1、第第7章章 数字控制系统的离散化设计数字控制系统的离散化设计状态空间法状态空间法7.1 引言引言 状态空间法设计系统是基于系统内部模型的一类设计方状态空间法设计系统是基于系统内部模型的一类设计方法。法。本章讨论如下几方面问题：本章讨论如下几方面问题：系统的能控性与能观测性，采样周期与能控性、能观测性；系统的能控性与能观测性，采样周期与能控性、能观测性；状态反馈极点配置调节系统设计、有输入的系统设计；状态反馈极点配置调节系统设计、有输入的系统设计；状态观测器设计。对于不是所有状态均能直接量测的系统，状态观测器设计。对于不是所有状态均能直接量测的系统，观测器是实现状态反馈必须的环节。观测器是实现状
2、态反馈必须的环节。7.2 能控性与能观测性能控性与能观测性7.2.1 能控性（能控性（controllability）系统能控性定义：如能找到一个控制序列系统能控性定义：如能找到一个控制序列u(k)，使得在有，使得在有限个采样周期内，系统能由任意初始状态，到达某一任意状限个采样周期内，系统能由任意初始状态，到达某一任意状态，则称系统（态，则称系统（A,B）是状态完全能控的，系统具有能控性。）是状态完全能控的，系统具有能控性。)()()()()1(kCxkykBukAxkx已已知知系系统统离离散散状状态态方方程程 能控性与能观测性是能控性与能观测性是20世纪世纪60年代由年代由Kalman提出并
3、予提出并予以解决的动力学系统的两个基本问题，在现代控制理论中以解决的动力学系统的两个基本问题，在现代控制理论中占有重要的地位。占有重要的地位。)1()1()0()0()()1()1()0()0()()0(),(2121nuuuBBABAxAnxnBuBuABuAxAnxxnBAnnnnnn，则则由由递递推推法法，初初始始状状态态为为的的阶阶次次为为设设系系统统nBBABArankBBABAnnnn :2121即即满满秩秩，系系统统的的能能控控性性矩矩阵阵系系统统能能控控的的充充要要条条件件是是。的的秩秩必必须须为为状状态态都都能能存存在在，无无论论式式左左边边取取任任何何为为了了使使控控制制序
4、序列列nBBABAnuuunn)1(,),1(),0(21 空空间间。有有约约束束，则则存存在在能能控控子子若若系系统统对对控控制制向向量量)(ku例例7-2-1 已知系统，分析能控性，已知系统，分析能控性，T=1s。)(10)()(368.0632.0)(1632.00368.0)1(2541,)1(1)(kxkykukxkxsTsssG离离散散状状态态方方程程为为得得其其，由由例例解解：已已知知ZOH11 ss1)(*tu)(tu)(1tx)()(2tytx，所所以以系系统统能能控控。，其其秩秩为为2368.0767.0632.02326.0 BAB )1()0()0()0()0(00)2
5、()(2121uuBABAxxxxnx设设目目标标状状态态为为原原点点，即即1)(ku例例7-2-2 若控制量限制为若控制量限制为 ，对，对7-2-1系统做进一步分析。系统做进一步分析。)1()0()0()2(,22BuABuxAxn 有有解解：系系统统若控制量若控制量u(0)、u(1)无限制，则无论初始状态无限制，则无论初始状态x(0)位于二维位于二维空间何处，只要有相应的空间何处，只要有相应的u(0)、u(1)作用于系统，经两个采作用于系统，经两个采样周期，系统就可回到原点。样周期，系统就可回到原点。671.3671.4:,718.0718.1:)1()0()0(221121BAwBAwu
6、wuwx式中式中1x2x若控制量有限制，则系统存在可控子若控制量有限制，则系统存在可控子空间。如在本例中，空间。如在本例中，|u(k)|1,则系统初则系统初始状态始状态x(0)只有位于只有位于w1、w2两矢量构成两矢量构成的平行四边形区域之内时，系统状态的平行四边形区域之内时，系统状态才能经两步控制回到原点。才能经两步控制回到原点。例例7-2-4 已知系统状态方程，分析其能控性。已知系统状态方程，分析其能控性。)(5.01)(025.011)1(kukxkx 的的。系系统统状状态态不不是是完完全全能能控控解解：1)(,25.05.05.01ABBrankABB)1(24)0(12)0(0)2(
7、)(uuxxnx ，则可求得，则可求得设设 可可能能经经两两步步回回到到原原点点。（一一条条直直线线）上上，才才有有所所在在的的子子空空间间在在向向量量可可见见只只有有系系统统初初始始状状态态12)0(x)1(2)0(25.05.0)1()0()0()2(0)0(2uuBuABuxAxx ，反之，若反之，若条条直直线线上上。间间上上，也也就就是是只只能能在在一一所所在在的的子子空空到到达达向向量量可可见见从从原原点点出出发发，只只能能T25.05.0 7.2.2 能观测性能观测性(observability)性性。的的，称称系系统统具具有有能能观观测测，则则系系统统为为完完全全能能观观测测始始
8、状状态态能能唯唯一一地地确确定定系系统统的的初初，观观测测：内内，对对系系统统的的输输出出进进行行期期开开始始，在在有有限限个个采采样样周周采采样样点点定定义义：如如果果系系统统从从任任意意)0()1(,),1(),(xniyiyiyiT nCACACrankCACACnn 11满满秩秩，即即系系统统能能观观测测性性矩矩阵阵：系系统统能能观观的的充充要要条条件件是是系系统统完完全全能能观观。解解 21632.010CACrankCAC例例7-2-5 分析分析7-2-1系统的能观测性。系统的能观测性。7.2.3 输出能控性输出能控性 为为输输出出向向量量的的维维数数。，输输出出能能控控性性的的条
9、条件件是是：推推出出和和系系统统能能控控性性定定义义，可可由由输输出出方方程程：ppBCACABCBrankkCxkyn 1)()(能能控控性性）来来研研究究。其其对对偶偶系系统统的的能能观观性性（助助于于控控性性（能能观观性性），可可借借那那么么一一个个系系统统的的状状态态能能7.2.4 对偶原理对偶原理(duality principle)()()()()1()()()()()1(2211kvBkwkuCkvAkvSkCxkykBukAxkxSTTT：系系统统：系系统统为为对对偶偶原原理理。的的能能控控性性矩矩阵阵相相同同，此此的的能能观观测测性性矩矩阵阵与与系系统统系系统统的的能能观观测
10、测性性矩矩阵阵相相同同，统统的的能能控控性性矩矩阵阵与与系系互互为为对对偶偶系系统统，系系统统与与系系统统系系统统212121SSSSSS 连续系统离散化，其系数矩阵连续系统离散化，其系数矩阵A、B均与采样周期均与采样周期T有关，有关，即使连续系统能观能控，采样后的离散系统的能控能观性也即使连续系统能观能控，采样后的离散系统的能控能观性也不一定能保证，取决于采样周期不一定能保证，取决于采样周期T。7.2.5 采样周期与能控性、能观测性采样周期与能控性、能观测性例例7-2-7 分析如下连续系统及其离散时间系统的能控性、能分析如下连续系统及其离散时间系统的能控性、能观测性。观测性。)(01)()(
11、)(0)(00)()()(txtCxtytutxtGUtFxtx 系系统统能能控控。，秩秩为为：连连续续系系统统能能控控性性矩矩阵阵的的解解：2002 rankFGGrank系统能观。系统能观。，能观测性矩阵的秩为：能观测性矩阵的秩为：2001 rankCFCrank )(01)()()(sincos1)(cossinsincos)()()1(kxkCxkykuttkxttttkBukAxkx 连续系统离散化后：连续系统离散化后：ttCACttttttttABB sincos01cossin2sinsinsincoscoscos122能能观观测测性性矩矩阵阵能能控控性性矩矩阵阵控控性性与与能能
12、观观测测性性。时时，离离散散系系统统不不具具有有能能当当 nT 7.3 状态反馈极点配置调节系统设计状态反馈极点配置调节系统设计 调节系统的设计，是在系统初始状态调节系统的设计，是在系统初始状态x(0)0，系统输入，系统输入为为r(t)=0的情况下，设计控制器。本节是在假设系统的全部的情况下，设计控制器。本节是在假设系统的全部状态变量均可直接测量的前提下进行系统设计的。状态变量均可直接测量的前提下进行系统设计的。7.3.1 设计准则设计准则 通过状态反馈阵的选择，使闭环系统极点处于所希望的通过状态反馈阵的选择，使闭环系统极点处于所希望的一组位置上。系统通过状态反馈能够任意配置极点的充分必一组位
13、置上。系统通过状态反馈能够任意配置极点的充分必要条件是，系统具有能控性。要条件是，系统具有能控性。xy图图7-3-1 具有状态反馈的闭环调节系统具有状态反馈的闭环调节系统r=0 u_A,BLCZOH输输出出方方程程状状态态反反馈馈方方程程状状态态方方程程状状态态反反馈馈阵阵 )()()()()()()1(kCxkyLkLxkukBukAxkx 系统设计就是确定状态反馈阵系统设计就是确定状态反馈阵L，使闭环极点位于所要，使闭环极点位于所要求的位置上。可由闭环系统特征方程求求的位置上。可由闭环系统特征方程求L。由于系数矩阵由于系数矩阵A、B均与均与采样周期采样周期T 有关，因此有关，因此L也与也与
14、采样周期采样周期T有关。有关。0)()()1(BLAzIkxBLAkx闭闭环环系系统统特特征征方方程程为为例例7-3-1 已知连续对象特性，用状态反馈设计调节系统。已知连续对象特性，用状态反馈设计调节系统。)(10)()(11)(110)1(254)1(1)(kxkykueTekxeekxsssGTTTT求求出出：象象状状态态空空间间表表达达式式由由例例带带零零阶阶保保持持器器的的连连续续对对解解：)()()()(2211kxLkxLkLxku 设状态反馈为：设状态反馈为：0)1()1()1()1()1(011010002121221 TTTTTTTTTTTeLTeeLezeLeTLezLLe
15、Teeezz：则闭环系统特征方程为则闭环系统特征方程为)1137(0)(,2121221221 ppzppzazazpp则则希希望望的的特特征征方方程程为为、设设所所需需配配置置的的极极点点为为 22211212)1()1()1()1()1237()1(1TTTTTTTeTTeeeTaTeeaLeTaaL 。对对应应，点点为为：特特性性，则则所所需需配配置置的的极极之之连连续续系系统统，若若希希望望得得到到类类似似于于TnTTjTnnnnneaTeaep 222112,11cos215.02。，可求得：可求得：。代入（。代入（，求得：，求得：次，若取次，若取采样次数采样次数一周期一周期响应特性
16、联系起来，每响应特性联系起来，每选择采样周期，与闭环选择采样周期，与闭环921.0385.0)1237368.0786.011682121 LLaasTN7.3.2 有限拍控制系统设计有限拍控制系统设计 如果由状态反馈配置的希望极点全部位于原点，对于如果由状态反馈配置的希望极点全部位于原点，对于n阶系统，闭环特征方程为：阶系统，闭环特征方程为：zn=0。其物理意义为：若系统初。其物理意义为：若系统初始状态始状态x(0)0，则经，则经n步，就能将全部状态驱动至零。步，就能将全部状态驱动至零。22122121)1(1)1(1)1237(00)1137(TTTTeTTeeLeTLaapp，求求得得代
17、代入入式式，则则可可知知，若若解解：由由式式 ，时时，当当。，代代入入上上式式，可可得得设设3210005924.01)(00825.0825.2)(11)0(582.1243.1121 kkykuxLLsTT例例7-3-2 例例7-3-1对象之有限拍系统设计。对象之有限拍系统设计。7.3.3 采样周期与状态反馈采样周期与状态反馈 状态反馈阵状态反馈阵L与采样周期有关，随着采样周期之减少，与采样周期有关，随着采样周期之减少，将使控制信号最大值增大，可能超出执行机构的线性范围，将使控制信号最大值增大，可能超出执行机构的线性范围，这是实际系统中不希望的。因此确定采样周期的下限，应这是实际系统中不希
18、望的。因此确定采样周期的下限，应考虑执行机构之线性工作范围及实时性。考虑执行机构之线性工作范围及实时性。图图7-3-4 系统状态及调节器输出（系统状态及调节器输出（L1=1.243、L2=1.582）7.4 状态观测器设计状态观测器设计 系统在所有状态均能直接量测的前提下，状态反馈可以系统在所有状态均能直接量测的前提下，状态反馈可以任意配置极点。在实际系统中，状态变量往往不能完全测量，任意配置极点。在实际系统中，状态变量往往不能完全测量，需要由状态观测器来重构状态，得到状态变量的估计，以便需要由状态观测器来重构状态，得到状态变量的估计，以便实现状态反馈。本节介绍几种状态观测器的设计。实现状态反
19、馈。本节介绍几种状态观测器的设计。7.4.1 闭环全阶观测器闭环全阶观测器或或称称状状态态变变量量的的估估计计。为为重重构构的的状状态态，式式中中，建建立立开开环环状状态态观观测测器器表表达达式式被被控控对对象象离离散散状状态态空空间间)()()()()()1()()()()()1(kxkxCkykBukxAkxkCxkykBukAxkx 才才会会收收敛敛于于零零。只只有有对对象象是是稳稳定定的的，若若二二者者初初始始状状态态不不同同设设重重构构误误差差：)()()()(kxkxkxkx 鉴于上述不足，构造闭环观测器，使其具有要求的动态鉴于上述不足，构造闭环观测器，使其具有要求的动态特性。特性
20、。1.预估观测器预估观测器 )()()()()1()()(kykyKkBukxAkxkyky 成成闭闭环环观观测测器器：之之差差作作为为反反馈馈，构构输输出出与与估估计计由由实实测测输输出出 )()()()()1()()()()()1()()(kKykBukxKCAkxkxCkyKkBukxAkxkxCky 代代入入上上式式，可可得得将将输输出出方方程程)()()()()()()()()()()()()()()1()1()1(kxKCAkKCxkBukxKCAkBukAxkKykBukxKCAkBukAxkxkxkx 重构误差为：重构误差为：迅迅速速收收敛敛于于零零。平平面面相相应应的的位位置
21、置，使使测测器器的的极极点点，位位于于的的特特征征值值，也也即即观观，使使特特征征方方程程是是选选择择况况下下，设设计计观观测测器器，就就。在在对对象象特特性性确确定定的的情情、矩矩阵阵之之动动态态特特性性取取决决于于系系数数可可见见，状状态态重重构构误误差差)(0)(kxZKCAzIKKCAkx 当且仅当当且仅当A,C完全能观测时，可任意选择完全能观测时，可任意选择K，使观测器具，使观测器具有所要求的极点。有所要求的极点。此观测器由输入和输出的量测值生成了系统的状态，之此观测器由输入和输出的量测值生成了系统的状态，之所以称为预估观测器，是因为第所以称为预估观测器，是因为第k个采样点的输出个采
22、样点的输出y(k)，重构，重构第第k+1个采样点的状态个采样点的状态 。)1(kx2.现行观测器现行观测器 )()()1()1()1()1()1()1()()()1(kxCkykykyKkxkxkxCkykBukxAkx则则对其进行改进，设对其进行改进，设上述观测器具有时延，上述观测器具有时延，)()1()()1()()()1()()()()()()()1()()()1(kKykuKCBBkxKCAAkxkKykuKCBBkxKCAAkCBukxCAkyKkBukxAkx 或或)1()()(kxKCAAkx重构误差为：重构误差为：可见第可见第k个采样周期重构的状态，是由本周期的输出估计的。个采
23、样周期重构的状态，是由本周期的输出估计的。若若A,C能观测，则能观测，则A,CA也能观测，可任意选择也能观测，可任意选择K，使观，使观测器具有所要求的极点，以使状态重构误差尽快收敛于零。测器具有所要求的极点，以使状态重构误差尽快收敛于零。7.4.2 降阶观测器降阶观测器 有些可以直接测量的状态变量，可不必重构，以减少计有些可以直接测量的状态变量，可不必重构，以减少计算量，为此设计阶数低于对象阶数的降阶观测器。算量，为此设计阶数低于对象阶数的降阶观测器。1.降阶观测器之一降阶观测器之一 对象的状态变量可分为可直接观测的对象的状态变量可分为可直接观测的xa(k)与需重构的与需重构的xb(k)两部分
24、，则状态空间描述可表示为：两部分，则状态空间描述可表示为：)()()()()()()1()1()1(kxkxCCkykuBBkxkxAAAAkxkxkxbababababbbaabaaba可可以以认认为为是是已已知知的的。式式中中，成成如如下下的的形形式式：）为为需需重重构构的的状状态态，写写其其中中，)()()()()()1()()()()1()()()()1(kuBkxAkuBkxAkxAkxkxkuBkxAkxAkxkuBkxAkxAkxbababababbbbbbbbbababababaaaa )1()()()()()()()1(1.4.7 kKxkuKBBkxKAAkxKAAkxaa
25、baaabababbbb测测器器：的的形形式式建建立立预预估估降降阶阶观观按按照照)1()()()()()()()1()()(01 kKykuKBBkyKAAkxKAAkxkxkyCCabaabababbbbaba式式描描述述：此此时时降降阶阶观观测测器器可可用用下下，则则，若若0 abbbKAAzI其特征方程为：其特征方程为：由上式可知，由预估全阶观测器推导出的降阶观测器，由上式可知，由预估全阶观测器推导出的降阶观测器，与其不同的是，重构的状态变量，需由本时刻与前一时刻输与其不同的是，重构的状态变量，需由本时刻与前一时刻输出的采样值来估计。出的采样值来估计。2.降阶观测器之二降阶观测器之二
26、)()()()1()()1()()(1.4.7kxCkykKykuKCBBkxKCAAkx中介绍的现行观测器为中介绍的现行观测器为)1()()1()()()()()()()()(kxCACKIkxKCAACkxCkxCkCxkykykyky之之差差为为：与与估估计计输输出出则则对对象象输输出出。构构式式，得得到到降降阶阶观观测测器器个个重重能能从从现现行行观观测测器器中中消消去去统统输输出出无无误误差差。因因此此可可。这这说说明明重重构构系系，则则，使使可可选选择择，阵阵，若若为为个个输输出出，设设系系统统有有pkxCkyCKIKpCrankppCKIp)()()()(例例7-4-1 已知连续
27、对象已知连续对象 ，设计观测器。，设计观测器。)1(1)(sssG 10110137 CeeATT，：中中给给出出，其其系系数数矩矩阵阵为为例例已已在在的的离离散散化化状状态态空空间间描描述述解解：带带零零保保的的连连续续对对象象 0)1()1()1(01)1(010110000)1(21222121 KeKezeKzKzeKezKKeezzCAKCAzITTTTTTT，可可得得、，代代入入系系数数矩矩阵阵特特征征方方程程式式为为预预估估全全阶阶观观测测器器 TTTTeaKeeeaaKazaz110122121212，则则如如下下特特征征方方程程给给出出：设设希希望望的的观观测测器器特特性性由
28、由 01)1(011010110000)2(221221 TTTTTTTTeKezKeeKzeeKKeezzCAKCAAzI，可可得得、，代代入入系系数数矩矩阵阵特特征征方方程程式式为为现现行行全全阶阶观观测测器器 TTTTTTeaeKeeeeaaKazaz222121212)1(0，则则如如下下特特征征方方程程给给出出：设设希希望望的的观观测测器器特特性性由由，因因此此不不能能进进行行设设计计。因因为为本本例例对对象象中中特特征征方方程程为为：降降阶阶观观测测器器之之一一00)3(ababbbAKAAzI)(1)1(0)1()1()1()1(00)1()()(1,)4(112111212ky
29、KkueTKekxkxKeKekxkxKCKIKTTTT 则则现现行行全全阶阶观观测测器器为为。使使选选择择降降阶阶观观测测器器之之二二)1()()1()1()1()1()1()()()()(1111122 kykyKkueTKekxeKekxkxkykxTTTT的的状状态态为为：不不必必重重构构，则则需需重重构构，因因此此状状态态由由于于7.5 有观测器的状态反馈调节系统有观测器的状态反馈调节系统 图图7-5-1为由观测器重构状态，实现状态反馈配置极点为由观测器重构状态，实现状态反馈配置极点的调节系统。的调节系统。设计调节系统的准则：在零输入设计调节系统的准则：在零输入r(t)=0及非零初始
30、条件下，及非零初始条件下，驱动系统的状态至零，且具有希望的动态特性。驱动系统的状态至零，且具有希望的动态特性。7.5.1 分离原理分离原理 )()()()()1(.1kCxkykBukAxkx象象的的状状态态空空间间描描述述为为带带零零阶阶保保持持器器的的连连续续对对)()()()()1()()()()()1(.2kxLkukxKCAkxkxCkyKkBukxAkx 状态反馈为状态反馈为预估全阶观测器为预估全阶观测器为数字控制器数字控制器 )()(0)1()1()()()()()()()()()()()1(kxkxKCABLBLAkxkxkxBLkBLxkAxkxkxBLkAxkxBLkAxk
31、BukAxkx则则计计。器器可可分分别别独独立立地地进进行行设设无无关关，因因此此系系统统与与观观测测的的动动态态特特性性统统的的动动态态特特性性与与观观测测器器存存在在分分离离定定理理：闭闭环环系系。因因此此极极点点与与观观测测器器极极点点组组成成可可见见系系统统的的极极点点由由闭闭环环特特征征方方程程为为0 KCAzIBLAzI。可可见见分分离离定定理理仍仍然然实实用用特特征征方方程程为为统统，其其方方程程组组为为调调节节系系、状状态态反反馈馈实实现现控控制制的的由由现现行行全全阶阶状状态态观观测测器器0)1()1(0)()(KCAAzIBLAzIkxkxKCAABLBLAkxkx 由分离
32、定理及调节系统设计准则，可得系统设计步骤为：由分离定理及调节系统设计准则，可得系统设计步骤为：（1）由希望的闭环系统动态特性确定状态反馈阵）由希望的闭环系统动态特性确定状态反馈阵L。（2）选择观测器系数阵）选择观测器系数阵K，使重构状态误差迅速收敛于零，使重构状态误差迅速收敛于零，经验数据可取：观测器的时间常数小于闭环系统最小时间常经验数据可取：观测器的时间常数小于闭环系统最小时间常数，前者为后者的数，前者为后者的1/41/2。7.5.2 观测器对闭环系统动态特性的影响观测器对闭环系统动态特性的影响)()0()()0()()()()0()()(zKCXzxzKYzxzXBLKCAzIzXBLz
33、xzXAzIZ 变变换换，经经整整理理，得得到到：状状态态方方程程式式的的观观测测器器。求求对对象象状状态态方方程程式式及及以以预预估估全全阶阶观观测测器器为为例例。可见可见时，上两式相减，可得时，上两式相减，可得当当)()()()()()()0()0(kxkxzXKCAzIzXKCAzIxx 由上式可知，只有在系统初始状态由上式可知，只有在系统初始状态x(0)与观测器初始状与观测器初始状态相同时，闭环系统的动态特性才与是否带有观测器无关。态相同时，闭环系统的动态特性才与是否带有观测器无关。当二者初始状态不同时，重构状态通过反馈阵当二者初始状态不同时，重构状态通过反馈阵L影响系统状影响系统状态
34、态x(k)的动特性，因此只有观测器的时间常数小于系统的最的动特性，因此只有观测器的时间常数小于系统的最小时间常数，状态重构误差尽快趋于零，才对系统影响较小。小时间常数，状态重构误差尽快趋于零，才对系统影响较小。7.5.3 控制器特性控制器特性)()()()()1()()()()()1(1.5.7kxLkukxKCAkxkxCkyKkBukxAkx 状状态态反反馈馈为为为为得得到到的的预预估估全全阶阶观观测测器器由由KKCBLAzILzYzUzDZZkuky1)()()()(),()(传传递递函函数数为为可可得得控控制制器器的的变变换换并并整整理理对对以以上上三三式式求求，输输出出为为其其输输入
35、入为为0)()(10)()()()()()(111 BAzICKKCBLAzILzGzDIBAzICzUzYzGdd闭闭环环系系统统特特征征方方程程为为特特性性程程予予以以描描述述，已已知知对对象象系系统统特特性性由由闭闭环环特特征征方方。，似似于于连连续续系系统统环环特特性性类类的的调调节节系系统统，希希望望的的闭闭具具有有观观测测器器与与状状态态反反馈馈，设设计计采采样样周周期期对对象象特特性性例例15.01,)1(1)(157 nsTsssG 。中中求求得得已已在在例例的的确确定定）反反馈馈阵阵解解：（921.0385.0137121 LLLL1353.05.04/25.011)2(5.
36、0/1/00 eeppsTTsTKTTHnH：设设其其具具有有实实极极点点，取取观观测测器器时时间间常常数数阶阶系系统统的的时时间间常常数数由由连连续续系系统统理理论论知知，二二的的确确定定观观测测器器系系数数阵阵 00183.0276.0)1353.0()(222 zzzpz其特征方程为其特征方程为对于预估全阶观测器，对于预估全阶观测器，)(097.1086.0)(368.0632.0)(097.0632.0086.0368.0)()()()()1()847(097.1086.0)3947(0183.0,276.02121kykukxkKykBukxKCAkxKKKaaTT 得得到到预预估估
37、观观测测器器为为：由由式式中中，求求得得代代入入式式将将 273.031.0355.0043.1097.1086.0436.049.0668.01247.0921.0385.0)(436.049.0668.01247.0)()3(211 zzzzzKKCBLAzILzDzzKCBLAzIzD的的确确定定控控制制器器传传递递函函数数系系统统是是稳稳定定的的。单单位位圆圆内内，故故闭闭环环控控制制平平面面，在在、可可求求得得特特征征根根为为闭闭环环特特征征方方程程：闭闭环环特特征征方方程程的的确确定定ZjzzzzzzzGzDzzzBAzICzGdd4220.03690.00804.02375.02
38、73.031.0355.0043.1368.0368.1264.0368.01)()(1368.0368.1264.0368.0)()()4(2221 。求得求得望的特征方程：望的特征方程：由观测器特征方程及希由观测器特征方程及希，则，则设计降阶观测器，设计降阶观测器，根据式根据式368.001353.00)632.0368.0()1()()1()368.0632.0()1()632.0368.0()(1)4347(1111111 KzpzKzkykyKkuKkxKkxsT)1()(368.0)1(497.0)1(1353.0)(11 kykykukxkx则降阶观测器为则降阶观测器为 TTxx
39、00)0(11)0(，初初始始状状态态设设为为全全阶阶观观测测器器的的 0)0(11)0(1 xxT，初初始始状状态态设设为为降降阶阶观观测测器器的的7.6 有输入的系统设计有输入的系统设计 本节阐述在有输入的情况下，进行系统设计，使其输出本节阐述在有输入的情况下，进行系统设计，使其输出能够跟踪输入信号。能够跟踪输入信号。7.6.1 输入前馈状态反馈系统输入前馈状态反馈系统 如图所示，如图所示，L为状态反馈为状态反馈阵，阵，N为对输入的前馈阵，此为对输入的前馈阵，此时控制量时控制量u(k)是状态变量与输是状态变量与输入的线性组合。设计系统，就入的线性组合。设计系统，就是确定是确定L与与N阵，阵
40、，L使闭环系统使闭环系统具有希望的极点，具有希望的极点，N使其能跟使其能跟踪输入信号。踪输入信号。对于单输入单输出系统，对于单输入单输出系统，N为一标量。为一标量。1.状态变量均能量测的系统状态变量均能量测的系统 )()()()()()()()1()(167kNrkLxkukCxkykBukAxkxa述述为为：所所示示系系统统，状状态态空空间间描描图图BNBLAzICzRzYzHzCXzYzBNRzxzXBLAzIkCxkykBNrkBLxkAxkx1)()()()()()()()0()()()()()()()()1(及及终终值值定定理理确确定定。节节，可可由由阵阵的的确确定定见见。只只改改变
41、变传传递递矩矩阵阵的的幅幅值值可可见见，0)(lim3.7rkyLNk 。之之设设计计结结果果，确确定定取取例例，采采样样周周期期对对象象特特性性例例NLttrsTsssG137)(1)(1,)1(1)(167 368.0786.0)264.0368.0(368.0632.0368.01368.0632.0632.06321.0368.010)(921.0385.01372121211 zzNzNLzLLLzBNBLAzICzHL设设计计之之解解：例例921.011368.0786.0)264.0368.0()1(lim)(lim21 NzzzzNzzkyzk求得：求得：由终值定理：由终值定理
42、：2.重构状态实现反馈重构状态实现反馈 )()()()()()()()1()()()()()1()(167kNrkxLkukKykBukxKCAkxkCxkykBukAxkxb则则二二阶阶观观测测器器重重构构状状态态，所所示示系系统统，设设采采用用预预估估图图统统特特性性有有影影响响。）观观测测器器是是否否对对闭闭环环系系（性性有有影影响响；）输输入入是是否否对对观观测测器器特特（分分析析如如下下两两个个问问题题：21的的重重构构误误差差。可可见见输输入入不不影影响响观观测测器器重重构构误误差差：由由上上面面的的状状态态方方程程推推得得)()()1()1()1()()()()()()1()()
43、()()1(kxKCAkxkxkxkKCxkBNrkxBLkxKCAkxkBNrkxBLkAxkx )()(0)()(0)()(0)1()1()()()()()1(kxkxCkykrBNkxkxKCABLBLAkxkxkBNrkxBLkxBLAkx输输出出方方程程为为：整整理理可可得得 测测器器相相同同。来来看看，系系统统特特性性与与无无观观传传递递函函数数，从从输输入入输输出出改改变变闭闭环环系系统统的的）相相同同，可可见见观观测测器器不不与与式式（传传递递函函数数为为观观测测器器的的闭闭环环系系统统由由上上两两式式，可可求求得得具具有有567)(0)0(0)(11 BNBLAzICBNKC
44、ABLBLAzICzHZ 由例由例7-6-1求得的闭环求得的闭环Z传递函数可知，此种方法设计系传递函数可知，此种方法设计系统不足之处是：统不足之处是：（1）扰动使输出产生的误差是不能补偿的；）扰动使输出产生的误差是不能补偿的；（2）N只影响闭环系统增益，不改变其零点，零点对系统的只影响闭环系统增益，不改变其零点，零点对系统的动态及稳态特性均有影响。动态及稳态特性均有影响。7.6.2 引入积分器引入积分器 图图7-6-2所示系统，是具有状态反馈和输出反馈的系统，所示系统，是具有状态反馈和输出反馈的系统，引入积分器用以提高系统的无差度，且能有效地抑制干扰。引入积分器用以提高系统的无差度，且能有效地
45、抑制干扰。与与设设计计系系统统，就就是是确确定定，则则设设干干扰扰阶阶，则则新新状状态态方方程程为为设设对对象象为为于于引引入入一一个个新新的的状状态态，器器相相当当描描述述时时，考考虑虑引引入入积积分分在在建建立立系系统统的的状状态态空空间间111111)()()(0)()()()()()()()1(nnnnnnLLkxLkLxkutvkCxkrkxkykrkxkxn)(10)()(1)1()1()()(10)(0)()(10)1()1(111111krkxkxCBLBLAkxkxkukrkuBkxkxCAkxkxnnnnnn ，得，得代入代入阶系统之状态方程为：阶系统之状态方程为：引入积分
46、器后，引入积分器后，)()(0)(1kxkxCkyn输输出出方方程程为为。统统，即即阶阶跃跃输输入入，则则是是无无差差系系，对对于于统统，只只要要系系统统是是稳稳定定的的用用极极点点配配置置法法设设计计此此系系闭闭环环特特征征方方程程为为01)()(lim01rkrkyCBLBLAzIkn )()()(010111NAzICzHzHZCCNCBLBLAAn 为为传传递递函函数数则则闭闭环环，设设 )()()()()()()1()()()1(0)()()()(11)()(11111kvkxLkLxkukCxkxkxkBukAxkxtrtvzYzRzLzLXzUnnnnn，此此时时的的响响应应，设
47、设系系统统对对干干扰扰控控制制量量为为)()()()()()()(0)()()1()1(1111zVBAzICzYZkvBkxkxAkvBkxkxAkxkxnnn 变变换换为为系系统统对对干干扰扰响响应应的的成成如如下下方方程程组组：以以上上三三式式经经整整理理，可可写写7.6.3 零点配置零点配置)()()()()()()(111122112211zRzHzYZpzzzbzHazazazbzbzbzHZniiniinnnnnnn 变变换换为为输输出出或或如如下下形形式式：传传递递函函数数描描述述，设设具具有有数数字字控控制制系系统统，用用 H(z)的极点表征了系统的自身特性，由状态反馈配置希
48、的极点表征了系统的自身特性，由状态反馈配置希望的极点。望的极点。H(z)的零点，表征响应外作用信号的特性。对于的零点，表征响应外作用信号的特性。对于有输入的系统，要求系统的输出能够跟踪输入，实质上是通有输入的系统，要求系统的输出能够跟踪输入，实质上是通过在闭环系统中引入零点予以解决。过在闭环系统中引入零点予以解决。这里介绍模型跟踪法配置零点的设计。这里介绍模型跟踪法配置零点的设计。系统设计准则：构造希望的闭环模型，由状态反馈配置系统设计准则：构造希望的闭环模型，由状态反馈配置极点，引入影响控制量的前馈配置零点，使系统对输入的响极点，引入影响控制量的前馈配置零点，使系统对输入的响应与模型响应相同
49、，或误差很小。应与模型响应相同，或误差很小。)()()()()1(567kxCkykBrkxAkxmmmmmm环环模模型型为为所所示示系系统统，设设构构造造的的闭闭图图的的输输入入端端。馈馈加加到到对对象象象象逆逆模模型型的的输输出出作作为为前前组组合合有有可可能能实实现现。将将对对统统模模型型的的实实现现的的，则则与与构构造造的的系系）若若逆逆模模型型是是物物理理不不可可（近近似似模模型型予予以以代代替替。的的，此此时时可可用用一一稳稳定定的的是是不不稳稳定定圆圆外外零零点点，则则其其逆逆模模型型）若若对对象象特特性性具具有有单单位位（象象的的逆逆模模型型：引引入入被被控控对对的的特特性性与
50、与模模型型相相同同，需需到到为为了了使使由由21)()(tytr。的的输输入入应应是是的的影影响响，因因此此状状态态反反馈馈态态反反馈馈的的模模型型一一致致，需需去去掉掉状状为为了了使使闭闭环环特特性性与与构构造造)()(kxkxLm )()()()()1()()()()()()()1(kxCkyKkBukxAkxkukxkxLkukBukAxkxmm系统的状态空间描述为系统的状态空间描述为是是相相同同的的。响响应应与与构构造造模模型型的的响响应应对对输输入入的的对对象象的的逆逆模模型型正正确确，则则器器极极点点。上上述述系系统统，若若闭闭环环极极点点不不包包含含观观测测不不影影响响观观测测器
