1、轨迹方程的求法轨迹方程的求法 求平面上动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌求平面上动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握的主要内容之一，也是高考考查的重要内容之一。握的主要内容之一，也是高考考查的重要内容之一。轨迹即点的集合，而方程为实数对的集合，求符合某种轨迹即点的集合，而方程为实数对的集合，求符合某种条件的动点轨迹的方程，其实质就是利用已知的点的坐标间条件的动点轨迹的方程，其实质就是利用已知的点的坐标间的特性（运动规律）去寻求变量间关系的方程。因此，求轨的特性（运动规律）去寻求变量间关系的方程。因此，求轨迹方程的基本指导思想，就是充分利用题设中的几何条件，迹方程的基本指导思想，就是充分利用题设
2、中的几何条件，通过通过“解析化解析化”将其转化为代数方程。将其转化为代数方程。求动点轨迹方程的几种常用方法：求动点轨迹方程的几种常用方法：1.1.直接法；直接法；2.2.定义法；定义法；3.3.代入法（转代法）；代入法（转代法）；4.4.待定系数法；待定系数法；5.5.参数法；参数法；6.6.交轨法。交轨法。知识归纳知识归纳如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等 量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系须把这种关系“翻译翻译”成含成含x x、y y的等式就得到曲线的轨迹方程，由
3、的等式就得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以于这种求轨迹方程的过程不需其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以称之为直接法。称之为直接法。例例1 1：已知已知A A（-2-2，0 0），），B B（2 2，0 0），动点），动点P P与与A A、B B两点连线的斜率乘积为两点连线的斜率乘积为k k（k0k0），（），（1 1）求点）求点P P的轨迹方程；（的轨迹方程；（2 2）讨论点）讨论点P P的轨迹类型。的轨迹类型。分析分析：直接应用已知条件可列出轨迹方程，但不要忽略讨论参数范围。直接应用已知条件可列出轨迹方程，但不要忽略讨论参数范围。一一.直接法直
4、接法解：（解：（1 1）设点）设点P P的坐标为（的坐标为（x x，y y），则），则=k=k，即，即kxkx2 2y y2 2=4k=4k（xx2 2）k0k0，动点动点P P的轨迹方程为的轨迹方程为当当k0k0时，点时，点P P的轨迹为双曲线，除去两顶点（的轨迹为双曲线，除去两顶点（2 2，0 0）；）；当当k0k0 x0）ca54AFed()()xy225124若动点若动点P P（x x，y y）随已知曲线）随已知曲线f f（x x，y y）=0=0上的动上的动 点点Q(x,y)Q(x,y)的变化而变化，则用的变化而变化，则用P P点坐标点坐标 x x，y y来来表示表示QQ点的坐标点的
5、坐标xx，yy，将它代入已知曲线方程，将它代入已知曲线方程f f（x x，y y）=0 0，便得到所求的曲线方程。，便得到所求的曲线方程。三、代入法三、代入法（转代法）（转代法）分析分析：这是主动点和被动点问题，设法用：这是主动点和被动点问题，设法用P P点坐标来表示点坐标来表示Q Q点坐标，问题点坐标，问题便可迎刃而解。便可迎刃而解。例例3 3：设点：设点Q Q是抛物线是抛物线y y2 24x4x上的动点，点上的动点，点O O是原点，点是原点，点P P在在OQOQ的延长线上，的延长线上，且且=，当点，当点Q Q在抛物线上移动时，求点在抛物线上移动时，求点P P的轨迹方程。的轨迹方程。OPOQ
6、23解：设解：设Q Q（x x0 0，y y0 0），），P P（x x，y y），由且），由且P P在在OQOQ的延长线上，得的延长线上，得由定比分点坐标公式得：由定比分点坐标公式得：又点在抛物线又点在抛物线y24x 上，上，所以，即点的轨迹方程为所以，即点的轨迹方程为OPOQ32OPPQ 3()yx222433yx26xx031 3yy031 3xx023yy023 2006届高中数学专题复习轨迹方程的求法法 四、四、待定系数法待定系数法已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设条件确定其系数即可。条件确定其系数即可。例例4 4：已知圆已知圆C C1
7、1的方程为，椭圆的方程为，椭圆C C2 2的方程为的方程为（abcabc），），C C2 2离心率为，若离心率为，若C C1 1与与C C2 2相交于相交于A A、B B两点，且线段两点，且线段ABAB恰好为圆恰好为圆C C1 1的直径，求直径的直径，求直径ABAB的方程和椭圆的方程和椭圆C C2 2的方程。的方程。()()xy2220213xyab2222122得得 ()()()()xxxxyyyy1212121220将将、代入代入 yyxx 12121所以直线的方程为所以直线的方程为()yx 12xxyyxybbxybb1212221122222222421212解：由解：由e e得得a
8、a2 22b2b2 2，设椭圆方程为，设，设椭圆方程为，设A A（x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2），），则有：则有：xybb22221222直线与椭圆相交直线与椭圆相交0 0，得，得b b2 23 3()ABbxx2212182202244233由由b 28得得椭圆方程为椭圆方程为xy221168即：即：将代入椭圆方程得将代入椭圆方程得:yx 3xxb223121820yx 3 轨迹方程的求法轨迹方程的求法 解：设解：设Q Q点坐标为（点坐标为（1+cos1+cos，sinsin），），PP（x x，y y）的坐标为）的坐标为消去消去得得cossinxy1
9、22()xyx 221124例例5 5：设圆设圆C C：(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1，过原点，过原点O O作圆的任意弦，作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。求所作弦的中点的轨迹方程。xyOCPQ若动点若动点P P（x x，y y）中坐标）中坐标x x、y y之间的关系难以找之间的关系难以找 出，可引进参数出，可引进参数t t，用，用t t分别表示分别表示x x、y y（即（即x=f(t)x=f(t)，y=g(t)y=g(t)），再由两式消去），再由两式消去t t，便得到所求曲线的普通方程。，便得到所求曲线的普通方程。六、交轨法六、交轨法是两条已知曲线是两条已知曲线f f
10、1 1(x(x，y)=0y)=0，f f2 2(x(x，y)=0y)=0联立，联立，解出两曲线交点，然后寻找交点横、纵坐标之间的关系式。解出两曲线交点，然后寻找交点横、纵坐标之间的关系式。分析：分析：M M是动直线是动直线PFPF1 1和和QFQF2 2的交点，用交轨法。的交点，用交轨法。联立，解得联立，解得,yxyxx0042将上面结果代入得将上面结果代入得 xy220013()yxx222214213点的轨迹方程为且轨迹是椭圆。点的轨迹方程为且轨迹是椭圆。xy221643解：设点解：设点P P的坐标（的坐标（x x0 0，y y0 0），则），则Q Q（x x0 0，-y-y0 0），），
11、直线直线PFPF1 1的方程：的方程：-直线直线QFQF2 2的方程：的方程：-()yyxx0022()yyxx0022例例6 6：如图，：如图，F F1 1，F F2 2是双曲线，的两个焦点，垂直于是双曲线，的两个焦点，垂直于x x轴的直线交双轴的直线交双曲线于曲线于P P、Q Q两点，求直线两点，求直线PFPF1 1和和QFQF2 2的交点的交点M M的轨迹方程，并说明这是什么曲的轨迹方程，并说明这是什么曲线。线。xy2213yOxMPF1F2Q解法二解法二（直接法）：设（直接法）：设OQOQ为过为过O O的一条弦，的一条弦，P P（x x，y y）为中点，）为中点，则则CPOQCPOQ，
12、设，设OCOC中点为中点为 ，则，则得方程得方程(,)1M02MPOC1122()()xyx22110124()()xy 222121 即即:()xy221111又又()xyx 221124解法三解法三：代入法（转代法）设：代入法（转代法）设Q Q（x x1 1,y,y1 1),),则则xxyy1122xxyy1122例例5 5还可以用什么方法求解？还可以用什么方法求解？4.4.思考：思考：例例5 5：设圆设圆C C：(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1，过原点，过原点O O作圆的作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。OxyCPQM 轨迹方程的求
13、法轨迹方程的求法 解法五解法五：（交轨法）设直线：（交轨法）设直线OQOQ的方程为的方程为 CPOQCPOQ，直线直线PCPC的方程为的方程为 ykx得得()yx x 21()xyx 221124即即()yxk 11解法四解法四：（定义法）（定义法）OPC=90OPC=90，动点动点P P在以在以M M（，（，0 0）为）为圆心，圆心，OCOC为直径的圆上，其圆心（，为直径的圆上，其圆心（，0 0），半径为），半径为212121所求动点所求动点P P的轨迹方程为的轨迹方程为 ()xyx 2211242 2.ABCABC的三边的三边a a、b b、c c依次成等差数列，且依次成等差数列，且a a
14、b bc c，A A（-1-1，0 0），），C C（1 1，0 0），则顶点），则顶点B B的轨迹为的轨迹为_。1 1、在、在ABCABC中，已知中，已知A A（-4-4，0 0）、）、B B（4 4，0 0）,且且sinA-sinB=sinCsinA-sinB=sinC，则点则点C C的轨迹方程是（的轨迹方程是（）xy22141 2A A()xyx2210412B Bxy221124C C D.D.以上都不是以上都不是以、为焦点，长轴长为的椭圆以、为焦点，长轴长为的椭圆提示提示：由正弦定理得：由正弦定理得 ，即，即 故点故点C C的轨迹是以的轨迹是以A A、B B为焦点，实轴长为为焦点，实
15、轴长为4 4的双曲线。的双曲线。BCACAB142abc12提示提示：由：由 得得BCBAAC24bac2 轨迹方程的求法轨迹方程的求法 3.3.已知定点已知定点A A（1 1，0 0），动点），动点B B在圆在圆x x2 2+y+y2 2=4=4上，连接上，连接ABAB，并延，并延长到长到C C，使，使|AC|AC|:|AB|AB|2 2，则，则C C点的轨迹是（点的轨迹是（）A.A.圆圆 B.B.椭圆椭圆 C.C.曲线曲线 D.D.抛物线抛物线A A提示提示：设：设 ,xyxy00122即即有有xy22004又又()()xy221122)xy2214:(即即故选故选 C(,),B(,),x
16、 yxy00 轨迹方程的求法轨迹方程的求法 、求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、简化、检验。检验就是要检验点轨迹的纯粹性和完备性。简化、检验。检验就是要检验点轨迹的纯粹性和完备性。、如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知、如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法。识推出等量关系，求方程时可用直接法。、如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线、如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线的定义写出方程，这种方法称为定义法。的定义写出方程，这
17、种方法称为定义法。、如果轨迹动点（、如果轨迹动点（x、y）依赖于另一动点（）依赖于另一动点（a、b），而），而又在又在某已知曲线上，则可先列出关于某已知曲线上，则可先列出关于x、y、a、b的方程组，利用的方程组，利用x x、y y表示表示出出a、b，把，把a、b代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程，此法称为代入已知曲线方程便得动点的轨迹方程，此法称为代入法。代入法。、如果轨迹动点（、如果轨迹动点（x x、y y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将关点可用时，可先考虑将x x、y y用一个或几个参数来表示，消去参数得用一个或几个参数来表示，
18、消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。参数法中常选变角、变斜率等为参数。轨迹方程，此法称为参数法。参数法中常选变角、变斜率等为参数。小结小结谢谢指导谢谢指导 46凡事不要说我不会或不可能，因为你根本还没有去做！47成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践48只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星49上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价50现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。51宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子52为成功找方法，不为失败找借口53不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。54垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！55不一定要做最大的，但要做最好的56
19、死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！57成功是动词，不是名词！28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也；立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。孝经61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。荀子劝学篇62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。68、找不到路不是没
20、有路，路在脚下。69、幸福源自积德，福报来自行善。70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。74、今天学习不努力，明天努力找工作。75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。78、技艺创造价值，本领改变命运。79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！82、校兴我荣，校衰我耻。83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。84、不想当老板的学生不是好学生。85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。88、知技并重，德行为先。89、生活的理想，就是为了理想的生活。张闻天90、贫不足羞，可羞是贫而无志。吕坤
