1、CAGD计算机辅助几何造型技术计算机辅助几何造型技术敖志强敖志强2022-8-9南昌航空大学航机学院2第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式).,1,0()()(0njyxlyxLjnkjkkjn),1,0,(.,0;,1)(nkjjkjkxlkj)()(111kkkkkkxxxxyyyxL（点斜式），11111)(kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL（两点式），2022-8-9南昌航空大学航机学院3第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线).()()()(11112xlyxlyxlyxLkkkkkk
2、可用来解决对有限多个数据点的代数多项式插值问题。但数据点可用来解决对有限多个数据点的代数多项式插值问题。但数据点越多，插值多项式的次数就越高。越多，插值多项式的次数就越高。高次多项式一不容易计算，高次多项式一不容易计算，二会在曲线上产生不希望有的波动二会在曲线上产生不希望有的波动三次样条函数及其力学背景 按给定的数据将型值点准确地点在图板上（打点）。采用一按给定的数据将型值点准确地点在图板上（打点）。采用一种称为种称为“样条样条”的工具，用压铁强迫它通过这些型值点，再适的工具，用压铁强迫它通过这些型值点，再适当调整这些压铁，让样条的形态发生变化，直至取得合适的形当调整这些压铁，让样条的形态发生
3、变化，直至取得合适的形状，才沿着样条画出所需的曲线。状，才沿着样条画出所需的曲线。2022-8-9南昌航空大学航机学院4第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线 把样条看成弹性细梁，压铁看成作用在这梁的某些点上把样条看成弹性细梁，压铁看成作用在这梁的某些点上的集中载荷，那就可把上述画模线的过程在力学上抽象为求的集中载荷，那就可把上述画模线的过程在力学上抽象为求弹性细梁在外加集中载荷作用下产生的弯曲变形。弹性细梁在外加集中载荷作用下产生的弯曲变形。欧拉公式欧拉公式 EJxMx)()(1232)1()(1yyx平面曲线的曲率平面曲线的曲率 EJxMyy)()1(23220
4、22-8-9南昌航空大学航机学院5第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线对于对于“小挠度小挠度”曲线曲线()1y x 方程近似为方程近似为()M xyEJ 由于在各小段上由于在各小段上M是线性函数，所以是线性函数，所以y(x)是是x的三次多的三次多项式在整个梁上，项式在整个梁上，y(x)就是分段三次函数，但它具有直到二就是分段三次函数，但它具有直到二阶的连续导数（弯矩阶的连续导数（弯矩M是连续的折线函数），这一力学背是连续的折线函数），这一力学背景就导致了数学上三次样条函数概念的建立。景就导致了数学上三次样条函数概念的建立。2022-8-9南昌航空大学航机学院6第二
5、章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线三次样条函数的定义三次样条函数的定义 0,nx x设在区间设在区间 其中其中 01nxxx 已知插值条件为已知插值条件为 0101,nnxxxyyy若有函数若有函数y(x)适合下列条件适合下列条件()1,2.iiyxyiny(x)在整个区间上二次连续可导在整个区间上二次连续可导 在每一个子区间上，在每一个子区间上，y(x)是的三次多项式是的三次多项式 则称则称y(x)是关于已知插值条件的三次样条函数是关于已知插值条件的三次样条函数,由样条函数构成的曲线称为样条曲线。由样条函数构成的曲线称为样条曲线。2022-8-9南昌航空大学航机学
6、院7第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线 在区间在区间0,1上带一阶导数的插值问题上带一阶导数的插值问题 构造曲线段的方程为构造曲线段的方程为 230123()y uaa ua ua u求一阶导后有求一阶导后有 2123()23y uaa ua u将四个已知条件代入以上两式，即可解得方程的四个系数将四个已知条件代入以上两式，即可解得方程的四个系数 320101100100()(22)(332)()yuyy yy uyyyy uy u y 2022-8-9南昌航空大学航机学院8第二章第二章
7、三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线可改写为可改写为323232320101()(231)(23)(2)()yuy uuyuuy uu uy u u 令：令：)1()()1()(32)(132)(2120231230uuuGuuuGuuuFuuuF则曲线段方程为则曲线段方程为00110011()()()()()y uy F uy F uy G uy G u2022-8-9南昌航空大学航机学院9第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线0101(),(),(),()F u F u G u G u称为埃尔米特基函数或三次混合函数称为埃尔米特基函数或三次混合函
8、数 01()()1F uF u混合即为将已知条件混合在一起，突出已知条件在构造曲线混合即为将已知条件混合在一起，突出已知条件在构造曲线过程中的作用过程中的作用01,GG专门控制端点的一阶导数值对曲线形状的的影响，专门控制端点的一阶导数值对曲线形状的的影响，而同端点的函数值无关而同端点的函数值无关 01,FF专门控制端点的函数值对曲线形状的的影响，专门控制端点的函数值对曲线形状的的影响，而同端点的导数值无关而同端点的导数值无关 0011,G,FF G控制左端点控制右端点2022-8-9南昌航空大学航机学院10第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线01010011(0)
9、(1)1,(1)(0)0G(0)G(1)G(0)G(1)0FFFF一些常用值一些常用值00110101(0)(1)(1)(0)0,G(0)G(1)1,G(1)G(0)0FFFF2022-8-9南昌航空大学航机学院11第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线四个混合函数的图形四个混合函数的图形 2022-8-9南昌航空大学航机学院12第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线现在解决在任意区间现在解决在任意区间 上带一阶导数的插值问题上带一阶导数的插值问题 设对应于区间两端的函数值与一阶导数值分别为：设对应于区间两端的函数值与一阶导数值分别为：1
10、,1,iiiiyy mm进行变量转换进行变量转换 1,iixx111iiiiixxxxuxxhuxxidxyyyhdu2022-8-9南昌航空大学航机学院13第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线第第i段曲线的表达式段曲线的表达式 101101()()()()()iiiiiiy xyF uy F uh m G umG u矩阵形式矩阵形式 1010111231()(),(),(),()100000101332122110,1,2,iiiiiiiiiiiiyyy xF uF uGuG uh mh myyuuuh mh min 2022-8-9南昌航空大学航机学院14第二
11、章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线上式确定的函数上式确定的函数y(u),它本身及一阶导数具有连它本身及一阶导数具有连续性但二阶导数是否连续还不能确定，取决于续性但二阶导数是否连续还不能确定，取决于m的取值，上式对的取值，上式对x求导两次后求导两次后 1 01101221111()()()()()iiiiiiiiiy xy F uyF um G umG uhhhh0()126Fuu1()126Fuu 0()64Guu1()62Guu2022-8-9南昌航空大学航机学院15第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线考察连续性考察连续性 对于第对于
12、第i段曲线的末点（段曲线的末点（u=1）iiiiiiiiiihmhmhyhyxy4266)(1221对于第对于第i+1段曲线的始点（段曲线的始点（u=0）1112112114266)(iiiiiiiiiihmhmhyhyxy2022-8-9南昌航空大学航机学院16第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线让两段曲线的二阶导数在该点连续，则两式必须相等让两段曲线的二阶导数在该点连续，则两式必须相等 1111111111123iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiihhmmmhhhhhyyhyyhhhhhh引入记号引入记号11111,1,3iiiiiiiiiiiiiiih
13、yyyyucuhhhh 2022-8-9南昌航空大学航机学院17第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线可写为可写为 1120,1,1iiiiiimmu mcin 称为样条函数的称为样条函数的m-关系式关系式 虽然此时还不知道各内节点上的虽然此时还不知道各内节点上的 im但正可以通过这些为保证二阶导数连续而建立起但正可以通过这些为保证二阶导数连续而建立起来的关系式解出来的关系式解出 这些关系式是包含这些关系式是包含 n+1个未知数个未知数方程的个数是方程的个数是n-1个，还不足以完全确定这些未知数个，还不足以完全确定这些未知数 还必须添加两个条件。一般取端点条件还必须
14、添加两个条件。一般取端点条件 2022-8-9南昌航空大学航机学院18第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线101121+2mmu mc端点条件端点条件1 已知曲线在两端点处的斜率已知曲线在两端点处的斜率 0,nm m就化成关于就化成关于n-1个未知量个未知量，n-1个线性方程个线性方程 其中第一个方程为其中第一个方程为 第第n-1个方程为个方程为121n-1nn-1+2nnnmmu mc从而即可求出唯一的解。从而即可求出唯一的解。2022-8-9南昌航空大学航机学院19第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线给定两端点的二阶导数给定两端点
15、的二阶导数 端点条件端点条件20,nMM则在二阶导数公式中：则在二阶导数公式中：i=0 时时001101102)(32cMhhyymmi=n时：时：nnnnnnnncMhhyymm2)(3211特别当两端二阶导数为特别当两端二阶导数为0时，这种端点条件称为自由端点条件时，这种端点条件称为自由端点条件 当曲线在端点出现拐点或与一直线相切时，可以使用当曲线在端点出现拐点或与一直线相切时，可以使用2022-8-9南昌航空大学航机学院20第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线 在求得所有的在求得所有的mi 后分段三次曲线即可确定后分段三次曲线即可确定 整条三次样条曲线的表达
16、式为：整条三次样条曲线的表达式为：123110000010()1332122110,1,2,iiiiiiyyy xuuuhmhmin()()0,1,2,iy xy xin2022-8-9南昌航空大学航机学院21第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线用型值点处的二阶导数表示的三次样条曲线 区间区间0,1上上 01u对应于两个端点的函数值与二阶导数值分别为对应于两个端点的函数值与二阶导数值分别为 0101,yy yy构造曲线段的方程：构造曲线段的方程：230123()y uAAuA uAu求导两次求导两次 23()26y uAAu2022-8-9南昌航空大学航机学院22
17、第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线已知条件代入两式，解得四个系数得已知条件代入两式，解得四个系数得 32100101001111()()()6263y uyyuy uyyyyuy改写为改写为 0101()(1)(1)(2)(1)(1)66uuy uu yuyuuyuuy 2022-8-9南昌航空大学航机学院23第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线令令 0101()1()()(1)(2)6()(1)(1)6FuuF uuuG uuuuG uuu 则曲线段方程为则曲线段方程为0101101()()()()()y uy Fuy F uyG
18、 uy G u0101(),(),(),()Fu F u Gu G u新的混合函数新的混合函数 2022-8-9南昌航空大学航机学院24第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线01010011(0)(1)1,(1)(0)0G(0)G(1)G(0)G(1)0FFFF混合函数关系式：混合函数关系式：01()()1FuFu00110110(0)(1)(1)(0)0,G(0)G(1)1,G(0)G(1)0FFFF2022-8-9南昌航空大学航机学院25第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线解决在任意区间的插值问题：解决在任意区间的插值问题：已知条件
19、：已知条件：11,iiiiyy MM变量转换：变量转换：111iiiiixxxxuxxh10,1,2,iiihxxin22()uxxidxyyyhdu2022-8-9南昌航空大学航机学院26第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线仿照式（仿照式（2-11）写出第）写出第i段曲线的表达式段曲线的表达式 20101111()()()()()iiiiiy xy F uy F uh M G uM G u矩阵形式矩阵形式 10101212()(),(),(),()1,2,iiiiiiiyyy xFu F u G u G uh Mh Min2022-8-9南昌航空大学航机学院27
20、第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线讨论连续性讨论连续性 求求x导导 10110111()()()()()iiiiiiiiiyxyFuy FuMGu hM Gu hhh012021()1()11()(362)61()(31)6FuFuGuuuGuu 2022-8-9南昌航空大学航机学院28第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线第第i段曲线的末点段曲线的末点)2(6)(11iiiiiiiiMMhhyyxy第第i+1段曲线的始点段曲线的始点)2(6)(11111iiiiiiiiMMhhyyxy2022-8-9南昌航空大学航机学院29第二章第
21、二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线两式右边相等两式右边相等 11111111126()iiiiiiiiiiiiiiiiihhMMMhhhhyyyyhhhh11iiiihhh1iiu 11116()iiiiiiiiiyyyydhhhh2022-8-9南昌航空大学航机学院30第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线1120,1,1iiiiiimMu Mcin 写为写为 称为称为M-关系式关系式 有有n-1个方程的线性方程组，含个方程的线性方程组，含n+1个未知数个未知数必须再加上两个端点条件必须再加上两个端点条件 条件一：给定两端点的二阶导数值条件
22、一：给定两端点的二阶导数值，当端点导数值为当端点导数值为0时称为自由端点条件时称为自由端点条件2022-8-9南昌航空大学航机学院31第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线条件二：给定曲线在两端点处的斜率值条件二：给定曲线在两端点处的斜率值 可分别写出第可分别写出第1段曲线始点和第段曲线始点和第n段曲线末点的一阶导数表达式段曲线末点的一阶导数表达式 00101110)(62dmhyyhMMnnnnnnnndhyymhMM)(6211便可解得全部节点上的便可解得全部节点上的M值值 2022-8-9南昌航空大学航机学院32第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条
23、曲线与参数样条曲线三次样条的局限性 1.局部修改牵涉到整个样条的重新计算局部修改牵涉到整个样条的重新计算 2.不能解决具有垂直切线的问题不能解决具有垂直切线的问题3.当曲线中夹有线段时拟合效果不好当曲线中夹有线段时拟合效果不好 4.在拟合有二阶导数不连续的曲线时在拟合有二阶导数不连续的曲线时,产生较大的波动。产生较大的波动。5.不具备几何不变性不具备几何不变性2022-8-9南昌航空大学航机学院33第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线解决曲线中夹有直线的方法解决曲线中夹有直线的方法 要求：要求：第一：整条曲线具有统一的表达式；第一：整条曲线具有统一的表达式；第二：
24、在直线段上严格为直线第二：在直线段上严格为直线第三：而在直线与曲线连接处不产生额外的波动。第三：而在直线与曲线连接处不产生额外的波动。2022-8-9南昌航空大学航机学院34第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线添加端点条件后的添加端点条件后的m关系式关系式0011111111122022022iiiiiinnnnnumumumumummnniicccccc1110若第若第i,i+1两点间为直线，令两点间为直线，令 110iiiiuu)(2111iiiiiixxyycc2022-8-9南昌航空大学航机学院35第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数
25、样条曲线001111111220020020022iinnnnnumummmumm nniicccccc1110修改为修改为 两点间严格为直线，它具有所需要的斜率两点间严格为直线，它具有所需要的斜率 111iiiiiixxyymm方程方程)(1111iiiiiixxxxyyyy2022-8-9南昌航空大学航机学院36参数样条曲线参数样条曲线 函数出现多值，从而会使问题复杂化函数出现多值，从而会使问题复杂化对大挠度曲线，即有近于垂直切线的曲对大挠度曲线，即有近于垂直切线的曲线线 缺乏几何不变性，与曲线的几何特征相缺乏几何不变性，与曲线的几何特征相脱节脱节 2022-8-9南昌航空大学航机学院37
26、第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线参数样条曲线参数样条曲线 采用参数样条可解决垂直切线和无几何不变性的问题采用参数样条可解决垂直切线和无几何不变性的问题一般采用累加弦长参数样条：以累加弦长一般采用累加弦长参数样条：以累加弦长s为参数来表示曲线为参数来表示曲线为简单起见，现讨论用累加弦长参数样条来插值平面上的为简单起见，现讨论用累加弦长参数样条来插值平面上的一批有序的点一批有序的点 Pi ，与型值点列，与型值点列 Pi相对应的累加弦长为相对应的累加弦长为：2022-8-9南昌航空大学航机学院38第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线20
27、22-8-9南昌航空大学航机学院39第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线累加弦长参数样条能解决累加弦长参数样条能解决“大挠度大挠度”的问题的问题采用以近似弦长为参数的方程后，端采用以近似弦长为参数的方程后，端点条件的换算点条件的换算用参数样条拟合某些封闭曲线用参数样条拟合某些封闭曲线 2022-8-9南昌航空大学航机学院40第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线给定曲率中心的曲线端点条件给定曲率中心的曲线端点条件 封闭曲线封闭曲线 2022-8-9南昌航空大学航机学院41第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线
28、2022-8-9南昌航空大学航机学院42第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线2022-8-9南昌航空大学航机学院43第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线2022-8-9南昌航空大学航机学院44第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线2022-8-9南昌航空大学航机学院45极坐标下的极坐标下的-关系曲线关系曲线2022-8-9南昌航空大学航机学院46第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线弗格森曲线弗格森曲线 弗格森（弗格森（Ferguson）1963年在飞机设计中首先使用三次参数年在
29、飞机设计中首先使用三次参数曲线来定义曲线和曲面。曲线来定义曲线和曲面。实际上，弗格森三次参数曲线段就是前面用艾米尔特插值得实际上，弗格森三次参数曲线段就是前面用艾米尔特插值得到的三次参数曲线段的矢值形式到的三次参数曲线段的矢值形式231000(0)0010(1)()13321(0)2211(1)rrr uuuurr2022-8-9南昌航空大学航机学院47第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线导矢导矢(0)r(1)r与与 T(0)与与T(1)成正比例，于是可写成成正比例，于是可写成 同两端的单位切矢同两端的单位切矢)0()0(0Tr)1()1(1Tr 切矢模长切矢模长
30、0与与1的含义是：当的含义是：当0与与1同时增大时仅仅同时增大时仅仅会使曲线更丰满，而若只增大会使曲线更丰满，而若只增大0，则将会使更长的一段曲，则将会使更长的一段曲线在转入线在转入T(1)的方向之前保持接近的方向之前保持接近T(0)的方向，当的方向，当0与与1的值很大时，曲线会出现弯折（尖点）和打圈圈（二重点）的值很大时，曲线会出现弯折（尖点）和打圈圈（二重点）2022-8-9南昌航空大学航机学院48第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线2022-8-9南昌航空大学航机学院492022-8-9南昌航空大学航机学院50第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条
31、曲线与参数样条曲线讨论如何保证弗格森三次参数曲线段合成的曲线达到二阶连续。讨论如何保证弗格森三次参数曲线段合成的曲线达到二阶连续。)0()1()2()1(rrTrTr2)2(1)1()0()1(2022-8-9南昌航空大学航机学院51第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线12)1()2()1()0(rr后者也就是后者也就是其中其中T是再接合点处公切线的单位矢量，是再接合点处公切线的单位矢量，1和和2如前所述，是控制曲线段如前所述，是控制曲线段“丰满丰满”程度的数程度的数量量常数常数 为常数为常数 2022-8-9南昌航空大学航机学院52第二章第二章 三次样条曲线与参
32、数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线如果在接合处要求曲率连续，则必须使如果在接合处要求曲率连续，则必须使(2)(2)(1)(1)33(2)(1)(0)(0)(1)(1)(0)(1)rrrrrr将（将（2-28）代入上式得）代入上式得(2)2(1)(0)(1)TrTr这个关系式为这个关系式为(2)2(1)(1)(0)(1)(1)rrr所满足所满足 2022-8-9南昌航空大学航机学院53第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线式中式中 为任意常数为任意常数 这是因为上式两端左乘这是因为上式两端左乘T后有后有(2)2(1)(1)2(1)(0)(1)(1)(1)T rrrT
33、 r 的作用是在保证接合处曲率相等的前提下使曲线设计着的作用是在保证接合处曲率相等的前提下使曲线设计着有更大的灵活性有更大的灵活性 综上所述得两参数曲线段之间位置、斜率和曲率连续的条件。综上所述得两参数曲线段之间位置、斜率和曲率连续的条件。2022-8-9南昌航空大学航机学院54第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线弗格森把他的注意力集中在寻找达到曲率连续的做简单、弗格森把他的注意力集中在寻找达到曲率连续的做简单、最明显的方法上，于是他采用最明显的方法上，于是他采用 1,0这种最简单的连接办法。为了保证两参数曲线段之间这种最简单的连接办法。为了保证两参数曲线段之间的
34、位置、斜率和曲率连续，有的位置、斜率和曲率连续，有)0()1()2()1(rr)0()1()2()1(rr)0()1()2()1(rr2022-8-9南昌航空大学航机学院55二阶导矢二阶导矢 容易从式（容易从式（2-26）求得，因此可把式（）求得，因此可把式（2-35）写成）写成(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)6(0)6(1)2(0)4(1)6(0)6(1)2(0)2(1)rrrrrrrr 拟合一条合成弗格森曲线，使之通过一批点拟合一条合成弗格森曲线，使之通过一批点 nrrr,10这些点的切矢量为这些点的切矢量为 nttt,10则可以把上式简化后的结果表为则可以把上式简化后的结
35、果表为 111143()0,1,1iiiiitttrrin 2022-8-9南昌航空大学航机学院56第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线这是相邻三点的切矢量之间的递推关系式。只要指定这是相邻三点的切矢量之间的递推关系式。只要指定 0tnt就能根据这个方程组，仅仅利用位置信息确定所有其余的就能根据这个方程组，仅仅利用位置信息确定所有其余的切矢量。当切矢量取这些值时即可保证合成曲线的曲率连续切矢量。当切矢量取这些值时即可保证合成曲线的曲率连续 这个过程和上述的建立一般三次样条曲线的过程十分类似。这个过程和上述的建立一般三次样条曲线的过程十分类似。比较一下式（比较一下式
36、（2-36）和）和m-关系式（关系式（2-9）的异同是很有意义的）的异同是很有意义的 如果令式（如果令式（2-9）中）中 11iihh1/2iiu即得即得)(341111iiiiiyymmm2022-8-9南昌航空大学航机学院57第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线由此可以看出，当节点均匀分布且适当选择坐标系的度量单位，由此可以看出，当节点均匀分布且适当选择坐标系的度量单位，使得所有的使得所有的 1ih的情况下的情况下 合成弗格森曲线的切矢量关系式和三次样条的合成弗格森曲线的切矢量关系式和三次样条的m-关系式实质上关系式实质上完全一样。所以可以认为合成弗格森曲线是
37、三次参数样条曲线完全一样。所以可以认为合成弗格森曲线是三次参数样条曲线的一种特殊情况。两者不同的地方是，在三次样条中考虑到子的一种特殊情况。两者不同的地方是，在三次样条中考虑到子区间的长度区间的长度,在累加弦长三次参数样条的情况下即为弦长，而在累加弦长三次参数样条的情况下即为弦长，而在合成弗格森曲线中则假定弦长为在合成弗格森曲线中则假定弦长为1 两者相同的地方是两者相同的地方是，它们都取，它们都取 0即都以二阶导数连续作为曲率连续的条件，也就是说为了简单即都以二阶导数连续作为曲率连续的条件，也就是说为了简单而牺牲了曲线设计的而牺牲了曲线设计的灵活性灵活性 2022-8-9南昌航空大学航机学院5
38、8第二章第二章 三次样条曲线与参数样条曲线三次样条曲线与参数样条曲线 因此这两种曲线都比较适合于拟合而不像后面介因此这两种曲线都比较适合于拟合而不像后面介绍的贝齐埃曲线主要适合于设计。贝齐埃在选择曲线绍的贝齐埃曲线主要适合于设计。贝齐埃在选择曲线段之间的连续条件时比弗格森限制要少，因而给曲线段之间的连续条件时比弗格森限制要少，因而给曲线设计提供了所需的额外自由度。特别对合成弗格森曲设计提供了所需的额外自由度。特别对合成弗格森曲线来说，主要适合于拟合型值点间隔线来说，主要适合于拟合型值点间隔比较均匀比较均匀的曲线，的曲线，否则将会出现不好的效果否则将会出现不好的效果 日本的穗板为主张用日本的穗板为主张用 iiill1实际上就是以累加弦长为参数来解决这个问题实际上就是以累加弦长为参数来解决这个问题
