1、 5.2 General Theory of Linear ODEs5.2.2 非齐线性微分方程组非齐线性微分方程组)()(ttfxAx(5.14)性质性质1 1)(t 是是(5.14)的解，的解，)()(tt 是是(5.14)的解。的解。方程组方程组(5.15)的解，则的解，则 如果如果)(t 是对应齐次是对应齐次)()()()(tttt )()()()()(ttttt AfA)()()()(ttttfA 5.2 General Theory of Linear ODEs)()(tt )()()(ttt A性质性质2)()(tt 和是是(5.14)的任意两个解，的任意两个解，)()(tt 是
2、是(5.14)对应齐次线性方程组对应齐次线性方程组如果如果则则(5.15)的解。的解。)()()()()()(ttttttfAfA 5.2 General Theory of Linear ODEs)(t)(t)(t 都可以都可以)()()(ttt c 定理定理7 7 设设是是(5.15)的基解矩阵，的基解矩阵，是是(5.14)的某的某一解，则一解，则(5.14)的任一解的任一解这里这里 c 是确定的常数列向量。是确定的常数列向量。(5.23)(t 是是(5.14)的任一解，的任一解，)()(tt 是齐次方程组是齐次方程组(5.15)的解，因此存在常列向量的解，因此存在常列向量 c，使得使得)
3、()(tt c)(t)()()(ttt c 证明证明表示为表示为:5.2 General Theory of Linear ODEs已知已知(5.15)的基解矩阵的基解矩阵 ，则可用，则可用常数变易法常数变易法求求)(t)(t)()()(tttc的解，则的解，则)()()()()()()()(ttttttttfcAcc)()()(tttA(5.25)为了寻求为了寻求(5.14)的通解，只要知道的通解，只要知道(5.14)对应齐的对应齐的齐线性方程组齐线性方程组(5.15)的的基解矩阵基解矩阵和和自身的一个解即可。自身的一个解即可。假设假设(5.14)存在形如存在形如(5.14)的特解的特解而而
4、)()()(tttfc(5.24)5.2 General Theory of Linear ODEsttbattdssst001 ,)()()(fc这样，这样，(5.24)变为变为0c)(0tttbattdssstt001,)()()()(f 如果如果(5.14)有一个形如有一个形如(5.24)的解的解 ,则则)(t (5.26)()()(tttfc1由由(5.26)决定。决定。)(t 反之易证明由反之易证明由(5.26)决定的向量函数决定的向量函数)(t 一定是一定是(5.14)的解。的解。5.2 General Theory of Linear ODEsttbattdssstt001,)(
5、)()()(f (5.26)()()()()()()(tttdsssttttff110)()()()()()(tdssstttttffA01)()()()(ttttfA )(t 一定是一定是(5.14)的解。的解。反之易证明由反之易证明由(5.26)决定的向量函数决定的向量函数 5.2 General Theory of Linear ODEs0)(0t 定理定理8 8是是(5.15)的基解矩阵，则向量函数的基解矩阵，则向量函数ttdssstt01)()()()(f(5.27)如果如果)(t是是(5.14)的解，且满足初始条件的解，且满足初始条件(5.14)满足初始条件满足初始条件 )(0t的
6、解的解是是ttdssstttt0101)()()()()()(f (5.26)(5.14)通解通解ttdsssttt01)()()()()(fc 5.2 General Theory of Linear ODEs例例2 2试求下面初值问题的解试求下面初值问题的解21 01011xxetxxx其中,110)(x解解22211 xxexxxt22211 xxxxx11222tttxc ec texc e 5.2 General Theory of Linear ODEsttteteet0)(基解矩阵基解矩阵0121cc1021cc0tettetetecx22tttececx211ttdsssttt
7、t0101)()()()()()(f 5.2 General Theory of Linear ODEsttteteet0)(sssseseees0121)(ses101E)(01)(t dseeseteetssttt00101110dseeteetsttt020110ttdssstttt0101)()()()()()(f 5.2 General Theory of Linear ODEsdseeteetsttt020110021211102tttteetee112102)(tttteeteetttteeete)(21)(t tttteeete)(21 5.2 General Theory o
8、f Linear ODEs课堂练习：课堂练习：试求下面初值问题的解试求下面初值问题的解21 2012xxttxxx其中,cossin110)(x 5.2 General Theory of Linear ODEs分析常数变易法分析常数变易法/Analytic of Unknown Function Method/)()()(tttc)()()()()()(tcttcttctnnxxx2211(5.25)()()(tttfc)()()()()()()()()()()()()()()(tftftftctctctxtxtxtxtxtxtxtxtxnnnnnnnn2121212222111211)()
9、()()()()()()()(det)(txtftxtxtftxtxtftxtWnnnnnnk122211111 5.2 General Theory of Linear ODEsnktWtWtckk,)()()(21 01dssWsWttttknkk)()()()(x)()()(tttc)()()()()()(tcttcttctnnxxx2211是是(5.14)的满足的满足 0)(0t 的解。的解。nkdssWsWtcttkk,)()()(21 0 5.2 General Theory of Linear ODEs推论推论3 3)(),(,),(),(tftatatan21是区间是区间bta
10、上的连续函数，上的连续函数，)(,),(),(txtxtxn21是对应齐次方程是对应齐次方程011xtaxtaxnnn)()()()(的基本解组，那么，非齐次线性方程（的基本解组，那么，非齐次线性方程（5.28）)()()()()(tfxtaxtaxnnn11(5.21)(5.28)如果如果满足初始条满足初始条件件,)(,)(,)()(battttn00100000 的解的解为为应用到应用到n阶线性方程阶线性方程 5.2 General Theory of Linear ODEs)()()()()()()()()(det)()()()(txtxtxtxtxtxtxtxtxtWnnnnnn112
11、112121)()()()()()(det)(txtxtxtxtxtxtWnnnnnk1001221111dssfsxsxsxWsxsxsxWtxtnkttnnkk)()(,),(),()(),(),()()(121210(5.29)5.2 General Theory of Linear ODEs(5.28)的常数变易公式是的常数变易公式是dssfsxsxsxWsxsxsxWtxtnkttnnkk)()(,),(),()(),(),()()(121210(5.28)的通解可以表示为的通解可以表示为)()()()(ttxctxctxcxnn2211 思考思考1 推论推论3的推导过程的推导过程2
12、 到目前为止到目前为止 n 阶线性方程求特解的方法有多少？阶线性方程求特解的方法有多少？5.2 General Theory of Linear ODEs当当n=2时，公式时，公式(5.29)就是就是ttttdssfsxsxWsxsxWtxdssfsxsxWsxsxWtxt00212122212111 )()(),()(),()()()(),()(),()()()()()()(),(sxsxsxsxsxW22221110)()()()(),(sxsxsxsxsxW11121210 5.2 General Theory of Linear ODEs因此，当因此，当n=2时常数变易公式变为时常数变
13、易公式变为dssfsxsxWsxtxsxtxttt)()(),()()()()()(0212112而通解就是而通解就是)()()(2211ttxctxcx这里这里 任意常数。任意常数。21,cc(5.31)(5.32)5.2 General Theory of Linear ODEs利用公式利用公式(5.31)(5.31)来求方程的一个解，来求方程的一个解，例例3tgtxx 解解ttxttxsin)(,cos)(21的一个特解。的一个特解。121tttttxtxWcossinsincos)(),(0 xx试求方程试求方程易知对应的齐线性方程易知对应的齐线性方程的基本解组为的基本解组为,dssf
14、sxsxWsxtxsxtxtt)()(),()()()()()(0212112sdsststttan)sincoscos(sin0 5.2 General Theory of Linear ODEs注意，因为注意，因为sintsint是对应的齐线性方程的解，所以函数是对应的齐线性方程的解，所以函数tgttttseclncos)(也是原方程的一个解。也是原方程的一个解。ttsdsstsdst00tansincossinsinsdsststttan)sincoscos(sin0)tansecln(sincos)cos(sintttttt1tgttttseclncossin作业作业P.202,第第6
15、,8，9(a)题。题。5.2 General Theory of Linear ODEs求求齐次线性方程组齐次线性方程组的解的另一方法：的解的另一方法：消元法消元法22211 xxxxx保留一个未知函数 x1，消掉另一个未知函数 x2211xxx 211xxx 112xxx1112xxx 02111 xxxtttececx211ttttttecectecececx212212tecx2211222tttxc ec texc e 5.2 General Theory of Linear ODEs求求非齐次线性方程组非齐次线性方程组的另一方法：的另一方法：消元法消元法22211 xxexxxt保留
16、一个未知函数 x1，消掉另一个未知函数 x2texxx 211texxx 211texxx112texxx 22111texxx 22111tttececx211tttttttteetececetecececx21 21212212tecx22te21 5.2 General Theory of Linear ODEstttetececx21211tecx22）ttteetex(211tex 2110)(x121 21cc 5.2 General Theory of Linear ODEs利用消元法，求下列方程组的通解利用消元法，求下列方程组的通解txxxxsin111221213132321xxxxxxxxx练习：练习：122112xxxxx
