1、第八章 能量守恒能量守恒 思考题：撑杆跳运动员在跳高过程中的能量过程如何？一个滑雪运动员从山顶一个滑雪运动员从山顶出发。下面哪条路径她出发。下面哪条路径她的势能变化的最多：（的势能变化的最多：（a a）,（b b），（），（c c）,(d),(d),或者（或者（e e）各路径都一样）各路径都一样？假定滑道结冰，从而？假定滑道结冰，从而认为滑行过程她受到的认为滑行过程她受到的摩擦力可以忽略，则哪摩擦力可以忽略，则哪条路径运动员到山底时条路径运动员到山底时速度最快？考虑真实情速度最快？考虑真实情况下摩擦力总是存在的况下摩擦力总是存在的，上述的情况又如何？，上述的情况又如何？v开篇问题开篇问题-请猜
2、一猜请猜一猜8-1 保守力(conservative force)与非保守力l dFWW一般跟力及作用路径有关把箱子从把箱子从1推推到到2过程中直过程中直线和曲线两条线和曲线两条路径做功是不路径做功是不同的。同的。但有些力做功只跟作用过程中物体的始末位置有关，而与作用的路径无关。例小球下落过程中重力做的功为：mghl dFW如果小球不是垂直地向上或向下运动，而是在x-y平面内任意运动。小球从垂直高度y1开始运动，最后到达高度为y2的位置，并使y2-y1=h。21l dFW21cos dlmg21mgdymghyymg)(12 因此重力做的功就只跟高度有关，也即物体的始末位置有关，而与其经过的特
3、定路径无关。这种力我们称为保守力。保守力：保守力：一个力把物体从一个地方移动另一个力把物体从一个地方移动另一个地方的过程中一个地方的过程中做的功只与物体的始末做的功只与物体的始末位置有关，而与物体移动的路程无关位置有关，而与物体移动的路程无关。保守力只能是位置的函数，而与其他变量，保守力只能是位置的函数，而与其他变量，如时间、速度等无关。如时间、速度等无关。由于保守力做功只与物体的始末位置有关，而与其经过的特定路径无关。我们构建一个回路。回路中保守力通过路径A把物体从1移动到2，然后再通过路径B把物体从2移回到1。在这过程中保守力做的功为：1221l dFl dFW路径A路径B由于保守力做功只
4、与物体的始末位置有关，而与其经过的特定路径无关。则有：2121l dFl dF路径A路径B2112l dFl dF路径B路径B现在保守力从2点把物体移到1点，与上述的从1点移到2点过程中，力在路径各点位置的大小都是一样的，但dl 的方向相反，因此有在回路过程中保守力做的功为：1221l dFl dFW路径A路径B2121l dFl dF路径A路径B=0！保守力又可以定义为：保守力又可以定义为：当一个力对一个沿着任意当一个力对一个沿着任意闭合路径运闭合路径运动的物体所做的总功总是为零动的物体所做的总功总是为零，这个力，这个力就是保守力。就是保守力。0l dFW重力，弹性力，电力，万有引力等为保守
5、力。摩擦力、空气阻力等为非保守力。8-28-2 势能势能(potential energy)1、重力势能、重力势能 势能：势能：质点在保守力场中与位置相关质点在保守力场中与位置相关的能量。的能量。它是一种潜在的能量，不同于它是一种潜在的能量，不同于动能。动能。处在一个高度的物体，当其下落时在重力作用下会获得能量，可以对外做功，即处在一定高度的物体具有做功的能力。那么这个能力是如何获得的？图中的物体从高为图中的物体从高为y y1 1的地方，在外力的作用下的地方，在外力的作用下移动到高为移动到高为y y2 2,如果移动过程很缓慢，这外力做如果移动过程很缓慢，这外力做的功为的功为021cos0()e
6、xtextWFdmghmghmg yy从y2落到y1重力能做功为：21()GGWF dmg yymgh因此把质量为m的物体举高h需要做mgh的功。而具有高为h的物体，具有做大小为mgh的功的能力。因此举高物体做的功以重力势能的形式储存起来。2121()extUUUWmg yy进一步规定重力势能U的变化等于上述过程中重力做功的负值。2121()GUUUWmg yy 重力势能U在相对参考点（坐标原点）高 度为y的任意点上的重力势能为：gravUmgy重力势能重力势能2121yyUUUFdlW 某一保守力某一保守力F F相对应的势能变化等于此相对应的势能变化等于此保守力保守力F F做功的负值做功的负
7、值 除了重力外，弹性力、万有引力等保守力都有对应的势能。因此势能更普遍定义为：某点的势能等于保守力将物体从该点移某点的势能等于保守力将物体从该点移动至势能动至势能0 0点所做的功点所做的功 注意：只有势能的变化量才是具有物理意义的。势能是属于整个系统，而不是单个物体。只有保守力才有势能。例8-1 过山车的势能变化。一辆重1000kg的过山车，如图从点1移动到点2，然后再到3，(a)点2,3相对于点1的重力势能是多少？既取点1的y=0。（b）从点2运动到3，过山车的势能变化了多少？（c）重复(a)和(b)，但取参考点（y=0）点3。解:（a)如图以1点为坐标原点，有y2=10m,y3=-15m,
8、则2241000 9.8 109.8 10UmgyJ3351000 9.8(15)1.5 10UmgyJ 54532(1.5 10)(9.8 10)2.5 10UUJJJ （b）过山车从2移动到3，势能变化5111000 9.8 151.5 10UmgyJ522.5 10UJ55320(2.5 10)2.5 10UUJJ(c)此时取y3=0，则点1 y1=15m，点1的势能为：在点2 y2=25 m，势能为在点3 y3=0m，因此势能为0。因此从2到3的势能变化为注意：势能的变化量与参考点的选择没有关系。同时只有势能的变化量才具有物理意义。2 2、弹性势能、弹性势能sFkx 020()(0)1
9、2xsxUU xUFdlkxdxkx 取x=0点的弹性势能为0，U(0)=0,因此拉长了x长度的弹簧具有的势能为21()2elUxkx弹性势能弹性势能两边微分得：3 3、势能和力的关系（、势能和力的关系（1D1D）()()U xF x dxC()()dU xF xdx 这样有势能曲线获得力的信息。C为为x=0时时U的值的值在三维情况下，力 与U的关系可以写成：),(zyxF,zUFyUFxUFzyx(,),xUUUF x y zijkxyz 或8-3 8-3 机械能和机械能守恒机械能和机械能守恒 由上一章的功能原理力对物体做净功等于物体动能增加：netWK 对只有保守力做功的系统，保守力做功又
10、可以写成系统势能的变化：21totalnetUFdlW 0KU合并两式有合并两式有或或2121()()0KKUU定义E E为系统的总机械能为系统的总机械能，其等于任意时刻系统的动能和势能之和。EKU2211KUKU将前面的式子改写，得到机械能守恒公式或：12tanEEconst机械能守恒定律机械能守恒定律：在仅有在仅有保守力做保守力做功功的条件下，则系统的的条件下，则系统的机械能既不机械能既不增加，也不减少。即机械能是守恒增加，也不减少。即机械能是守恒的的，它是个常数它是个常数。由机械能守恒有：KU 因此如果系统的动能K增加，则势能U必需减少相同大小的能量，能量在动能和势能间转换，但总机械能能
11、量是守恒的。将动能用 来表示，则机械能守恒可以写为：212Kmv2211221122mvUmvU8-4 8-4 机械能守恒定律的应用机械能守恒定律的应用地球上下落的石头。在下落过程中石头的机械能为：mgymvUKE221下落前石头只有势能，没有动能。随着石头的落下，其势能不断减小，动能增加。例 8-3 前 图 中 石 头 的 初 始 高 度 为y1=h=3.0m，请计算当石头下落到离地面1m时的速度。当石头撞击地面时速度又为多少？解：选择地面为势能零点，并以向上方向为y正方向，则有y1=3.0m，v1=0，y2=1.0m，求v2=？在石头下落过程中只有重力做功，故机械能守恒，因此有：22112
12、21122mvmgymvmgy得到离地面1m时的速度为：2212()2 9.8(3.0 1.0)6.3/vg yym s当石头落到地面时，y2=0m，由此可得：2212()2 9.8(3.00.0)7.7/vg yym s解：（a）由v1=0，y2=0，利用机械能守恒公式得到：例8-4 利用能量守恒求过山车的速度。设右图中山顶的高度为40m，过山车静止从山顶开始无摩擦滑下，求(a)车在山底时的速度（b）这个速度一半时的高度。取山底时的y=0。22121mvmgy 到谷底时的速度为smmsmgyv/28)40)(/8.9(22212（b）同样利用能量守恒。此时已知速度v2=14m/s，求y2?2
13、221212121mgymvmgymv由v1=0,y1=40m,v2=14m/s得：mgvyy3022212 在8-3和8-4两个例子中，都使用了能量守恒来计算速度。然而8-3的例子还可以通过动力学的方法，由力获得加速度，再获得速度。而8-4中由于运动的轨迹不再是简单的直线，而是曲线，再使用动力学的方法就存在困难，然而机械能守恒方法却很容易地解决了问题。这是机械能守恒定律的优势。课堂思考题 两个滑水人，Paul 和Kathleen 从不同滑梯同时开始往下滑，（a）滑到底时Paul 和Kathleen两个人谁的速度快？（b）两人谁先到底？摩擦力可以忽略且两滑梯具有同样的长度。例8-6 估计撑杆跳
14、。大致估算一下重70kg的运动员越过高5.0m的杆子时需要的动能。假设运动员开始时的质心离地面高0.9m，最高是为横杆的高度。解：选择初始时运动员质心位置为y1=0。则运动员 需 要 举 到 的 高 度 为y2=5.0m-0.9m=4.1m.则有：2210021mgymv1222 9.8 4.18.9/vgym s对应的百米短跑时间为：100/8.9=11.23s 因此好的撑杆跳运动员首先应该是一个比较好的短跑运动员！例8-8 两类势能。一个重为m=2.60kg的小球，从静止开始下落，下落了h=55.0cm后撞到一个垂直的弹簧上，弹簧被压缩了Y=15.0cm。求弹簧的弹性系数。假设弹簧的质量和
15、空气的阻力可以忽略不计。所有距离的测量都从球刚触及未压缩弹簧的位置开始（y=0在这个点上）。解一：可以把问题分成两个过程。第一个过程小球下落过程，此时小球的势能转变成动能。第二个过程是小球压缩弹簧的过程，小球的动能转变成弹簧和小球的势能。以小球接触弹簧的位置为y=0。则第一个过程中有：y1=h=55.ocm,v1=0,y2=0，由机械能守恒有2221221122mvmgymvmgy2121002mgymv22122(9.8/)(0.55)3.823/3.82/vgym smm sm s解得：第二过程有：y2=0,y3=-Y，v2=3.82,v3=0222222233311112222mvmgy
16、KymvmgyKy22211000()22mvmgYKY222222.602=3.2832 9.8 0.15(0.15)1590/mKvgYYN m（）解得：解二：这整个过程中机械能守恒，能量由开始时的重力势能转变成弹簧和小球的势能。因此有y1=h=0.55m，y2=-Y=-0.15m2212211(0)22mgyKmgyKy222()2 2.60 9.8(0.550.15)0.151590/mg hYKYN m解得：结果与前面一致，但过程更简单。例8-9 钟摆运动。一个简单的钟摆由一个很小的质量为m的摆垂挂在一个长度为l的弦组成。摆垂在t=0时刻弦与垂直方向的夹角为=0时刻释放（没有推力）。
17、（a）用动能和势能描述摆垂的运动。然后确定摆垂的速度。（b）并给出摆垂来回摆动过程中，速度作为的函数。（c）在最低点时的值（d）求出弦中的张力。摩擦力和空气阻力可以忽略。UKU解：（a）摆垂开始时静止的，动能K=0。释放后向下摆动，势能减少，动能增加。在最低点时动能最大而势能最小。然后摆垂仍将继续运动，只到它达到相反方向释放位置处一样高度和角度(=0)，此时势能最大而动能K=0。摆垂就这样周而复始由 UK U的重复运动。但它永远不会超过的高度=0（机械能守恒）。，（b）由于弦的质量可以忽略不计，只需考虑摆垂的动能和重力势能。摆垂在运动过程中始终受到两个力的作用：重力，mg及弦对它的作用力FT。
18、而FT始终与运动垂直，所以不做功,因此运动过程中系统的机械能守恒。以最低点为y=0的位置，则系统的机械能为：212Emvmgy在摆垂释放那一刻，因为v=0，有000(1 cos)Emgymgl在以后的任意，其机械能均等于E02012Emvmgymgy得到：002()2(coscos)vg yygl（c）在最低点，y=0,=0，有 02(1 cos)vgl（d）弦中的张力等于其作用在摆垂上力FT。这个力提供了摆垂做向心运动的向心力，由牛顿第二定理有：2cosTvmFmgl得到：20(cos)(3cos2cos)TvFmgmgl8-5 8-5 能量守恒定律能量守恒定律摩擦力虽然造成了机械能的耗散，
19、但同时由于摩擦摩擦力虽然造成了机械能的耗散，但同时由于摩擦产生热，因此机械能的减少转换成热能。总能量产生热，因此机械能的减少转换成热能。总能量E总总是保持不变。是保持不变。一些实例中由于摩擦力等耗散力的存在减小了机械能的数值。一些实例中由于摩擦力等耗散力的存在减小了机械能的数值。非保守力的存在破坏了机械能守恒。非保守力的存在破坏了机械能守恒。=0KU 其他形式能量的变化能量守恒定理能量守恒定理：在任何过程中总能量既不增加，也不减小。能量在任何过程中总能量既不增加，也不减小。能量可以从一种形式转变成另一种形式，从一个物体转可以从一种形式转变成另一种形式，从一个物体转变成另一个物体，但是能量的总量
20、保持不变变成另一个物体，但是能量的总量保持不变。能量守恒定理能量守恒定理是物理学最重要的定理之一，它指出各种能量可以相互转变和传输，但总能量永远是守恒不变的，一种能量的消失，必有另一种能量出现。能量永远不会无缘无故的消失，也不会无缘无故的产生。8-6 8-6 耗散力下的能量守恒：问题求解耗散力下的能量守恒：问题求解在有耗散力的情况下，必需将耗散力造成的机械能损失考虑到能量守恒方程中去。如过山车运动过程存在摩擦，1-2点间摩擦力F Ffrfr做功造成的能量损耗为 ,l是物体沿着轨道从点1到点2实际距离。21frFdl=0frKUF l若若Ffr大小不变，则能大小不变，则能量耗散为量耗散为frF
21、l能量守恒方程为：能量守恒方程为：2221211()()=02frm vvmg yyF l或2211221122frmvmgymvmgyF l所以初始能量=终态能量（包括热能）动能定理与能量守恒的适用问题动能定理与能量守恒的适用问题v如果研究对象为外力作用下的质点或刚体，则如果研究对象为外力作用下的质点或刚体，则可以运用动能定理：外力对物体做的功等于物体可以运用动能定理：外力对物体做的功等于物体动能的增量。动能的增量。v如果研究对象为没有外力做功的系统，则可直如果研究对象为没有外力做功的系统，则可直接对系统应用能量守恒。接对系统应用能量守恒。sGG1G2Nfr 例题例题 一汽车的速度一汽车的速
22、度v0=36km/h,驶至一斜率为驶至一斜率为0.010的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻力为车重阻力为车重G的的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？倍，问汽车能冲上斜坡多远？解：解：解法一，根据动能定理，取汽车为研究对象，解法一，根据动能定理，取汽车为研究对象，受力如图所示。受力如图所示。上式说明，汽车上坡时，上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗摩动能一部分消耗于反抗摩擦力作功，一部分消耗于擦力作功，一部分消耗于反抗重力作功。因反抗重力作功。因fr=N=G1,所以所以20210sinmvGssfr （1）20121sinmvGssG （2）按题
23、意，按题意，tg=0.010，表示斜坡与水平面的夹角很表示斜坡与水平面的夹角很小，所以小，所以sin tg，G1 G,并因并因G=mg,上式可上式可化成化成2021vgstggs （3）85 ms)(220 tggvs 或或代入已知数字得代入已知数字得解法二：根据能量守恒原理，有解法二：根据能量守恒原理，有201sin(0)2rGsmvfs 0（4）即即 sin2120GsmvGs 85 ms 代入已知数字亦得代入已知数字亦得例题例题 在图中，一个质量在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从沿四分之一的圆周从A滑到滑到B，已知圆的半径，已知圆的半径R=4
24、m，设物体在设物体在B B处的速度处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。力所作的功。NGfrORABvdcosdvfmgmtdcosdvmgfmamt则则解：解：解法一，根据功的定义，解法一，根据功的定义，以以m为研究对象，受力为研究对象，受力分析分析.dlAf s阻9000cosddvmgRmv v 221mvmgR解法二，解法二，根据根据动能定理，动能定理，对物体受力分析，只有重力对物体受力分析，只有重力和摩擦力作功，和摩擦力作功，21cos d2mgsAmv阻90201cosd2AmvmgR阻mgRmv221解法三，根据能量守恒原理，解法三，根据能量
25、守恒原理，以物体和地球为研究对象以物体和地球为研究对象0kpAEE阻2102AmvmgR阻42.4JA 租代入已知数字得代入已知数字得负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功作功42.4J42.4J例题例题 起重机用钢丝绳吊运一质量为起重机用钢丝绳吊运一质量为m 的物体，以速的物体，以速度度v0作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，物体因惯性进行下降，问使钢丝绳会有多少微小的伸物体因惯性进行下降，问使钢丝绳会有多少微小的伸长？长？(设钢丝绳的劲度系数为设钢丝绳的劲度系数为k k，钢丝绳的重力忽略不
26、，钢丝绳的重力忽略不计计)。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有。这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？多大？x0hGTv0解解:我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它力都不作功，所除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它力都不作功，所以系统的机械能守恒。以系统的机械能守恒。现在研究两个位置的机械能。现在研究两个位置的机械能。在起重机突然停在起重机突然停止的那个瞬时位置，物体的动能为止的那个瞬时位置，物体的动能为20121mvEk 设这时钢丝绳伸长量为设这时钢丝绳伸长量为x0，系统弹性势能系统弹性势能20121k
27、xEp 弹弹 如果物体因惯性继续下降的微小距离为如果物体因惯性继续下降的微小距离为h，并且并且以这最低位置作为重力势能的零点，那么，系统这时以这最低位置作为重力势能的零点，那么，系统这时的重力势能为的重力势能为mghEp 重重1所以，系统在这位置的总机械能为所以，系统在这位置的总机械能为mghkxmvEEEEppk 202011112121重重弹弹 在物体下降到最低位置时，物体的动能在物体下降到最低位置时，物体的动能E Ek2k2=0=0，系统的弹性势能应为系统的弹性势能应为202)(21hxkEp 弹弹此时的重力势能此时的重力势能02 重重pE202222)(21hxkEEEEppk 重重弹
28、弹所以在最低位置时，系统的总机械能为所以在最低位置时，系统的总机械能为按机械能守恒定律，应有按机械能守恒定律，应有E1 1E2 2，于是，于是202020)(212121hxkmghkxmv 021)(212002 mvhmgkxkh 由于物体作匀速运动时，钢丝绳的伸长由于物体作匀速运动时，钢丝绳的伸长x0量满足量满足x0=G/k=mg/k，代入上式后得代入上式后得0202 mvkh0vkmh 即即钢丝绳所受的最大拉力钢丝绳所受的最大拉力000)()(vkmmgvkmkmgkhxkTm 由此式可见，如果由此式可见，如果v0较大较大，Tm也较大。所以也较大。所以对于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速
29、度对于一定的钢丝绳来说，应规定吊运速度v0不得超不得超过某一限值。过某一限值。例8-11 考虑摩擦力的弹簧 一物块在表面不光滑的水平面上滑动并以速度v0撞上一个质量可以忽略的弹簧,弹簧被压缩的最大距离为X。如果弹簧的弹性系数为k，求物块与水平面的动摩擦系数。根据能量守恒根据能量守恒2201122kmvkXmgX2022kvkXgXmg8-7 8-7 引力势能和逃逸速度引力势能和逃逸速度2EmMFGrr Err 万有引力质量为m的物体沿任意路径从位置1移动到位置2，它离地心的距离从r1变到r2,则万有引力做的功：21221rl drGmMl dFWEdrl dr2221111()EEdrWGmM
30、GmMrrr 12rGmMrGmMWEE万有引力做功只与物体的始末位置有关，而与运动的路径无关，因此万有引力是保守力引入引力势能1212rGmMrGmMUUUEE势能总是定义为力所做功的负值 距地心r处的势能为 CrGmMrUE)(C是常数。通常取C=0，对应U()=0,()EGmMU rr 万有引力势能物体在万有引力作用下的机械能守恒常数2221212121rGmMmvrGmMmvEE逃逸速度逃逸速度能够让物体不再返回地球的最小发射速度被称为逃逸速度vesc。00212EEescrmMGmvr2=v=0smrGMvEEesc/1012.1/248-8 8-8 功率功率定义:做功的速度。平均功
31、率 WPt功率也可以定义为能量转换的速度WPt被转变的能量时间瞬时功率dtWPddtEPd或功率的单位:瓦（W，1W=1J/s)实际应用中常用的功率单位马力马力（hp,1hp=746W）。dWF dlPF vdtdt例8-15 计算1400kg的汽车在下面情况下需要的发动机功率（a）汽车以稳定的80km/h的速度爬100的山坡；(b)汽车在水平路上超车时在6.0s时间内从90km/h加速到100km/h。假设汽车在此过程中受到的向后阻力为FN=700N。汽车上坡时需要克服700N的阻力及重力在斜坡上的平行分量02700sin10700(1400)(9.8/)(0.174)3100FNmgNkg
32、m sN80/22/vkm hm s 4(3100)(22/)6.80 1068.091PFvNm sWkwhp（b）汽车从25.0m/s(90km/h)加速到30.6m/s(110km/h)。汽车需要一个作用力，克服向后的阻力并加速汽车。2(30.6/25.0/)0.93/6.0 xm sm sam ssxxRmaFFF2(1400)(0.93/)7002000 xRFmaFkgm sNNPF v4(2000)(30.6/)6.12 1061.282PNm sWkWhp 势能曲线的含义和作用8-8-9 9 势能曲线势能曲线:稳定平衡与非稳定平衡稳定平衡与非稳定平衡本章小结1、保守力做功大小只取决于初末位置而与路径无关。2、重力势能gravUmgy3、弹性势能212elUkx4、势能的增量等于保守力做功的负值 2211UUUF dl 5、只有势能的增量才具有实际意义，势能零点可以根据问题自行选择。6、只有保守力作用的情况下总机械能守恒。EKU 常数7、能量守恒定理+0KU（其他形式的能量）8、万有引力势能()EGmMU rr 9=FdWdEPvdtdt、必做习题必做习题 1，5，8，12，13,14，17第八章作业第八章作业
