1、第第2 2章章 质点动力学质点动力学2.1 牛顿运动定律及其应用2.2 惯性系 力学相对性原理2.3 功和能2.4 功能原理与机械能守恒定律2.5 动量定理与动量守恒定律质点动力学主要研究引起物体运动状态变化质点动力学主要研究引起物体运动状态变化的原因和由此引发的效果。的原因和由此引发的效果。2.1.12.1.1牛顿运动定律牛顿运动定律 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。力迫使它改变运动状态为止。注意：牛顿第一定律提出两个力学基本概念：注意：牛顿第一定律提出两个力学基本概念：惯性惯性和和力力1.1.牛顿第一
2、定律牛顿第一定律 第一定律指出，任何物体都有保持其运动状态不变的性质，第一定律指出，任何物体都有保持其运动状态不变的性质，这个性质叫做惯性（其大小用质量量度）。所以第一定律也成这个性质叫做惯性（其大小用质量量度）。所以第一定律也成为为惯性定律惯性定律。第一定律还表明，正是由于物体具有惯性，所以要使物体第一定律还表明，正是由于物体具有惯性，所以要使物体运动状态发生变化，一定要有其它物体对它作用，这种作用称运动状态发生变化，一定要有其它物体对它作用，这种作用称之为力。之为力。另一表述：自由物体的运动状态永不改变另一表述：自由物体的运动状态永不改变2.1 牛顿运动定律及其应用牛顿运动定律及其应用2.
3、2.牛顿第二定律：牛顿第二定律：amF dtvmdF)(或或：理解：理解：A.A.牛顿第二定律是实验定律牛顿第二定律是实验定律 B.B.给出了质量是惯性的量度以及力的量度给出了质量是惯性的量度以及力的量度 amF C.C.牛顿第二定律的瞬时性、矢量性、独立性。牛顿第二定律的瞬时性、矢量性、独立性。瞬时性：瞬时性：力和加速度同时存在，同时消失。力和加速度同时存在，同时消失。独立性：独立性：每个力对物体产生的加速度，与是否存在别的力无关每个力对物体产生的加速度，与是否存在别的力无关或：多个力对同一物体产生的加速度，等于每一个力单独或：多个力对同一物体产生的加速度，等于每一个力单独对物体产生的加速度
4、的矢量和。对物体产生的加速度的矢量和。矢量性：矢量性：牛顿第二定律满足矢量的合成与分解。牛顿第二定律满足矢量的合成与分解。22dtxdmdtdvmmaFxxx 22dtzdmdtdvmmaFzzz 22dtydmdtdvmmaFyyy dtdvmmaF RvmmaFnn2 直角坐标系：直角坐标系：自然坐标系：自然坐标系：3.牛顿第三运动定律：牛顿第三运动定律：两物体间的相互作用力总是等值反向，两物体间的相互作用力总是等值反向，且在同一直线上。且在同一直线上。1221又称为：作用力与反作用力定律又称为：作用力与反作用力定律2.1.22.1.2常见的几种力常见的几种力1.1.万有引力、重力：万有引
5、力、重力：质量为质量为m m1 1和和m m2 2的两个质点相距为的两个质点相距为r r，则这两个质点之，则这两个质点之间存在相互吸引力，大小为：间存在相互吸引力，大小为：221rmmGF 称为万有引力称为万有引力2211kgmN 1067.6G由于万有引力常数的数量级很小，所以一般物体间的万有引力极由于万有引力常数的数量级很小，所以一般物体间的万有引力极其微弱其微弱其中其中称为万有引力常数称为万有引力常数例如，地球上相距一米的例如，地球上相距一米的两个两个人之间的引力不足人之间的引力不足N1067所以地球表面物体主要是受地球的吸引力，也就是重力（）：所以地球表面物体主要是受地球的吸引力，也就
6、是重力（）：2RmMGg mP所以重力加速度所以重力加速度为：为：2RGMg 式中，分别是物体和地球的质量，为地球半径式中，分别是物体和地球的质量，为地球半径2.2.弹性力：弹性力：当两个物体相互接触发生形变时，物体因形变当两个物体相互接触发生形变时，物体因形变而产生的恢复力称为弹性力。而产生的恢复力称为弹性力。弹性力产生的先决条件是弹性形变，弹性力的弹性力产生的先决条件是弹性形变，弹性力的大小取决于形变的程度。大小取决于形变的程度。弹性力的表现形式有很多种，常见的弹性力有：弹性力的表现形式有很多种，常见的弹性力有：弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力；弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力；绳索被
7、拉紧时产生的张力；绳索被拉紧时产生的张力；重物放在支承面上产生的正压力（作用于支承面）重物放在支承面上产生的正压力（作用于支承面）和支持力（作用于物体上）等均为弹性力。和支持力（作用于物体上）等均为弹性力。3.3.摩擦力：摩擦力：两个相互接触的物体在沿接触面两个相互接触的物体在沿接触面有有相对滑动时，或者有相对滑动的趋势相对滑动时，或者有相对滑动的趋势时，在接触面之间会产生一对阻止相对运动的力，叫做摩擦力。时，在接触面之间会产生一对阻止相对运动的力，叫做摩擦力。(1)(1)相互接触的两个物体在外力作用下，有相对滑动的趋势但尚未产生相互接触的两个物体在外力作用下，有相对滑动的趋势但尚未产生相对滑
8、动，这时的摩擦力叫相对滑动，这时的摩擦力叫静摩擦力。静摩擦力。静摩擦力沿接触面作用并与相对运动趋势相反。静摩擦力沿接触面作用并与相对运动趋势相反。静摩擦力的大小视外力大小而定，介于零和最大静摩擦力之静摩擦力的大小视外力大小而定，介于零和最大静摩擦力之f fS S间，间，实验证明，最大静摩擦力正比于正压力实验证明，最大静摩擦力正比于正压力N N，即，即N fSSS (2)(2)当外力超过最大静摩擦力时，物体间产生相对滑动，这时的摩当外力超过最大静摩擦力时，物体间产生相对滑动，这时的摩擦力叫做擦力叫做滑动摩擦力。滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向总是与物体相对运动的方向相反，实验证明，滑滑动摩擦力的方向
9、总是与物体相对运动的方向相反，实验证明，滑动摩擦力动摩擦力也与正压力也与正压力N N成正比，即成正比，即kfNfkkk*在相对速度不太大时，为计算简单起见，可认为滑动摩擦系数在相对速度不太大时，为计算简单起见，可认为滑动摩擦系数k略小于静摩擦系数略小于静摩擦系数S,在在一般计算时，除非特别指明，可认为它们是相等的。一般计算时，除非特别指明，可认为它们是相等的。叫做叫做静摩擦系数静摩擦系数，它与接触面的材料和表面状况有关，它与接触面的材料和表面状况有关。叫做叫做滑动摩擦系数滑动摩擦系数，它也与接触面的材料和表面状况有关，它也与接触面的材料和表面状况有关，还与两接触物体的相对速度有关。还与两接触物
10、体的相对速度有关。2.1.32.1.3牛顿定律应用牛顿定律应用 牛顿运动定律解决动力学问题一般可分为两类：牛顿运动定律解决动力学问题一般可分为两类：一类是一类是已知运动求力已知运动求力，另一类是，另一类是已知力求运动已知力求运动，即即微分法微分法和和积分法积分法的应用。的应用。这些式子既体现了这些式子既体现了力的叠加原理力的叠加原理，也体现了，也体现了运动的叠加原理运动的叠加原理。式（式（2-22-2）是牛顿第二定律的矢量式。实际应用常用到分量式。）是牛顿第二定律的矢量式。实际应用常用到分量式。22zzz22yyy22xxx tdzdm td vdma mF tdydm td vdma mF
11、tdxdm td vdma mF如：如：或者：或者：td vdma mFvma mF2nn应用牛顿第二定律常用的应用牛顿第二定律常用的分析方法与步骤：分析方法与步骤：定对象定对象 查受力查受力 看运动看运动 列方程列方程例例2-1 一滑轮组如图一滑轮组如图2-1，A为定滑轮，为定滑轮，B为动滑轮，绳子不为动滑轮，绳子不能伸长能伸长 ，。滑轮组及绳的质量、轴的。滑轮组及绳的质量、轴的摩擦均可忽略。摩擦均可忽略。求：求：(1)重物的加速度重物的加速度;(2)绳中的张力绳中的张力(3)定滑轮轴承的支反力定滑轮轴承的支反力图2-1kgm22kgm5.11,1m的受力如图，设的受力如图，设1m的加速度为
12、的加速度为1a，绳子的张力为绳子的张力为T，则2m的加速度为的加速度为 1221aa 对对1m有：有：111amTgm对对2m有：有：22122amgmT2m解：解：解得：解得：)(45.242222121smgmmmma)(0.11432121NgmmmmT定滑轮轴承的支撑反力定滑轮轴承的支撑反力N)(1.222NTN 例例2-2 质量为质量为m的小船在平静的水面上以速度的小船在平静的水面上以速度v0航行。以小船关闭发动机航行。以小船关闭发动机为计时起点，设水的阻力和小船的速度之间的关系是为计时起点，设水的阻力和小船的速度之间的关系是 r vF求：求：1.发动机关闭后小船的速率与时间的关系以
13、及小船的运行时间；发动机关闭后小船的速率与时间的关系以及小船的运行时间；2.发动机关闭后小船的速率和通过的路程之间的关系发动机关闭后小船的速率和通过的路程之间的关系,以及小船到停止时行驶的全部路程；以及小船到停止时行驶的全部路程；3.在小船的速率减少到初速的在小船的速率减少到初速的1/n时间内的平均速率。时间内的平均速率。（其中（其中r 是常量）是常量）解：（解：（1）小船共受到三个力的作用：阻力、重力和浮力，重力和浮力为）小船共受到三个力的作用：阻力、重力和浮力，重力和浮力为一对平衡力，不改变小船的运动状态，故只有阻力对小船的运动状态产生影响。一对平衡力，不改变小船的运动状态，故只有阻力对小
14、船的运动状态产生影响。r v td vdm r vF分离变量并两边积分，注意两边积分的上下限对应，可得：分离变量并两边积分，注意两边积分的上下限对应，可得：tmrvvln t dmrv vd0t0vv0 tmr-0e vv 当当v=0时的时刻时的时刻 即为航行时间即为航行时间 t实际上当实际上当t远远大于大于rm时，时，V趋于趋于0。（2）由）由 r v td vdm此步骤为关键，因为求速率与路程的关系，所以让式子中出现此步骤为关键，因为求速率与路程的关系，所以让式子中出现ds，并消去，并消去dtvdtds分离变量，并两边积分，注意到分离变量，并两边积分，注意到 时，时，0v0sv；时，时，s
15、s 故得：故得：S mrvvS mrv-v00 v=0时的时的S即为全部路程，则全部路程为：即为全部路程，则全部路程为：0 vrmS rvdtdsdsdvmsvvdsmrdv00因为因为（3）设）设0vn1v 时所经历的时间为时所经历的时间为 t，则有：，则有：t mr-00evvn1 nln rmt 0t 时间内船行驶的时间内船行驶的路程：路程：)e1()(dev td e vSt mr-0t0 tmr-0t0 tmr-0rmvtmrrm00ln0ln1ln11ln)1(vnnnvnnnrmermvtsvnrmmr解解：对小球进行受力分析：对小球进行受力分析例例2-3已知小球质量为已知小球质
16、量为 水对小球的浮力为水对小球的浮力为B，水对小球运动的粘滞阻力为水对小球运动的粘滞阻力为 ，式中的式中的 是与水的粘滞性、小球的半径有关的常数，计算小球在水中竖直沉降的速度。是与水的粘滞性、小球的半径有关的常数，计算小球在水中竖直沉降的速度。mkvR KGmBRamaRBG取向下为正方向，由牛顿第二定律：取向下为正方向，由牛顿第二定律：maKvBmgmKvBmgtvadd设设 时，小球初速度为零，此时加速度有最大值时，小球初速度为零，此时加速度有最大值0tmBg0ddtvakBmgvT当小球速度当小球速度 逐渐增加时，加速度逐渐减小，当逐渐增加时，加速度逐渐减小，当 增加到足够大时，增加到足
17、够大时，趋近趋近于零此时于零此时 趋近于一个极限速度，称为收尾速度，用趋近于一个极限速度，称为收尾速度，用 表示，令表示，令vaTvvvGmBRamKvBmgtvddmvvKtvTdddtd00vtTmkvvv于是有于是有对上式积分对上式积分tmkTevv1得小球沉降速度得小球沉降速度 随随 变化的函数关系变化的函数关系vt分析：分析：当当 时，时，；而当；而当 时，时，tTvv Kmt 时，就可以认为时，就可以认为 ，TTvevv632.011KmtTvv 小球即以收尾速度匀速下降小球即以收尾速度匀速下降amgmT解解：，小球位于最低点，速率为，小球位于最低点，速率为 ，在时刻，在时刻 ，小
18、球位于，小球位于 点轻绳与点轻绳与铅直线成铅直线成 此时小球受力为：重力此时小球受力为：重力 、绳拉力、绳拉力 ，根据牛顿第二定律有：，根据牛顿第二定律有：0t0vtPmgTlvan2法向加速度法向加速度tvatd/d切向加速度切向加速度lvmmgT2costvmmgddsintvvdddddtd例例2-3 长为长为 的轻绳，一端系质量为的轻绳，一端系质量为 的小球，另一端系于定点的小球，另一端系于定点 ，开始时小球处于最，开始时小球处于最低位置。若使小球获得如图所示的速度低位置。若使小球获得如图所示的速度 ，小球将在铅直平面内做圆周运动，求小球，小球将在铅直平面内做圆周运动，求小球在任一位置
19、时的速率及绳的张力。在任一位置时的速率及绳的张力。lm0vonmamgTcostmamgsin选取自然坐标系，过点选取自然坐标系，过点 与速度同向的切线方向为与速度同向的切线方向为 轴，轴，过点过点 指向圆心的法线方向为指向圆心的法线方向为 轴，则分量式为：轴，则分量式为：PtenePo TlnetePmg0vv由角速度定义由角速度定义 以及角速度与线速度之间关系以及角速度与线速度之间关系 ，得到：，得到：t d/dlv dddtdvlvv于是得到：于是得到：dsindglvvvvglvv00dsind将上式积分代入初始条件：将上式积分代入初始条件：1cos220glvvcos3220gglv
20、mT 小球在从最低点向上升的过程中，绳对小球的张力随角度增大而减小，小球在从最低点向上升的过程中，绳对小球的张力随角度增大而减小，到达最高点张力最小到达最高点张力最小 小球在从最低点向下降的过程中，张力逐渐增大，到达最低点张力最大小球在从最低点向下降的过程中，张力逐渐增大，到达最低点张力最大分析分析：小球速率与位置有关，在：小球速率与位置有关，在 之间，速率随角度增大而减小；之间，速率随角度增大而减小；在在 之间速率随角度增大而增大。做变速率圆周运动。之间速率随角度增大而增大。做变速率圆周运动。02例例2-5 在半径为在半径为R的固定于桌面上的光滑半球面顶点的固定于桌面上的光滑半球面顶点A处放
21、一质量为处放一质量为m的小物的小物 体。物体由静止开始沿球面滑下。如图体。物体由静止开始沿球面滑下。如图2-4（a）所示。求物体开始离开）所示。求物体开始离开 球面的角位置球面的角位置1图图2-4 物体在球面上下滑物体在球面上下滑解：研究对象是质量为解：研究对象是质量为m的小的小 物体。取它下滑过程中，物体。取它下滑过程中，在离开球面在离开球面C处之前的任处之前的任 意一个位置意一个位置B，分析其受，分析其受 力情况。力情况。小物体可视为质点、小物体可视为质点、空气空气 阻力忽略，球面光滑，没阻力忽略，球面光滑，没 有摩擦。在有摩擦。在B点它只受到点它只受到 两个力的作用：两个力的作用：重力重
22、力mg和支承力和支承力N，它们的方向如图，它们的方向如图2-4（b）所示。这两个力的合力使它在）所示。这两个力的合力使它在AC圆圆弧上作变速圆周运动。弧上作变速圆周运动。根据牛顿第二运动定律在法向与切向的分量式得：根据牛顿第二运动定律在法向与切向的分量式得：RvmmaF2nndtdvmmaFtt可以列出法向、切向运动方程分别为可以列出法向、切向运动方程分别为)102(.RvmNmgcos2)112(.dtdvmmgsin小物体离开球面时候小物体离开球面时候0N，1。则有。则有dtdvmmgRvmmgsincos21 )132.(.sin)122.(.cos21dtdvgRvg 由于未知数多于方
23、程数不可解，为此先设法消去，由（由于未知数多于方程数不可解，为此先设法消去，由（2-13）得：）得：从而只剩下变量从而只剩下变量v、，分离变量并两边积分得：，分离变量并两边积分得：dRgvdvvsin100)cos1(2)cos1(211212RgvRgv代入（代入（2-12）得：）得：111cos22)cos1(21cosgggRRg简化得：简化得：32cos2cos311gg所以所以11.4832arccos1dtdvgsindtdddvddvddvRv动力学两类问题求求已知已知或及时的和例如牛顿运动定律将质点运动规律进一步与力联系起来，牛顿运动定律将质点运动规律进一步与力联系起来，属动力
24、学问题。质点动力学中也有两类基本问题属动力学问题。质点动力学中也有两类基本问题第一类第一类第二类第二类一般方法一般方法求得续练习一常用的分析方法与步骤常用的分析方法与步骤定对象定对象 查受力查受力 看运动看运动 列方程列方程随堂练习随堂练习F 恒与恒与 r 反向反向匀角速椭圆运动匀角速椭圆运动随堂练习二随堂练习三需要将速度是时间的函数转换成速度是坐标的函数去求解需要将速度是时间的函数转换成速度是坐标的函数去求解d(0.5 v )dxdvdtdxdtdvdxvdvdxd(2.5+0.5 v )dx即d(2.5+0.5 v )dxd(2.5+0.5 v )dxx02510积分得x 102ln(2.
25、5+0.5v2)2510179(m)dvdt设设 列车质量为列车质量为总则总阻力则总阻力dvdt单位质量受总阻力单位质量受总阻力总v=25 m/s；关电门时x=0，00v=10 m/s 时x=？，当车速达当车速达 25 m/s 时时运行多远，车速减至运行多远，车速减至 10 m/s关电门关电门F随堂练习四练习五：练习五：质量为质量为m=10Kg，长，长l=40cm的链条，放在光的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为质量为m1=10Kg的物体，开始时的物体，开始时l1=l2=20cml3，速度，速度为零。设绳不伸长，轮、绳
26、的质量和轮轴及桌沿的摩为零。设绳不伸长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求当链条全部滑到桌上时，系统的速度和加擦不计，求当链条全部滑到桌上时，系统的速度和加速度。速度。l2图2-5l1l3Tmmgy/lm1gTy解：选坐标及受力分析解：选坐标及受力分析 如图。如图。据牛顿第二定律，有：据牛顿第二定律，有：2111magylmTamTgm由由1，)(1agmT ,代入代入2得得 3)(11gylmgmamm gylmgmdydvvmm 11)(则则有有dtdydydvdtdva ,vdtdyty 减减小小，随随由由 3，211/9.40smmmgmay 时时，dygylmgmvdvmm)()
27、(11分离变量01012)()(lvdygylmgmvdvmm两边积分smv/26解得练习六：练习六：质量质量m为为10Kg的木箱放在地面上，在水平拉力的木箱放在地面上，在水平拉力F的作的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间是变化关系如图用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间是变化关系如图24所示。已知木箱与地面间的摩擦系数所示。已知木箱与地面间的摩擦系数 为为0.2，求，求t为为4s和和7s时，时，木箱的速度大小。（木箱的速度大小。（g=10m/s2）F（N）70430t(s)Ff解：解：smvdttdvtdtdvatsmvdtdvdtdvattFtFtNmgfmafFtvtv/5.2,)5(,5,74/4,1,407010:74;30:4020,77444400 得得在在得得在在在在在在 本章习题本章习题
