1、大学物理学 第第9 9章章 机械振动和机械波机械振动和机械波物体在某一位置附近所作的来回往复的运动。物体在某一位置附近所作的来回往复的运动。机械振动：机械振动：振动在空间或媒质中的传播过程。简称为波。振动在空间或媒质中的传播过程。简称为波。波动：波动：机械振动在弹性媒质中的传播称为弹性波。机械振动在弹性媒质中的传播称为弹性波。变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波。变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波。描述物体状态的物理量在某一数值附近随时间作周期性变化描述物体状态的物理量在某一数值附近随时间作周期性变化。振动振动:9.1 简谐振动简谐振动物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按
2、余弦函数物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就称为（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就称为简谐振动简谐振动。OF mxxk一、一、简谐振动的特征和运动方程简谐振动的特征和运动方程以水平弹簧振子为例。以水平弹簧振子为例。坐标原点坐标原点O为平衡位置；取坐标轴为平衡位置；取坐标轴x向右，所受弹性力为：向右，所受弹性力为：Fkx 负号表示弹性力负号表示弹性力F的方向与位移的方的方向与位移的方向相反，始终指向运动物体的平衡位向相反，始终指向运动物体的平衡位置，故称之为线性回复力。置，故称之为线性回复力。1、受力特征、受力特征 在线性回复
3、力作用下物体沿在线性回复力作用下物体沿x轴围绕平衡位置轴围绕平衡位置O点作周期性点作周期性往复运动。往复运动。（2）平衡位置平衡位置是物体是物体受力为零受力为零的位置。的位置。（1）位移是相对平衡位置的。）位移是相对平衡位置的。说明说明2、动力学方程特征、动力学方程特征Fkx 由牛顿第二定律，有：由牛顿第二定律，有：22ddtxmxk 则有：则有：加速度与离开平衡位置的位移大小成正比，方向相反。加速度与离开平衡位置的位移大小成正比，方向相反。令：令：2 mk0dd222 xtx OF mxxk简谐振动的动简谐振动的动力学微分方程力学微分方程 仅由系统本身决定，与振动情况无关。仅由系统本身决定，
4、与振动情况无关。若某系统的运动规律满足上述微分方程，且若某系统的运动规律满足上述微分方程，且 由系统性由系统性质决定，则该系统做简谐振动。质决定，则该系统做简谐振动。（该判断方法具有一般性，不仅适用于机械振动）。（该判断方法具有一般性，不仅适用于机械振动）。3、运动学方程（振动方程、运动学方程（振动方程）由：由：0dd222 xtx 可解得：可解得：或：或：sin()xAt简谐振动是围绕平衡位置的简谐振动是围绕平衡位置的周期运动周期运动。A 振幅振幅（离开平衡位置的最大距离）离开平衡位置的最大距离）角频率角频率（2秒内振动次数或单位时间相位改变）秒内振动次数或单位时间相位改变）cos()xAt
5、 相位相位（描述运动状态的量描述运动状态的量）t)cos(tAxAxOt 初相位初相位 1)、确定研究对象，分析受力。确定研究对象，分析受力。2)、找出平衡位置（受合外力为零的点），写出回复力（或回找出平衡位置（受合外力为零的点），写出回复力（或回 复力矩）的表达式。复力矩）的表达式。3)、写出动力学方程写出动力学方程 （利用牛顿第二定律或刚体定轴转动定律）。（利用牛顿第二定律或刚体定轴转动定律）。4、简谐振动的判椐、简谐振动的判椐1 1)、如果质点所受的力、如果质点所受的力可以可以表示为：表示为：kxf 2 2)、质点的位移与时间的关系可以表示为、质点的位移与时间的关系可以表示为,xtx0d
6、d222 )cos(tAx或或则质点做则质点做简简谐振动。谐振动。步骤：步骤：5、简谐振动的速度和加速度、简谐振动的速度和加速度由：由：)cos(tAx 1)v、a 与与 x 的的 相同。相同。2)Aa,Avmaxmax2 4)三者相位依次差三者相位依次差/2。)sin(dd tAtxv)cos(dd2 tAtva)2cos(/tAv )cos(2 tAa3)a 与与 x 方向相反，且成正比。方向相反，且成正比。xa2 说明说明二、描述简谐振动的特征量二、描述简谐振动的特征量(1)振幅振幅A物体离开平衡位置的最大位移。物体离开平衡位置的最大位移。kmT 22 mkTf 211 (2)角频率角频
7、率 mk 频率频率 f周期周期 T角频率角频率 lg glT 22 lgTf 211 )cos(tAx(3)相位相位()和和 初相初相 t)cos(tAxTxAto(4)相位差相位差 两个同频率的简谐振动：两个同频率的简谐振动：同相同相 两振动步调相反。两振动步调相反。同相和反相同相和反相)210(2.kk、两振动步调相同。两振动步调相同。)210(12.kk、）（反相反相)cos(1111 tAx)cos(2222 tAx)()(1122 tt)(12 txoA1A2x1x2同相同相x2xox1t反相反相A1A2 超前和滞后超前和滞后超超前前。比比振振动动振振动动时时当当120,落落后后。比
8、比振振动动振振动动时时当当120,x2 比比 x1 较早达到正最大。较早达到正最大。x1 比比 x2 较早达到正最大。较早达到正最大。超超前前比比振振动动振振动动121A2x1xtox2A1x1A2xtox2A落落后后比比振振动动振振动动12(5)振幅和初相位的确定振幅和初相位的确定由：由：)cos(tAxsin()vAt 初始条件：初始条件：000vv,xxt 时时，)1cos0 Ax sin0Av 写为：写为：）2sin0 Av 22020 vxA 00arctan()vx 联立联立1)和和2)式，得：式，得：b）仅由）仅由 中之一不能决定中之一不能决定 ，需由，需由 其中两个方程可求出。
9、其中两个方程可求出。cossintg,a）尚需满足尚需满足1）和）和 2）所决定的状态。）所决定的状态。注意注意例题例题9-1 单摆：质量单摆：质量m，摆长，摆长l，试分析单摆的运动规律，试分析单摆的运动规律。gmtF T解解：单摆受力如图所示。取逆时针方向为角位：单摆受力如图所示。取逆时针方向为角位移移的正方向，则重力沿摆球运动轨迹的切向的正方向，则重力沿摆球运动轨迹的切向分量为：分量为：sintm Fg0dd22 lgt sindd22gtl 若若 很小，则有：很小，则有：sin即：即：摆球的切向运动方程为：摆球的切向运动方程为：sinmgmaFtt 22ddddtlltvat 其中：其中
10、：lg 22lTg 单摆的周期：单摆的周期：)wtcos(00dd222 t 例题例题 一长为一长为 l 的均匀细棒悬于其一端的光滑水平轴上，做的均匀细棒悬于其一端的光滑水平轴上，做成一复摆。此摆作微小摆动的周期为多少？成一复摆。此摆作微小摆动的周期为多少？解：解：均匀细棒可看作刚体，分析所受力均匀细棒可看作刚体，分析所受力矩：取逆时针为正方向。矩：取逆时针为正方向。sin2lMmg Jmgl sin2很小，则：很小，则：02dd31222 lgtl即：即：023dd22 lgtlg232 glT3222 由转动定律：由转动定律：22ddtJ 222dd31tml Ogml所以是简谐振动，其周
11、期为：所以是简谐振动，其周期为：例题例题9-49-4 一质点作简谐振动，其振动一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。求此简谐振动的表达式。曲线如图所示。求此简谐振动的表达式。x/m0.040.04 O/st0.5解：解：质点作简谐振动，其振动方程及质点作简谐振动，其振动方程及速度表达式分别为速度表达式分别为 cos()xAt sin()vAt 由振动曲线可知由振动曲线可知 m0.04 A ss2 0.51 T 1rad s22 T 0t 00 x ，00v 时，时，由图可知，由图可知，即即0cos0 xA 0sin0vA 可以确定可以确定2 则该简谐振动的表达式为则该简谐振动的表达式为 m0.
12、04cos(2)()2xt 三、简谐振动的旋转矢量表示三、简谐振动的旋转矢量表示法法 振幅振幅A 作坐标轴作坐标轴 O x,自自O 点作一矢量点作一矢量 OM，用，用 表示表示。AAA t 时刻时刻 与与x 轴的夹角轴的夹角 相位相位 t+A以恒定角速度以恒定角速度 绕绕O 点作逆时针转动点作逆时针转动 角频率角频率A 在在t=0 时与时与x 轴的夹角轴的夹角 初相初相 A矢量矢量 的端点的端点M 在在x 轴上的投影点轴上的投影点P 的坐标为：的坐标为：A)cos(tAx所所P点的运动为简谐振动。点的运动为简谐振动。pAxoM 0 t tAP点的速度和加速度分别代表着简谐振动的速度和加速度。点
13、的速度和加速度分别代表着简谐振动的速度和加速度。0.010.02 Om/xs/t1 例题例题9-49-4、一作简谐振动的物体，其振动、一作简谐振动的物体，其振动曲线如图所示。试写出该振动的表达式。曲线如图所示。试写出该振动的表达式。cos()xAt 解：解：振动方程为振动方程为 由振动曲线可知，振幅为由振动曲线可知，振幅为 m0.02A t=0 时，时，m00.012Ax 且其初始速度且其初始速度00v ,作旋转矢量图。作旋转矢量图。0.01 可得其振动初相位为可得其振动初相位为3 xy0.02 O 又又 t=1s 时，时，0 x ，0v 由旋转矢量图可知：由旋转矢量图可知：s1()2tt 1
14、rad s5 6 m50.02cos()()63xt 则振动方程为：则振动方程为：例题例题9-5 一质点沿一质点沿x 轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅 A=0.12 m，周期，周期T=2 s，当，当 t=0 时，质点对平衡位置的位移时，质点对平衡位置的位移 x0=0.06m，此时向，此时向x 轴正向运动。求：轴正向运动。求：(1)此振动的表达式。此振动的表达式。(2)从初始时刻开始第从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间。一次通过平衡位置的时间。利用旋转矢量法求解，根据初始条件就可画出振幅矢量利用旋转矢量法求解，根据初始条件就可画出振幅矢量的初始位置，从而得到：的初始位置，从而得到：3 O
15、20Ax 0vx)cos(tAx 解解 (1)取平衡位置为坐标原点。取平衡位置为坐标原点。设振动方程为：设振动方程为：T20.12cos()3xt (2)由旋转矢量图可知，从起始时刻到第一次质点通过原由旋转矢量图可知，从起始时刻到第一次质点通过原点，旋转矢量转过的角度为：点，旋转矢量转过的角度为：A /t65 s830.2 t v0 0 时，时，在在3，4象限。象限。v0 0 时，时，在在1，4象限。象限。x0 0，根据旋，根据旋转矢量法得其初相位为转矢量法得其初相位为 02 AO0 x因此因此O点的振动方程为点的振动方程为 O02cos()0.01cos(200)2yAttT 所以其波函数为
16、所以其波函数为 0.01cos200()0.01cos200()(m)24002xxyttu (2)将将x=2m代入波函数，得到代入波函数，得到2m处质点的振动方程为处质点的振动方程为 230.01cos200()0.01cos(200)(m)40022ytt 解：解：(3)如果坐标原点设在如果坐标原点设在2m处，则原点振动方程为：处，则原点振动方程为：所以新坐标下的波函数为所以新坐标下的波函数为 330.01cos(200()0.01cos(200)222xyttxu 例题例题9-8、一平面简谐波以一平面简谐波以400m/s的波速沿的波速沿x轴轴正方向正方向传传播。已知坐标原点播。已知坐标原
17、点O处质元的振幅为处质元的振幅为0.01m，振动周期为，振动周期为0.01s，并且在，并且在t=0时刻，其正好经过平衡位置沿正方向运动。时刻，其正好经过平衡位置沿正方向运动。求：求：(1)波函数；波函数；(2)距原点距原点2m处的质点的振动方程；处的质点的振动方程；(3)若以若以2m处为坐标原点，写出波函数。处为坐标原点，写出波函数。30.01cos(200)(m)2yt 例题例题、有一平面简谐波沿、有一平面简谐波沿x方向传播，已知方向传播，已知P点的振动规律点的振动规律为为 ，在下列四种坐标选择下，写出，在下列四种坐标选择下，写出波函数波函数及及距距 P 点为点为 b 的的 A 点的振动方程
18、点的振动方程。cos()yAt xuy,O PAb(1)xPOlyub(2)A,O Pxbyu(3)AxlbuPyO(4)A2cos()yAtx 2cos()yAtx 解：解：四种情况下四种情况下A点的振动都比点的振动都比P点落后，根据相位差可点落后，根据相位差可写出它们对应的波函数：（此时写出它们对应的波函数：（此时A点为任意点，坐标为点为任意点，坐标为x）2cos()yAtxl 2cos()yAtlx xuy,O PAb(1)xPOlyub(2)A,O Pxbyu(3)AxlbuPyO(4)AP、A间距为间距为b时，四种情况下时，四种情况下A点的振动方程均为：点的振动方程均为：2cos()
19、yAtb A点相位比点相位比P点落后点落后2b 例题例题9-10、一平面简谐波在一平面简谐波在t=0时的波形如图时的波形如图(a)所示，在波线所示，在波线 上上x=1m 处质元处质元P的振动曲线如图的振动曲线如图(b)所示。求该平面简谐波的波所示。求该平面简谐波的波函数。函数。y/m0.02O12x/mP图图(a)0.02y/mOt/s0.10.2图图(b)解解:由图由图(a)可得可得m0.02A m2 由图由图(b)可得可得 s0.2T 210T 由图由图(b)可知可知P点处质元在点处质元在 t=0 时向下运动，因此波是沿时向下运动，因此波是沿x轴负方向传播的。则对于轴负方向传播的。则对于O
20、点处，点处，t=0 时：时：00y 00v 由旋转矢量法可得由旋转矢量法可得O处质元的初相为处质元的初相为:032 所以波函数为所以波函数为023cos()0.02cos(10)2yAtxtx 例题例题9-11、一平面简谐波在一平面简谐波在 t=1s 时的波形如图所示。若已知时的波形如图所示。若已知波的振幅波的振幅A、波速、波速u 和波长和波长，求：，求：(1)该简谐波的波函数；该简谐波的波函数；(2)P点处质点的振动方程。点处质点的振动方程。yOxPvu对于对于x=0处的质点，在处的质点，在 t=1s 时：时：0y 0v 0022cos(10)cos()0yAAT 02cos()yAtx 解
21、解：(1)由于波沿由于波沿x轴负方向传播，设波轴负方向传播，设波函数为函数为022T 由旋转矢量法：由旋转矢量法：022T 所以波函数为所以波函数为:22222cos()cos(1)22uyAtxAtxTT P2cos(1)2uyAt (2)将将 代入波函数，得代入波函数，得 P点处质点的振动方程为：点处质点的振动方程为：2x 五、五、波动方程波动方程 将平面简谐波的波函数将平面简谐波的波函数对时间对时间 t 和对和对x分别求二阶偏导数，有分别求二阶偏导数，有:0cos()xyAtu0(,)sin()y x txvyAttu 2202(,)cos()y x txayAttu 222022221
22、tyuuxtuAxy )(cos 222221yyxut 平面波波动方程平面波波动方程推广推广:2222222221xyzut任何物理量任何物理量 满足上式，则以波动形式传播。满足上式，则以波动形式传播。六、波的能量六、波的能量波的传播过程波的传播过程:(1)振动状态的传播振动状态的传播(相位相位)(2)能量的传播能量的传播取取AB段为研究对象段为研究对象为为弦的质量线密度弦的质量线密度(1)AB段的动能段的动能:221mvEk 2)(21tyx )(sin210222 uxtxA1、行波的能量行波的能量以弦上横波为例以弦上横波为例,其波函数为其波函数为:)(cos0 uxtAyXYOABx
23、y 22)()(yxl 212)(1/xyx )(211 2 xyxx很小很小代入上式代入上式,得得:2)(21xyxTEp2)(21xyxT 2)(21xyxT )(sin2102222 uxtuxAT)(sin210222 uxtxA利用了利用了 Tu (2)AB段的势能段的势能:弹性势能应为张力弹性势能应为张力T T在线元伸长的过程中所作的功在线元伸长的过程中所作的功,即即:XYOABx y)(xlTEp (3)总机械能总机械能:E pkEE )(sin0222 uxtxA(4)能量密度能量密度:(:(单位体积中的能量单位体积中的能量为质量密度为质量密度)VEw xSE )(sin022
24、2 uxtA(5)平均能量密度平均能量密度(对对t求平均求平均)T0wdtT1w TtuxtAT00222d)(sin1 2221 A(6)特点特点:pkEE 相位相位,大小均相同大小均相同(注意与振动能量相区别注意与振动能量相区别),t,xww)(若若x一定一定,)(tww 总机械能并非常量总机械能并非常量与弹簧振子能量不同与弹簧振子能量不同,t,xww)(若若t一定一定,)(xww 上图中上图中?哪哪个个大大与与bawwXY 极极大大 能量极小能量极小 极极小小abw为截面所在位置的能量密度所以，能流为为截面所在位置的能量密度所以，能流为)(sin222uxtASuwSutWP 显然能流是
25、随时间周期性变化的。但它总为正值显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值.2、波的能流密度与波的强度波的能流密度与波的强度(1)能流能流单位时间内垂直通过某一截面的能量称为单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通波通过该截面的能流，或叫能流通量。过该截面的能流，或叫能流通量。设波速为设波速为 u，在，在 时间内通过垂直于波速截面时间内通过垂直于波速截面 的能量的能量:wStuW S t S utu(2)平均能流平均能流:在一个周期内能流的平均值称为在一个周期内能流的平均值称为平均能流平均能流。wSuP 平均能流平均能流(3)能流密度能流密度:通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流通过垂直
26、于波动传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度，通常称为称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度能流密度或波的强度。uAwuSPI2221 换句话说，能流密度是单位时间内通过垂直于换句话说，能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。波速方向的单位截面的平均能量。声学中声强就是声学中声强就是上述定义之一例上述定义之一例能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。uAI2221 写成矢量式：写成矢量式：(4)波的吸收波的吸收 实际上，波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能实际上，波在媒质中传播时，媒质总要吸收一部分能量。吸收的能量转换为媒质
27、的内能和热。因此，波的振幅量。吸收的能量转换为媒质的内能和热。因此，波的振幅要减小、波的强度将减弱，这种现象称之为吸收。要减小、波的强度将减弱，这种现象称之为吸收。xeII 20 为吸收系数为吸收系数,取决于媒质和波的频率取决于媒质和波的频率(举例说明举例说明)9.6 波的叠加原理波的叠加原理 波的干涉波的干涉 一、一、波的叠加原理波的叠加原理 当几列波在媒质中传播时：当几列波在媒质中传播时：v 不论是否相遇，各列波仍将保持其原有的频率、波长、不论是否相遇，各列波仍将保持其原有的频率、波长、振动方向等特征继续沿原来的传播方向前进，不受其它振动方向等特征继续沿原来的传播方向前进，不受其它波的影响
28、。波的影响。v在几列波相遇处，质元的振动是各列波单独存在时对该在几列波相遇处，质元的振动是各列波单独存在时对该 质元所引起振动的合成。质元所引起振动的合成。波的叠加原理波的叠加原理波传播的独立性原理波传播的独立性原理注意注意波的叠加原理仅在弱波条件时成立，强冲击波波的叠加原理仅在弱波条件时成立，强冲击波 则不成立。则不成立。遵守叠加原理的波称为遵守叠加原理的波称为线性波线性波，否则称为，否则称为非线性波非线性波。二、二、波的干涉波的干涉 1、干涉现象干涉现象:在一定条件下，两波相遇，在媒质中某些位置在一定条件下，两波相遇，在媒质中某些位置 的点振幅的点振幅始终始终最大，另些位置振幅最大，另些位
29、置振幅始终始终最小，最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保 持不变，这种现象称为波的干涉现象。持不变，这种现象称为波的干涉现象。2、产生干涉的条件：产生干涉的条件：两波源两波源具有具有恒定的相位差。恒定的相位差。两波源的两波源的振动方向相同。振动方向相同。两波源具有两波源具有相同的频率。相同的频率。满足上述条件的称满足上述条件的称为为相干波相干波。3、干涉加强、减弱条件：干涉加强、减弱条件：设有两个频率相同的波源设有两个频率相同的波源S 1 和和S 2 1011010(,)cos()yStAt 2022020(,)cos()yStAt 2r1r1S2
30、Sp传播到传播到 P 点引起的振动为：点引起的振动为：1101012(,)cos()yp tAtr 2202022(,)cos()yp tAtr 在在 P 点的振动为点的振动为同方向同频率同方向同频率振动的合成。振动的合成。由叠加原理，由叠加原理，P 点合振动为：点合振动为：)cos(21 tAyyy其中：其中：22102010202cosAAAA A)(2)(121020rr 干涉加强干涉加强的条件的条件max1020AAAA 干涉减弱干涉减弱的条件的条件min1020|AAAA 当两波源的当两波源的初相位相同初相位相同时，相干条件可写为：时，相干条件可写为：为为波波程程差差。干涉加强干涉加
31、强干涉减弱干涉减弱,.,kkrr32102)(2)(121020 ,.,kkrr3210)12()(2)(121020 ,.,kkrr321012 ,.,kkrr321021212 )(例题例题9-12、如图所示，如图所示，S1和和S2是两相干波源，相距是两相干波源，相距1/4波波长，长，S1比比S2的相位超前的相位超前 。设两列波在。设两列波在S1、S2连线方向上的强连线方向上的强度相同且不随距离变化，问度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在连线上在S1外侧各点处的合外侧各点处的合成波的强度如何？又在成波的强度如何？又在S2外侧各点处的强度如何？外侧各点处的强度如何？/2 M2rN1r2
32、S1S2r1r4 解解：(1)S1外侧各点以任意外侧各点以任意点点M表示，两波在此相遇表示，两波在此相遇时的相位差为：时的相位差为：20102122()24rr 所以在所以在S1外侧各点的合振幅外侧各点的合振幅A=0，波的强度也为零。，波的强度也为零。(2)S2外侧各点以任意点外侧各点以任意点N表示，两波在此相遇时的相位差为：表示，两波在此相遇时的相位差为：20102122()()024rr 所以在所以在S2外侧各点的合振幅外侧各点的合振幅A=2A0，合振动强度，合振动强度:220044IAAI 为两波源单独存在时强度的为两波源单独存在时强度的4倍。倍。例题例题9-13、在同一媒质中相距为在同
33、一媒质中相距为20m 的两平面简谐波源的两平面简谐波源S1 和和S2 作同方向，同频率作同方向，同频率(=100Hz)的谐振动，振幅均为的谐振动，振幅均为A=0.05m，点，点S1 为波峰时，点为波峰时，点S2 恰为波谷，波速恰为波谷，波速u=200m/s。求：两波源连线上因干涉而静止的各点位置。求：两波源连线上因干涉而静止的各点位置。解解 选选S1 处为坐标原点处为坐标原点O，向右为，向右为x 轴正方向轴正方向,设点设点S1 的振的振动初相位为零动初相位为零,由已知条件可得波源由已知条件可得波源S1 和和S2 作简谐振动的运作简谐振动的运动方程分动方程分别为别为:1cos(2)yAt 2co
34、s(2)yAt S1 发出的向右传播的波的波函数为发出的向右传播的波的波函数为:1cos2()xyAt S2 发出的向左传播的波的波函数为发出的向左传播的波的波函数为:220cos2()xyAt x2S1SxPO 因干涉而静止的点的条件为因干涉而静止的点的条件为:202()2()(21)xxttk ,k210 化简上式化简上式,得得:102 kx(m)10 kx所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为:m191817321,x 将将 代入代入,可得可得:m2 u三、三、驻波驻波 （驻波是干涉的特例）驻波是干涉的特例）1、驻波驻波:两列振幅
35、相同，而传播方向相反的相干波，其合成两列振幅相同，而传播方向相反的相干波，其合成 波是波是驻波驻波。设有两列相干波，设有两列相干波，振幅相同振幅相同，初相皆为零，分别沿，初相皆为零，分别沿 x 轴正、负方向传播：轴正、负方向传播：)2cos(1xtAy )2cos(2xtAy 2、驻波的形成、驻波的形成:0 tx1yu0 tx2yu)2cos()2cos(21xtAxtAyyy 其合成波称为驻波，其表达式其合成波称为驻波，其表达式 ：txAy cos2cos2 整理可得：整理可得：驻波方程驻波方程 v 各点作频率相同、振幅不同的简谐振动各点作频率相同、振幅不同的简谐振动。v 振幅为振幅为 xA
36、2cos2随随x变化变化3、驻波的特征：、驻波的特征：（1）波节和波腹：波节和波腹：波节：振幅为零的点称为波节：振幅为零的点称为波节。波节。波腹：振幅最大的点称为波腹：振幅最大的点称为波腹。波腹。两相邻波节间的距离两相邻波节间的距离 /2。两相邻波腹间的距离两相邻波腹间的距离 /2。两相邻波节与波腹间的距离两相邻波节与波腹间的距离/4。122cos2cosxyyyAt 1|2cos|x 022|xcosA|2(21)2xk 的各点。的各点。即即:波节的位置为：波节的位置为：.2,1,04)12(kkx 2xk 的各点。的各点。即即:波腹的位置为：波腹的位置为：.2,1,02 kkx（应用）：可
37、用测量波腹间的距离，来确定波长。（应用）：可用测量波腹间的距离，来确定波长。（2）相位）相位：（3）波形：波形：2cos2cosxyAt 02cos x相位为相位为t 相位为相位为t 02cos x*在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向 最大或同时达到反向最小。速度方向相反。最大或同时达到反向最小。速度方向相反。结论：结论：*两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到 最大或同时达到最小。速度方向相同。最大或同时达到最小。速度方向相同。波形不传播。波形不传播。能量不传播能量不传播“驻驻”驻波表达式中不含驻波表达式
38、中不含 项，所以驻波不是行波。项，所以驻波不是行波。()xtu 分段振动分段振动 当一列波从当一列波从波疏媒质波疏媒质入射到入射到波密媒质波密媒质的界面时，反射波的界面时，反射波在反射点有在反射点有 的相位突变，等效于波多走或少走半个波长的相位突变，等效于波多走或少走半个波长的波程，这种现象称为的波程，这种现象称为半波损失。半波损失。弹性波：弹性波：u 较大的媒质称为较大的媒质称为波密媒质；波密媒质；较小的媒质称为较小的媒质称为波疏媒质。波疏媒质。波波疏疏媒质媒质波波密密媒质媒质形成的驻波在界面处是波腹。形成的驻波在界面处是波腹。无半波损失无半波损失无半波损失无半波损失 密密疏疏u u 波波疏
39、疏媒质媒质波波密密媒质媒质形成的驻波在界面处是波节。形成的驻波在界面处是波节。半波损失半波损失半波损失半波损失u u 密密疏疏四、四、半波损失半波损失 例题例题9-14 设入射波的波函数为设入射波的波函数为 ，在，在x=0处发生反射，反射点为一自由端，求：（处发生反射，反射点为一自由端，求：（1）反射波的波函数；）反射波的波函数；（2）合成波（驻波）的波函数，并由合成波的波函数说明哪些）合成波（驻波）的波函数，并由合成波的波函数说明哪些点是波腹，哪些点是波节？点是波腹，哪些点是波节？1cos2()txyAT 解解：（：（1）依题意，在依题意，在x=0处反射，因此入射波在反射点的处反射，因此入射
40、波在反射点的振动方程为振动方程为 1cos2tyAT 反射方向上任意一点反射方向上任意一点P比反射点落后相位比反射点落后相位 ，又由于无半波损失，因此反射波的波函数为又由于无半波损失，因此反射波的波函数为 2x 2cos2txyAT （2）合成波的波函数为合成波的波函数为 12222coscosyyyAxtT 显然，显然，那些点，振幅最大那些点，振幅最大(2A)，即波腹；，即波腹；2xk 的那些点，振幅最小的那些点，振幅最小(0)，是波节。，是波节。214xk 例题例题9-15 一列沿一列沿x轴正方向传播的入射波的波函数为轴正方向传播的入射波的波函数为 。该波。该波在距坐标原点在距坐标原点O为
41、为 x0=5处被处被一垂直面反射，如图，反射点为一波节。一垂直面反射，如图，反射点为一波节。cos()12txyAT 求：求：(1)反射波的波函数；反射波的波函数；(2)驻波的表达式；驻波的表达式；(3)原点原点O到到x0间各间各个波节和波腹的坐标。个波节和波腹的坐标。O入入射射波波反反射射波波x5 解解（1）从入射波的波函数可以）从入射波的波函数可以确定在原点的振动方程为确定在原点的振动方程为 102costyAT 反射波在反射波在O点的振动相位比入射波在点的振动相位比入射波在O点的振动相位要落后点的振动相位要落后 02222 521x 所以反射波在所以反射波在O点的振动方程为点的振动方程为
42、 2022cos21costtyAATT 据此可写出反射波的波函数据此可写出反射波的波函数O入入射射波波反反射射波波x5 22cos22 coscos2xyAtTutxtxAATT 反射波的波函数为：反射波的波函数为：（2）驻波表达式为）驻波表达式为=12cos2cos2222sinsintxtxyyyAATTxtAT （3）因为原点）因为原点O和和 x0=5处均为波节，鉴于相邻波节的间距处均为波节，鉴于相邻波节的间距为为/2，可知各波节点的坐标为，可知各波节点的坐标为 (0,1,2,.,10)2xkk 又两波节之间为一波腹，故波腹点的坐标为又两波节之间为一波腹，故波腹点的坐标为 (21)(0
43、,1,2,.,9)4xkk 9.7 9.7 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射波的衍射 一、一、惠更斯原理惠更斯原理 媒质中波动传播到达的各点都可以媒质中波动传播到达的各点都可以看作是发射子波的波源，在其后的任意看作是发射子波的波源，在其后的任意时刻，这些子波波面的包络（与所有子时刻，这些子波波面的包络（与所有子波的波前相切的曲面或曲线）就是新的波的波前相切的曲面或曲线）就是新的波前，这就是波前，这就是惠更斯原理惠更斯原理。球球 面面 波波平平 面面 波波惠更斯原理适用于任何形式的波动。惠更斯原理适用于任何形式的波动。波在传播过程中遇到障碍物波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘前时，能
44、够绕过障碍物的边缘前进，这种现象称为进，这种现象称为波的衍射波的衍射。二、二、波的衍射波的衍射 衍射现象是波动的重要特征之一。衍射现象是波动的重要特征之一。衍射现象显著与否，与衍射现象显著与否，与障碍物的大小有关。障碍物的大小有关。波的衍射波的衍射波长相同的水波通过宽度不同的窄缝波长相同的水波通过宽度不同的窄缝靠近狭缝的边缘处，波面靠近狭缝的边缘处，波面弯曲，波线改变了原来的弯曲，波线改变了原来的方向，即绕过了障碍物继方向，即绕过了障碍物继续前进。续前进。AB可用惠更斯原理定性解释波的衍射现象可用惠更斯原理定性解释波的衍射现象9.8 多普勒效应多普勒效应 一、多普勒效应一、多普勒效应 如果波源
45、或观察者或两者都相对于媒质运动，并且在二者如果波源或观察者或两者都相对于媒质运动，并且在二者连线方向上有相向或相反的运动分量时，则连线方向上有相向或相反的运动分量时，则观察者接收到的频观察者接收到的频率将不同于波源发出的频率率将不同于波源发出的频率，这种现象称为，这种现象称为多普勒效应多普勒效应。波源频率波源频率：单位时间内波源振动的次数或单位时间内：单位时间内波源振动的次数或单位时间内 发出的发出的 “完整波完整波”的数目。的数目。s 观察者接收到的频率：观察者接收到的频率：观察者在单位时间内接收到的观察者在单位时间内接收到的 “完整波完整波”的个数。的个数。R 波的频率：波的频率：单位时间
46、内通过媒质中某点的单位时间内通过媒质中某点的“完整波完整波”的的 数目。数目。首先区别下面三种频率首先区别下面三种频率:二、三种不同情况下频率的变化二、三种不同情况下频率的变化1、波源相对于媒质静止，观察者以速度、波源相对于媒质静止，观察者以速度VR 相对于媒质运动相对于媒质运动 观察者接收到的频率（单位时间内接收到完整波的个数）观察者接收到的频率（单位时间内接收到完整波的个数）:观察者以速度观察者以速度VR 接近接近波源波源S：波在媒质中传播时的波长为波在媒质中传播时的波长为 。单位时间内波相对于观察者传播的距离单位时间内波相对于观察者传播的距离:BPSP uRv波源不动：波的频率波源不动：
47、波的频率 等于波源的频率等于波源的频率 。s 表示波源相对于媒质的运动速度。表示波源相对于媒质的运动速度。表示观察者相对于媒质的运动速度。表示观察者相对于媒质的运动速度。表示媒质中的波速表示媒质中的波速u三种速度三种速度sVRVRVu uVu/u)Vu(VuRRRR 观察者以速度观察者以速度 VR 离开离开波源波源S：表明表明:观察者接收到的观察者接收到的频率提高频率提高。同理可得观察者接收到的频率：同理可得观察者接收到的频率：特例：特例：即观察者与波面同速运动，接收不到声波。即观察者与波面同速运动，接收不到声波。表明表明:观察者接收到的观察者接收到的频率降低频率降低。0R sRRuVu sR
48、RuVu 当当 时，时，uR 若若波源波源S 以速度以速度Vs 接近接近观察者：观察者：2、观察者静止，波源相对于媒质以速度、观察者静止，波源相对于媒质以速度 vs 运动运动波在媒质中的波长：波在媒质中的波长：波的频率为：波的频率为：S 0 suTSSv TSv Sv PSuTSv TS 波长波长:波传播时波传播时,在同一波线上在同一波线上 两个相邻的相位差为两个相邻的相位差为2 的质元之间的距离。的质元之间的距离。观察者静止：观察者接收到的频率观察者静止：观察者接收到的频率 等于波的频率等于波的频率 。R 波被挤压波被挤压ssssVuT)Vu(sSVuuu 若若波源波源S 以速度以速度vs
49、离开离开观察者，观察者，表明表明:观察者接收到的观察者接收到的频率升高频率升高。表明表明:观察者接收到的观察者接收到的频率降低频率降低。同理可得观察者接收到的频率：同理可得观察者接收到的频率：由于由于观察者不动，则观察者接收到的频率等于波的频率观察者不动，则观察者接收到的频率等于波的频率 ：ssRVuu ssRVuu 3、波源和观察者同时相对媒质运动：、波源和观察者同时相对媒质运动：当波源和观察者当波源和观察者相向运动相向运动时：时：观察者接受到的频率为：观察者接受到的频率为：当波源和观察者当波源和观察者彼此离开彼此离开时，时，观察者接受到的频率为：观察者接受到的频率为：Sv PSRv ssR
50、RVuVu ssRRVuVu ssRRVuVu 利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速、振动体的利用声波的多普勒效应可以测定流体的流速、振动体的 振动和潜艇的速度振动和潜艇的速度 用来报警和监测车速用来报警和监测车速 在医学上，如做超声心动、多普勒血流仪。在医学上，如做超声心动、多普勒血流仪。马赫波：当波源的速度马赫波：当波源的速度超过波的速度时，波源超过波的速度时，波源前方不可能有任何波动前方不可能有任何波动产生。如产生。如 冲击波冲击波。sv1SSusv多普勒效应的应用多普勒效应的应用 例题例题9-16 汽车汽车迎着一迎着一固定波源固定波源驶来时，波源向汽车发射频率驶来时，波源向汽车发射频
