1、ARIMA非平稳序列的随机非平稳序列的随机分析分析本章结构n差分运算nARIMA模型nAuto-Regressive模型n异方差的性质n方差齐性变化n条件异方差模型5.1 差分运算n差分运算的实质n差分方式的选择n过差分差分运算的实质n差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法nCramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息n差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息 差分方式的选择n序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳 n序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响 n对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度
2、的差分运算，通常可以较好地提取周期信息 例5.1【例1.1】1964年1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算 考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用 差分前后时序图n原序列时序图n差分后序列时序图例5.2n尝试提取1950年1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息差分后序列时序图n一阶差分n二阶差分例5.3n差分运算提取1962年1月1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息 差分后序列时序图n一阶差分n1阶12步差分过差分 n足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息n但过度的差分会造成有用信息的浪费 例5.4
3、n假设序列如下 n考察一阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差 比较n一阶差分n平稳n方差小n二阶差分（过差分）n平稳n方差大5.2 ARIMA模型nARIMA模型结构nARIMA模型性质nARIMA模型建模nARIMA模型预测n疏系数模型n季节模型ARIMA模型结构n使用场合n差分平稳序列拟合n模型结构ARIMA 模型族nd=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)nP=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)nq=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)nd=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk model随机游走模型(random walk)n
4、模型结构n模型产生典故nKarl Pearson(1905)在自然杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？ARIMA模型的平稳性nARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上 。所以当 时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。n例5.5ARIMA(0,1,0)时序图ARIMA模型的方差齐性n 时，原序列方差非齐性nd阶差分后，差分后序列方差齐性ARIMA模型建模步骤获获得得观观察察值值序序列列平稳性平稳性检验检验差分差分运算运算YN白噪声白噪声检验检验Y分分析析结结束束N拟合
5、拟合ARMA模型模型例5.6n对1952年1988年中国农业实际国民收入指数序列建模 一阶差分序列时序图一阶差分序列自相关图和偏自相关图一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数 统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344拟合MA(1)模型拟合AR(1)模型拟合ARMA(1,1)模型建模n定阶nARIMA(0,1,1)n参数估计n模型检验n模型显著n参数显著ARIMA模型预测n原则n最小均方误差预测原理 nGreen函数递推公式预测值例5.7n已知ARIMA(1,1,1)模型为 且n求 的95的置信区间 预测值n等价形式n计算预测值计算置信区间nGreen函数
6、值n方差n95置信区间例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测 疏系数模型nARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：n如果该模型中有部分自相关系数 或部分移动平滑系数 为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。疏系数模型类型n如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为n 为非零自相关系数的阶数n如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为n 为非零移动平均系数的阶数n如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为例5.8n对1917年1975年美国
7、23岁妇女每万人生育率序列建模 一阶差分一阶差分后序列的自相关图和偏自相关图goptions vsize=7cm hsize=10cm;data a;input year x;dif=dif(x);cards;1917183.11918183.91919163.11920179.51921181.41922173.41923167.61924177.41925171.71926170.11927163.71928151.91929145.419301451931138.91932131.51933125.71934129.51935129.61936129.51937132.21938134.
8、11939132.11940137.41941148.11942174.11943174.71944156.71945143.31946189.719472121948200.41949201.81950200.71951215.61952222.51953231.51954237.919552441956259.41957268.81958264.31959264.51960268.119612641962252.819632401964229.11965204.81966193.319671791968178.11969181.11970165.61971159.81972136.1197
9、3126.31974123.31975118.5;proc gplot;plot x*year dif*year;symbol c=black i=join v=square;proc arima;identify var=x(1);estimate p=(1 4)noint;forecast lead=5 id=year out=out;proc gplot data=out;plot x*year=1 forecast*year=2 l95*year=3 u95*year=3/overlay;symbol1 c=black i=none v=star;symbol2 c=red i=joi
10、n v=none;symbol3 c=green i=join v=none;run;疏系数模型ARIMA(1,4),1,0)建模n定阶nARIMA(1,4),1,0)n参数估计n模型检验n模型显著n参数显著季节模型n简单季节模型n乘积季节模型 简单季节模型n简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系n简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下 例5.9n拟合19621991年德国工人季度失业率序列 差分平稳n对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下 白噪声检验延迟阶数 统计量P值643.840.
11、00011251.710.00011854.480.0001差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图模型拟合n定阶nARIMA(1,4),(1,4),0)n参数估计模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数 统计量P值待估参数 统计量P值62.090.71915.480.00011210.990.3584-3.410.0001拟合效果图乘积季节模型n使用场合n序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系 n构造原理n短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取n季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取n假设短期相关和
12、季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下 例5.10:拟合19481981年美国女性月度失业率序列 差分平稳n一阶、12步差分差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA(1,12),(1,12)值P值 值P值 值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著乘积季节模型拟合n模型定阶nARIMA(1,1,1)(0,1,1)12n参数估计模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数 统计量P值待估参
13、数 统计量P值64.500.2120-4.660.0001129.420.400223.030.00011820.580.1507-6.810.0001结果模型显著参数均显著乘积季节模型拟合效果图5.3 Auto-Regressive模型n构造思想n首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息n然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息 Auto-Regressive模型结构对趋势效应的常用拟合方法n自变量为时间t的幂函数n自变量为历史观察值对季节效应的常用拟合方法n给定季节指数n建立季节自回归模型例5.6续n使用Auto-Regressive模型分析1952年1988年中国农
14、业实际国民收入指数序列。n时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以考虑建立如下结构的Auto-Regressive模型 趋势拟合n方法一：变量为时间t的幂函数n方法二：变量为一阶延迟序列值 趋势拟合效果图残差自相关检验n检验原理n回归模型拟合充分，残差的性质n回归模型拟合得不充分，残差的性质Durbin-Waston检验（DW检验）n假设条件n原假设：残差序列不存在一阶自相关性 n备择假设：残差序列存在一阶自相关性 DW统计量n构造统计量nDW统计量和自相关系数的关系DW统计量的判定结果正相关相关性待定不相关相关性待定负相关042例5.6续 n检验第一个确定性趋势模型 残差序
15、列的自相关性。DW检验结果n检验结果n检验结论n检验结果显示残差序列高度正自相关。DW统计量的值P值0.13781.421.530.0001Durbin h检验 nDW统计量的缺陷n当回归因子包含延迟因变量时，残差序列的DW统计量是一个有偏统计量。在这种场合下使用DW统计量容易产生残差序列正自相关性不显著的误判 nDurbin h检验例5.6续n检验第二个确定性趋势模型 残差序列的自相关性。Dh检验结果n检验结果n检验结论n检验结果显示残差序列高度正自相关。Dh统计量的值P值2.80380.0025残差序列拟合n确定自回归模型的阶数n参数估计n模型检验例5.6续n对第一个确定性趋势模型的残差序
16、列 进行拟合残差序列自相关图残差序列偏自相关图模型拟合n定阶nAR(2)n参数估计方法n极大似然估计n最终拟合模型口径例5.6n第二个AutoRegressive模型的拟合结果三个拟合模型的比较模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976AutoRegressive模型一：260.8454267.2891AutoRegressive模型二：250.6317253.79875.4 异方差的性质n异方差的定义n如果随机误差序列的方差会随着时间的变化而变化，这种情况被称作为异方差n异方差的影响n忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳
17、伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。异方差直观诊断n残差图n残差平方图残差图n方差齐性残差图n递增型异方差残差图残差平方图n原理n残差序列的方差实际上就是它平方的期望。n所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考察残差平方序列是否平稳 例5.11n直观考察美国1963年4月1971年7月短期国库券的月度收益率序列的方差齐性。一阶差分后残差图一阶差分后残差平方图异方差处理方法n假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化n假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型 5.5 方差齐性变换n使用场合n序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具有某种函数关系 其中
18、：是某个已知函数n处理思路n尝试寻找一个转换函数 ，使得经转换后的变量满足方差齐性转换函数的确定原理n转换函数 在 附近作一阶泰勒展开n求转换函数的方差n转换函数的确定常用转换函数的确定n假定n转换函数的确定例5.11续n对美国1963年4月1971年7月短期国库券的月度收益率序列使用方差齐性变换方法进行分析 n假定n函数变换对数序列时序图一阶差分后序列图白噪声检验延迟阶数LB统计量P值63.580.73371210.820.54411821.710.2452拟合模型口径及拟合效果图5.6 条件异方差模型nARCH模型nGARCH模型nGARCH模型的变体nEGARCH模型nIGARCH模型n
19、GARCH-M模型nAR-GARCH模型ARCH模型n假定n原理n通过构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数 nARCH(q)模型结构GARCH 模型结构n使用场合nARCH模型实际上适用于异方差函数短期自相关过程 nGARCH模型实际上适用于异方差函数长期自相关过程 n模型结构GARCH模型的约束条件n参数非负 n参数有界 EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型GARCH模型拟合步骤n回归拟合n残差自相关性检验n异方差自相关性检验nARCH模型定阶n参数估计n正态性检验例5.12n使用条件异方差模型拟合某金融时间序列。回归拟合n拟合模型n参数估计n参数显
20、著性检验nP值0.0001,参数高度显著 残差自相关性检验n残差序列DW检验结果nDurbin h=-2.6011n n拟合残差自回归模型n方法：逐步回归n模型口径异方差自相关检验nPortmantea Q检验n拉格朗日乘子（LM）检验 Portmantea Q检验n假设条件n检验统计量n检验结果n拒绝原假设n接受原假设LM检验n假设条件n检验统计量n检验结果n拒绝原假设n接受原假设例5.12残差序列异方差检验ARCH模型拟合n定阶：GARCH(1,1)n参数估计：极大似然估计n拟合模型口径：AR(2)-GARCH(1,1)模型检验n检验方法：正态性检验n假设条件：n检验统计量n检验结果n拒绝原假设n接受原假设例5.13正态性检验结果 P值0.5603 nAR(2)-GARCH(1,1)模型显著成立
