1、【 精品教育资源文库 】 第 18 课时 竖直面内 (斜面 )的圆周运动及其临界问题 1竖直面内圆周运动的两个基本模型的比较 【 精品教育资源文库 】 2斜面上的圆周运动及其临界问题 常见类型有三种 (1)物体受摩擦力在倾斜圆盘转动。临界问题在最低点。 (2)光滑斜面内轻杆拉着物体转动。临界问题与竖直面内的轻杆问题相似。 (3)光滑斜面内轻绳拉着物体转动。临界问题与竖直面内的轻绳问题相似。 模型 1 轻杆模型 例 1 如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为 R，小球半径为 r，则下列说法中正确的是 ( ) A小球通过最高点时的最小速度 vmin g?R r? B小
2、球通过最高点时的最小速度 vmin gR C小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D小球在水平线 ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 【 精品教育资源文库 】 解析 因是在圆形管道内做圆周运动，所以在最高点时，内壁可以给小球沿半径向外的支持力，所以小球通过最高点时的最小速度可以为零，故 A、 B 错误；小球在水平线 ab 以下的管道中运动时，竖直向下的重力沿半径方向的分力 沿半径方向向外，小球的向心力是沿半径指向圆心的，小球与外壁一定会相互挤压，所以小球一定会受到外壁的作用力，内侧管壁对小球一定无作用力，故 C 正确；小球在水平线 ab 以上的
3、管道中运动时，当速度较小时，重力沿半径方向上的分力大于或等于小球做圆周运动需要的向心力，此时小球与外壁不存在相互挤压，外侧管壁对小球没有作用力，故 D 错误。 答案 C 模型 2 轻绳模型 例 2 如图所示，一质量为 m 0.5 kg 的小球，用长为 0.4 m 的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。 g 取 10 m/s2，求： (1)小球要做完整的圆周运动， 在最高点的速度至少为多大？ (2)当小球在最高点的速度为 4 m/s 时，轻绳拉力多大？ (3)若轻绳能承受的最大张力为 45 N，小球的速度不能超过多 大？ 解析 (1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得 mg F1 mv
4、2R 由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即 F1不可能取负值，亦即 F10 联立 得 v gR 代入数值得 v2 m/s 所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2 m/s。 (2)mg F2 mv22R，代入数据解得 F2 15 N。 (3)由分析可知，小球在最低点张力最大，对小球受力分析如图乙， 【 精品教育资源文库 】 由牛顿第二定律得 F3 mg mv23R 将 F3 45 N 代入 得 v3 4 2 m/s 即小球的速度不能超过 4 2 m/s。 答案 (1)2 m/s (2)15 N (3)4 2 m/s 模型 3 轻杆控制下的斜面上圆周运动 例 3 如图所示，在
5、倾角为 30 的光滑斜面上，有一根长为 L 0.8 m 的轻杆，一端 固定在 O 点，另一端系一质量为 m 0.2 kg 的小球，沿斜面做圆周运动，取 g 10 m/s2，若要小球能通过最高点 A，则小球在最低点 B 的最小速度是 ( ) A 4 m/s B 2 10 m/s C 2 5 m/s D 2 2 m/s 解析 小球受轻杆控制，在 A 点的最小速度为零，由动能定理可得： 2mg Lsin 12mv2B 0，可得 vB 4 m/s， A 正确。 答案 A 模型 4 轻绳控制下的斜面上圆周运动 例 4 (2017 厦门模拟 )如图所示，在倾角 30 的光滑斜面上，长为 L 的细线一端固定
6、在 O 点，另一端连接质量为 m 的小球，小球在斜面上做圆周运动， A、 B 分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在 A、 B 两点做圆周运动的最小速度分别为 vA、 vB，重力加速度为 g，则 ( ) 【 精品教育资源文库 】 A vA 0 B vA gL C vB 12 10gL D vB 3gL 解析 小球运动到 A 点时，由细线的拉力及重力沿斜面向下的分力的合力提供向心力，即 mgsin T mv2AL。若 vA取最小值，则此时拉力 T 0，即 mgsin mv2AL，解得小球在 A 点的最小速度 vA 12gL，故 A、 B 错误。对小球从 A 点到 B 点的运动过程进行研究，根据机
7、械能守恒定律有 12mv2A mg2 Lsin 12mv2B，解得小球在 B 点的最小速度为 vB 12 10gL， C 正确， D 错误。 答案 C 模型 5 摩擦力控制下的斜面上圆周运动 例 5 (2014 安徽高考 )如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 转动，盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为 32 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦力 )，盘面与水平面的夹角为 30 ， g 取 10 m/s2。则 的最大值是 ( ) 【 精品教育资源文库 】 A. 5 rad/s B. 3 rad/s C 1.0 rad
8、/s D 0.5 rad/s 解析 物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律有， mg cos30 mgsin30 m 2r，求得 1.0 rad/s， C 正确， A、 B、 D 错误。 答案 C (1)例 1 和例 3 思路相似，例 2 和例 4 思路相似，它们的相同之处是临界，完成圆周运动的临界点都在最高点，绳子承受最大拉力的临界点在最低点。 (2)例 5 中完成圆周运动的临界点在最低点。 (3)求解这类问题的思路 定模型 确定临界点 研 究状态 受力分析 过程分析 找出原理，列方程求解。 1 (2017
9、烟台模拟 )一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为 R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是 ( ) A小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B小球过最高点的最小速度是 gR C小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 【 精品教育资源文库 】 答案 A 解析 当小球过最高点的速度 v gR时，杆所受的弹力等于 零， A 正确；轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零， B错误；若 v gR，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下， mg F mv2R，随 v 增大，
10、 F 增大， C、 D 均错 误。 2.(多选 )如图所示，两个质量均为 m 的小物块 a 和 b(可视为质点 )静止在倾斜的匀质圆盘上，圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动， a 到转轴的距离为 l， b 到转轴的距离为 2l，物块与盘面间 的动摩擦因数为 32 ，盘面与水平面的夹角为 30 。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为 g，若 a、 b随圆盘以角速度 匀速转动，下列说法中正确的是 ( ) A a 在最高点时所受摩擦力可能为 0 B a 在最低点时所受摩擦力可能为 0 C g8l是 a 开始滑动的临界角速度 D g8l是 b 开始滑动的临界角速度 答案 AD 解析 a 在最高点
11、时可能有重力沿斜面的分力提供向心力，所以所受摩擦力可能为 0，故 A 正确； a 在最低 点，由牛顿运动定律 f mgsin mv2l，所以 a 在最低点时所受摩擦力不可能为 0，故 B 错误；对 a 在最低点，由牛顿运动定律 mg cos mgsin m 2l，代入数据解得 g4l，故 C 错误；对 b 在最低点，由牛顿运动定律 mg cos mgsin m 2(2l)，代入数据解得 g8l，故 D 正确。 【 精品教育资源文库 】 1.如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为 m 的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是 ( ) A过山车在最 高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没
12、有保险带，人就会掉下来 B人在最高点时对座位不可能产生大小为 mg 的压力 C人在最低点时对座位的压力等于 mg D人在最低点时对座位的压力大于 mg 答案 D 解析 人过最高点时， FN mg mv2R，当 v gR时，不用保险带，人也不会掉下来，当v 2gR时，人在最高点时对座位产生的压力为 mg， A、 B 均错误；人在最低点具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于 mg， C 错误、 D 正确。 2 (2017 咸阳一模 )固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道 ABCD，其 A 点与圆心等高， D点为轨道的最高点， DB 为竖直线， AC 为水平线， AE 为水平面，如图
13、所示。今使小球自 A 点正上方某处由静止释放，且从 A 点进入圆弧轨道运动，只要适当调节释放点的高度，总能使球通过最高点 D，则小球通过 D 点后 ( ) A一定会落到水平面 AE 上 B一定会再次落到圆弧轨道上 C可能会再次落到圆弧轨道上 D不能确定 答案 A 解析 设小球恰好能够通过最高点 D，根据 mg mv2DR，得： vD gR，知在最高点的最小【 精品教育资源文库 】 速度为 gR。小球经过 D 点后做平抛运动，根据 R 12gt2得： t 2Rg 。则平抛运动的水平位移为： x gR 2Rg 2R，知小球一定落在水平面 AE 上。故 A 正确， B、 C、 D 错误。 3如图所
14、示，长均为 L 的两根轻绳，一端共同系住质量为 m 的小球，另一端分别固定在等高的 A、 B 两点， A、 B 两点间的距离也为 L。重力加速度大小为 g。现使小球在竖直平面内以 AB 为轴做圆 周运动，若小球在最高点速率为 v 时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为 2v 时，每根绳的拉力大小为 ( ) A. 3mg B.43 3mg C 3mg D 2 3mg 答案 A 解析 设小球在竖直面内做圆周运动的半径为 r，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为 30 ，则有 r Lcos 32 L。根据题述小球在最高点速率为 v 时，两根绳的拉力恰好均为零，有 mg mv2r；小球在最高点速率为 2v 时，设每根绳的拉力大小为F，则有 2Fcos mg m?2v?2r ，联立解得 F 3mg， A 正确。 4 (多选 )“ 水流星 ” 是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为细绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型。已知绳长为 l，重力加速度为 g，则 ( ) 【 精品教育资源文库 】 A小球运动到最低点 Q 时，处于失重状
