1、第五章多元函数微分学及其应用 推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同目录 上页 下页 返回 结束 第一节第一节 n n维维EuclidEuclid空间中空间中 点集的初步知识点集的初步知识 第五五章 1.2 中的点列的极限中的点列的极限nR1.1 n n维维EuclidEuclid空间空间nR1.3 中的开集与闭集中的开集与闭集nR1.4 中的紧集与区域中的紧集与区域nR目录 上页 下页 返回 结束,2,1,|),(21niRxxxxxRinn1.1、n n维维E Eu uc cl li id d空空间间,),(,),(
2、2121RRyyyyRxxxxnnnn设),2,1,(),(21niRxxxxxin1.1 n n维维EuclidEuclid空间空间nR规定：规定：),(2211nnyxyxyxyx加法加法数乘数乘),(21nxxxxnR成为一个成为一个n n维实向量空间。维实向量空间。若定义内积若定义内积,1niiiyxyx成为一个成为一个n n维维EuclidEuclid空间。空间。nR目录 上页 下页 返回 结束 中的长度：nR22221,|nxxxxxx2222211)()()(|),(nnyxyxyxyxyx目录 上页 下页 返回 结束 1.2 中的点列的极限中的点列的极限nR定义定义1.11.1
3、 设设 是是 中的一个点列，其中中的一个点列，其中kxnR),(,2,1,nkkkkxxxx又设又设),(21naaaanR是是中的中的一固定点，一固定点，若当若当 时，时，k,0),(axk即即,0NN使得使得,|,axNkk恒有则称点列则称点列kx的极限存在，的极限存在，且称且称a为它的极限，记作为它的极限，记作.lim）（或kaxaxkkk.a这时也称点列这时也称点列收敛于收敛于kx目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.11.1则则,nRa点点设点列设点列,nkRx,2,1limniaxkk都有都有.lim,iikkax定理定理1.21.2设设 是是 中的收敛点列，则中的收敛点列，则
4、kxnR(1)(1)点列点列kx的极限唯一；的极限唯一；(2)(2)是有界点列，是有界点列，kx,0)(NkRM使得即;|Mxk恒有.,bayxkk(3)(3)若若 ,byaxkk则则,axbayxkkk(4)(4)若若 收敛于收敛于 ，则它的任一子列也收敛于，则它的任一子列也收敛于kxa.a目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.31.3nR中的有界点列必有收敛子列中的有界点列必有收敛子列.nR(中的点列中的点列 的收敛子列的极限也称为的收敛子列的极限也称为 的极限点）的极限点）kxkx设设 是是 中的点列，若中的点列，若kxnR,0NN使得使得,|,kPkxxNpNk恒有及则称则称 是是
5、 中的中的基本点列基本点列或或CauchyCauchy点列点列.kxnR定理定理1.41.4nR中点列中点列 收敛于收敛于 中的点中的点kxnR是是 中的中的CauchyCauchy点列点列.kxnR目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.21.2则称则称 为为a设设 是是 中的一个点集，中的一个点集，AnR.nRa若存在若存在A中的点列中的点列，)2,1(kaxxkk使得使得，axkA的聚点的聚点.A的所有聚点构成的集合称为的所有聚点构成的集合称为 的导集的导集.A记作记作.A集合集合 称为称为 的闭包的闭包.AAAA,Aa若若但但,AaA则称则称 为为a的孤立点的孤立点.,AA 若若则称
6、则称 为闭集为闭集.A注：注：(1)(1)集合集合 的聚点一定属于的聚点一定属于 吗？吗？AA(2)(2)什么样的集合对极限运算封闭？什么样的集合对极限运算封闭？1.3 中的开集与闭集中的开集与闭集nR目录 上页 下页 返回 结束|),(axRxaUn定义定义1.31.3 设设,0,nRa称点集称点集称称为以为以 为中心、为中心、为半径的为半径的开球开球或或 邻域邻域，a),(),(aaUaU为点为点 的的去心去心 邻域邻域.a注：注：收敛于收敛于 可以描述为：可以描述为：a点列点列kx,0NN使得使得).(,，恒有aUxNkk目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.51.5 设设 是是 中
7、的一个点集，中的一个点集，AnR，nRa则则Aa.),(,0AaU即即 为为aA的聚点的聚点证证：.Aa设存在存在 中的点列中的点列 A),2,1(nkaxxkk，且且.limaxkk使得使得恒有,Nk,0NN即即).,(aUxk 的任意去心邻域包含的任意去心邻域包含 中的点中的点.aA当且仅当当且仅当.),(,0AaU于是由,Axk.),(,0AaU,Nk取,1kk,),(AaUxkk且.limaxkk于是.Aa目录 上页 下页 返回 结束 注：注：若若 则则 为闭集。为闭集。,AA单点集和有限集都是闭集。单点集和有限集都是闭集。定义定义1.41.4 设设.,nnRaRA的内点的内点.则称则
8、称 是集是集 aA(1)(1)若存在若存在 使使 ,0,),(AaU由由 的所有内点构成的集合称为的所有内点构成的集合称为 的的内部内部，AA记作记作;int AA 或(2)(2)若存在若存在 使使 ,0,),(AaU则称则称 是集是集 a定理定理1.51.5 设设 是是 中的一个点集，中的一个点集，AnR，nRa则则Aa.),(,0AaU即即 为为aA的聚点的聚点 的任意去心邻域包含的任意去心邻域包含 中的点中的点.aA当且仅当当且仅当A的外点的外点.由由 的所有外点构成的集合称为的所有外点构成的集合称为 的的外部外部，AA记作记作;ext A目录 上页 下页 返回 结束(3)(3)若对任何
9、若对任何 ,0也含有不是也含有不是 中的点，中的点，A由由 的的A.A记作记作),(aU中既含有中既含有 中的点，中的点，A则称则称 是集是集 的边界点的边界点.aA所有边界点构成的集合称为所有边界点构成的集合称为 的的边界边界，A注：注：,extAAARn且三者不交。且三者不交。目录 上页 下页 返回 结束 对于对于 中的任一点集中的任一点集 必有必有nRA.AAA特别的，开球与它的边界之并称为特别的，开球与它的边界之并称为闭球闭球。例例1.21.2AA目录 上页 下页 返回 结束 AextAAA目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.5 1.5 设设 nRA，若，若 即即A A中的点全是
10、中的点全是 0AAA A的内点，则称的内点，则称A A为开集为开集.定理定理1.61.6 nRA 是开集是开集 cA是闭集是闭集.注：注：nR中的开区间中的开区间,2,1,|),(),(21nibxaRxxxxbaiiinnnR中的闭区间中的闭区间,2,1,|),(,21nibxaRxxxxbaiiinn注：一个点集是不是注：一个点集是不是“非开即闭？非开即闭？”目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.71.7 在在n n维维EuclidEuclid空间空间 中中,开集有下列性质：开集有下列性质：nR(1)(1)空集空集与空间与空间 是开集；是开集；nR(2)(2)任意多个开集的并是开集；任
11、意多个开集的并是开集；(3)(3)有限多个开集的交是开集有限多个开集的交是开集.利用对偶原理：利用对偶原理：(1)(1)空集空集与空间与空间 是闭集；是闭集；nR(2)(2)任意多个闭集的交是闭集；任意多个闭集的交是闭集；(3)(3)有限多个闭集的并是闭集有限多个闭集的并是闭集.目录 上页 下页 返回 结束 1.4、中的紧集与区域中的紧集与区域nR设设 是是 中的一个点集，中的一个点集，AnR若存在一个常数若存在一个常数,0M使得对于所有的使得对于所有的 都有都有,Ax|,Mx 则称则称 是有界集。是有界集。A否则称为无界集否则称为无界集.定义定义1.61.6 设设 是是 中的一个点集，中的一个点集，AnR若若 是有界是有界A闭集，则称闭集，则称 为紧集。为紧集。A定义定义1.71.7 设设 是是 中的一个点集，中的一个点集，AnR若若 中的任意中的任意A连通的开集称为区域连通的开集称为区域.两点两点 都能用完全属于都能用完全属于 的有限个线段连接起来，则的有限个线段连接起来，则yx,A称称 是连通集是连通集.A区域与它的边区域与它的边界的并称为闭区域界的并称为闭区域.目录 上页 下页 返回 结束 设 是 中的一个点集，AnR若连接 中的任意两点的A线段都属于 ，即若A，Axx21,则称 是 中的凸集.AnR凸集都是连通的.则,)1(21Axttx0,1t
