1、第第1 1章章 函数、极限和连续函数、极限和连续1.3 函数的连续性函数的连续性1.3.1 函数连续的定函数连续的定义义1.3.2 函数的间断点函数的间断点1.3.1 函数连续的定义函数连续的定义 连续性是函数的重要性质之一，是相对间断而言的，它反映了许多自然现象的一个共同特性.例如，气温的变化、动植物的生长以及空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化着.这些现象反映在数学上，就是函数的连续性.1、函数的增量011010100100000(),()()(),()()()().yf xxxxxxxxx xxxxxf xf xf xxf xxf xyyyf xxf x 定义 对函数当 由初值 到
2、终值 时把差叫作自变量 的增量 用记号表示即或这时对应的函数值也从变到把差叫作函数 的增量用记号表示,即2x、数点 处连续0函在一的性0000000000()()()().limlim()()0().xxyf xxxxxyf xyf xxf xyf xxf xyf xxx 义 设函数在点 及其左右近旁有定义,如果当自变量 在 处的增量趋近于零时,函数相应的增量也趋近于零即 那么,就称函数在点 处连续 叫作函数的连续点定 这一定义说明了连续的本质：当自变量变化微小，函数值相应变化也很微小.00000,()(),0;0()(),()x xxyf xf xxxxyf xf xyf xx 在定义中,如
3、果说则当时,有当时,有因此函数在点 连续的定义又可叙述为:0000000(),(),(),lim()()().xxyf xxf xxxxf xf xf xf xx 定义 设函数在点 及其左右近旁有定义 如果函数当时极限存在 且等于它在点 处的函数值即那么,就称函数在点 处连续0,()yf xx这个定义指出函数在点 连续要满足以下三个条件:0(1)()f xx函数在点 及其左右近旁有定义;0(2)lim();xxf x存在00(3)lim()().xxf xf x3数区间内连续.函在(a,b)的性下面先介绍函数的左连续与右连续的概念.00()(,lim()(),(0)lim()(),().xbx
4、bf xa bf xf bf bf xf bf xb 义 设函数在区间内有定义如果左极限存在且等于即若则称函数在点左连续定00(),),lim()(),(0)lim()(),().xaxaf xa bf xf af af xf af xa 设函数在区间内有定义如果右极限存在且等于即若则称函数在点 右连续1,11()()1,11.xf xf xxxxx 作出函数的图形,并讨论函数点-1 及点的连续性 例 解：1 01 0lim()lim1,(1)1,1.xxf xxfx 因为而所以函数在点左连续1 01 01 01 01lim()lim1,lim()lim1 1lim()()1.xxxxxf x
5、xf xf xf xx 因为左极限不等于右极限,所以不存在,即函数在处不连续(1 0)1(1),()1.fff xx 但由于所以函数在点右连续()()(,),()(,)yf xa babyf xa bxyf xa b义 设函数在开区间(,)内有定义,其中 或为-,或为+.若在内每一点 处都连续 则称函数为该区间内的连续函数的连续,区间叫作函数的连续区间 定5.(),()(,),()yf xa byf xa babyf xa,b义 设函数在区间上有定义 若在开区间内连续 在左端点 处右连续 在右端点 处左连续 则称在闭区间上连续.定6,显然，在某一区间内，连续的函数其图形是一条连续不断的曲线，这
6、是连续函数的几何特性.注意：注意：1.3.2 函数的间断点函数的间断点1.间断点下面三个函数在x=1的连续性.21(1)()1,11xf xxxx函数由于在没有定义故不连续,(1)(2)()1,lim(),1,(1)1()1xxf xxf xxxxf xx 函数虽在有定义但由于不存在所以函数在不连续11,13(3)()21lim(),lim()(1),2110,1()1xxf xxf xf xfxxxf xx 函数虽在处有定义且不存在但 故函数在不连续.0 13 26(1)图示意图12121211xyxxy13 27(2)图示意图11()yf xxyO13 28(3)图示意图1211.5212
7、xyO()yf x 发散发散;()1,():f xxf x 以上三个函数在都有不连续但产生不连续的原因却各不相同.一般来说,如果函数有下列三种情形之一00(1),x xx x在点的近旁有定义但点处无定义;00(2),lim()xxxxf x虽在点有定义 但不存在;000000(3),lim(),lim()();(),()xxxxx xf xf xf xf xxxf x 虽在点有定义且存在但则函数在点 不连续我们把点 称作函数的不连续点或间断点.8 8项项4 4项项2 2项项2 2项项2.间断点的分类00000(),()();,(),().xyf xxxf xxf xxxf xxf x义 设 为
8、函数的一个间断点若当时左右极限均存在,则称 为函数的第一类间断点否则即当时,的左右极限中至少有一个不存在 则称 为函数的第二类间断点 定 00000000,(0)(0),lim()(0)(0),.xxf xf xf xxf xxf xf xx 特别 在第一类间断点中 若即存在,则称 为可去间断点(此时,()在 处可能有定义,也可能无定义);若称 为跳跃间断点例2 求下列函数的间断点，并说明其类型.sin,0(1)()tan;0,0 xxxf xyxx;(2),01,0(3)()()1,01,0 x xxxf xf xxxx ;(4)000(1)()(,),sinlim()lim1,(0)0,l
9、im()(0).xxxf xxf xff xfx 函数在内定义且由重要极限知而即解：00()lim(),0 xxf xf xx 所以是函数的间断点,又因为存在即左右极限都存在且相等所以是此函数的可去间断点;(2)tan,()2,(),()tan,22yxx kk Zx kk Zx kk Zyx 函数在的近旁有定义,但在没定义,所以点是函数的间断点0022lim tan,lim tan,xxxx 又tan2,.2yxx kx k 根据函数周期性,函数在处的左右极限均不存在即为第二类间断点,0(3)()0,1,0 x xf xxxx函数在有定义0 00 00 00 01lim()lim0,lim()lim,xxxxf xxf xx 但0lim(),0(),(0 0),0;xf xxf xfx即不存在所以是函数的间断点又不存在所在为第二类间断点0 00 00 00 01,0(4)()01,0lim()lim(1)1,lim()lim(1)1(0 0)(0 0),0().xxxxxxf xxxf xxf xffxf x 函数在有定义,但 即所以是函数的跳跃间断点
