1、附录附录n附录附录A 计算机图形学的数学基础计算机图形学的数学基础n附录附录B 图形的几何变换图形的几何变换n附录附录C 形体的投影变换形体的投影变换 附录附录A 计算机图形学的数学基础计算机图形学的数学基础A.1 矢量运算矢量运算 n矢量是一有向线段，具有方向和大小两个参数。设有两个矢量V1(x1,y1,z1)，V2(x2,y2,z2)。(1)矢量的长度|V1|=(x1x1,y1y1,z1z1)1/2(2)矢量倍乘V1=(x1,y1,z1)(3)两个矢量之和V1+V2=(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)(4)两个矢量的点积V1V2=|V1|V2
2、|cos=x1x2+y1y2+z1z2其中，为两相量之间的夹角。点积满足交换律和分配律：V1V2=V2V1V1(V2+V3)=V1V2+V1V3(5)两个矢量的叉积叉积V1V2是一个向量，而且满足：|V1V2|=|V1|V2|sin，即以V1和V2为邻边所构成的平行四边形的面积。V1V2垂直于V1和V2。V1，V2，V1V2构成右手系。用坐标表示为：叉积满足反交换律和分配律V1V2=V2V1V1(V2+V3)=V1V2+V1V312211221122122211121yxy,xxzx,zzyzyzyxzyxkjiVVA.2 矩阵运算矩阵运算 n设有一个m行n列矩阵A：其中(ai1,ai2,ai
3、3,ain)被称为第i(1in)个行向量，(a1j,a2j,a3j,amj)T被称为第j(1jm)个列向量。mnmmnnnmaaaaaaaaa212222111211A(1)矩阵的加法运算 n设两个矩阵A和B都是mn的，把它们对应位置的元素相加而得到的矩阵叫做A、B的和，记为ABn只有在两个矩阵的行数和列数都相同时才能实施矩阵的加法运算。mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111BA(2)数乘矩阵 n用数k乘矩阵A的每一个元素而得的矩阵叫做k与A之积，记为kA：mnmmnnkakakakakakakakakak212222111
4、211A(3)矩阵的乘法运算n只有当前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时两个矩阵才能相乘：Cmn=AmpBpn矩阵C中的每个元素 。pkkjikijba1Cn下面用一个简单的例子来说明。设A为23的矩阵，B为32的矩阵，则两者的乘积为：322322221221312321221121321322121211311321121111322212312111231322122111 bababababababababababababbbbbbaaaaaaBAC(4)单位矩阵 n对于一个nn的矩阵，如果它的对角线上的各个元素均为1，其余元素都为0，则该矩阵称为单位矩阵，记为In。对于任意mn的矩阵，恒
5、有：AmnIn=AmnIm Amn=Amn(5)矩阵的转置 n交换一个矩阵Amn的所有的行列元素，那么所得到的mn的矩阵被称为原有矩阵的转置，记为AT：显然，(AT)T=A，(A+B)T=(AT+BT)，(kA)T=kAT。但是，对于矩阵的积：(AB)T=BTATmnnnmmaaaaaaaaa212221212111TA(6)矩阵的逆 n对于一个nn的方阵A，如果存在一个nn的方阵B，使得AB=BA=In，则称B是A的逆，记为B=A-1，同时A则被称为非奇异矩阵。n矩阵的逆是相互的，A同样也可记为B=A-1，B也是一个非奇异矩阵。n任何非奇异矩阵有且只有一个逆矩阵。(7)矩阵运算的基本性质 矩
6、阵加法适合交换律与结合律 A+B=B+AA+(B+C)=(A+B)+C 数乘矩阵适合分配律与结合律(A+B)=A+B(AB)=(A)B=AB 矩阵的乘法适合结合律 A(BC)=(AB)C 矩阵的乘法对加法适合分配律(A+B)C=AC+BCC(A+B)=CA+CB 矩阵的乘法不适合交换率 ABBAA.3 齐次坐标齐次坐标n所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。n如向量(x1,x2,xn)的齐次坐标表示为hx1,hx2,hxn,h，其中h是一个实数。n显然一个向量的齐次表示是不惟一的，齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标8,4,2、4,2,1表示的都是二
7、维点2,1。n齐次坐标的优点：它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集，从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。对于齐次坐标a,b,h，保持a,b不变，h0的过程就表示了在二维坐标系中的一个点，沿直线ax+by=0逐渐走向无穷远处的过程。A.4 线性方程组的求解线性方程组的求解n对于一个有n个变量的方程组：n可将其表示为矩阵形式：AX=B，A为系数矩阵。该方程有惟一解的条件是A为非奇异矩阵，则方程的解为：X=A-1B。nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211
8、2222212111212111 附录附录B 图形的几何变换图形的几何变换B.1 窗口区到视图区的坐标变换窗口区到视图区的坐标变换n实际的窗口区与视图区大小往往不一样，要在视图区正确地显示形体，必须将其从窗口区变换到视图区。(xv,yv)n由比例关系，两者的变换公式为：)()(wybywybwytvybvytvybywxlxwxlwxrvxlvxrvxlxwvwv(xv,yv)n可以简单地将两者的关系表示为：n其中：n用矩阵表示为：dycybxaxwvwvwxlwxlwxrvxlvxrvxlbwxlwxrvxlvxrawybwybwytvybvytvybdwybwytvybvytc110000
9、1wwvvyxdcbayxB.2 二维图形的几何变换二维图形的几何变换n用齐次坐标表示点的变换将非常方便，因此在附录B中所有的几何变换都将采用齐次坐标进行运算。n二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：ihgfedcban这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。n其中 可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换；n 是对图形进行平移变换；ng h是对图形作投影变换；ni则是对图形整体进行缩放变换。edbafc(1)平移变换1),(1110010011yxttTtytxyxttyxyxyxyx(2)缩放变换1),(1110000001yxssSysxsyxssyxyxyxyx(3)旋转变换n在直角坐标平面中
10、，将二维图形绕原点旋转角的变换形式如下：n逆时针旋转取正值；n顺时针旋转为负值。1)(1cossinsincos11000cossin0sincos1yxRyxyxyxyx(4)对称变换n对称变换其实只是a，b，d，e取0，1等特殊值产生的一些特殊效果。11100001eydxbyaxyxedbayx 当b=d=0，a=1，e=1时，有x=x，y=y，产生与y轴对称的图形；当b=d=0，a=1，e=1时，有x=x，y=y，产生与x轴对称的图形；当b=d=0，a=e=1时，有x=x，y=y，产生与原点对称的图形；当b=d=1，a=e=0时，有x=y，y=x，产生与直线y=x对称的图形；当b=d=
11、1，a=e=0时，有x=y，y=x，产生与直线y=x对称的图形。(5)错切变换1110001011ydxbyxyxdbyx 当d=0时，x=x+by，y=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值(x,y)及变换系数b作线性变化。当b=0时，x=x，y=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值(x,y)及变换系数d作线性变化。(6)复合变换n如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。n复合变换有如下5个性质：复合平移 n对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来：),(1001001 10010011001001),(),(12121212112
12、21122yyxxyyxxyxyxyxyxttttTttttttttttTttT 复合缩放 n两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘：),(1000000 10000001000000),(),(1212121211221122yyxxyyxxyxyxyxyxssssSssssssssssSssS 复合旋转 n两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：)(1000)cos()sin(0)sin()cos(1000cossin0sincos1000cossin0sincos)()(12121212121111222212RRR 关于(xf,yf)点的缩放变换n缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的
13、各种变换都是以原点为参考点的。n如果相对某个一般的参考点(xf,yf)作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩放、旋转变换，最后将(xf,yf)点移回原来的位置。n切记复合变换时，先作用的变换矩阵在右端，后作用的变换矩阵在左端。100)1(0)1(0 100100110000001001001 ),(),(),(),;,(yfyxfxffyxffffyxffyxffsyssxsyxssyxyxTssSyxTssyxS 绕(xf,yf)点的旋转变换 100sin)cos1(cossinsin)cos1(sincos 10010011000cossin0sincos1001001
14、),()(),();,(ffffffffffffffxyyxyxyxyxTRyxTyxRB.3 三维几何变换三维几何变换n由于用齐次坐标表示，三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵，其形式如下：44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaan其中 产生缩放、旋转、错切等几何变换，n 产生平移变换，n a41 a42 a43产生投影变换，na44产生整体的缩放变换。333231232221131211aaaaaaaaa342414aaa(1)平移变换n参照二维的平移变换，很容易得到三维平移变换矩阵：1),(1110001000100011zyxtttT
15、tztytxzyxtttzyxyyxzyxzyx(x,y,z)(x,y,z)(2)缩放变换n直接考虑相对于参考点(xf,yf,zf)的缩放变换，其步骤为：将参考点平移到坐标原点处；进行缩放变换；将参考点移回原来位置。.FFn 则变换矩阵为：1000)1(00)1(00)1(00100010001000110000000000001000100010001fzzfyyfxxfffzyxfffzssyssxsszyxssszyx(3)绕坐标轴的旋转变换 n三维空间的旋转相对要复杂些。考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转角的变换。绕x轴旋转1)(110000cossin00sincos00001
16、1zyxRzyxzyxx 绕y轴旋转 绕z轴旋转1)(110000cos0sin00100sin0cos1zyxRzyxzyxy1)(11000010000cossin00sincos1zyxRzyxzyxz(4)绕任意轴的旋转变换n设旋转轴AB由任意一点A(xa,ya,za)及其方向数(a,b,c)定义，空间一点P(xp,yp,zp)绕AB轴旋转角到P(xp,yp,zp)，则：1)(1pppabpppzyxRzyxPn可以通过下列步骤来实现P点的旋转：将A点移到坐标原点；使AB分别绕x轴、y轴旋转适当角度与z轴重合；将AB绕z轴旋转角；作上述变换的逆操作，使AB回到原来位置。n所以Rab()
17、=T-1(xa,ya,za)Rx-1()Ry-1()Rz()Ry()Rx()T(xa,ya,za).n其中各个矩阵的形式参照上面所讲的平移、旋转矩阵，而，分别是AB在yoz平面与xoz平面的投影与z轴的夹角。附录附录C 形体的投影变换形体的投影变换 n把三维物体变为二维图形表示的过程称为投影变换。C.1 投影变换分类投影变换分类n投影变换的分类：透视投影透视投影平行投影平行投影n物体在空间的表示是用世界坐标系，但是当人们去观察物体时，坐标系就转化为观察坐标系。这就需要在两个坐标系之间进行转换，可以通过平移、旋转来实现。C.2 世界世界坐标系与观察坐标系坐标系与观察坐标系n平移后，用单位矢量法得
18、到旋转矩阵：(1)取zv轴向为观察平面的法向VPN，其单位矢量n=VPN/|VPN|=(nx,ny,nz)；(2)取xv轴向为观察方向PREF，其单位矢量u=PREF/|PREF|=(ux,uy,uz)；(3)取yv轴向的单位矢量v=nu=(vx,vy,vz)。n得到旋转矩阵1000000zzzyyyxxxnvunvunvuRn因此世界坐标系到观察坐标系的变换矩阵为：10001000100011000000 ),(000000zyxnvunvunvuzyxTRTzzzyyyxxxwv正平行投影正平行投影斜平行投影斜平行投影C.3 正平行投影（三视图）正平行投影（三视图）n投影方向垂直于投影平面
19、的投影称为正平行投影，通常所说的三视图均属于正平行投影。三视图的生成就是把xyz坐标系的形体投影到z=0的平面，变换到uvw坐标系。n一般还需将三个视图在一个平面上画出，这时就得到下面的变换公式，其中(a,b)为uv坐标系下的值，tx、ty、tz均如图所示。(a,b)主视图侧视图俯视图 t z z (1)主视图 u=x+atx v=z+b+tz1100000001000011zyxtbtawvuzx(a,b)主视图侧视图俯视图 tz(2)俯视图 u=x+atx v=y+bty1100000000100011zyxtbtawvuyx(a,b)主视图侧视图俯视图 tz(3)侧视图 u=y+a+ty
20、 v=z+b+tz1100000001000101zyxtbtawvuzy(a,b)主视图侧视图俯视图 tzn正轴测：当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。n正轴测投影分类：正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿三个轴线具有相同的变形系数。正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿两个轴线具有相同的变形系数。正三测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都不相等。沿三个轴线具有各不相同的变形系数。120120120(a)正等测 y z x投影平面(b)正二测投影平面 y z x(c)正三测yzx投影平面C.4
21、 斜平行投影斜平行投影n投影方向不垂直于投影平面的平行投影被称为斜平行投影。图中z=0的坐标平面为观察平面，点(x,y)为点(x,y,z)在观察平面上的正平行投影坐标，点(x,y)为斜投影坐标。(x,y)与 (x,y)的距离为L。L显然，而L的长度依赖于z、，即tg=z/L，L=z/tg，所以sintg1costg1zyyzxxsincosLyyLxxLn令l1=1/tg，则 ，n由此可得：sincos11zlyyzlxx1100001000sin100cos01111zyxllzyxn斜等测投影投影平面与一坐标轴垂直投影线与投影平面成45角与投影平面垂直的线投影后长度不变n斜二测投影投影平面
22、与一坐标轴垂直投影线与投影平面成 arctg(2)角(约63.4)该轴轴向变形系数为，即与投影平面垂直的线投影后长度变为原来的一半。斜等测投影 斜二测投影 45arctg(2)C.5 透视投影透视投影n透视投影的视线（投影线）是从视点（观察点）出发，视线是不平行的。不平行于投影平面的视线汇聚的一点称为灭点，在坐标轴上的灭点叫做主灭点。主灭点数和投影平面切割坐标轴的数量相对应。按照主灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点透视和三点透视。n推导简单的一点透视的投影公式。nP点在观察平面上的投影可以得到描述P点的参数方程：zzzzuzuzzzzyuyyxuxxprpvpvpprp,)(n即：n用齐次坐标表示为：n其中h=(zprpz)/dp。zzdyzzzzyyzzdxzzzzxxprppprpvpprpprppprpvpprp1/100)/(/0000100001zyxdzddzzdzhzyxpprpppprpvppvphhh
