1、第一章第一章 函数与极限函数与极限基 本 要 求1.理解函数概念及函数的几种特性;2.理解反函数和复合函数概念;3.理解数列极限与函数极限(左、右极限)概念;4.理解无穷小的定义及运算性质;5.掌握极限运算法则及变量代换法则;6.理解极限存在准则,会用两个重要极限求其它极限;7.理解函数连续的概念,了解初等函数的连续性,闭区间上函数连续的性质.一、函数 1、概念(P.7)设 x 和 y 为两个变量,D 是一给定的非空数集.如果按照一定法则 f,对于 D 中每个数 x,变量 y 都有唯一确定的值和它相对应,则称该法则 f 为 D 上的函数.记作:其中,x 为自变量,y 为因变量,D 为函数的定义
2、域,全体函数值所组成的集合 Rf 称为函数的值域.构成函数的两要素：定义域与对应法则.自然定义域 分式,偶次根式,对数,反正(余)弦.Dxxfy)(xo)(xfy 2.函数的图象 以自变量 x 为横坐标,对应的 y 值为纵坐标,所得曲线为函数的图象.3.函数的特性(P.11)有界性:单调性:奇偶性:周期性:Mxf)()(2121xfxfxx单调增加)()(2121xfxfxx单调减少奇函数)()(xfxf偶函数)()(xfxf)()(xflxf 4.反函数(P.14)5.复合函数(P.15),(ufy),(xu)(xfyu 为中间变量,注意弄清函数的复合过程.若)(xfy)(1yfxfRy6.
3、初等函数(P.17)基本初等函数:幂、指数、对数、三角、反三角函数 初等函数:常数、基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合步骤所构成且可用一个解析式子表示的函数.二、极限 1、极限概念 数列的极限(P.26)axnnlim或 xna(n)时,有|xn-a|则称常数 a 是数列 xn 的极限(或称数列 xn 收敛于a),记为:如果这样的常数不存在,则称数列 xn 是发散的.设xn为一数列,如果 存在 N,使得当 n N,0 函数的极限(P.32-35)设函数 f(x)在点 x0 的某一去心邻域内有定义,若 存在 使得当 时,有,000,xx|f(x)-A|则称常数 A 是函数 f(x)当 x
4、x0 时的极限,记为:或 f(x)A(x x0)Axfxx)(lim0 设函数 f(x)在|x|M 时有定义,如果存在常数 A,|f(x)-A|则称常数 A 是函数 f(x)当 x 时的极限,记为:Axfx)(lim或 f(x)A(x)存在正数 使得当 时,有,0XxX,2、极限的性质 极限存在的唯一性 有界性(或局部有界性)保号性(或局部保号性)3、极限的运算法则(P.44)若 lim f(x)=A,lim g(x)=B,则 limf(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB limf(x).g(x)=lim f(x).lim g(x)=A.B 若 lim g(x)=B0,则 B
5、Axgxfxgxflimlimlim 特别 limc f(x)=clim f(x)=c A 若 f(x)g(x),则lim f(x)lim g(x),即 A B4、极限存在准则(P.50)准则(夹逼准则)如果数列 xn,yn,zn(n=1,2,)满足:准则 单调有界数列必有极限.5、两个重要极限ennn11lim 1sinlim0 xxx ynxnzn (n=1,2,),yna,zna,(n),则 xna (n)exxx11limexxx101lim6、无穷小与无穷大 无穷小(极限为 0 的量)有限个无穷小的和、差、积仍为无穷小 无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小 lim f(x)=A f(x)
6、=A+(为无穷小)无穷小的阶:与 为同一过程的无穷小,若 无穷大(极限为的量)无穷大与无穷小互为倒数lim0 高阶 低阶1 等价c0 同阶)(o7、函数的连续性 函数的连续性 00limxfxfxx 函数 f(x)在点 x0 连续 函数 f(x)在区间上连续 函数的间断点（不连续的点）连续性函数的四则运算 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）反函数、复合函数、初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 有界性、最大值最小值、介值定理仍为连续函数.练习：P.21 4.(3)14.(1)(5)P.56 1.(5)2.(1)(4)P.60 4.(3)P.70 3.(4)4.(3)P.74 总习题一、
7、1.(1)(4)3.(2)第二章第二章 导导数与微分数与微分基 本 要 求1.理解导数的概念,导数的几何意义,会求切线方程;2.了解左、右导数的概念及函数可导的充要条件;3.理解函数的可导性与连续性的关系;4.掌握基本初等函数的导数公式;5.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;6.了解高阶导数的概念,会求简单函数的二阶导数;7.理解函数微分的概念,函数可导与可微的关系;8.了解函数微分的运算法则和微分形式的不变性,会求函数的微分.一、导数一、导数 1 1、导数概念：、导数概念：),(0 xf,)(0 xxdxxdf.0 xxdxdy在点在点 x0 处的导数处的导数 (P.79)xxfx
8、xfyxxx)()(lim0000或记为或记为导函数导函数 xxfxxfxfx)()(lim0),(xy,)(dxxdf.dxdy或记为或记为 2 2、导数的几何意义、导数的几何意义 (P.84)曲线曲线)(xfy在点在点),(00yxM处的切线的斜率处的切线的斜率.注注 函数函数 f(x)在点在点 x0 可导的充分必要条件是可导的充分必要条件是函数在点函数在点 x0 的左导数与右导数存在且相等；的左导数与右导数存在且相等；函数函数 f(x)在点在点 x0 可导的必要条件是可导的必要条件是函数在点函数在点 x0 连续连续.3 3、函数的和、差、积商的求导数法则、函数的和、差、积商的求导数法则
9、(P.88)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu)()()()(xvxuxvxu)()()()()()(xvxuxvxuxvxu 4 4、反函数的导数、反函数的导数 (P.90)yfxf11 5 5、复合函数求导数法则、复合函数求导数法则 (P.92)(),(xguufy 则：则：)()(xgufdxdydxdududydxdy 或：或：设：设：dydxdxdy1 或：或：6 6、基本求导公式、基本求导公式 (P.95)0c1xxaaaxxlnxxee axxaln1logxx1ln211arcsinxx211arccosxx211arctanxx211cotxxarcxx
10、cossinxxsincosxx2sectanxx2csccotxxxtansecsecxxxcotcsccsc)()(1xfdxddxxfdnnn 7 7、高阶导数、高阶导数 (P.99)n 阶导数:1nnyy或 8 8、隐函数的导数、隐函数的导数 (P.104)9 9、参数方程的导数、参数方程的导数 (P.107)0)(,0),(xyxFyxF)()(tytxdxdtdtdydxdydtdxdtdy1.)()(tt二、微分二、微分 1、微分概念(P.113)若)(xoxAy)(xf0 x则称函数在点是可微的,且称 Ax 为函数)(xf0 x在点的微分,记为 dy,即 xAdy 2、微分的几
11、何意义(P.116)3、微分与导数的关系 函数 f(x)在点 x0 可微分的充分必要条件是函数F(x)在点 x0 可导.dxxfdy)(4 4、基本微分公式(P.116)5、函数的和、差积、商的微分法则 2vudvvduvuddvduvud)(udvvdudvd)(6、复合函数的微分法则)(),(xuufy 则：dxdxdududydy 设：duuf)(duufdy)(这一性质称为微分形式的不变性.即：练习：P.98 6.(1)(6)(9)7.(3)(8)8.(6)P.103 1.(5)(12)P.111 1.(3)2.3.(1)7.(1)8.(2)P.123 3.(1)(5)总习题二 P.1
12、25 1.(1)(3)12.(1)第三章第三章 微分中值定理微分中值定理与导数的应用与导数的应用基 本 要 求1.理解拉格朗日中值定理;2.掌握用洛必达法则求各类未定式的极限的方法;3.掌握用导数判断函数的单调性的方法;4.理解函数的极值的概念,掌握求极值的方法;5.掌握函数的最大值和最小值的求法.一、一、微分中值定理 1.拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)满足:在闭区间a,b上连续;在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少有一点(a 0时,函数 y=f(x)在a,b上单调增加;在(a,b)内 f(x)0时,函数 y=f(x)在a,b上单调减少.2、函数的极值 f(x)f(x0),则称
13、函数在点x0有极小值,x0 称为极小值点.f(x)=0.(驻点)设函数 f(x)在 x0 处可导,且在x0处取得极值,则 定理定理1（必要条件）当 f(x)在 x0 左右符号不变时,则函数 f(x)在 x0 处 定理定理3 (第二充分条件)设函数 f(x)在 x0 处具有二阶导数,且f(x0)=0,f(x0)0,当 f(x0)0 时,函数 f(x)在 x0 处取得极小值;二、函数的最大值与最小值 当 x x0 时 f(x)x0 时 f(x)0,则函数 f(x)当 x0,而 x x0 时 f(x)0,a1)15)14)CxdxxcoslntanCxdxxsinlncot16)17)18)19)C
14、xxdxxtanseclnsecCxxdxxcotcsclncscCaxadxxaarctan1122Caxaxadxaxln21122三、基本积分表三、基本积分表20)Caxdxxaarcsin12221)22)Caxxdxax2222ln1Caxxdxax2222ln1四、积分法四、积分法duufdxxxf)()()(1、第一类换元法、第一类换元法定理定理1 设设 f(u)具有原函数具有原函数,可导可导,则则)(xu)()()()(xdxfdxxxf凑微分法凑微分法2、第二类换元法、第二类换元法dtttfdxxf)()()(定理定理2 设设 f(x)连续连续,又又 的导数的导数 也连续也连
15、续,)(tx)(t且且 ,则则0)(t3、分部积公式、分部积公式duvuvdvudxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(练习：P.207 2.(2)(3)(7)(10)(13)(27)(31)(35)(40)P.213 1.3.4.8.11.19 P.218 1.3.5.19基 本 要 求1.理解并掌握定积分的概念和性质;2.了解函数可积的充分条件;3.熟悉积分上限的函数及其求导方法；4.掌握牛顿-莱布尼茨公式并能正确运用该公式；第五章第五章 定积分定积分 5.掌握定积分的换元法和分部积分公式；6.了解有关奇偶函数在对称区间上的积分的性质；iniibaxfdxxf10lim一、
16、定积分慨念(P.256)定理定理1 设 f(x)在a,b上连续，则 f(x)在a,b上可积;定理定理2 设 f(x)在a,b上有界，且只有有限个间断点,二、定积分的几何意义 曲边梯形面积的代数和.则 f(x)在a,b上可积;oxybadxxgdxxfdxxgxfbababa)()()()(三、定积分的性质dxxfkdxxkfbaba)()(设 a c b,则 如果在闭区间a,b上 f(x)0,则0)(dxxfbadxxfdxxfdxxfbccaba)()()(abdxdxbaba1dxxgdxxfbaba)()(dxxfdxxfbaba)()(如果在闭区间a,b上 f(x)g(x),则 设 M
17、 和 m 分别是函数 f(x)在a,b上的最)()()(abMdxxfabmba大值和最小值,则 定积分中值定理 如果函数 f(x)在a,b上连续，则在a,b上至)()()(aFbFdxxfba(a b)四、微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)如果函数F(x)是连续函数 f(x)在a,b上的一)()(abfdxxfba少存在一点,使下式成立:个原函数，则 五、定积分的换元法则dtttfdxxfba)()()(六、定积分的分部积分法dxxvxuxvxudxxvxubababa)()()()()()(ba)(,)(设函数f(x)在a,b上连续，函数 满足:)(tx 在 （或 ）上具有连续导数，)(
18、x,练习：P.236 13.(1)(3)(5)P.243 9.(1)(2)P.253 1.(5)(7)(12)(15)(19)重重 庆庆 大大 学学 城城 市市 科科 技技 学学 院院 高等数学高等数学 课程试卷课程试卷2008 2009学年学年 第第 一一 学期学期开课学院：开课学院：课程号：课程号：考试日期：考试日期：、填空题（本大题共、填空题（本大题共1010个空，每个空个空，每个空2 2分，共分，共2020分分）题题 号号一一二二三三四四五五总总 分分得得 分分1、=;xxx201lim2edxxa2212、设 ,则22lnxaxy dy=；03、dxxx2cos1sin ；二、计算题
19、（本大题共二、计算题（本大题共12小题，每小题小题，每小题4分，共分，共48分）分）1、求极限 ；xxxarctan2lim解.1arctan2limxxx22111limxxx221limxxx.122limxxxxxxarctan2lim解 方程两边对 x 求导得032323131yyx.333131xyyxy323232ayx2、求由方程 所确定的隐函数的导数 .dxdy解 ttteeedxdy23232tedxddxdydxddxyd22232tteyex233、求参数方程 所确定的函数的二阶导数 .22dxyd.94313432ttteeedxdtedtdt 232dxxxcos4、
20、求不定积分解dxxxcos.cossinCxxxdxxxxsinsinxdxsin1、曲线 与横轴交点处的切线方程与法线方程.xxy4三、综合题（本大题共三、综合题（本大题共3小题，共小题，共24分）分）解 因该曲线与横轴交点的坐标为:,40 xx 即 .2,042xx211xy所以在(-2,0)处的则切线斜率为,224122xyk因此切线方程为,22xy该曲线与横轴的交点为(-2,0)和(2,0),又法线方程为,221xy1、曲线 与横轴交点处的切线方程与法线方程.xxy4三、综合题（本大题共三、综合题（本大题共3小题，共小题，共24分）分）解 因该曲线与横轴交点的坐标为:,40 xx 即
21、.2,042xx211xy而在(2,0)处的则切线斜率为,224122xyk因此切线方程为,22xy该曲线与横轴的交点为(-2,0)和(2,0),又法线方程为.221xy三、综合题（本大题共三、综合题（本大题共3小题，共小题，共24分）分）2、求函数 的凹凸区间、拐点和极值.71862)(23xxxxf又 所以 为函数的极大值;17)1(,024)1(ff 则 为函数的极小值.47)3(,024)3(ff解 因得驻点 .3,121xx),1(121212)(xxxf令,10)(xxf又),3)(1(618126)(2xxxxxf当 x 1 时,即 为曲线的凹区间;),1(,0)(xf所以 即
22、为曲线的拐点.)29,1()1(,1f三、综合题（本大题共三、综合题（本大题共3小题，共小题，共24分）分）3、证明:当 时,.12110 xxx证证 令令),0(1211)(xxxxf因因xxxxf121112121)(,0)(xf当当 时时,0 x,0010211)0(f所以函数在所以函数在0,+0,+上单调增加上单调增加;)0()(fxf故当故当 时时,0 x所以所以即即xxxf1211)().0(1211xxx三、综合题（本大题共三、综合题（本大题共3小题，共小题，共24分）分）4、某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆形,截面的面积为.52m问底宽 x 为多少时才能使截面的周长最小?解
23、设截面矩形的高为 y,周长为 l,则 因,855222xxyxxy.20,104132xlxl 且得唯一驻点./40,010422xxxxxyxl.440 x.0440 xl即 l 取得极小值.440 x所以当底宽为 时才能使截面的周长最小.四、二阶常系数线性微分方程0 qyypy 定理定理 若y1(x)与 y2(x)是方程(I)的解，则对任意解的性质02qprr求特征方程1、二阶常系数齐次线性微分方程(I)（其中p、q为常数）常数 C1,C2,y=C1y1(x)+C2y2(x)仍是方程(I)的解.判别式特征根微分方程的通解如果 y1(x)/y2(x)常数,则 y=C1y1(x)+C2y2(x
24、)便是通解.解法xrxrececy2121p2-4q0 两实根 r1r2xrexccy1)(21p2-4q=0 两等根 r1=r2ir2,1)sincos(21xcxceyxp2-4q0的根r1,r2四、二阶常系数线性微分方程0 qyypy1、二阶常系数齐次线性微分方程(I)（其中p、q为常数）)(xfqyypy)(xy定理定理 若 是方程(I)的解,y*(x)是方程(II)的解,则解的性质2、二阶常系数非齐次线性微分方程 ()()(*xyxyy 仍是方程(II)的解.(II)的通解=(I)的通解+(II)的一个特解.若y1(x)与 y2(x)均是方程(II)的解,那么 y=y1(x)-y2(
25、x)则是对应的齐次方程(I)的解.xmkexQxy)(*不是特征方程的根取 k=0 xmexPqyypy)(的解法二阶常系数非齐次线性微分方程1)先求对应的齐次方程 的通解;0 qyypy2)再求非齐次方程 的特解;xmexPqyypy)(其中 Qm(x)是与 Pm(x)同次(m次)的多项式,而 k 按令特解形如是特征方程的单根取 k=1是特征方程的重根取 k=2)(,)(,*yyy将 代入方程,求出Qm(x),从而确定y*(x).练习：P.326 2.(1)(3)3.(1)P.335 1.(1)(4)4.(1)P.341 1.(1)2.(1)P.358 1.(1)(5)2.(1)(3)P.366 一、1.(2)(4)2.(1)(2)
