1、飞行器结构力学基础飞行器结构力学基础电子教学教案电子教学教案西北工业大学航空学院西北工业大学航空学院航空结构工程系航空结构工程系第四章第四章 静不定结构的内力与变形计算静不定结构的内力与变形计算Internal Forces and Deformations ofStatically Indeterminate Structures第一讲第一讲静不定结构的概念静不定结构的概念力法基本原理与力法正则方程力法基本原理与力法正则方程4.1 静不定结构的概念静不定结构的概念所谓静不定结构是指：所谓静不定结构是指：具有多余约束的几何不变体具有多余约束的几何不变体。或或 f 0 的几何不变体的几何不变体。
2、从静不定结构的运动学上：从静不定结构的运动学上：结构的自由度数结构的自由度数 N独立的静力平衡方程数目独立的静力平衡方程数目N未知力未知力的数目的数目C从静不定结构的从静不定结构的静力学上：静力学上：所谓多余约束是指：所谓多余约束是指：去掉该约束后，不会改变原结构去掉该约束后，不会改变原结构的几何不变性的几何不变性。结构的约束数结构的约束数 C由线性代数的知识可知：由线性代数的知识可知：当方程的数目小于未知量的数目时，满足这组方程当方程的数目小于未知量的数目时，满足这组方程的未知量的解有无穷多组。的未知量的解有无穷多组。因此，对于静不定结构：因此，对于静不定结构：在满足静力平衡方程的无穷多组解
3、中，只有其中一在满足静力平衡方程的无穷多组解中，只有其中一组解是真实的，这组解必须同时满足变形协调方程。组解是真实的，这组解必须同时满足变形协调方程。换句话讲，仅满足静力平衡方程的解，不一定是静换句话讲，仅满足静力平衡方程的解，不一定是静不定结构的真实内力解。不定结构的真实内力解。通常，将多余约束通常，将多余约束(多余未知力多余未知力)的数目称为结构的的数目称为结构的静静不定次数或静不定度不定次数或静不定度。只有满足静力平衡条件，同时又满足变形协调条件只有满足静力平衡条件，同时又满足变形协调条件的内力，才是静不定结构的真正的内力。的内力，才是静不定结构的真正的内力。静定结构与静不定结构的对比：
4、静定结构与静不定结构的对比：静定结构静定结构静不定结构静不定结构运动学：运动学：具有最少必需约束。具有最少必需约束。静力学：静力学：静力平衡方程数目等于静力平衡方程数目等于未知力数目。未知力数目。内力求解方法：内力求解方法：仅由静力平衡条件即可仅由静力平衡条件即可求出全部未知力，或满足求出全部未知力，或满足静力平衡条件的内力即为静力平衡条件的内力即为其真实内力。其真实内力。运动学：运动学：具有多余约束。具有多余约束。静力学：静力学：静力平衡方程数目小于未知静力平衡方程数目小于未知力数目。力数目。内力求解方法：内力求解方法：静力平衡条件静力平衡条件 变形协调条件变形协调条件 物理关系式物理关系式
5、建立补充方程平衡方程4.2 力法基本原理与力法正则方程力法基本原理与力法正则方程本节将通过一个本节将通过一个2 2次静次静不定结构的例子，说不定结构的例子，说明力法基本原理和力明力法基本原理和力法正则方程。法正则方程。4.2 力法基本原理与力法正则方程力法基本原理与力法正则方程对于具有对于具有2个多余约个多余约束的静不定结构。束的静不定结构。选取选取1处的处的2个约束为多余约束，解除个约束为多余约束，解除之，代之以约束力。之，代之以约束力。静不定结构静不定结构注注 意：意：1、解除多余、解除多余约束，不是简约束，不是简单地将约束去单地将约束去掉，而必须用掉，而必须用相应的约束力相应的约束力来代
6、替。来代替。4.2 力法基本原理与力法正则方程力法基本原理与力法正则方程对于具有对于具有2个多余约个多余约束的静不定结构。束的静不定结构。选取选取1处的处的2个约束为多余约束，解除个约束为多余约束，解除之，代之以约束力。之，代之以约束力。静不定结构静不定结构注注 意：意：2、约束力必、约束力必须是成对的出须是成对的出现，且大小相现，且大小相等、方向相反。等、方向相反。这样的一对约这样的一对约束力构成一对束力构成一对自平衡力系。自平衡力系。4.2 力法基本原理与力法正则方程力法基本原理与力法正则方程对于具有对于具有2个多余约个多余约束的静不定结构。束的静不定结构。静不定结构静不定结构解除多余约束
7、后解除多余约束后,原静不定结构转原静不定结构转化成静定的。化成静定的。解除多余约束后的结构，解除多余约束后的结构，称之为静不定结构的称之为静不定结构的基本基本系统系统或或基本结构基本结构。基本系统基本系统或基本结构或基本结构将已知外力和多将已知外力和多余未知力作用在余未知力作用在基本系统上。基本系统上。PX 1X 2与原静不定与原静不定结构相比较，结构相比较，差别在哪里？差别在哪里？X1 和和X2 应满足应满足约束处的约束处的变形协调条件变形协调条件由叠加原理：一线弹性体在诸外力作用下产生的效应等于每个由叠加原理：一线弹性体在诸外力作用下产生的效应等于每个力单独作用下产生的效应之和。力单独作用
8、下产生的效应之和。iRS状态状态状态状态状态状态状态状态iRSiPS1iXS2iXS分解为三分解为三个力状态个力状态的叠加的叠加外载荷在基外载荷在基本系统上引本系统上引起的内力起的内力未知力未知力X1 在在基本系统上基本系统上引起的内力引起的内力未知力未知力X2 在在基本系统上基本系统上引起的内力引起的内力静不定结构静不定结构在外载荷作在外载荷作用下的内力用下的内力由叠加原理：一线弹性体在诸外力作用下产生的效应等于每个由叠加原理：一线弹性体在诸外力作用下产生的效应等于每个力单独作用下产生的效应之和。力单独作用下产生的效应之和。iRS状态状态状态状态状态状态状态状态iRSiPS1iXS2iXS2
9、1iXiXiPiRSSSSiPS11XSi22XSiiRS将将状态、状态、状态分别用单位状态来表示，状态分别用单位状态来表示，状态状态状态状态状态状态iPS1iS2iS1X2X单位状态单位状态单位状态单位状态X 1=1时，在时，在基本系统上基本系统上引起的内力引起的内力X 2=1时，在时，在基本系统上基本系统上引起的内力引起的内力PiPS1 iS2iS状态状态状态状态状态状态如何求这三个状如何求这三个状态下的内力和位态下的内力和位移呢？移呢？静定结构的静定结构的内力和位移内力和位移计算方法计算方法 状态和状态和状态、状态、状态的内力求解：状态的内力求解：静不定结构中各元件的内力静不定结构中各元
10、件的内力2211XSXSSSiiiPiR静不定结构静不定结构iRS当当 X1 和和 X2 为已知时，为已知时，静不定结静不定结构中各元件的内力便可以用叠加构中各元件的内力便可以用叠加原理，通过下式求出：原理，通过下式求出：问题关键是：问题关键是：如何确定如何确定 X1 和和 X2 呢？呢？4.2 力法基本原理与力法正则方程力法基本原理与力法正则方程静不定结构静不定结构PX 1X 2X1 和和 X2 应满足应满足1点处的变形协点处的变形协调条件：调条件：1=0，2=01转化为转化为利用变形协调条件，建立关于多余未知力的变形协调方程利用变形协调条件，建立关于多余未知力的变形协调方程002 P2 2
11、2 12 1 P1 12 11 外力单独作用在外力单独作用在基本系统上，在基本系统上，在切口切口X1和和X2方向方向的相对位移为的相对位移为1P和和2P。X1 单独作用在单独作用在基本系统上，基本系统上，在切口在切口X1和和X2方向的相对位方向的相对位移为移为11和和21。X2 单独作用在单独作用在基本系统上，基本系统上，在切口在切口X1和和X2方向的相对位方向的相对位移为移为12和和22。由叠加原理和变形协调条件：由叠加原理和变形协调条件：变形协变形协调方程调方程分别求出分别求出、三个状态在三个状态在1处的位移值：处的位移值：状态下：状态下：在切口在切口X1和和X2方方向的相对位移为向的相对
12、位移为1P和和2P。状态下：在状态下：在切口切口X1和和X2方方向的相对位移向的相对位移为为11和和21。状态下：在状态下：在切口切口X1和和X2方方向的相对位移向的相对位移为为12和和22。002 P2 2221211 P1 212111XXXX这就是这就是2 2次静不定结次静不定结构的典型方程，也称构的典型方程，也称为正则方程。为正则方程。11111 X12121 X21212 X22222 X将将状态和状态和 状状态的位移，分别用单位状态的位移，分别用单位状态态和单位状态和单位状态的位移来表示。的位移来表示。002 P2 2221211 P1 212111XXXX 求出多余未知力：求出多
13、余未知力：X1 和和 X22211XSXSSSiiiPiR静不定结构的内力求解：静不定结构的内力求解：叠加叠加 状态和单位状态状态和单位状态和和 求出静不定结构的全部内力求出静不定结构的全部内力11、21、12、22 单位状态影响系数单位状态影响系数。1P、2P 载荷影响系数载荷影响系数。1P 2P 11 12 12 22 正则方程中正则方程中(位移位移)影响系数的求法：影响系数的求法：可用单位可用单位载荷法计载荷法计算获得算获得 关于位移影响系数的进一步说明关于位移影响系数的进一步说明 i P外载荷或外载荷或状态状态所求位移的位置和方向所求位移的位置和方向 i j所求位移的位置和方向所求位移
14、的位置和方向单位力单位力外载荷在第外载荷在第 i 个位移方向上引起的位移。个位移方向上引起的位移。第第 j 个单位力在第个单位力在第 i 个位移方向上引起的位移。个位移方向上引起的位移。第第2个下标表示载荷作用位置；个下标表示载荷作用位置；第第1个下标表示所求位移位置。个下标表示所求位移位置。1、i i 02、i j=j i (i j)首先解除首先解除n个多余约束代之以个多余约束代之以n个多余未知力，需要作个多余未知力，需要作(n+1)个状态，即一个个状态，即一个状态和状态和 n 个单位状态个单位状态 (i=1n)。解此正则方程，求出多余未知力解此正则方程，求出多余未知力X1、X2、Xn。ii
15、 =ij =ji iP=一般地，一般地，对于一个对于一个 n 次静不定结构：次静不定结构：按照其变形协调条件组成的力法正则方程为按照其变形协调条件组成的力法正则方程为 叠加叠加状态和状态和 n 个单位状态个单位状态 的内力，求出静不定结构的内力，求出静不定结构的全部内力：的全部内力：njjijiPiRXSSS10 0022112222212111212111nPnnnnnPnnPnnXXXXXXXXX 将静不定问题转化为静定问题，以多余未知力作为基本未知将静不定问题转化为静定问题，以多余未知力作为基本未知量，利用变形协调条件建立补充方程，从而求解结构内力的方量，利用变形协调条件建立补充方程，从
16、而求解结构内力的方法，称为法，称为力法力法(force method)。根据结构几何组成分析，正确判断多余约束数根据结构几何组成分析，正确判断多余约束数静不定次静不定次数数。解除多余约束，转化为静定的解除多余约束，转化为静定的基本系统基本系统。多余约束代以。多余约束代以多余多余未知力未知力基本未知力基本未知力。分析基本系统在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，分析基本系统在单位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立建立位移协调条件位移协调条件力法典型方程或正则方程力法典型方程或正则方程。从典型方程解得基本未知力，由从典型方程解得基本未知力，由叠加原理叠加原理获得结构内力。获得结构内力。静静不
17、定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。不定结构分析通过转化为静定结构获得了解决。力法基本原理思路小结：力法基本原理思路小结：4.3 静不定结构内力计算静不定结构内力计算 力法解静不定结构内力的步骤：力法解静不定结构内力的步骤：(1)准确判断系统的静不定次数 f；(2)选取并解除多余约束(即选取基本系统)，分别求出状态和各单位状态内力，并作出各自的内力图；(3)利用单位载荷法求位移影响系数；(4)建立力法正则方程，并解此方程，首先求出多余未知力；(5)利用叠加原理求出结构真实内力，并绘制内力图。(6)对计算结果进行校核。对计算结果除需进行力的校核外，还必需进行位移的校核。解解 (1)分析静不定
18、次数。结构具有分析静不定次数。结构具有4个自由结点，有个自由结点，有8个自由度，个自由度，而杆子数目为而杆子数目为10，相当于，相当于10个约束。故个约束。故 f=2。(2)选取基本系统。选取基本系统。选杆选杆2-4及杆及杆3-5的轴力为多余约束力，切断杆的轴力为多余约束力，切断杆2-4及杆及杆3-5的静定系统为基本系的静定系统为基本系统。求出统。求出状态和单位状态状态和单位状态、的内力图。的内力图。例例4-1 求解图所示静不定桁架的内求解图所示静不定桁架的内力，已知桁架水平杆及垂直杆的截力，已知桁架水平杆及垂直杆的截面面积均为面面积均为A，斜杆的断面面积，斜杆的断面面积为为 ，各杆子的材料相
19、同。，各杆子的材料相同。2A(3)计算位移影响系数计算位移影响系数(4)建立力法正则方程，并解之。建立力法正则方程，并解之。121402XX12173 20222XXP13 255XP(5)利用叠加原理求各杆内力。各杆的内力可按下式计算，利用叠加原理求各杆内力。各杆的内力可按下式计算，1122PNNN XNX例如，杆例如，杆2-5的轴力为的轴力为 253 2124 2121055555522PPNP PX552242其它各杆的轴向力均可如上法求出，其它各杆的轴向力均可如上法求出，最后绘制内力图。最后绘制内力图。例例4-2 求图示刚架的内力。刚架几何形求图示刚架的内力。刚架几何形状、截面惯性矩、
20、载荷及约束情况均如状、截面惯性矩、载荷及约束情况均如图示。图示。解解 (1)分析刚架的静不定次数。外部约分析刚架的静不定次数。外部约束多余束多余2个，故个，故 f=2。(2)选取基本系统。选取基本系统。选选1点处的两个支座点处的两个支座反力为多余约束力，去掉反力为多余约束力，去掉1点的支座的系点的支座的系统为基本系统。求出统为基本系统。求出状态和单位状状态和单位状态态、的内力图。的内力图。(3)计算位移影响系数，可利用计算位移影响系数，可利用图形互乘法图形互乘法。33311111766aaaEJEJEJ32213aEJ3122112aEJ 3115396PPaEJ3214PPaEJ(4)建立力
21、法正则方程，并解之。建立力法正则方程，并解之。(5)利用叠加原理求刚架内力，内力可按利用叠加原理求刚架内力，内力可按下式计算，下式计算，例如，刚架中点例如，刚架中点A、2、3处的弯矩分别为处的弯矩分别为 12715306296XXP121110234XXP11740XP 2980XP1122ApMMM XM X17917004028080AaPMPPa 2179302408040PaPMPaPa317932408080PaPMPaaPa 最后绘制内力图。最后绘制内力图。轴力图和剪力图也可以按下式计算，具体计算从略。轴力图和剪力图也可以按下式计算，具体计算从略。1122PNNN XN X1222
22、PQQQ XQ X关于基本系统选取的讨论关于基本系统选取的讨论 从静不定问题转化为静定问题，多余约束的选取不从静不定问题转化为静定问题，多余约束的选取不是唯一的，因此力法求解的基本系统也不是唯一的。是唯一的，因此力法求解的基本系统也不是唯一的。例如：对于图示的两次静不定刚架，可以选取不同的例如：对于图示的两次静不定刚架，可以选取不同的多余约束，形成不同的基本系统。多余约束，形成不同的基本系统。解法解法 1：原静不定问题原静不定问题解法解法 2：解法解法3：原静不定问题原静不定问题解法解法 4：解法解法 5：力法求解的基本系统不同，计算得到的多余未知力的力法求解的基本系统不同，计算得到的多余未知
23、力的值可能不相同，但叠加得到的静不定结构的最终内力值可能不相同，但叠加得到的静不定结构的最终内力是相同的。是相同的。不同的基本系统，带来不同的计算工作量。因此，要不同的基本系统，带来不同的计算工作量。因此，要合理选取基本系统，以减少计算工作量。合理选取基本系统，以减少计算工作量。树立质量法制观念、提高全员质量意识。22.8.722.8.7Sunday,August 07,2022人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。13:36:0013:36:0013:368/7/2022 1:36:00 PM安全象只弓，不拉它就松，要想保安全，常把弓弦绷。22.8.713:36:0013:36Aug-227-Au
24、g-22加强交通建设管理，确保工程建设质量。13:36:0013:36:0013:36Sunday,August 07,2022安全在于心细，事故出在麻痹。22.8.722.8.713:36:0013:36:00August 7,2022踏实肯干，努力奋斗。2022年8月7日下午1时36分22.8.722.8.7追求至善凭技术开拓市场，凭管理增创效益，凭服务树立形象。2022年8月7日星期日下午1时36分0秒13:36:0022.8.7严格把控质量关，让生产更加有保障。2022年8月下午1时36分22.8.713:36August 7,2022作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2022年8月7日星期日13时36分0秒13:36:007 August 2022好的事情马上就会到来，一切都是最好的安排。下午1时36分0秒下午1时36分13:36:0022.8.7一马当先，全员举绩，梅开二度，业绩保底。22.8.722.8.713:3613:36:0013:36:00Aug-22牢记安全之责，善谋安全之策，力务安全之实。2022年8月7日星期日13时36分0秒Sunday,August 07,2022相信相信得力量。22.8.72022年8月7日星期日13时36分0秒22.8.7谢谢大家！谢谢大家！
