1、10 ()pqxlim x ln xp,q 000pqxlim x ln x 0qpxln xlimx 110qpxqlnx xlimpx 110qpxqlnxlimpx 2210(1)()qpxqqlnx xlimp x 1220(1)()qpxqqlnxlimp x 0()qpxq!limpx 0()pqxq!limxp 0 T15求（求（2）解：解：()qZ 20 ()pqxlim x ln xp,q 00求求解：解：0pqxlim x ln x 0qpxqln xlimx 0qpxqln xlimx 011qpxqxlimpxq 0qpqxxlimpq 00q 3210sin69 15
2、)m(5 lixxxxPT2211sinln00sinlimlimxxxxxxxex20sinlnlimxxxxe 20cossinsinlim2xxxxxxxxe 20cossinlim2sinxxxxxxe 1661ee 20cossinlim2sinxxxxxx 20sinlim6xxxx 30cossinlim2xxxxx 16 4第二节第二节 不定积分的计算不定积分的计算二、分部积分法二、分部积分法一、换元积分法一、换元积分法 第二类换元法第二类换元法三、有理函数积分简介三、有理函数积分简介5如如21xx dx 322113xC 221112x dx 21x dx sinxt 令令2
3、2t（）cossintdt coscosttdt 1cos22tdt 1(cos2)2dttdt11sin222ttC利用三角公式去掉根号利用三角公式去掉根号,再利用第一换元法求解再利用第一换元法求解=？21x dx 6 如果被积函数含有如果被积函数含有 和和 ，22ax22xa 常令常令 、进行代换进行代换sinxattanxatsecxat 去根式，这种方法称为三角代换，去根式，这种方法称为三角代换，它是第二类换元它是第二类换元 法的重要组成部分法的重要组成部分.方法一：利用三角代换，变根式积分为三角有理积方法一：利用三角代换，变根式积分为三角有理积分分7例例1 求求 22(0)ax dx
4、 asinxat令，222sincosaatat dttdta22cosdtta22cos12Ctta2sin2122Ctttacossin22122222arcsin.22axxaxCaaxt22xa 解解 则则cosdxatdt （也可设（也可设 ）cosxat 于是于是22ax dx8例例2求求 2222(1)(0);(2)(0).dxdxaaaxxa解：解：tancot,xatxat(1)令或令则则 2sec,dxatdt于是于是 22dxax2secsecatdtatsectdt1ln sectanttC221lnxaxCaa22ln xxaCaxt22ax 1(ln)CCa9dxa
5、x221sec(csc),xatxat(2)令或22sectan(sec)attdtatatdtsecaxt22ax 122lnCaaxaxCaxx22ln1(ln).CCa则则 sectan,dxattdt于是于是 10例例3求求 解解 2.28dxxx228dxxx2(1)(1)9d xx16(2)由例2ln|(1)(1)9|xxC2ln|128|.xxxC 13secxt令令11 如果被积函数含有如果被积函数含有 可令可令 进行代换去根式；进行代换去根式；,naxbnaxbt 方法二：利用根式代换，变根式积分为多项式积分方法二：利用根式代换，变根式积分为多项式积分令令 得得 即即 所以所
6、以 例例4求求 231(31)xdxx解：解：331,xt 331,xt 2,dxt dt231(31)xdxx3222 3tt dtt31233t dtdt313tx12412123ttC43312(31)31123xxC 31233t dtdt13例例5求求 31.dxxx解：解：6,xt令56,dxt dt 所以所以31dxxx 5326t dttt 361tdtt 216(1)1ttdtt 322366ln|1|ttttC3662366ln(1).xxxxC14 方法三：倒代换方法，当分母的最高次幂至少比分方法三：倒代换方法，当分母的最高次幂至少比分子高子高1次时利用倒代换方法方法。次
7、时利用倒代换方法方法。11,nxtaxb 即即令令适适用用于于含含有有的的积积分分 22260dxaxax 例例222211,dxxdxdtttxax 解解：令令则则于于是是2222111tdttat 2 21tdta t 2 222 21121d a taa t 2 222221a taxCCaa x 15 方法四：方法四：指数代换（适用于被积函数由指数函数指数代换（适用于被积函数由指数函数构成的代数式。构成的代数式。1,lnxdtatdxat令令则则解解题题提提示示：271xxdxee 例例：求求不不定定积积分分,xdtet dxt解解：令令 211dtttt 原原式式22111dttt
8、11arctanarctanxxtCeCte 11loglnatta 16 两种换元积分法的异同：两种换元积分法的异同：不同点：不同点：相同点：相同点：第一类换元积分法（凑微分法）是把被第一类换元积分法（凑微分法）是把被 最后都必须还原变量。最后都必须还原变量。积式凑成某个函数的微分形式；积式凑成某个函数的微分形式；类换元积分法是通过换元把积分化为容类换元积分法是通过换元把积分化为容 易求得原函数的积分。易求得原函数的积分。换元先后不同换元先后不同.而第二而第二17 ,vuvuuv ,vuuvvu uv dxuvu vdxudvuvvdu分部积分公式分部积分公式 当当 不容易直接积出，而不容易
9、直接积出，而 是一个是一个udvvdu 换换.这种求积分的方法叫做这种求积分的方法叫做分部积分法分部积分法.较为容易的积分时，可以采用这一公式作为转较为容易的积分时，可以采用这一公式作为转三、三、分部积分法分部积分法18例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一）xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然，选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.vu,解（二）解（二）xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx )2(cos2xxd19 关于关于 的拆分的拆分,一般地有：一般地有：(),()sin(),axp x e dxp x
10、ax dx()cos()p xax dx 其余的作为其余的作为dv；时，取时，取u=p(x)(p(x)是多项式函数是多项式函数),（1）当积分具有形式）当积分具有形式 p(x)dx,其余的作为其余的作为u；等时，取等时，取dv=（2）当积分具有形式）当积分具有形式ln(),arcsin(),xp x dxxp x dxarctan(),cot()xp x dxarcxp x dx （3）对于）对于 等，等，u,dv的的sin(),cos()axaxebx dxebx dx 拆分比较灵活拆分比较灵活.,u dv20例例2 2 求积分求积分.arctan xdxx解解 xdxxarctan)(ar
11、ctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 2arctan2xxd 21例例3 3 求积分求积分ln.xdx 解解ln xdx lnlnxxxdx lnxxxC1lnxxxdxx 22解解例例4 求求2xx e dx 有些形式的不定积分需要接连使用多次分部积有些形式的不定积分需要接连使用多次分部积 2xx e dx 22xxx exe dx 22xxxx exee dx 222xxxx exeeC 2(22)xexxC 2xx de 22xxx exde （再应用分
12、部积分公式）（再应用分部积分公式）必须是相同类型的因子，否则将进入循环积分过程必须是相同类型的因子，否则将进入循环积分过程.分法才能积出分法才能积出,这一过程需注意，每次选择的这一过程需注意，每次选择的u和和dv23解解 有些积分在接连应用多次分部积分后，会出现有些积分在接连应用多次分部积分后，会出现例例5 求求cosxexdx cosxexdx sinxe dx sinsinxxexexdx sincosxxexe dx sincoscos,xxxexexexdx 1.sincos2xeCxx 移项并化简，得移项并化简，得cosxexdx 与原来积分相同类型的项，经过移项合并后，可得与原来积
13、分相同类型的项，经过移项合并后，可得所求积分。所求积分。注：本题若选取注：本题若选取u=cosx,dv=exdx,会得到同样的结果会得到同样的结果.24解解例例6 求求32sin.xx dx 32sinxx dx 先用换元法，先用换元法，令令 故故 从而从而2,tx 2,dtxdx 1sin,2ttdt 再用分部积分法，得再用分部积分法，得32sinxx dx 1sin2ttdt 1(cos)2tdt 1(coscos)2tttdt 1(cossin)2tttC22211cossin.22xxxC 251.有理函数：两个多项式的商表示的函数。有理函数：两个多项式的商表示的函数。11101110
14、()()nnnnmmmma xaxa xaP xQ xb xbxb xb （其中（其中 1101,;,nnnnm nN aaa a b b ，且，且 ）0nma b 10,b bR 当当 时，称为真分式时，称为真分式;nm 当当 时，称为假分式。时，称为假分式。nm 四、四、有理函数的积分有理函数的积分26假分式可以化为一个多项式和一个真分式之和。假分式可以化为一个多项式和一个真分式之和。32311xxx 22(1)211x xxx 2211xxx 如：如：2.真分式的分解真分式的分解一般步骤：一般步骤：对分母在实数范围内作标准分解对分母在实数范围内作标准分解 真分式化为部分分式之和真分式化为
15、部分分式之和(关键关键)。确定待定常数（法确定待定常数（法1：通分，比较同幂项系数。：通分，比较同幂项系数。法法2：特殊值法）：特殊值法）。27真分式化为部分分式之和的一般规律真分式化为部分分式之和的一般规律:(1)分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为()kxa121()()kkkAAAxaxaxa 其中其中 为待定常数。为待定常数。12,kA AA（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为2()kxpxq11222212()()kkkkM xNM xNM xNxpxqxpxqxpxq 其中其中 为待定常数。为待定常数。,(1,2,)iiM N ik28解
16、解例例1 求求221(1)xdxx x 设设2221(1)(1)1xABCx xxxx 221(1)(1)xA xBxCx x 令令 ，得，得0 x 1A 令令 ，得，得 1x 3B 令令 ，得，得 ，所以，所以 2x 522ABC 1C 于是于是 2221131(1)(1)1xx xxxx 292211()xdxx x2131(1)1dxxxx 2131(1)1(1)1dxd xdxxxx 3lnln11Cxxx 30解解设设 22227(1)(1)11xxABxCxxxx 2227(1)()(1)xxA xBxCx令令 ，得，得1x 2A 令令 ，得，得 ，所以，所以 0 x 7AC 5C
17、 令令 ，得，得 ，所以，所以2x 152ABC 3B 例例2 求求2227(1)(1)xxdxxx 2227(1)(1)xxdxxx 223511xdxxx 312211235111xdxdxdxxxx 22213112(1)(1)51211d xd xdxxxx 232lnln(1)5arctan12xxCx 2227(1)(1)xxdxxx 223511xdxxx 32解解222613xdxxx 2264613xdxxx 2222(613)4613(3)2d xxdxxxx 2223(613)2236131()2xdd xxxxx 23ln(613)2arctan2xxxC 例例3 求求222613xdxxx 33 作业：作业：P111 T5(6)(10)T6(7)(8)(13)小结小结二、分部积分法二、分部积分法一、换元积分法一、换元积分法 第二类换元法第二类换元法三、有理函数积分简介三、有理函数积分简介
