1、上页 下页 返回 结束 一、一、极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二、复合函数的极限运算法则二、复合函数的极限运算法则 第五节 极限运算法则第一章 函数与极限第一章上页 下页 返回 结束 一、一、极限的四则运算法则极限的四则运算法则则则若若 ,)(lim ,)(lim BxgAxf .)(lim)(lim)()(limBAxgxfxgxf 证证:因因,)(lim,)(limBxgAxf 则有则有,)(,)(BxgAxf(其中其中 ,为无穷小为无穷小)于是，于是，)()()()(BAxgxf)()(BA又由无穷小性质知又由无穷小性质知,也是无穷小也是无穷小,再利用函数极限与无穷小的关系定理再
2、利用函数极限与无穷小的关系定理,得证得证.定理定理1.上页 下页 返回 结束 推论推论:,)(lim,)(lim BxgAxf 若若.,)()(BAxgxf 则则且且,)()()(xgxfx 利用保号性定理的推论证明利用保号性定理的推论证明.注注:定理定理 1（极限的加减法）（极限的加减法）可推广到可推广到有限个有限个函数函数相加、减的情形相加、减的情形.分析分析:令令BAxx )(lim,0)(且且则则上页 下页 返回 结束 定理定理2.则则若若 ,)(lim,)(lim BxgAxf .)(lim)(lim)()(limBAxgxfxgxf 注注:定理定理 2 可推广到可推广到有限个有限个
3、函数相乘的情形函数相乘的情形.推论推论 1.)(lim)(limxfCxfC(C 为常数为常数)推论推论 2.mmxfxf)(lim)(lim(m 为正整数为正整数)例例1.设设 n 次多项式次多项式,)(10nnnxaxaaxP 试证试证).()(lim00 xPxPnnxx 证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1 nxxnxa0lim)(0 xPn(极限的乘法，课后自证极限的乘法，课后自证)上页 下页 返回 结束 B2 B1)(1xg)(0 xx 定理定理3.,)(lim,)(lim BxgAxf 若若且且 B0,则有则有.)(lim)(lim)()(limBAxgxfxgx
4、f 证证:因因,)(lim,)(limBxgAxf 则则,)(,)(BxgAxf其中其中 ,为无穷小为无穷小.令令BAxgxf )()(BABA )(1 BB)(AB 无穷小无穷小有界有界因此因此 为无穷小为无穷小,从而从而,BAxgxf)()(极限的除法极限的除法BAxgxf)()(lim.)(lim)(limxgxf 上页 下页 返回 结束 定理定理4.则则若若 ,lim,lim ByAxnnnn )(lim)1(nnnyx nnnyx lim)2(,00)3(时时且且当当 BynBAyxnnn limBA BA 注注:因为数列是一种特殊的函数因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由故此定理
5、可由前面的各定理直接得出结论前面的各定理直接得出结论.上页 下页 返回 结束 31lim3 xxx例例2.都都是是其其中中设设有有分分式式函函数数)(),(,)()()(xQxPxQxPxR.)()(lim:,0)(,000 xRxRxQxx 试试证证若若多多项项式式证证:)(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR 注注:,0)(0 xQ若若不能直接用商的运算法则不能直接用商的运算法则.例例3.934lim223 xxxx)3)(3()1)(3(lim3 xxxxx62 31 x=3 时分母为时分母为 0!上页 下页 返回 结束 例例4.
6、4532lim 21 xxxx求求解解:x=1 时时3245lim21 xxxx0 31241512 .4532lim21 xxxx故故分母分母=0,分子分子0,但因但因上页 下页 返回 结束 例例5.125934lim22 xxxxx求求解解:x 时时,分子分子 .22111125934limxxxxx 分子分母同除以分子分母同除以,2x则则54 分母分母 ,原式原式注注:当当 x 时时通常将分子、分母同除以通常将分子、分母同除以 x 的的 最高次幂最高次幂.上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：),0(00为为非非负负常常数数nmba,mn nnnmmmxbxbxbaxa
7、xa 110110lim,00ba,0,mn.mn 上页 下页 返回 结束 二、二、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理5.设设 f g(x)由函数由函数 f(u)和和 u=g(x)复合而成，复合而成，.)(lim)(lim ,)(0 ,)(lim ,)(lim00000100AufxgfuxgxxAufuxguuxxuuxx 则有则有时时且当且当,证证:Aufuu)(lim0,0 ,0 .)(,0 0 Aufuu有有时时当当 0)(lim0uxgxx,0 ,0 2 对对上上述述.)(,0 020 uxgxx有有时时当当 ,min 21 取取有有时时则当则当,0 0 xx0)(
8、uxg 0uu 故故 0Axgf)(Auf )(,因此因此式成立式成立.上页 下页 返回 结束 注：注：定理中若定理中若,)(lim0 xgxx则类似可得则类似可得)(lim0 xgfxxAufu )(lim相当于作一个变量代换！相当于作一个变量代换！定理定理5.设设 f g(x)由函数由函数 f(u)和和 u=g(x)复合而成，复合而成，.)(lim)(lim ,)(0 ,)(lim ,)(lim00000100AufxgfuxgxxAufuxguuxxuuxx 则有则有时时且当且当,上页 下页 返回 结束 例例6.解解:.93lim 23 xxx求求已知已知61)(limlim33 xgu
9、xx故故 原式原式=uu61lim61 66 原函数可看作由原函数可看作由.93)()(2复复合合而而成成与与 xxxguuuf上页 下页 返回 结束 例例7.解解:方法方法 1.11lim 1 xxx求求,xu 则则,1lim1 ux令令11112 uuxx1 u故故 原式原式2)1(lim1 uu方法方法 211lim1 xxx1)1)(1(lim1 xxxx)1(lim1 xx2 上页 下页 返回 结束 小结小结1.极限运算法则极限运算法则(1)极限四则运算法则极限四则运算法则(无穷小运算法则无穷小运算法则)(2)复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件!2.求函
10、数极限的方法求函数极限的方法a.有理分式函数极限求法有理分式函数极限求法0)ixx 用代入法，分母不为用代入法，分母不为 0直接代入。分母为直接代入。分母为 0 时，时，若分子也为若分子也为 0，则约去公因子，否则就，则约去公因子，否则就“上上下交换下交换”得到极限为得到极限为.x)ii分子分母同时除以最高次幂分子分母同时除以最高次幂c.复合函数极限求法复合函数极限求法设中间变量设中间变量b.无理分式函数极限求法无理分式函数极限求法变量代换变量代换分子分子(母母)有理化有理化上页 下页 返回 结束 课堂练习课堂练习1.问问不存在不存在存在存在若若 ,)(lim ,)(limxgxf?)()(lim为什么为什么是否存在是否存在xgxf?321lim2222 nnnnnn2.上页 下页 返回 结束 3.)1(lim2xxxx 求求解法解法 1 原式原式=xxxx 1lim21111lim2 xx21 解法解法 2,1 xt 令令 tttt1111lim20 21 原式原式=22011limttt 111lim20 tt,0 t则则上页 下页 返回 结束 4.0)1(lim 33 xaxax使得使得试确定常数试确定常数解解:,1 xt 令令则则 tatt 33011lim001 atatt 3301lim 01lim330 att故故.1 a因此因此
