1、统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 12022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院随 机 过 程u随机过程的基本概念随机过程的基本概念u统计特性和数字特征统计特性和数字特征u平稳随机过程平稳随机过程u高斯随机过程高斯随机过程u随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统u窄带随机过程窄带随机过程u正弦波加窄带高斯噪声正弦波加窄带高斯噪声 统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 22022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代
2、通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院随机过程的基本概念u确定性过程确定性过程p其变化过程可以用一个或几个时间其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述的确定函数来描述u随机过程随机过程p其变化过程不可能用一个或几个时间其变化过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描的确定函数来描述。述。通信过程是信号和噪声通过通信系统的过程。而通信系统中遇到的信号和噪声总带有随机性，从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过随机信号和噪声统称为随机过程程随机过程随机过程=随机变量随机变量+时间时间t的函数的函数统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 32022-8-
3、6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院随机过程的基本概念u随机过程的定义：设随机过程的定义：设 是随机试验。每一次试是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作 ，所有可能出现的结果的总体所有可能出现的结果的总体 就构成一随机过程，记作就构成一随机过程，记作 。u简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程几个基本概念几个基本概念随机过程：所有样本函数的集合，随机过程：所有样本函数的集合，t与与s均可均可变；变；样本
4、函数：确定的时间函数，样本函数：确定的时间函数，t是变量，是变量，s是是固定的；固定的；样本随机变量：样本随机变量：t固定时，随机信号的状态固定时，随机信号的状态;样本值：确定的数值，样本值：确定的数值，t与与s均固定均固定(1,2,)kSk)(txi)(,),(),(21txtxtxn)(t统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 42022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院随机过程的基本概念x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk一个样本一个随机变量统计特性
5、和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 52022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院(si,t)=xi(t),样样本函数本函数;(s,tk)=(tk),随机变量随机变量;(si,tk)=确定确定实数实数x1(t)x2(t)xi(t)xN(t)实数值实数值样本函数样本函数tkt(Ai,tk)统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 62022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院随机过程的基本
6、概念u随机过程随机过程(t)具有两个基本特征：具有两个基本特征：p(t)是是时间时间t的函数的函数；p在某一观察时刻在某一观察时刻t1，样本的取值，样本的取值(t1)是一个是一个随机变量随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族依赖时间参数的一族随机变量随机变量。p可见，随机过程具有可见，随机过程具有随机变量和和时间函数的特点。的特点。,.2,1),(),(itstsi确定样本函数集合随机过程,.2,1),(),(itstsi随机变量集合随机过程统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 72022-8-6随机信号分析平稳随
7、机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院一维分布函数：一维分布函数：一维概率密度函数：一维概率密度函数：二维分布函数：二维分布函数：二维概率密度函数：二维概率密度函数：随机过程的随机过程的统计特性用统计特性用分布函数、分布函数、概率密度函概率密度函数或数字特数或数字特征来描述。征来描述。统计特性相当于随机变相当于随机变量的相应量变量的相应量变为时间的函数为时间的函数统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 82022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技
8、 术 学 院数字特征分布函数或概率密度函数能够较全面地描述随分布函数或概率密度函数能够较全面地描述随机过程的统计特性机过程的统计特性在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，概率密度函数，用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。特性，更简单直观。统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 92022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院111111),()(dxtxfxtEdxtx
9、fxtEta),()()(1数学期望（均值）数学期望（均值）方差方差数字特征方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻在时刻t对于均值对于均值a(t)的的偏离程度偏离程度。均值和方差是对均值和方差是对随机变量求积分随机变量求积分或求和或求和均值均值和方差和方差是是时时间的函数间的函数统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 102022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院数字特征相关函数衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间
10、的关衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数联程度时，常用协方差函数B(t1,t2)和相关函数和相关函数R(t1,t2)来表示。来表示。协方差函数同一随机过程同一随机过程,不同时间间关系不同时间间关系自协方差函数自协方差函数不同随机过程不同随机过程,不同时间间关系不同时间间关系互协方差函数互协方差函数统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 112022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxf
11、xxttEttR)()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttR相关函数相关函数同一随机过程同一随机过程,不同时间间关系不同时间间关系自相关函数自相关函数不同随机过程不同随机过程,不同时间间关系不同时间间关系互相关函数互相关函数数字特征统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 122022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院 过程是慢变化，过程是慢变化，过程是快变化，它们大致有相过程是快变化，它们大致有相同的均值、方差，但是在不同时刻的取值，对于同的均
12、值、方差，但是在不同时刻的取值，对于 来说，相关性强；对于来说，相关性强；对于 来说，相关性强弱来说，相关性强弱 数字特征)(t)(t)(t相关函数相关函数)(t)(t)(t统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 132022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院数字特征【例【例】已知已知X和和Y是相互独立的两个是相互独立的两个随机变量随机变量，它们均值和方，它们均值和方差分别为差分别为2和和6，试求，试求 的均值、方差和自相关函数。的均值、方差和自相关函数。11()cossinZ tXw
13、tYwt独立概念相关概念X和Y不相关X和Y线性相关统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 142022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院数字特征【例【例】已知已知X和和Y是相互独立的两个随机变量，它们均值和方是相互独立的两个随机变量，它们均值和方差分别为差分别为2和和6，试求，试求 的均值、方差和自相关函数。的均值、方差和自相关函数。11()cossinZ tXwtYwt统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 152022-8-6随机信号分析平稳随机过程小
14、结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院平稳随机过程平稳随机过程 是指它的统计特性不随时间的推移而变化。是指它的统计特性不随时间的推移而变化。),;,(),;,(21212121hththtxxxftttxxxfnnnnnn则称则称 是是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf)(t平稳随机过程如果如果任意非零值任意非零值21tt一维概率密度函数一维概率密度函数二维概率密度函数二维概率密度函数统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带
15、随机过程 162022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院均值均值adxxfxtE1111)()(自相关函数自相关函数)();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR)(),(11RttR平稳随机过程统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 172022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院设有一个二阶矩随机过程设有一个二阶矩随机过程 ，它的均值为常数，它的均值为常数，自相关函数仅
16、是自相关函数仅是的函数，则称它为宽平稳随机过程的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。或广义平稳随机过程。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。)(t平稳随机过程平稳平稳随机随机过程过程均值为常数均值为常数自相关函数自相关函数只与时间间隔有关只与时间间隔有关与时间起点无关与时间起点无关如何判别随机过程是平稳的？统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 182022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院u统
17、计特性（概率密度函数，相关函数等）具有平统计特性（概率密度函数，相关函数等）具有平稳性的随机信号成为平稳随机过程稳性的随机信号成为平稳随机过程u观测平稳随机过程的相应统计特性时，不受观察观测平稳随机过程的相应统计特性时，不受观察时刻的影响时刻的影响u严格平稳：全部统计特性平稳严格平稳：全部统计特性平稳u广义平稳：部分统计特性平稳广义平稳：部分统计特性平稳p均值平稳均值平稳p自相关平稳自相关平稳122121)(),(),(ttRttttRttR，0)()()(attEtEta统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 192022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基
18、本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院x(t)是平稳随机过程是平稳随机过程 的任意一个实现，它的的任意一个实现，它的 时间均值时间均值 和和时间相关函数时间相关函数 分别为分别为2/2/)(1lim)(TTTdttxTtxa2/2/)()(1lim)()()(TTTdttxtxTtxtxR)(t如果平稳随机过程依概率1使下式成立：aa)()(RR 则称该平稳随机过程具有各态历经性各态历经性各态历经性统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 202022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理
19、电 子 科 学 与 技 术 学 院各态历经性已知已知均匀分布均匀分布(t)是否为宽平稳随机过程，是否服从各态历经性？是否为宽平稳随机过程，是否服从各态历经性？宽平稳随机过程统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 212022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院各态历经性各态历经性统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 222022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院 “各态历经各态
20、历经”的含义：的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，随机过程的所有可能状态。因此，我们无需（实际中也不可能）我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均统计平均”化为化为“时间平均时间平均”，使实际测量和计算的问题大，使实际测量和计算的问题大为简化。为简化。具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机
21、过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。各态历经性判断各态历经性首先判断是否满足宽平稳条件判断各态历经性首先判断是否满足宽平稳条件统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 232022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院设设 为实平稳随机过程，则它的自相关函数为实平稳随机过程，则它的自相关函数)(t)()()(ttER具有下列主要性质
22、：具有下列主要性质：（1）（2）（3）的偶函数（4）的上界()R（5）平稳随机过程自相关函数的性质()t()t 方差，的交流功率()t 的平均功率 的直流功率()t 统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 242022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。对于任意的确定功率信号对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为，它的功率谱密度为TFPTTf2)(lim)(我们可以把我们可以把f(t)看成
23、是平稳随机过程看成是平稳随机过程(t)中的任一实现，因而中的任一实现，因而每一实现每一实现的功率谱密度也可用上式来表示。的功率谱密度也可用上式来表示。由于由于(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平功率谱的统计平均均，即，即 平稳随机过程的功率谱密度统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 252022-8-6随机信号分
24、析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院功率信号功率信号f(t)及其截短函数及其截短函数f(t)Otf T(t)tOT2T2平稳随机过程的功率谱密度统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 262022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院的平均功率的平均功率S则可表示成则可表示成)(t平稳随机过程的功率谱密度功率谱的统功率谱的统计平均计平均统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 272022-8-6随机信
25、号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院2/2/2/2/2/2/2()/2/2/2/2()1()()1()()()TTTj tjTt tTTTtTTTTTjTTjTEttdtTFEEt edtt edtTTeddRe 2lim()()()TjFPETTRed 平稳随机过程的功率谱密度统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 282022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院u确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密确知的非周期功率
26、信号的自相关函数与其谱密度是一对度是一对 傅氏变换关系傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即对于平稳随机过程，也有类似的关系，即)()(PR平稳随机过程的功率谱密度统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 292022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院R(0)表示随机过程的平均功率表示随机过程的平均功率非负性非负性偶函数偶函数平稳随机过程的功率谱密度统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 302022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念
27、正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院例例 某随机相位余弦波某随机相位余弦波 ，其中，其中A和和 均为常数，均为常数，是在是在(0,)内均匀分布的随内均匀分布的随机变量。机变量。求求 的自相关函数与功率谱密度的自相关函数与功率谱密度.)cos()(tAtcc2)(t平稳随机过程的功率谱密度统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 312022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院解：解：先考察先考察(t)是否是否广义平稳广义平稳 的数学期望为的数学期望为20()
28、()cos(12)0ca tEtAtd的自相关函数为的自相关函数为)()(cos2)()(),(1222121RttAttEttRc)(t)(t根据根据)()(cosccc以及以及)()(PR是广义平稳。是广义平稳。)(t)()(2)(2ccAP则功率谱密度为则功率谱密度为2)()0(2AdPRS平均功率为平均功率为平稳随机过程的功率谱密度统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 322022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院高斯随机过程高斯随机过程 若随机过程若随机过程(t)的任意的任
29、意n维（维（n=1,2,）分布都是正）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。12121/2/212111(,;,)(2)1exp2nnnnnnnjjkkjkjkjkfx xxt ttBxaxaBB 统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 332022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院高斯随机过程高斯随机过程 1111,(,;,)(,)()nnnnnfxx ttf x tf x t如果各随机变量两两之间互不相关，则上式中，对所有如果各随
30、机变量两两之间互不相关，则上式中，对所有统计独立统计独立统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 342022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院1.由式可以看出由式可以看出,高斯过程的高斯过程的n维分布完全由维分布完全由n个随机变量的数个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。2.如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值、方差
31、与时间无关，如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值、方差与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质1知，它的知，它的n维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯维分布与时间起点无关。所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。过程也是狭义平稳的。3.高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。高斯随机过程重要性质高斯随机过程重要性质 统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 352022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高
32、斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院222)(exp21)(axxff(x)具有如下特性 (1)f(x)对称于x=a这条直线。(2)21)()(aadxxfdxxf1)(dxxf正态分布的概率密度正态分布的概率密度f(x)12Oax一维高斯随机过程一维高斯随机过程 0,xfxx或或对不同的对不同的a，表现为，表现为f(x)的左右平移，对不同的的左右平移，对不同的，f(x)图形随图形随 的减小而变高的减小而变高变窄变窄统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 362022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理
33、电 子 科 学 与 技 术 学 院误差函数和互补误差函数误差函数和互补误差函数xtdtexerf022)(dtexerfxerfcxt22)(1)(互补误差函数互补误差函数)()(,1)(,0)0(xerfxerferferf)(2)(,0)(,1)0(xerfcxerfcerfcerfc误差函数误差函数统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 372022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院这种噪声被称为这种噪声被称为白噪声白噪声，它是一个理想的宽带随机过，它是一个理想的宽带随机过程。式
34、中程。式中n n0 0为一常数，单位是瓦为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即的自相关函数可借助于下式求得，即信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即这说明，白噪声只有在这说明，白噪声只有在=0=0时才相关，而它在任意两时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。个时刻上的随机变量都是互不相关的。高斯白噪声高斯白噪声统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 382022-8-6随机信号
35、分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院P()0f0n02n02R白噪声的功率谱和自相关函数白噪声的功率谱和自相关函数高斯白噪声高斯白噪声 2)(0nP 20nR 统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 392022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院 如果如果白噪声白噪声又是又是高斯分布高斯分布的，我们就称之为高斯的，我们就称之为高斯白噪声。白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值
36、之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。我们就可以把它视为白噪声。高斯白噪声高斯白噪声功率谱功率谱角度角度概率分概率分布角度布角度统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 402022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪
37、声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院随机过程通过线性系统只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应我们知道，线性系统的响应v vo o(t(t)等于输入信号等于输入信号v vi i(t)(t)与系统的单位冲激响应与系统的单位冲激响应h(t)h(t)的卷积，即的卷积，即dthvthtvtvii)()()()()(0),()(),()(),()(00HthV
38、tvVtvii若若则有则有)()()(0iVHV统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 412022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院若线性系统是物理可实现的，则若线性系统是物理可实现的，则dthvtvti)()()(0或或dtvhtvi)()()(00 如果把如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，看作是输入随机过程的一个样本，则则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程入过程i(t)的每个样本与输出过程的每个样本与输出过
39、程o(t)的相应样本之的相应样本之间都满足上式的关系。间都满足上式的关系。这样，就整个过程而言，便有这样，就整个过程而言，便有dthti)()()(00随机过程通过线性系统统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 422022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院 deRPjo0ioPHP2线性系统线性系统输入输入 i(t)()(iiPR输出输出 o(t)()(ooPR2)()(HRh统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 432022-8-6随机信号分析平稳随机
40、过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院假定输入假定输入i(t)是平稳随机过程，是平稳随机过程，则可以分析系统的输则可以分析系统的输出过程出过程o(t)的统计特性。的统计特性。随机过程通过线性系统000000()()()()()()()()()()()iiiiithtdEtEhtdEtEtahEtdahd 1.输出过程输出过程o(t)的数学期望的数学期望000()()(0)()()(0)j tHh t edtHh t dtEta H 由此可见由此可见,输出过程的数学期望等于输入过程的数学输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数期望与
41、直流传递函数H(0)的乘积，且与的乘积，且与t无关。无关。统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 442022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院011010111001100(,)()()()()()()()()()()iiiiR t tEttEhtdhtdhhEttd d 可见可见,o(t)的自相关函数只依赖时间间隔的自相关函数只依赖时间间隔而与时间而与时间起点起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，数证明，若线性系统的输入过程
42、是平稳的，那么输出若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。过程也是平稳的。2.输出过程输出过程o(t)的自相关函数的自相关函数)()()(11iiiRttE011000(,)()()()()iR t thhRd dR 随机过程通过线性系统统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 452022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院3.输出过程输出过程o(t)的功率谱密度的功率谱密度deddRhhdeRPjij 0000)()()()()(可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度系
43、统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与与系统功率传输函数系统功率传输函数|H()|2的乘积。的乘积。随机过程通过线性系统)()()()()()(20iiPHPHHPdeRdehdehPjwijj000)()()()(统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 462022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院()()jooPRed00()()()jiRhhd ded 00()()()jiRhhed d d 00()()()jjjiRehehed d d ()00()()()jjjiRehe
44、hed d d 统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 472022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院00()()()jjjiRehehed d d 00()()()jjjiRedhedhed*()()()iPHH2()()iPH统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 482022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院例 带限白噪声带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理
45、想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为其它,0,)(0HtjeKH可见，输出噪声的功率谱密度在可见，输出噪声的功率谱密度在|H内是均匀的，内是均匀的，在此范围外则为零，通常把这样的噪声称为带限白噪在此范围外则为零，通常把这样的噪声称为带限白噪声。声。HiHPHPKH),()()(,)(20202带限白噪声统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 492022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院白噪声通过理想低通滤波器u传递函数传递函数u功率传递函数
46、功率传递函数u输出功率谱输出功率谱 其其它它0|)(0mtjdeKH 其其它它0|)(202mKH )(|)(|)(2iOPHP 其其它它0|2020mnK 统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 502022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院带限白噪声的功率谱和自相关函数fOPo()ORo()fHfHn02K0212fH12fHK0n0 fH2带限白噪声统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 512022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦
47、波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院带限白噪声其自相关函数为其自相关函数为2200002001()()22sinHHfjjffHHHnRPedKedfK n f 由此可见，带限白噪声只有在由此可见，带限白噪声只有在=k/2fH(k=1,2,3,)上得到的随机变量才不相关。即，如果对带上得到的随机变量才不相关。即，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。相关的随机变量。HfnKR0200)0(带限白噪声的平均功率：带限白噪声的平均功率：统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机
48、过程 522022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院白噪声通过理想带通滤波器u传递函数传递函数u功率传递函数功率传递函数 其其它它0|)(0hltjdeKH 其其它它0|)(202hlKH 统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 532022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院u输出功率谱输出功率谱u输出功率输出功率其它0|2020hlnK)()(21020lhoffnKdPNO2020nK l0 h-h-
49、l)(|)(|)(2iOPHP)(oP统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 542022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院从原理上看，在已知输入过程分布的情况从原理上看，在已知输入过程分布的情况dthti)()()(00总可以确定输出过程的分布。总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理来看，上式可表示为一个和
50、式的极因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即限，即kkkkihttk)()(lim)(0004.输出过程o(t)的概率分布带限白噪声统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 552022-8-6随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 现代通信原理电 子 科 学 与 技 术 学 院 由于由于i(t)已假设是高斯型的，所以，在任一时刻已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项的每项 都是一个高斯随机变量。都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都因此，输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之
