1、8.2猜想与证明中考数学中考数学(河北专用)一、与尺规作图有关的证明一、与尺规作图有关的证明(2016江苏盐城,23,10分)如图,已知ABC中,ABC=90.(1)尺规作图:按下列要求完成作图(保留作图痕迹,请标明字母).作线段AC的垂直平分线l,交AC于点O;连接BO并延长,在BO的延长线上截取OD,使得OD=OB;连接DA、DC.(2)判断四边形ABCD的形状,并说明理由.好题精练解析解析(1)如图所示.(2)四边形ABCD是矩形.理由:RtABC中,ABC=90,BO是AC边上的中线,BO=AC,AO=CO,又BO=DO,AO=CO=BO=DO,四边形ABCD是矩形.12二、与图形平移
2、、轴对称有关的证明二、与图形平移、轴对称有关的证明(2015山东东营,24,10分)如图,两个全等的ABC和DEF重叠在一起,固定ABC,将DEF进行如下变换:(1)如图1,DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动),连接AF、AD、BD,请直接写出SABC与S四边形AFBD的关系;(2)如图2,当点F平移到线段BC的中点时,若四边形AFBD为正方形,那么ABC应满足什么条件?请给出证明;(3)在(2)的条件下,将DEF沿DF折叠,点E落在FA的延长线上的点G处,连接CG,请你在图3的位置画出图形,并求出sinCGF的值.图3解析解析(1)SABC=S四边形AFBD.(2)ABC为等腰
3、直角三角形,即AB=AC,BAC=90.理由如下:F为BC的中点,CF=BF.CF=AD,AD=BF.又ADBF,四边形AFBD为平行四边形.AB=AC,F为BC的中点,AFBC,平行四边形AFBD为矩形.BAC=90,F为BC的中点,AF=BC=BF,四边形AFBD为正方形.(3)正确画出图形如图所示.12由(2)知,ABC为等腰直角三角形,AFBC.设CF=k,k0,则GF=EF=CB=2k.由勾股定理,得CG=k.sinCGF=.5CFCG5kk55三、与图形旋转有关的证明三、与图形旋转有关的证明(2016山东日照,18,9分)如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线BD上两点,且EAF
4、=45,将ADF绕点A顺时针旋转90后,得到ABQ,连接EQ,求证:(1)EA是QED的平分线;(2)EF2=BE2+DF2.证明证明(1)将ADF绕点A顺时针旋转90后,得到ABQ,QB=DF,AQ=AF,QAF=90,EAF=45,QAE=45,在AQE和AFE中,AQE AFE(SAS),QEA=FEA,即EA是QED的平分线.(2)AQE AFE,QE=EF,在RtQBE中,QB2+BE2=QE2,则EF2=BE2+DF2.,AQAFQAEFAEAEAE 一、与尺规作图有关的证明一、与尺规作图有关的证明(2014广东广州,23,12分)如图,ABC中,AB=AC=4,cos C=.(1
5、)动手操作:利用尺规作以AC为直径的O,并标出O与AB的交点D,与BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)综合应用:在你所作的图中,求证:=;求点D到BC的距离.555DECE教师专用题组教师专用题组解析解析(1)如图所示即为所求.(2)证明:如图,连接AE,AC为直径,AEC=90,又AB=AC,BAE=CAE,=.DECE如图,连接CD,过点D作DFBC于F,AB=AC=4,cosACB=,EC=ACcosACB=4,BC=2CE=8,AE=8.AC为直径,ADC=90,SABC=ABCD,又AEC=90,SABC=AEBC,ABCD=AEBC.CD=,AD=,BD=AB-AD=.S
6、DBC=SDBC,BDCD=DFBC,DF=,点D到BC的距离为.55522ACCE1212121216 5522ACCD12 558 551212165165二、与图形平移、轴对称有关的证明二、与图形平移、轴对称有关的证明(2015北京,28,7分)在正方形ABCD中,BD是一条对角线.点P在射线CD上(与点C,D不重合),连接AP,平移ADP,使点D移动到点C,得到BCQ,过点Q作QHBD于点H,连接AH,PH.(1)若点P在线段CD上,如图1,依题意补全图1;判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;(2)若点P在线段CD的延长线上,且AHQ=152,正方形ABCD的边长为1,请写出
7、求DP长的思路.(可以不写出计算结果)图1 备用图解析解析(1)补全图形,如图1所示.图1AH与PH的数量关系:AH=PH,位置关系:AHPH.证明:如图1.由平移可知,PQ=DC.四边形ABCD是正方形,AD=DC,ADB=BDQ=45.AD=PQ.QHBD,HQD=HDQ=45.HD=HQ,ADB=DQH.ADH PQH.AH=PH,AHD=PHQ.AHD+DHP=PHQ+DHP.即AHP=DHQ=90.AHPH.(2)求解思路如下:a.由AHQ=152画出图形,如图2所示;b.与同理,可证AHD PHQ,可得AH=PH;c.由AHP=AHD-PHD=PHQ-PHD=90,可得AHP是等腰
8、直角三角形;d.由AHQ=152,BHQ=90,可求BHA,DAH,PAD的度数;e.在RtADP中,由PAD的度数和AD的长,可求DP的长.图2三、与图形旋转有关的证明三、与图形旋转有关的证明1.(2018江西,22,9分)在菱形ABCD中,ABC=60,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化.(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是 ,CE与AD的位置关系是 ;(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理
9、).(3)如图4,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=2,BE=2,求四边形ADPE的面积.319图4解析解析(1)相等(或BP=CE);垂直(或CEAD).(2)成立.证明:如图,连接AC,交BD于点O.当点P在线段OD上时,四边形ABCD为菱形,ABC=60,AB=BC,ABD=30,ABC为等边三角形,BAC=60,AB=AC.APE为等边三角形,AP=AE,PAE=60.BAC+PAC=PAE+PAC.即BAP=CAE.在APB与AEC中,ABP ACE,BP=CE,ACE=ABP=30.ACD为等边三角形,ACE=DCE=30,CEAD.当点P在BD延长线上时,证明方法同
10、第一种情况.(3)如图,连接AC,CE,设AD与CE交于点M,由(2)可得BAP CAE,BP=CE,CEAD,ACE=ABP=30.ABC为等边三角形,ACB=60,BCE=90.,ABACBAPCAEAPAE BC=AB=2,BE=2,CE=8.BP=8.ADC为等边三角形,且边长为2,AM=,CM=3.EM=8-3=5.AE=2.S等边AEP=(2)2=7.设AC与BD交于点O,菱形ABCD的边长为2,BD=6,AO=,DP=8-6=2.SADP=2=.S四边形ADPE=7+=8.31922BEBC76 123322AMEM22(3)52873473331233333思路分析思路分析 (
11、1)根据菱形ABCD中,ABC=60,可得ABC和ACD为等边三角形,ABP=30,由于APE为等边三角形,可利用SAS证得BAP CAE,进而得出PB=EC,ABP=ACE=30,进一步得出DCE=ACE=30,依据等边三角形的性质可得CEAD;(2)结论仍然成立,证明方法同上;(3)首先根据AB=BC=2,BE=2,求出CE=BP=8,进而求出EM,AE的长,最后分别求出DAP和PAE的面积,即可得解.319方法指导方法指导 几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,类比探究的第一问往往是特殊图形,解决的方法可能不止一种,但总有一种方法是可以照搬到后面几问,其中所涉及的三角形全等或相似
12、,要寻找的等量关系或添加的辅助线均类似.同时,要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方法.2.(2016湖北荆门,19,9分)如图,在RtABC中,ACB=90,点D,E分别在AB,AC上,CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CF,连接EF.(1)补充完成图形;(2)若EFCD,求证:BDC=90.解析解析(1)补全图形,如图所示.(2)证明:由旋转的性质得DCF=90,DCE+ECF=90,ACB=90,DCE+BCD=90,ECF=BCD,EFDC,EFC+DCF=180,EFC=90,在BDC和EFC中,BDC EFC(SAS),BDC=EFC=90.,DC
13、FCBCDECFBCEC 3.(2015辽宁本溪,25,12分)如图1,在ABC中,AB=AC,射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转,旋转角为(0”“=”或“”),线段BD、CD与AD之间的数量关系是 ;(2)当BAC=120时,将BP旋转到图3位置,点D在射线BP上,若CDP=60,求证:BD-CD=AD;(3)将图3中的BP继续旋转,当30180时,点D是直线BP上一点(点P不在线段BD上),若CDP=120,请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系(不必证明).3解析解析(1)如图,CDP=120,CDB=60,BAC=60,CDB=BAC=60,A、B、C、D四点共圆,ACD
14、=ABD.在BP上截取BE=CD,连接AE.在DCA和EBA中,DCA EBA(SAS),AD=AE,DAC=EAB,CAB=CAE+EAB=60,DAE=60,ADE是等边三角形,DE=AD.BD=BE+DE,BD=CD+AD.,ACABACDABECDBE(2)证明:如图,设AC与BD相交于点O,在BP上截取BE=CD,连接AE,过A作AFBD于F.CDP=60,CDB=120.CAB=120,CDB=CAB,DOC=AOB,DOCAOB,DCA=EBA.在DCA和EBA中,DCA EBA(SAS),AD=AE,DAC=EAB.,ACABACDABECDBE CAB=CAE+EAB=120
15、,DAE=120,ADE=AED=30.在RtADF中,ADF=30,DF=AD,DE=2DF=AD,BD=DE+BE=AD+CD,BD-CD=AD.(3)BD+CD=AD.18012023233334.(2014辽宁抚顺,25,12分)已知:RtABC RtABC,ACB=ACB=90,ABC=ABC=60,RtABC可绕点B旋转,设旋转过程中直线CC和AA相交于点D.(1)如图1所示,当点C在AB边上时,判断线段AD和线段AD之间的数量关系,并证明你的结论;(2)将RtABC由图1的位置旋转到图2的位置时,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)将RtABC由图
16、1的位置按顺时针方向旋转角(0120),当A、C、A三点在一条直线上时,请直接写出旋转角的度数.解析解析(1)AD=AD.证明:RtABC RtABC,BC=BC,BA=BA.ABC=ABC=60,BCC和BAA都是等边三角形.BAA=BCC=60.ACB=90,DAC=30.ACD=BCC=60,ADC=60.DCA=30.DAC=DCA,DCA=DAC.AD=DC,DC=DA.AD=AD.(2)AD=AD.证明:连接BD,由旋转可得:BC=BC,BA=BA,CBC=ABA,=.BCCBAA.BCC=BAA.BOC=DOA,BOCDOA.ADO=OBC,=.BOD=COA,BODCOA.BDO=CAO.BCBCBABAOBODOCOAACB=90,CAB+ABC=90.BDO+ADO=90,即ADB=90.BA=BA,ADB=90,AD=AD.(3)=60.当A、C、A三点在一条直线上时,有ACB=180-ACB=90.在RtACB和RtACB中,RtACB RtACB(HL).ABC=ABC=60.当A、C、A三点在一条直线上时,旋转角的度数为60.,ABABBCBC
