1、第一节 定积分的概念与性质第六章 定积分二.定积分的定义一.曲边梯形的面积三.定积分的几何意义四.定积分的基本性质一.曲边梯形的面积 曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.1.曲边梯形Oxyab1x1ixix)(xfy,0)(xf设 .),()(baCxf,1110bxxxxxxannii任意引入分点 ).,2,1(,1nixxnbaii个小区间成分将 .1个小区间的长度表示第用ixxxiii称为区间的一个分法 T2.求曲边梯形的面积1ixixi ,1则iiixx .)(:iiixfS小
2、曲边梯形面积对每个小曲边梯形均作上述的代替 .的选择有关与iiSOxyab1x1ixix)(xfy .)(:11niiiniixfSS曲边梯形面积 .T 的选择有关及点与分法iS 极限过程是什么？如何求精确值？Oxyab1x1ixix)(xfy ,max|1则令inixx .)(lim :10niiixfS曲边梯形面积 .T 的选择无关及点与分法极限存在与否，i ，杂平面图形面积的方法该过程告诉了我们求复 .形面积的定义同时，也告知了平面图 想方法是：解决曲边梯形面积的思 .取极限求和代替分划 处理的问题的结果，即通常人们把这类方法所 .,)(上的定积分在区间这种极限值，称为函数baxf二.定
3、积分的定义 ,)(上有定义在设函数baxf,1110bxxxxxxannii任意引入分点 ).,2,1(,1nixxnbaii个小区间成分将区间iniiiiixfxx1n1)(S,作和 ,)(lim 10|的且该极限值与对区间存在若baxfniiix ,)(,T 上可积在则称函数的选择无关及点分法baxfi的定上在极限值称为记为 ,)(,d)(baxfxxfba .)max|()(limd)(:110|ininiiibaxxxxfxxf积分值定积分符号：.)(limd)(10|niiixbaxfxxf 定积分号；ba 积分下限；a 积分上限；b d)(被积表达式；xxf)(被积函数；xf d积
4、分变量；中的xx.,积分区间ba)(积分变量的取值范围关于定积分定义的几点说明 .,)(,T ),(d)()1(有关区间及只与的选择无关及点它与分法具体的数是一个极限值定积分baxfxxfiba.d)(d)(d)()2(bababattfyyfxxf号无关：定积分与积分变量的记abbaxxfxxfd)(d)()3(三、定积分的几何意义Oxyab)(xfy 1A2A3A,d)(1caxxfAcd.d)(3bdxxfA,d)(2dcxxfA由极限保号性：由极限保号性：,0d)(caxxf,0d)(dcxxf.0d)(bdxxf面积：面积：Oxyab)(xfy 1A2A3Acd ,)(d)(bxax
5、xfyxxfba与直线等于曲线.面积的代数和轴所围成的几何图形的及 x四.定积分的性质 由于定积分是一种和式的极限,所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中,假设所出现的函数均可积,所出现的定积分均存在.dabxba 1 性质证证 )(2 线性性质性质,d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxf .,为常数、式中由定积分定义及极限运算性质：niiiixbaxgfxxgxf10|)()(limd)()(niiixniiixxgxf10|10|)(lim)(lim.d)(d)(babaxxgxxf )(3 对区间的可加性性质bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)
6、(.,bca其中证证 .),()(,),()(),()(bcRxfcaRxfbaRxf ,T则成为分点使点选择适当的分法c,)()()(bciicaiibaiixfxfxf ,0|由可积性即得的极限取xbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(4 性质.d)(d)(,)()(babaxxgxxfbaxxgxf则若Oxyab)(xfy)(xgy 0gfAA5 性质.0d)(,0)(baxxfbaxxf则若 )(6 估值定理性质 ,)(,则最大值上的最小在分别为设baxfBA .)(d)()(abBxxfabAba证证.,)(),()(baxBxfAbaRxf由于baxxfd)(所以abxb
7、adbaxAabAd)(.)(dabBxBba例1.22dsin 21 24xxx证明：,tan ,2,4 sin)(则由令xxxxxxf证证0cos)tan(sincos)(22xxxxxxxxxf,2)2(,22)4(,2,4)(fmfMxf且故得运用估值定理由 ,)2,4()(,0)(Cxfxf.22)42(22dsin)42(221 24xxx )(7 积分中值定理性质使得则上保持符号不变在 ,baba.d)()(d)()(babaxxgfxxgxf ,1)(则若xgbabaxfxxfd)(d)(.)(abfOxyab)(),()(),()(xgbaRxgbaCxf且若)(xfy 证证.0)(,)(xgbaxg不妨设所以上不变号在由于 ),()(),()(故有又baRxgbaCxf),()()(baRxgxf ,d)(d)()(d)(xxgMxxgxfxxgmbababa.,)(,最小值上的最大在为其中baxfmM.6 ,0d)()1(显然成立则性质若baxxg ),()(,0d)()2(及则由若baCxfxxgba ,使得ba.d)()(d)()(babaxxgfxxgxf.7 ,获证性质综上所述 ,d)(d)()(Mxxgxxgxfmbaba
