
42、体系的动力平衡方程为：tgtttttttxIMxKxCxM gttttxIMxKxCxM MxCxKxMIxg 四、动力平衡方程的求解阻尼矩阵-选用瑞雷阻尼KMCcc212211222122122121)(2)(2cc体系的第一、第二阶自振频率体系的第一、第二阶阻尼比一般为5%四、动力平衡方程的求解质量矩阵、刚度矩阵和地震波*弹性分析时，K为定值；弹塑性分析时，K 实际上是切线刚度，K随时间t的变化而变化，计算分析时要不断对其进行调整*质量矩阵M一般取按质量集中原则换算出的集中质量，且这些质量全部集中于结构的节点处。于是，M为一对角矩阵。*地震波实际上是一条数字化的地面运动加速度随时间的变化曲线，这些波的持续时间一般为20秒或30秒。-200-1000100200300051015202530El-Centro波a(cm/s2)t(s)-180-120-6006012018005101520Taft波a(cm/s2)t(s)-100-5005010005101520天津波a(cm/s2)t(s)
