1、第二章第二章 弹性力学基本理论弹性力学基本理论 2-1 一点的应力状态一点的应力状态2-2 平衡微分方程平衡微分方程2-3 几何方程几何方程2-4 物理方程物理方程 2-5 弹性力学的基本方程及其边值问题弹性力学的基本方程及其边值问题2-6 应变协调方程应变协调方程2-7 弹性力学问题的基本解法弹性力学问题的基本解法 解的唯一性解的唯一性定理定理2-8 圣维南原理圣维南原理2-1 一点的应力状态一点的应力状态面力体力集中力应力一点处应力状态的描述方法.一、一点处应力状态的张量表示一、一点处应力状态的张量表示 一点的应力状态可以用9个应力分量来表示。应力的第一个下标表示作用面方位，第二个下标表示
2、它的方向。（正应力的2个下标相同简写为1个）正负号规定：正负号规定：当微分面外法线指向与坐标轴正方向一致时，这些应力分量以沿坐标轴正方向为正；当微分面外法线指向与坐标轴负方向一致，则这些应力分量以沿坐标轴负方向为正。与上述情况相反，则为负的应力。由于切应力互等，上述9个分量中只有6个是独立的。zzyzxyzyyxxzxyxij333231232221131211ij 所谓张量是指在坐标变换时，按某种指定形式变化的量。在给定的受力情况下，各应力分量的大小与坐标轴的方向有关，而它们作为一个整体用来表示一点应力状态的这一物理量(称为应力张量应力张量)则与坐标的选择无关，张量的分量随坐标的变换而变化。
3、应力张量是二阶对称张量。6个应力分量将完全确定一点的应力状态。应力张量应力张量nmlfnmlfnmlfzyzxznzzyyxynyzxyxxnx二、斜截面上的应力injnfij2-62-6Easy come,easy go.Easy come,easy go.Exercises2-6 已知物体内一点的六个应力分量为试求法线方向余弦为的微分面上的总应力fn，正应力n和切应力n。25zy25xm/N10300,0,m/N1050025xz25yzm/N10800,m/N1075025xym/N10500212121n,m,l2-2 平衡微分方程与应力边界条件平衡微分方程与应力边界条件 一、平衡微分
4、方程一、平衡微分方程纳维（纳维（Navier）方程）方程 22yz22y22x0y0y0twFzxtvFzxtuFzyxzzxzyzxxyxzxyx22,0tuFjjiiju，v，w称为位移分量位移分量 二、应力边界条件二、应力边界条件 nmlfnmlfnmlfzyzxzzzyyxyyzxyxxxijijfn A点平衡，图（b），得：0,jiijFjiijB点平衡得：ijijfn 注意！应力分量在物体内满足平衡微分方程、在边界上满足应力边界条件，这是物体平衡的充分必要条件，但必须指出，这仅仅是静力上可能静力上可能的平衡。应力分量不仅要满足平衡条件，还要满足变形协调条件。2-2 试叙述平衡微分方
5、程和静力边界条件的物理意义，满足平衡微分方程和静力边界条件的应力是否是实际存在的应力？为什么？2-11 一个任意形状的物体，其表面受均匀压力p作用，如果不计其体力，试验证应力分量是否满足平衡微分方程和该问题的应力边界条件？0 xyzxyzzyx,p2-3 几何方程几何方程 几何方程几何方程柯西（柯西（Cauchy）方程）方程 yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzxzyyzx,21yzyz,21xzxzxyxy21ijjiijuu,21zyzxzzyyxyzxyxxij212121212121一、应变张量 如不计物体的刚体运动部分，在小变形假设的前提下，由物体变形而引起的微分六面体在方位上
6、的转动是极其微小的，见图（a）。因而在推导位移分量与应变分量之间的几何关系式时，用这三条棱边在坐标平面上的投影长度代替它们的实际长度，用它们在坐标平面投影之间的夹角代替实际的夹角，这样的处理不会引起明显的误差，见图（b）。xudxdxdxxudxmamaamMAMAAMx yxxyxyambAMB22xvxuxvxxuxvxxvvamaayxyx 1tandddxvyx几何意义?2-4 物理方程物理方程一、一、以应力表示应变的广义虎克定律以应力表示应变的广义虎克定律二、以应变表示应力的广义虎克定律二、以应变表示应力的广义虎克定律三、三、以体积应变表示体积应力的虎克定律以体积应变表示体积应力的虎
7、克定律 一、一、以应力表示应变的广义虎克定律以应力表示应变的广义虎克定律xyxyyxzxzxzzxyyzyzzyxEEEEEE12 ,112 ,112 ,1zyx11ijijkkijE二、以应变表示应力的广义虎克定律二、以应变表示应力的广义虎克定律，称为拉称为拉梅（梅（LamLam）弹）弹性系数性系数xyyzzzxzxzyyyzyzxx,2,2,2zyx称为体积应变称为体积应变xyyzzzxzxzyyyzyzxx,2,2,2E21zyx称为体积应力)1(2,)21)(1(EEGE是杨氏（杨氏（Young）弹性模量，）弹性模量，是泊松（是泊松（Poisson）比）比。G为剪切弹性模量 三、三、以
8、体积应变表示体积应力的虎克定律以体积应变表示体积应力的虎克定律 2-5 弹性力学的基本方程及其边值问题弹性力学的基本方程及其边值问题22yz22y22x0y0y0 xtwFzxtvFzxtuFzyzzxzyzxxyxzxyxyuxvwxwzuyvzvywuzyxxyxzyz ,z ,xxyxyyxzxzxzzxyyzyzzyxEEEEEE12 ,112 ,112 ,1zyxxyzxzyyzxGGGGGGxyzxzyyzx ,2 ,2 ,2平衡（运动）微分方程平衡（运动）微分方程 几何方程几何方程应变和位移的关系应变和位移的关系 物理方程物理方程应力和应变的关系应力和应变的关系 三类边界条件（1
9、）在全部边界上已知面力（弹性力学的第一类边值问题）弹性力学的第一类边值问题）（2）在全部边界S上已知边界位移（弹性力学的第二类边值问题）弹性力学的第二类边值问题）（3）在部分边界S上已知面力，在另一部分边界Su上已知边界位移（弹性力学的第三类边值问题，弹性力学的第三类边值问题，又称混合边值问题混合边值问题。)如不考虑物体的刚体运动，则三类边值问题的解是唯一的。对于弹性动力学问题，还须给出问题的初始条件。ijijfn iiuu ijijfn iiuu （在S上）（在S上）（在Su上）（在S上）应变协调方程应变协调方程?2-6 应变协调方程应变协调方程几何方程几何方程表明：六个应变表明：六个应变分
10、量是通过三个位移分量分量是通过三个位移分量表示的，显然，六个应变表示的，显然，六个应变分量不是互不相关的。分量不是互不相关的。六个应变分量必须满足一六个应变分量必须满足一定的条件定的条件。从几何方程中消去位移分从几何方程中消去位移分量量。yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzxzyyzx,ijjiijuu,21（2-6）应变协调方程推导（应变协调方程推导（1）由方程（由方程（2-6）的第一式和第的第一式和第二式分别对二式分别对y及及x求二阶偏导数，求二阶偏导数，然后相加，再然后相加，再注 意 到 方 程注 意 到 方 程（2-6）的第六）的第六式，则有式，则有yxyuxvyxyxxyxy2
11、22222yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzxzyyzx,应变协调方程推导（应变协调方程推导（2）由方程（由方程（2-6）中的第四、第中的第四、第五和第六式分五和第六式分别对别对x，y，z求求一阶偏导数，一阶偏导数，然后，对第一然后，对第一个等式两边冠个等式两边冠以负号，再与以负号，再与后两式相加，后两式相加，得得 yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzxzyyzx,zyu2zyx2xyxzyz应变协调方程推导（应变协调方程推导（3）为 了 进 一 步为 了 进 一 步消 除 上 式 右消 除 上 式 右端 的 位 移 分端 的 位 移 分量量u，将上式，将上式两边对两边对x求一求
12、一阶 偏 导 数，阶 偏 导 数，再 注 意 到 式再 注 意 到 式（2-6）的第）的第一式，便有一式，便有 yuxvzwxwzuyvzvywxuxyzxzyyzx,zyu2zyx2xyxzyzzyzyxxxxyxzyz22应变协调方程，又称圣应变协调方程，又称圣维南（维南（Saint Venant）方）方程。程。其中，其中，e eijkijk为笛卡儿坐标系为笛卡儿坐标系中的置换张量，当中的置换张量，当i i，j j，k k按按1 1，2 2，3 3；2 2，3 3，1 1；3 3，1 1，2 2顺序排列时为顺序排列时为+1+1；当按逆；当按逆序排列时为序排列时为-1-1；当有两个或；当有两
13、个或者三个指标重复时为零。者三个指标重复时为零。m m和和n n有有6 6个不同的选择，即个不同的选择，即mn=11mn=11，2222，3333，1212，2323，3131。由此可得方程。由此可得方程 yxzyxzzxzyxyzyzyxxyxyxzxxzzyzyzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyzxyxyxzzxyzyz2222222222222222222220lnjikmkl,ijee 2-7 弹性力学问题的基本解法弹性力学问题的基本解法 解的唯一性定理解的唯一性定理一、位移解法一、位移解法 以位移表示的平衡（或运动）以位移表示的平衡（或运动）微分方程微分方程 二、应力解法二、应
14、力解法 以应力表示的应变协调方程以应力表示的应变协调方程 三、解的唯一性定律三、解的唯一性定律 逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法 一、位移解法思路一、位移解法思路1.以位移为基本未知量，联合平衡微分、几何、物理三个方程组，消去应力分量和应变分量，得到拉姆方程。2.在给定边界条件下拉姆方程位移分量几何方程应变分量物理方程应力分量计算过程计算过程22yz22y22x0y0y0 xtwFzxtvFzxtuFzyzzxzyzxxyxzxyxyuxvGzwGxwzuGyvGzvywGxuGxyzxzyyzx ,2 ,2 ,2zwyvxu2222222zyx拉普拉斯（Laplace,p.-S.）算子 22
15、22222220z00 xtwFwGGtvFvGyGtuFuGGzyx位移表示的平衡微分位移表示的平衡微分方程方程，称为拉梅方程拉梅方程 位移解法位移解法边界条件用位移分量表示nzwmzlzuGnzwmywlxwGnnywmylyuGnzmylxGmnxwmxlxuGnzumyulxuGlzyxfffsisjjiikkinGunGunuf,或表示为 二、应力解法二、应力解法 以应力表示的协调方程以应力表示的协调方程 应力解法则以应力分量作为基本未知量，前面已说过，应力分量必须满足平衡微分方程以及静力应力分量必须满足平衡微分方程以及静力边界条件边界条件，这是保证物体的平衡的充要条件，但这仅仅是静
16、力上可能的平衡，不是实际存在的平衡，这组应力分量也不一定是真正的应力，而真正的应力不仅要满足平衡微分方程与静力边界条件，还要求与这组应力分量相应的应变分量满足应变协调方应变协调方程程，这样才能既满足了物体的平衡又满足了物体的连续，由此可知，应变协调方程在应力解法中是十应变协调方程在应力解法中是十分重要的分重要的。以应力表示应变的物理方程代入应变协调方程式中，得到以应力表示的协调方程以应力表示的协调方程。求解思路求解思路1.推导应力协调方程2.在给定边界条件下平衡微分方程+应力协调方程应力分量物理方程应变分量几何方程位移分量yxzyxzzxzyxyzyzyxxyxyxzxxzzyzyzxyxzy
17、zyxyxzyzxxyxzyzxyxyxzzxyzyz222222222222222222222xyxyyxzxzxzzxyyzyzzyxEEEEEE12 ,112 ,112 ,1zyxxyxyzzxzxzyyyzyzxxEEEEEEEEE)1(2,1)1(2,1)1(2,1应力协调方程的推导应力协调方程的推导yxzyxzzxzyxyzyzyxxyxyxzxxzzyzyzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyzxyxyxzzxyzyz222222222222222222222zyzyzyyzyz22222222221zyxxzyzyxyxzyzx221为了得到更简单的形式，还可利用平衡微分方程
18、,经过升高一阶偏导数以后的等式将上述的方程加以简化以应力表示的协调方程以应力表示的协调方程 yFxFyxxFzFzxzFyFzyzFzFyFxFzyFzFyFxFyxFzFyFxFxxyxyzxxzyzyzyzyxzyzyxyxzyxx2222222222222222111111211121112111应力协调方程应力协调方程，又称贝脱拉密贝脱拉密-米 切 尔 方 程米 切 尔 方 程（Beltrami-Michell）。011,011011,011011,011222222222222222yxzzxyzyxxyzxzyyzx011,ijkkkkij当体力为常数时，以应力表示的协调以应力表示
19、的协调方程方程又可以简化为三、解的唯一性定律 逆解法和半逆解法 存在问题：一般很难直接求解偏微分方程由于这种数学上的困难几乎否定了弹性力学的实用性，直到圣维南的逆解法与半逆解法的提出，才使大量有实用价值的弹性力学问题得以解决。而逆解法与半逆解法的一个重要理论依据就是解的唯一性定律解的唯一性定律，它可以表述如下：假如弹性体受已知体力作用，在物体的表面处，或者面力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知而另一部分上位移已知，则弹性体在平衡时，体内各点的应力分量与应变分量是唯一的，对于后两种情况，位移分量也是唯一的。上述定律可以利用应变能定律证明 逆解法和半逆解法 逆解法即先按某种方法给出一组满足全
20、部基本方程的应力分量或位移分量，然后考察在确定的坐标系下，对于形状和几何尺寸完全确定的物体，当其表面受什么样的面力作用或具有什么样的位移时，才能得到这组解答。所谓半逆解法，即对于给定的问题，根据弹性体的几何形状、受力特点或材料力学已知的初等结果，假设一部分应力分量或位移分量为已知，然后由基本方程求出其他量，把这些量合在一起来凑合已知的边界条件。另外，半逆解法也可以理解为针对给定的问题，假设全部的应力分量或位移分量作为已知，然后校核这些假设的量是否满足弹性力学的基本方程和边界条件。讨论 比较上述两种方法，逆解法求解问题简单，但缺乏针对性，半逆解法是针对所要求解的问题进行的，所以使用的面比较广。逆
21、解法与半逆解法看上去好像不太严格，应力分量和位移分量都是假设了以后再去凑合或验证出来的，其实只要它们最后是满足了基本方程，又满足了边界条件，根据解的唯一性定律，可以断定这些应力分量或位移分量就是所要求的唯一的一组解。2-8 圣维南原理圣维南原理 在求解弹性力学问题时，应力分量、应变分量在求解弹性力学问题时，应力分量、应变分量和位移分量等必须满足区域内的三套基本方程和边和位移分量等必须满足区域内的三套基本方程和边界上的边界条件，因此，弹性力学问题属于数学物界上的边界条件，因此，弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题。实际中要使边界条件得到完理方程中的边值问题。实际中要使边界条件得到完全满足，往
22、往遇到很大的困难。这时，全满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理圣维南原理可为简化局部边界可为简化局部边界上的应力边界条件提供方便。上的应力边界条件提供方便。1855年，圣维南在他发表的一篇有关柱体扭弯年，圣维南在他发表的一篇有关柱体扭弯问题的论文中指出：问题的论文中指出：若在物体任一小部分上作用一个平衡力系，则该平若在物体任一小部分上作用一个平衡力系，则该平衡力系在物体内所产生的应力分布仅局限于该力系衡力系在物体内所产生的应力分布仅局限于该力系作用的附近区域，在离该区域的相当远处，这种影作用的附近区域，在离该区域的相当远处，这种影响便急剧地减小。响便急剧地减小。这就是圣维南原理，或称为局
23、部这就是圣维南原理，或称为局部性原理。性原理。知识点知识点1.弹性力学基本方程弹性力学基本方程 1.1 平衡（运动）微分方程 1.2 几何方程 1.3 物理方程 1.3.1 以应力表示应变 1.3.2 以应变表示应力2.边界条件边界条件 2.1 面力边界条件 2.2 位移边界条件 2.3 混合边界条件3.应变协调方程应变协调方程 3.1 单连通与多连通 3.2 位移单值条件 4.弹性力学基本弹性力学基本求解方求解方法法 4.1 位移解法 以位移表示的平衡微分方程 4.2 应力解法 应力协调方程5.解的唯一性原理解的唯一性原理6.逆解法和半逆解法逆解法和半逆解法7.圣维南原理圣维南原理欢迎大家批评指正！欢迎大家批评指正！
