1、第七章第七章 椭球面上的测量计算椭球面上的测量计算7.1 7.1 地球椭球的基本几何参数地球椭球的基本几何参数 及其相互关系及其相互关系7.1.1 7.1.1 地球椭球的基本几何参数地球椭球的基本几何参数子午圈子午圈(线线,面面,椭圆椭圆)平行圈平行圈(纬圈纬圈)赤道赤道南京工业大学测绘学院1SONAE bEaKQQ决定旋转椭球的性状和大小的五个基本决定旋转椭球的性状和大小的五个基本几何参数几何参数(或称元素或称元素)椭圆的长半径椭圆的长半径:椭圆的短半径椭圆的短半径:椭圆的扁率椭圆的扁率:椭圆的第一偏心率椭圆的第一偏心率:椭圆的第二偏心率椭圆的第二偏心率:椭球的焦距椭球的焦距南京工业大学测绘
2、学院2aba ba22abea22abeb22abE为简化书写，常引入以下符号：为简化书写，常引入以下符号：此外，还有两个常用的辅助函数：此外，还有两个常用的辅助函数：南京工业大学测绘学院32bda222coseBttgB221sinWeB2acb2221cos1VeB7.1.2 7.1.2 地球椭球参数的相互关系地球椭球参数的相互关系南京工业大学测绘学院4221,11,11,11,12222222222eeVWeWVeeeeeeecaeaceabeba222222222221()1()1sin(1)1(1)bWe VVaaVeWWbWeBe VVe W 7.2 7.2 椭球面上的常用坐标系椭
3、球面上的常用坐标系 及其相互关系及其相互关系7.2.1 7.2.1 各种坐标系的建立各种坐标系的建立1.1.大地坐标系大地坐标系 大地经度大地经度B B 大地纬度大地纬度L L 大地高大地高H H 南京工业大学测绘学院5NHHHH正正常2.2.空间直角坐标系空间直角坐标系当坐标原点位在总地当坐标原点位在总地球椭球球椭球(或参考椭球或参考椭球)质心时，此时称为地质心时，此时称为地心心(或参心或参心)空间直角空间直角坐标系，坐标系，Z Z轴与地球平轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极点北极点;X;X轴指向平均自转轴与平均格林尼治轴指向平均自转轴
4、与平均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点天文台所决定的子午面与赤道面的交点Ge,Ge,而而Y Y轴与此平面垂直，且指向东为正。轴与此平面垂直，且指向东为正。南京工业大学测绘学院63.3.子午面直角坐标系子午面直角坐标系设设P P点的大地经度为点的大地经度为L L，在过在过P P点的子午面上，点的子午面上，以子午圈椭圆中心为以子午圈椭圆中心为原点，建立原点，建立x,yx,y平面平面直角坐标系。直角坐标系。在该坐标系中，在该坐标系中，P P点点的位置用的位置用L,x,yL,x,y表示。表示。南京工业大学测绘学院74.4.天文坐标系天文坐标系 天文坐标系是以铅垂线为依据建立起来天文坐标系是以
5、铅垂线为依据建立起来的。在这个坐标系中，一点的坐标用天文经的。在这个坐标系中，一点的坐标用天文经度度及天文纬度及天文纬度表示。所谓天文纬度表示。所谓天文纬度是是P P点的铅垂线与地球赤道面形成的锐角，天文点的铅垂线与地球赤道面形成的锐角，天文经度经度是天文起始子午面同过是天文起始子午面同过P P点的天文子午点的天文子午面之间形成的二面角，此时的天文子午面系面之间形成的二面角，此时的天文子午面系指过指过P P点的铅垂线和地球旋转轴组成的平面。点的铅垂线和地球旋转轴组成的平面。南京工业大学测绘学院85.5.地心纬度坐标系及归化纬度坐标系地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上设椭球面上P P点的
6、大地经度点的大地经度L L，在此子午面在此子午面上以椭圆中心上以椭圆中心O O为原点建立地心纬度坐标系为原点建立地心纬度坐标系;以椭球长半径以椭球长半径a a为半径作辅助圆，延长为半径作辅助圆，延长与辅助圆相交与辅助圆相交点，则点，则OPOP与与x x轴夹角称为轴夹角称为P P点的归化纬度点的归化纬度u u。南京工业大学测绘学院96.6.站心地平坐标系站心地平坐标系 大地站心地平坐标系是以测站法线和子午大地站心地平坐标系是以测站法线和子午线方向为依据的坐标系，点的坐标可用线方向为依据的坐标系，点的坐标可用(x,y,z)(x,y,z)或或(S,A,Z)S,A,Z)表示。表示。天文站心地平坐标系由
7、垂线，真地平面及天文站心地平坐标系由垂线，真地平面及天文子午面所决定。天文子午面所决定。南京工业大学测绘学院10222tan,coscossinsincossinzyxSxyASzZZSzAZSyAZSx7.2.2 7.2.2 各种坐标系间的关系各种坐标系间的关系1.1.子午平面坐标系同大地坐标系的关系子午平面坐标系同大地坐标系的关系南京工业大学测绘学院11(90)dytgBctgBdx 12222byaxyxabdxdy22222(1)bxxctgBeayyWBaBeBaxcossin1cos22222(1)ybe tgBtgBxa南京工业大学测绘学院12VBbBeWaBeBeaysinsi
8、n)1(sin1sin)1(2222BNxcosWaN BeNysin)1(2BPQysin)1(2eNPQ2NeQn 子午平面直角坐标系同归化纬度子午平面直角坐标系同归化纬度 坐标系的关系坐标系的关系 由图可知由图可知:x南京工业大学测绘学院13OPaOPbcoscossinsinxOPuauyOPubu 22aytg ubxabbtg Btg BbaaayobPPPu(,)x y子午平面直角坐标系同地心纬度子午平面直角坐标系同地心纬度 坐标系的关系坐标系的关系 由图可知由图可知:而而:南京工业大学测绘学院14axbyPoPP(,)x yytgx22ybtgBxa22btgtgBaytgx2
9、.2.空间直角坐标系同子午平面直角坐标系的空间直角坐标系同子午平面直角坐标系的关系关系yZLxYLxXsincosY南京工业大学测绘学院152OPx2PPyZLXxO(,)P X Y Z1PX2P()y()Z yY3.3.空间直角坐标系同大地坐标系的关系空间直角坐标系同大地坐标系的关系图中图中:南京工业大学测绘学院160PPHnOPR 00OPR 0 00PPyOPx()yx(,)X Y ZYZOXLBP0000(,)P X Y ZR 0R 0P2PAaNW02coscoscossinsin(1)BLRNBLBe 南京工业大学测绘学院1702coscoscossincossinsin(1)xL
10、BLaRxLBLWyBe cos coscos sinsinBLnBLB则则:南京工业大学测绘学院1802()coscos()cos sin()sinRRHnXNHBLYNHBLZNHNeB 当已知当已知P P点的空间直角坐标计算相应的大点的空间直角坐标计算相应的大地坐标时地坐标时,对大地经度对大地经度L L有有大地纬度大地纬度B B的计算比较复杂的计算比较复杂,通常采用迭代法通常采用迭代法:或或:南京工业大学测绘学院192222arccosarcsinarctanYXXLYXYLXYL222sinZNeBtgBXY222cosXYNeBctgBZ迭代时可取迭代时可取:用用 的初值的初值计算计
11、算 和和 ,按按 进行进行第二次迭代第二次迭代,直到最后两次直到最后两次 值之差小于允许值之差小于允许误差为止。误差为止。当已知大地纬度当已知大地纬度 时，按下式计算大地高时，按下式计算大地高 或或南京工业大学测绘学院20122ZtgBXYB1B1N1sinB222sinZNeBtgBXYBB2(1)sinZHNeBNBYXHcos224.4.空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系空间直角坐标系同归化纬度坐标系的关系yZLxYLxXsincoscossinxauybu南京工业大学测绘学院21ubZLuaYLuaXsinsincoscoscos 5.5.大地纬度大地纬度 ，归化纬度归化纬度 ，地心
12、纬度地心纬度 之间之间的的 关系关系 和和 之间的关系之间的关系 南京工业大学测绘学院22BuuBBWucos1cosuVBsinsinuWBcoscosVBbBeWayBWaxubyuaxsinsin)1(,cossin,cos2BWeusin1sin2 和和 之间的关系之间的关系 和和 之间的关系之间的关系 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当异很小，经过计算，当B=45B=45时时南京工业大学测绘学院23uB21ye tguxtanyx21tge tgu2(1)tge tgBmaxmaxmax()5.9()5.9()11.8BuuB
13、Bu7.3 7.3 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作法截面的法线，包含这条法线的平面叫作法截面，法截面与椭球面的交线叫法截线。面，法截面与椭球面的交线叫法截线。包含椭球面一点的法截可作无数多个法截包含椭球面一点的法截可作无数多个法截面相应有无数多个法截线。椭球面上法截线面相应有无数多个法截线。椭球面上法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径于圆球的半径,而是不同方向的法截线曲率半而是不同方向的法截线曲率半径都不相同。因此
14、本节首先研究子午线及卯酉径都不相同。因此本节首先研究子午线及卯酉线的曲率半径，在此基础上再研究平均曲率半线的曲率半径，在此基础上再研究平均曲率半径及任意方向的曲率半径。径及任意方向的曲率半径。南京工业大学测绘学院247.3.1 7.3.1 子午曲率半径子午曲率半径南京工业大学测绘学院25dBdSM BdxdSsinBdBdxMsin1WBaxcos2cossinWdBdWBBWadBdx南京工业大学测绘学院26WBBedBBeddBdWcossinsin1222)1(sin23eWBadBdx32)1(WeaM32cNMMVV或南京工业大学测绘学院277.3.2 7.3.2 卯酉曲率半径卯酉曲
15、率半径 过椭球面上一点的法线，可作无限个法截过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。图中图中PEEPEE即为过即为过P P点的卯酉圈。卯酉圈点的卯酉圈。卯酉圈曲率半径用曲率半径用N N表示。表示。南京工业大学测绘学院28 麦尼尔定理麦尼尔定理:假设通过曲面上一点引两条截假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处
16、的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。两截弧平面夹角的余弦。即：即：而：而：所以：所以：也可以写成：也可以写成：由图可看出：由图可看出：南京工业大学测绘学院29BNrcosWBarxcosVcN WaN BrBPONPncoscos 卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。心位在椭球的旋转轴上。南京工业大学测绘学院30 主曲率半径的计算主曲率半径的计算 以上讨论的子午圈曲率半径以上讨论的子午圈曲率半径M M及卯酉圈
17、曲及卯酉圈曲率半径率半径N N，是两个互相垂直的法截弧的曲率半是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。径，这在微分几何中统称为主曲率半径。南京工业大学测绘学院3123222)sin1)(1(BeeaM2122)sin1(BeaNBmBmBmBmmM886644220sinsinsinsinBnBnBnBnnN886644220sinsinsinsin南京工业大学测绘学院326284262240222089674523)1(memmemmemmemeam628426224022087654321nennennennenan将克拉索夫斯基椭球元素值代入得各系数将克拉索夫斯
18、基椭球元素值代入得各系数南京工业大学测绘学院3300023.0)(03130.015602.420892.53278833.6360971700.63355521086420mmmmmm00002.0)(00350.059772.015904.10714149.2134600000.63782451086420nnnnnn 将将19751975年国际椭球元素值代入得各系数年国际椭球元素值代入得各系数南京工业大学测绘学院34000.0)(031.0158.4353.532835.63617275.63354421086420mmmmmm000.0)(003.0598.0188.107862.21
19、348000.63781401086420nnnnnn 也可以写成：也可以写成：南京工业大学测绘学院352322)cos1(BecM2122)cos1(BecNBmBmBmBmmM886644220coscoscoscosBnBnBnBnnN886644220coscoscoscos 则式中则式中：南京工业大学测绘学院361011)(89674523)1(/821062842622402220memmemmemmemmemeacm109)(876543211/821062842622402220nennennennenneneacn 将克拉索夫斯基椭球元素值代入得各系数将克拉索夫斯基椭球元素值
20、代入得各系数南京工业大学测绘学院37000.0)(033.0284.4867.544800.64686902.63996981086420mmmmmm000.0)(004.0612.0973.108266.21562902.63996981086420nnnnnn 将将19751975年国际椭球元素值代入得各系数年国际椭球元素值代入得各系数南京工业大学测绘学院38000.0)(032.0285.4016.545142.64695652.63995961086420mmmmmm000.0)(004.0612.0003.109047.21565652.63995961086420nnnnnn 7.
21、3.3 7.3.3 任意法截弧的曲率半径任意法截弧的曲率半径 南京工业大学测绘学院39NAMARA22sincos1AMANMNRA22sincos21VMNABeNANRA2222coscos1cos1)coscos1(4422AANRA 不仅与点的纬度不仅与点的纬度B B有关，而且还与过该有关，而且还与过该点的法截弧的方位角点的法截弧的方位角A A有关。当时，有关。当时，变为计算子午圈曲率半径的，即变为计算子午圈曲率半径的，即；当当9090时，为卯酉圈曲率半径，即时，为卯酉圈曲率半径，即。主曲率半径。主曲率半径M M及及N N分别是分别是的极的极小值和极大值。小值和极大值。南京工业大学测绘
22、学院40)211(122RRNRABeRRARRA2coscos2)cos1)(211(2222ABeR2coscos22 当当A A由由0 09090时，时，之值由之值由，当，当A A由由9090180180时，时，值由值由NN，可见，可见值的变化是以值的变化是以9090为周期且与子午圈和为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。卯酉圈对称的。7.3.4 7.3.4 平均曲率半径平均曲率半径 或或 椭球面上任意一点的平均曲率半径椭球面上任意一点的平均曲率半径R R等于该等于该点子午圈曲率半径点子午圈曲率半径M M和卯酉圈曲率半径和卯酉圈曲率半径N N的几的几何平均值何平均值。南京工业大学测绘学院41M
23、NR 22221eWaVNVcWbR 7.3.57.3.5 M M，N N，R R的关系的关系南京工业大学测绘学院42MRNcMRN909090 对于克拉索夫斯基椭球对于克拉索夫斯基椭球南京工业大学测绘学院437.4 7.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算7.4.1 7.4.1 子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式 南京工业大学测绘学院44MdBdx BMdBX0BmBmBmBmmM886644220sinsinsinsin南京工业大学测绘学院45BBBBBBBBBBBBBB8cos12816cos1614cos3272cos16712835sin6cos3214cos1632cos32
24、15165sin4cos812cos2183sin2cos2121sin8642BaBaBaBaaM8cos6cos4cos2cos86420BaBaBaBaBaX8sin86sin64sin42sin28642012816323271638167321522128351653288866864486422864200mammammmammmmammbmmma南京工业大学测绘学院46 克拉索夫斯基椭球子午弧长计算公式克拉索夫斯基椭球子午弧长计算公式 19751975年国际椭球子午弧长计算公式年国际椭球子午弧长计算公式南京工业大学测绘学院47BBBBBBBXcossin697.0cossin92
25、9.133cossin780.32005861.11113453BBBBBBBXcossin698.0cossin960.133cossin858.32009005.11113353BBBBX6sin022.04sin828.162sin480.16036861.111134BBBBX6sin022.04sin833.162sin528.16038005.111133 如果以如果以B B9090代入，则得子午椭圆在一个代入，则得子午椭圆在一个 象限内的弧长约为象限内的弧长约为10 002 13710 002 137m m。旋转椭球的旋转椭球的子午圈的整个弧长约为子午圈的整个弧长约为40 008
26、 549.99540 008 549.995m m。即即一象限子午线弧长约为一象限子午线弧长约为10 00010 000kmkm，地球周长地球周长约为约为40 00040 000kmkm。为求子午线上两个纬度为求子午线上两个纬度B B及间的弧及间的弧长，只需按式分别算出相应的长，只需按式分别算出相应的X X及及X X，而而后取差：后取差：，该，该即为所求的弧长。即为所求的弧长。南京工业大学测绘学院48 当弧长甚短当弧长甚短(例如例如X40kmX40km，计算精度到计算精度到0.0010.001m)m)，可视子午弧为圆弧，而圆的半径为可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率
27、半径该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径M M南京工业大学测绘学院49 由子午弧长求大地纬度由子午弧长求大地纬度迭代解法迭代解法:南京工业大学测绘学院5001/aXBf01/)(aBFXBifififififififBaBaBaBaBF8sin86sin64sin42sin2)(8642 7.4.2 7.4.2 平行圈弧长公式平行圈弧长公式南京工业大学测绘学院51cos1lblBNS子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较南京工业大学测绘学院527.5 7.5 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面 观测的基准线不是各点相应的椭球面的法观测的基准线不是各点相应
28、的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。在着垂线偏差。归算的两条基本要求：归算的两条基本要求：以椭球面的法线为基准；以椭球面的法线为基准；将地面观测元素化为椭球面上大地线的相将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。应元素。南京工业大学测绘学院537.5.1 7.5.1 将地面观测的水平方向归算至将地面观测的水平方向归算至 椭球面椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为三差改正。称此三项改正为三差改正。
29、(1)(1)垂线偏差改正垂线偏差改正南京工业大学测绘学院54以测站以测站A A为中心为中心作出单位半径的作出单位半径的辅助球辅助球,u u是垂线是垂线偏差，它在子午偏差，它在子午圈和卯酉圈上的圈和卯酉圈上的分量分别以分量分别以，表示，表示，M M是地面观测目标是地面观测目标m m在在球面上的投影。球面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是垂线偏差对水平方向的影响是(R-RR-R)11(sincos)(sincos)tummmmAActgZAAg 南京工业大学测绘学院55(2)(2)标高差改正标高差改正 南京工业大学测绘学院56122222sincos22ABHeMhaHH常2(3)(3)截面差改
30、正截面差改正 南京工业大学测绘学院571122222sincos)(121ABSeNg7.5.1 7.5.1 将地面观测的长度归算至椭球面将地面观测的长度归算至椭球面1.1.基线尺量距的归算基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面上的长后，可以认为它是基线平均高程面上的长度，以度，以表示，现要把它归算至参考椭球表示，现要把它归算至参考椭球面面上的大地线长度上的大地线长度S S。(1).(1).垂线偏差对长度归算的影响垂线偏差对长度归算的影响)(22122121HHuuhuuSu南京工业大学测绘学院582.2.高程对长度归算的影响高程对长度归算的影响南京工业大学测绘学院59RHRHRSSmm10101RHSSm2201RHRHSSmm2200RHSRHSSmmH)(21122110HHuuRHSSm7.5.2 7.5.2 电磁波测距的归算电磁波测距的归算南京工业大学测绘学院6012212coscos1ABeNRA)(2)()(cos2122221HRHRDHRHRAAAAAARSRS2sin21coscos2)(4)(2sin1221222HRHRHHDRSAAA
