1、第第2节节 梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度张元中张元中中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院物理场论物理场论第第1篇：物理场论基础篇：物理场论基础主要内容主要内容l1.曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分l2.哈密顿算子和哈密顿算子和 Dirac函数函数l3.梯度及其性质梯度及其性质l4.散度及其性质散度及其性质l5.旋度及其性质旋度及其性质l6.算子运算公式算子运算公式l1.曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分l曲线和曲面曲线和曲面空间是由点、线、面构成的，空间的不同性质表现空间是由点、线、面构成的，空间的不同性质表现为这些空间为这些空间线积分
2、线积分和和面积分面积分的不同的不同。物理场的性质就由所在的特殊空间线积分和面积分物理场的性质就由所在的特殊空间线积分和面积分来刻画，即由空间各点的来刻画，即由空间各点的梯度梯度、散度散度和和旋度旋度来描述。来描述。物体在物理场中运动，必然会与物理场发生相互作物体在物理场中运动，必然会与物理场发生相互作用；用；曲线积分曲线积分和和曲面积分曲面积分就是反映这种作用的积累和就是反映这种作用的积累和总量。总量。l曲线和曲面曲线和曲面简单曲线：是指这样的连续曲线，设其参数方简单曲线：是指这样的连续曲线，设其参数方程为，程为，)(),(),(tztytx曲线上的每一点都只对应唯一的参数值曲线上的每一点都只
3、对应唯一的参数值 ，在闭合曲线的情形下，其闭合点是例外。在闭合曲线的情形下，其闭合点是例外。t简单曲线是一条没有简单曲线是一条没有重点重点的的连续曲线连续曲线。l曲线和曲面曲线和曲面简单曲面：是指这样的连续曲面，设其参数方简单曲面：是指这样的连续曲面，设其参数方程为，程为，),(),(),(vuzvuyvux曲面上的每一点都只对应唯一对参数值曲面上的每一点都只对应唯一对参数值 ，在闭合曲面的情形下，其闭合点是例外。在闭合曲面的情形下，其闭合点是例外。),(vu简单曲面是一条没有简单曲面是一条没有重点重点的的连续曲面连续曲面。l曲线和曲面曲线和曲面有向曲面有向曲面：对于双侧的曲面，常常取其中的一
4、：对于双侧的曲面，常常取其中的一侧为曲面的正侧，另一侧为曲面的负侧；侧为曲面的正侧，另一侧为曲面的负侧；对于对于闭合曲面闭合曲面，习惯上取，习惯上取外侧外侧为为正侧正侧。规定了侧的曲面，叫做规定了侧的曲面，叫做有向曲面有向曲面，其方向，其方向用法用法向矢量向矢量来表示。来表示。对于有向曲面，规定其法矢对于有向曲面，规定其法矢 恒指向研究问题恒指向研究问题时所取的一侧。时所取的一侧。n有向曲线有向曲线：曲线的方向为参数：曲线的方向为参数 增大的方向。增大的方向。tl曲线和曲面曲线和曲面曲面分上侧和下侧曲面分上侧和下侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧法线指向有向曲面外侧法线指向有向曲面外侧nzoy
5、x)(tAMl有向曲线有向曲线l曲线和曲面曲线和曲面设设D为平面区域，如果为平面区域，如果D内任一闭曲线所围成内任一闭曲线所围成的部分都属于的部分都属于D，则称，则称D为平面单连通区域；否为平面单连通区域；否则称为复连通区域。则称为复连通区域。复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DDl曲线和曲面曲线和曲面设空间区域设空间区域G，如果，如果G内任一闭曲面所围成的内任一闭曲面所围成的区域全属于区域全属于G，则称，则称G是空间是空间二维单连通域二维单连通域。如果如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面，则称的曲面，则称G为空间为空间一维单连通区域一维单连通区
6、域。GGG一维单连通一维单连通二维单连通二维单连通一维单连通一维单连通二维不连通二维不连通一维不连通一维不连通二维单连通二维单连通l曲线积分曲线积分物体在物理场中运动，必然会与物理场发生相互物体在物理场中运动，必然会与物理场发生相互作用；曲线积分和曲面积分就是反映这种作用的积作用；曲线积分和曲面积分就是反映这种作用的积累和总量。累和总量。曲线积分可以分为两类：曲线积分可以分为两类：弧长曲线积分弧长曲线积分和和坐标曲坐标曲线积分线积分。质点在数量场中的运动，构成对弧长的曲线积分质点在数量场中的运动，构成对弧长的曲线积分（第第I型曲线积分型曲线积分）。）。质点在矢量场中的运动，构成对坐标的曲线积分
7、质点在矢量场中的运动，构成对坐标的曲线积分（第第II型曲线积分型曲线积分）。）。l曲线积分曲线积分nl),(iiiuL1lil定义：对曲线定义：对曲线 上的数量场上的数量场 作和式极限作和式极限：),(zyxuL 是把曲线是把曲线 分成分成为为 个弧长小段，第个弧长小段，第 段有，段有，nillll ,21Lni222212121)()()(iiiiiiiiiizyxzzyyxxlniiiilui10),(lim（1 1）且且 是在是在 内的一点。内的一点。),(iiiill曲线积分曲线积分式中式中 为积分的曲线路径；为积分的曲线路径；通常称为通常称为第第型型曲线曲线积分积分。LLdlzyxu
8、),(如果（如果（1）式极限存在，则把该极限称之为数量）式极限存在，则把该极限称之为数量场场 在曲线在曲线 上对弧长的曲线积分，记作上对弧长的曲线积分，记作),(zyxuL当当 为闭合曲线时，记作为闭合曲线时，记作LLdlzyxu),(l曲线积分曲线积分坐标曲线积分坐标曲线积分的主要对象是的主要对象是矢量场矢量场。niiiiillAi10),(lim定义：矢量场定义：矢量场 和曲线和曲线 ，若点积和，若点积和),(zyxAL的极限存在，称之为的极限存在，称之为有向有向曲线积分曲线积分，并记作，并记作nl),(iiiAL1lilLldzyxAW),(l曲线积分曲线积分进一步写出坐标分量的形式：进
9、一步写出坐标分量的形式：zzyyxxeAeAeAzyxAA),(zyxedzedyedxldLzyxdzAdyAdxAW)(称为对坐标称为对坐标 的曲线积分；也称为的曲线积分；也称为第第II型曲型曲线积分线积分；并不独立，受路径曲线并不独立，受路径曲线 约束。约束。zyx,zyx,Ll曲面积分曲面积分曲面积分也分为曲面积分也分为2 2类：类：面积曲面积分面积曲面积分，坐标曲面坐标曲面积分积分。),(zyxu 质点在数量场质点在数量场 中做曲线运动，就构中做曲线运动，就构成对面积的曲面积分。成对面积的曲面积分。oxyzD),(kkkyxk)(SiS 定义：将曲面定义：将曲面 剖分以后剖分以后其中
10、典型的第其中典型的第 块为块为 ，取和：取和：SiiSiniiiiSSuMi10),(lim（2 2）l曲面积分曲面积分SdSzyxu),(),(iii),(zyxu 是曲面上是曲面上 的一点，的一点，若式（若式（2 2）的极限存在，则称）的极限存在，则称为数量场为数量场 在曲面上在曲面上的面积曲面积分，也称为的面积曲面积分，也称为第第I型曲面积分型曲面积分。记作。记作iSSdSzyxu),(或或S在这种情况下数量场在这种情况下数量场 中的中的 并不独并不独立，受到曲面立，受到曲面 的约束。的约束。),(zyxuzyx,oxyzD),(kkkyxk)(SiSl曲面积分曲面积分坐标曲面积分坐标曲
11、面积分的对象是矢量场。典型的例子是的对象是矢量场。典型的例子是电位移矢量电位移矢量 穿过曲面穿过曲面 的的电通量电通量 。DS电通量电通量 是一个标量，但是它是一个标量，但是它 与与 和之间的和之间的相对关系密切。相对关系密切。DSSnSD规定规定 表示表示 的外法线，的外法线，即曲面的方向，当即曲面的方向，当 时通时通量穿过量穿过 最多；最多；无通量无通量穿过穿过 ，即，即 。SnnD/SnDS0l曲面积分曲面积分定义：空间矢量场定义：空间矢量场 在有向曲面上构在有向曲面上构成和式：成和式：),(zyxAASSdSnzyxASdzyxA),(),(niiiiiSSAi10),(limS其中其
12、中 处于处于 中的任一点，若上式的极限存中的任一点，若上式的极限存在，则称之为矢量场函数在，则称之为矢量场函数 对对 的有向的有向曲面积分。记作：曲面积分。记作：S),(iii),(zyxAASdSnzyxA),(l曲面积分曲面积分进一步用矢量表示为：进一步用矢量表示为：SzyxdSAAA)coscoscos(zzyyxxeAeAeAAdydzdS coszyxeeencoscoscos 分别表示外法向单位矢量在分别表示外法向单位矢量在 轴的轴的投影，则有：投影，则有：cos,cos,coszyx,dxdyzndS根据右图，有以下关系：根据右图，有以下关系：dxdzdS cosdxdydS c
13、oszyxedxdyedxdzedydzSdl有向曲面微分有向曲面微分：l曲面积分曲面积分最后得到：最后得到：SzyxdxdyAdxdzAdydzA)(),(zyxA为矢量函数为矢量函数 对坐标的曲面积分，也对坐标的曲面积分，也称为称为第第II型曲面积分型曲面积分。zyx,zyxAAA,S在上式中，被积函数在上式中，被积函数 中的中的 并不独立，并不独立，受曲面受曲面 的约束。的约束。0),(zyxf把一般的曲面方程改写为：把一般的曲面方程改写为：l曲面积分曲面积分则有：则有：zn 与与 轴正向成锐角时，上式右端取轴正向成锐角时，上式右端取 。),()(,(,yxDxxzyxfyxASzyxd
14、xdyAdxdzAdydzA)(dxdyyxfyxAyzyxfyxAzy),(,)(,(,zn 与与 轴正向成钝角时，上式右端取轴正向成钝角时，上式右端取 。上式将曲面积分简化为一般的二重积分。上式将曲面积分简化为一般的二重积分。l2.哈密顿算子和哈密顿算子和 Dirac函数函数l哈密顿算子哈密顿算子算子算子：一种对函数的运算符号。：一种对函数的运算符号。一个算子作用于一个函数以后可以按照一定的一个算子作用于一个函数以后可以按照一定的规则生成一个新的函数。规则生成一个新的函数。算子与函数的作用与算子的定义有关。算子的算子与函数的作用与算子的定义有关。算子的作用在于作用在于简化运算简化运算。比如
15、微分算子比如微分算子 ，不定积分算子，不定积分算子 ，拉普拉，拉普拉斯算子斯算子 ，偏微分算子，偏微分算子 等。等。Dfffxfl哈密顿算子哈密顿算子哈密顿（哈密顿（HamiltonHamilton）引进一个矢性微分算子，）引进一个矢性微分算子，zyxezeyex称为哈密顿算子或称为哈密顿算子或 算子。算子。算子本身并无意义，只是一种算子本身并无意义，只是一种微分运算符号微分运算符号，同时被看作是同时被看作是矢量矢量。算子在运算中具有算子在运算中具有矢量矢量和和微分微分的的双重性质双重性质，分别可与数量场和矢量场发生作用。分别可与数量场和矢量场发生作用。lDirac函数函数且满足归一性和选择性
16、：且满足归一性和选择性：0,0,0)(xxx定义：一维定义：一维 满足满足)(x1)(dxx)0()()(fdxxxfDirac函数代表一类脉冲函数代表一类脉冲函数，可以对应点电荷的函数，可以对应点电荷的密度等。密度等。l3.梯度及其性质梯度及其性质l坐标不变性坐标不变性物理场的性质就由所在的特殊空间线积分和面物理场的性质就由所在的特殊空间线积分和面积分来刻画，即由空间各点的积分来刻画，即由空间各点的梯度梯度、散度散度和和旋度旋度来描述。来描述。由于实际问题的几何结构不同，必然会选择不由于实际问题的几何结构不同，必然会选择不同的同的坐标系坐标系（场合）。（场合）。坐标不变性坐标不变性：坐标系可
17、以变化，但反映的物理：坐标系可以变化，但反映的物理本质和物理规律不变，即与坐标系的选择无关。本质和物理规律不变，即与坐标系的选择无关。l方向余弦方向余弦zyxelzelyelxl)()()(0M 数量场数量场 的变化空间取一点的变化空间取一点 ，它对，它对应应 ，讨论此时朝，讨论此时朝 方向的变化规律。方向的变化规律。),(zyxuu),(0000zyxuu l 任取一小段任取一小段 ：lzyxezeyexlylo0MM),(000zyxuxzllzlylxacos,cos,cos分别表示分别表示 在在 轴上的方向余弦，于是得到：轴上的方向余弦，于是得到：lzyx,zyxeeealcoscos
18、cosl方向导数方向导数MMMuMulu00)()(ylo0MM),(000zyxuxzl 以下将讨论数量场以下将讨论数量场 在在 方向的变化规律。方向的变化规律。lu 定义：定义：是数量场是数量场 中的一点，在中的一点，在 方方向上的动点向上的动点 ，记，记 ，当，当 时，有：时，有：0M)(Muu llMM0M0MM 的极限存在，则称此极限的极限存在，则称此极限为函数为函数 在在 处沿处沿 的的方方向导数向导数，记作，记作u0MloMlul方向导数方向导数表示为：表示为：l方向导数方向导数 是一个点是一个点 处沿方向处沿方向 ，函数，函数 对对距离的变化率。距离的变化率。lu0M)(MuM
19、MMuMuluMMMo00)()(lim0当当 时，函数时，函数 沿沿 方向就是增加的；方向就是增加的；0luul当当 时，函数时，函数 沿沿 方向就是减小的；方向就是减小的；0luul当当 时，时，方向即在数量场方向即在数量场 的等的等值面上。值面上。0lu),(zyxull方向导数方向导数 定理：若函数定理：若函数 在点在点 处可微；处可微；是是 方向的方向余弦，则函数方向的方向余弦，则函数 在点在点 处沿处沿 方向的方向导数必存在，且由如下公式给出：方向的方向导数必存在，且由如下公式给出：l）（0000,zyxMul),(zyxuu cos,cos,cos0Mcoscoscoszuyux
20、ulu其中其中 是在点是在点 处的偏导数。处的偏导数。zuyuxu,0Ml梯度梯度 方向导数给出了数量场在给定点处沿某个方方向导数给出了数量场在给定点处沿某个方向的变化率问题。向的变化率问题。然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向，然而从场中的给定点出发，有无穷多个方向，那个方向的变化率最大那个方向的变化率最大？最大的变化率又是多少呢？最大的变化率又是多少呢？这是这是科学技术科学技术中经常需要探讨的问题？中经常需要探讨的问题？l梯度梯度方向导数的计算公式为：方向导数的计算公式为：coscoscoszuyuxuluzyxeeelcoscoscoszyxezueyuexuG则方向导数表示为则方向导
21、数表示为 与与 的数量积：的数量积：lG),cos(lGGlGlul当当 与与 的方向一致时，即的方向一致时，即 时，方向时，方向导数取最大值。导数取最大值。G1),cos(lGl梯度梯度ugraduG 直角坐标系中的表达式为：直角坐标系中的表达式为：定义：若在数量场定义：若在数量场 中的一点中的一点 处，存在处，存在矢量矢量 ，其方向为，其方向为 在在 点处变化率最大的点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。则称矢量则称矢量 为函数为函数 在点在点 处的梯度，记作处的梯度，记作)(MuMG)(Mu)(MuMGMzyxezueyuexuu
22、l梯度梯度)max(luu梯度性质梯度性质1 1：梯度的大小是：梯度的大小是 点各种方向中点各种方向中最大的方向导数。最大的方向导数。0Mcos)(ululu梯度性质梯度性质2 2：数量场：数量场 在在 点处的梯度垂直于点处的梯度垂直于该点的等值面，且指向函数该点的等值面，且指向函数 增大的方向。增大的方向。)(Mu0M)(Mu梯度性质梯度性质3 3：梯度：梯度 的方向与的方向与 等值面的法等值面的法线重合，且指向线重合，且指向 增大的方向，大小是增大的方向，大小是 方向的方向的方向导数方向导数 。ngraduunuul梯度梯度梯度性质梯度性质4 4：梯度：梯度 的方向，即等值面的法的方向，即
23、等值面的法线，是线，是 变化最快的方向，变化最快的方向，是是 下降最快下降最快的方向。的方向。graduuugradu梯度性质梯度性质5 5：数量场：数量场 在在 方向的方向导数是方向的方向导数是梯度在该方向的投影。即：梯度在该方向的投影。即：)(Mullulu梯度的物理意义梯度的物理意义：标量场在空间变化最快的方：标量场在空间变化最快的方向和大小（向和大小（标量场非均质性的量度标量场非均质性的量度）。）。l4.散度及其性质散度及其性质l通量和源通量和源 miimAAAAA121假若：假若：定义：设有矢量场定义：设有矢量场 ，沿其中有向曲面，沿其中有向曲面 某某一侧的曲面积分：一侧的曲面积分：
24、S)(MASSnSdAdSAS为矢量场为矢量场 向积分所沿一侧穿过曲面向积分所沿一侧穿过曲面 的的通量通量。)(MA则有：则有：niiniSiSmiiSSdASdASdA111)(通量是可以叠加的。通量是可以叠加的。l通量和源通量和源在直角坐标系中：在直角坐标系中：dSnSd则通量在直角坐标系中表示为：则通量在直角坐标系中表示为：zyxezyxRezyxQezyxPA),(),(),(SSRdxdyQdxdzPdydzSdA)(zyxezndSeyndSexndS),cos(),cos(),cos(zyxedxdyedxdzedydzl通量和源通量和源通量的定义为：通量的定义为：SSnSdAd
25、SA通量是矢量场通量是矢量场 与有向曲面与有向曲面 之间的之间的数量数量作用。作用。AS通量从表面上看是矢量力线通量从表面上看是矢量力线 和和 之间的相互之间的相互作用；其实质是力线作用；其实质是力线背后背后的的源源（source）在起作在起作用，因为力线是源发出的。用，因为力线是源发出的。SA对闭合曲面对闭合曲面 的通量若不为零，则的通量若不为零，则 内部必然内部必然存在存在源源。SSl通量和源通量和源0当当 时，通量为正，其本质是曲面时，通量为正，其本质是曲面 内的内的正源正源（）所致。）所致。Sq对于对于 的情况，无法断定的情况，无法断定 内是否有源，内是否有源，因为有可能存在正源和负源
26、同时存在，二者相互因为有可能存在正源和负源同时存在，二者相互抵消而使通量为零的情况。抵消而使通量为零的情况。S00当当 时，通量为负，其本质是曲面时，通量为负，其本质是曲面 内的内的负源负源（）所致；有时也称为）所致；有时也称为“漏漏”。Sq-以上两种情况，称曲面以上两种情况，称曲面 内内有源有源。Sl通量和源通量和源源的物理意义要根据具体的源的物理意义要根据具体的物理场物理场而确定。而确定。在一般的矢量场在一般的矢量场 中，对于穿出封闭曲面中，对于穿出封闭曲面 的的通量通量 ，当其不为零时，视其为正负而说，当其不为零时，视其为正负而说 内有产内有产生通量的生通量的正源正源或或负源负源。)(M
27、ASS源与通量之间关系的源与通量之间关系的两个结论两个结论：F 闭合曲面内的通量与曲面的形状无关，只取决闭合曲面内的通量与曲面的形状无关，只取决于曲面内部的源。于曲面内部的源。F 通量与源在曲面内部的位置无关。通量与源在曲面内部的位置无关。l散度散度VSdAVS散度的定义：设有矢量场散度的定义：设有矢量场 ，在场中一点，在场中一点 的的某个领域内作一包含点某个领域内作一包含点 在内的任一闭曲面在内的任一闭曲面 ，其包围的空间区域为其包围的空间区域为 ，以，以 表示其体积，穿表示其体积，穿出出 的通量为的通量为 。当。当 以任意方式缩向以任意方式缩向 时，时，)(MASMMVSM的极限存在，称此
28、极限为矢量场的极限存在，称此极限为矢量场 在点在点 处处的散度，记作的散度，记作 （divergence），即），即:)(MAAdivMVSdAVAdivSMMlimliml散度散度散度散度 是一个数量。是一个数量。Adiv散度表示场中一点处通量对体积的变化率；表散度表示场中一点处通量对体积的变化率；表示该点处一个单位体积内穿出的通量，称为该点示该点处一个单位体积内穿出的通量，称为该点处处源的强度（源的强度（散度的物理意义散度的物理意义）。当当 之值不为零时，其符号为正或为负，表之值不为零时，其符号为正或为负，表示该点处示该点处散发通量散发通量的的正源正源或或吸收通量吸收通量的的负源负源。Ad
29、ivVSdAVAdivSMMlimliml散度散度绝对值绝对值 表示该点处散发通量或吸收通量表示该点处散发通量或吸收通量的强度。的强度。Adiv当当 之值为零时，表示该点处无源。之值为零时，表示该点处无源。Adiv0Adiv称称 的矢量场的矢量场 为为无源场无源场。AA把矢量场把矢量场 中每一点处的散度与场中之点一一中每一点处的散度与场中之点一一对应起来，得到一个数量场，称为由此矢量场产对应起来，得到一个数量场，称为由此矢量场产生的生的散度场散度场。散度是用一个散度是用一个数量场数量场来描述一个来描述一个矢量场矢量场。l散度散度定理：在定理：在直角坐标系直角坐标系中，矢量场中，矢量场zyxez
30、yxRezyxQezyxPA),(),(),(),(zyxM在任一点在任一点 处的散度为：处的散度为：zRyQxPAAdiv若在封闭曲面若在封闭曲面 内处处有内处处有 ，则，则0AS0SSdAl散度散度散度的性质散度的性质1：散度：散度 描述场内任一点描述场内任一点 邻邻域内函数的变化情况，是矢量场散发或吸收通域内函数的变化情况，是矢量场散发或吸收通量的量度。量的量度。MAdivAdivA散度的性质散度的性质2：散度：散度 是与矢量场是与矢量场 相联系相联系的一个标量场，即用标量场来描述矢量场。的一个标量场，即用标量场来描述矢量场。散度的性质散度的性质3：散度的定义与坐标系的选择无：散度的定义
31、与坐标系的选择无关。关。l5.旋度及其性质旋度及其性质l环量环量环量：设有矢量场环量：设有矢量场 ，沿场中某一封闭的有，沿场中某一封闭的有向曲线向曲线 的曲线积分的曲线积分l)(MA叫做矢量场按照积分所取方向沿曲线叫做矢量场按照积分所取方向沿曲线 的的环量环量。llAtdll dlldA在直角坐标系中，环量表示为：在直角坐标系中，环量表示为：llRdzQdyPdxldA)(l环量环量环量叠加定理环量叠加定理：若有多个矢量场：若有多个矢量场 ，且，且在同一个曲线在同一个曲线 内穿进（或穿出），则总的环量内穿进（或穿出），则总的环量满足叠加定理，满足叠加定理，nAAA,21 l niinililn
32、iildAldA111l1I2IiInI如果总环路内有多个如果总环路内有多个流流 ，则总环量，则总环量是流是流 的代数和。的代数和。),2,1(niIi niiI1l环量环量如果环量如果环量 为零，并不意味着环路内无为零，并不意味着环路内无流流，只，只能表明环路内流的能表明环路内流的代数和代数和为零。为零。环量表示环量表示流流贡献的宏观描述，无法从贡献的宏观描述，无法从微观层面微观层面上描述流的特性。上描述流的特性。Il闭合曲线内环量闭合曲线内环量 与与曲线形状曲线形状无关；与流在曲无关；与流在曲线内的线内的位置位置无关，只取决于穿过曲线无关，只取决于穿过曲线 的流的流 。l环量面密度环量面密
33、度环量只能描场中述以环量只能描场中述以 为边界的一块曲面为边界的一块曲面 内内总的总的流流（电流强度电流强度）；不能反映场中任意一点处）；不能反映场中任意一点处通向任意方向通向任意方向 的的流的密度流的密度（电流密度电流密度）。）。Sln流密度流密度：矢量场中：矢量场中 点处沿任一方向点处沿任一方向 ，通过，通过与与 垂直的单位面积的流（垂直的单位面积的流（电流强度电流强度）。）。Mnn引入引入环量面密度环量面密度的概念。的概念。l环量面密度环量面密度MlSn环量面密度环量面密度：设：设 为矢量场为矢量场 中的一点，在该中的一点，在该点处取定一个方向点处取定一个方向 ，过该点做一微小曲面，过该
34、点做一微小曲面 ，以以 为其法矢；以为其法矢；以 表示其表面积，其边界表示其表面积，其边界 的的正向取作与正向取作与 构成右手螺旋关系；矢量场沿构成右手螺旋关系；矢量场沿 之之正向的环量正向的环量 与面积与面积 的比值的比值 的极限存在，的极限存在，则称其为矢量场则称其为矢量场 在点在点 处沿方向处沿方向 的的环量面密环量面密度度。记作。记作 ，即，即MnASnlSSnlS/nAMnSldASlMSMSnlimliml环量面密度环量面密度环量面密度的计算公式为，环量面密度的计算公式为，cos)(cos)(cos)(yPxQxRzPzQyRn可以视为两个矢量的点积，分别是，可以视为两个矢量的点积
35、，分别是，kyPxQjxRzPizQyRR)()()(kjincoscoscos 为给定点处的一固定矢量。为给定点处的一固定矢量。为方向为方向 的单位矢量。的单位矢量。nnRl环量面密度环量面密度环量面密度的计算公式可以表示为：环量面密度的计算公式可以表示为：)cos(nRRnRn在给定点处，在给定点处，在任一方向在任一方向 上的投影，就是该上的投影，就是该方向上的环量面密度。方向上的环量面密度。nR 的方向是的方向是环量面密度环量面密度最大的方向，模为最大最大的方向，模为最大的环量面密度。的环量面密度。R 叫做矢量场叫做矢量场 的的旋度旋度。RAl旋度旋度ArotR旋度旋度的定义：若在矢量场
36、的定义：若在矢量场 中的一点中的一点 处存在处存在一个矢量一个矢量 ，矢量场，矢量场 在点在点 处沿其方向的环量处沿其方向的环量面密度为最大，最大值为面密度为最大，最大值为 ，则称矢量，则称矢量 为矢量为矢量场场 在点在点 处的处的旋度旋度(rotation)，记作，记作 ，即，即ARMArotAAMMRR旋度矢量在数值和方向上给定最大的环量面密旋度矢量在数值和方向上给定最大的环量面密度的大小和方向。度的大小和方向。旋度的定义与坐标系选择无关。旋度的定义与坐标系选择无关。l旋度旋度旋度在直角坐标系中的表达式为：旋度在直角坐标系中的表达式为：zyxeyPxQexRzPezQyRAArotR)()
37、()(用行列式表示为：用行列式表示为：RQPzyxkjiAArotRl旋度旋度旋度的性质旋度的性质1 1：旋度是与矢量场相关的一个矢：旋度是与矢量场相关的一个矢量场，量场，即用矢量场来描述矢量场即用矢量场来描述矢量场。M旋度的性质旋度的性质2 2：旋度：旋度 描述场内任一点描述场内任一点 邻邻域内，矢量函数的变化情况，是域内，矢量函数的变化情况，是矢量场非均匀性矢量场非均匀性的一种量度（的一种量度（旋度的物理意义旋度的物理意义）。）。Arot旋度的性质旋度的性质3 3：旋度：旋度 矢量在任一方向矢量在任一方向 上的上的投影等于该方向上的环量面密度投影等于该方向上的环量面密度 。Arotl0)(
38、lArotun旋度的性质旋度的性质4 4：旋度：旋度 矢量的模是最大环量面矢量的模是最大环量面密度。密度。Arotl6.算子运算公式算子运算公式l算子运算规则算子运算规则哈密顿算子哈密顿算子 是描述是描述场与空间相互作用场与空间相互作用的的统一统一工具工具。哈密顿算子哈密顿算子 和梯度、散度和旋度共同构成物和梯度、散度和旋度共同构成物理场描述的完备体系。理场描述的完备体系。算子的运算规则（与场的算子的运算规则（与场的数性数性和和矢性矢性作用）作用）主要包括主要包括4 4种运算：种运算：),(zyxu1 1）与数量场）与数量场 的相互作用的相互作用梯度算子梯度算子zyxezueyuexugrad
39、uul算子运算规则算子运算规则)()(zzyyxxzyxeAeAeAezeyexAzAyAxAzyxAdiv),(zyxA2 2）与矢量场）与矢量场 的数性作用的数性作用散度算子散度算子),(zyxA3 3）与矢量场）与矢量场 的矢性作用的矢性作用旋度算子旋度算子)()(zzyyxxzyxeAeAeAezeyexAzxyyzxxyzeyAxAexAzAezAyA)()()(Arotl算子运算规则算子运算规则24 4）数性算子）数性算子 拉普拉斯算子拉普拉斯算子2)()(zyxzyxezeyexezeyex222222zyx拉普拉斯算子既可以与拉普拉斯算子既可以与数量场数量场作用，也可以与作用，
40、也可以与矢量场矢量场作用。作用。uzuyuxuu2222222AzAyAxAA2222222数量场数量场u矢量场矢量场Al算子运算规则算子运算规则场（场（原场原场）与）与 算子相互作用的结果，产生一算子相互作用的结果，产生一个新的场（个新的场（算子场算子场）。）。原场原场算子场算子场数量场数量场u矢量场矢量场Au 对应矢量场对应矢量场u2 对应数量场对应数量场A 对应数量场对应数量场A 对应矢量场对应矢量场A2 对应矢量场对应矢量场l算子运算规则算子运算规则 算子的显著特点在于它的算子的显著特点在于它的双重性双重性，既是一个，既是一个算子，又是一个矢量，但首先是一个算子，因此算子，又是一个矢量
41、，但首先是一个算子，因此与矢量的运算法则与矢量的运算法则略有不同略有不同。矢量的点积可以交换，但矢量的点积可以交换，但 算子和场的点积不算子和场的点积不能交换。能交换。ABBA矢量的叉积可以反交换，但矢量的叉积可以反交换，但 算子和场的叉积算子和场的叉积不能交换。不能交换。AAABBAAAl算子运算规则算子运算规则AuAuAu 算子如果作用两个场，则它算子如果作用两个场，则它对两个场分别起对两个场分别起作用作用。算子与两个数量场算子与两个数量场 的作用。的作用。vu,)()()(vuvuuvA 算子与一个数量场算子与一个数量场 和一个矢量场和一个矢量场 的作用。的作用。uAuAuAucucu
42、为常矢。为常矢。ccucu 为常矢。为常矢。cl算子运算规则算子运算规则ABABBABABA)()()()()(A 算子与矢量场算子与矢量场 和和 的作用。的作用。B)()()(BAABBA)()()()()(BAABBAABBAAAA)()(l算子运算规则算子运算规则)(zyxzzyyxxezeyexeAeAeAA数性微分算子数性微分算子zAyAxAzyx既可以与数量场作用，也可以与矢量场作用。既可以与数量场作用，也可以与矢量场作用。zuAyuAxuAuAzyx)(数量场数量场u矢量场矢量场BzBAyBAxBABAzyx)(l梯度运算公式梯度运算公式(1)C为常数为常数0c(2)C为常数为常
43、数uccu(3)vuvu)(4)uvvuuv)(5)(1)(2vuuvvvu(6)uufuf)()(7)vvfuufvuf),(l散度运算公式散度运算公式（1）（为常数）为常数）cAcAc)(（2）BABA)(（3）（为数性函数）为数性函数）uAuAuAul旋度运算公式旋度运算公式（1）（为常数）为常数）cAcAc)(（2）BABA)(（3）（为数性函数）为数性函数）uAuAuAu（4）BAABBA)(（5）0)(u（6）0)(Al位置矢量位置矢量rrrr位矢（位置矢量）位矢（位置矢量）,zyxezeyexrrr3r0rrrfrrrfrf)()()(0)(rrf（）0)(3rr0r231rrrrrara)(（为常矢）为常矢）aarrarar)(（为常矢）为常矢）aarrarar）（)(（为常矢）为常矢）al距离矢量距离矢量RRR3R0RReRfRfRf)()()(2311RRRRRRzyxezzeyyexxrrR)()()(RRrrrrRReRR)()(2)()(2 2RfRfRRfRf)(4)1(2RR
